Giao trinh toan kinh te

CHƯƠNG I : ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ XÁC SUẤTVectơ với ai R được gọi là một véc tơ trên Rn II.Các phép toán véctơ Cho V là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là: a, b, c... • Khi ta nó

Lời nói đầu

Toán kinh tế là một môn học khó mà sinh viên các trờng cao đẳng, đại học kinh tế phải học bao gồm những vấn đề cơbản của đại số tuyến tính, xác suất thống kê, quy hoạch tuyến tính, đóng vai trò then chốt trong việc rèn luyện t duy khoa học,cung cấp công cụ toán học để sinh viên học các môn học khác ở bậc cao đẳng, đại học và xây dựng tiềm lực để tiếp tục học sau này

Trong quá trình biên soạn giáo trình này chúng tôi rất chú

ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập Đối với ngời học toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải sử dụng đợc thành thạo các phơng pháp cơ bản, các kết quả cơ bản của lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập hiểu sâu sắc

lý thuyết hơn Các khái niệm cơ bản của đại số tuyến tính, xác suất thống kê, quy hoạch tuyến tính đợc trình bày một cách chính xác với nhiều ví dụ minh hoạ Phần lớn các định lý đợc chứng minh đầy đủ, ngắn gọn lo gích các kiến thức giữa ch-

ơng này với chơng khác giúp sinh viên tổng hợp các kiến thức phục vụ cho việc ôn luyện đợc tốt hơn

Giáo trình đ ợc biên soạn thành 4 ch ơng

- Chơng I : Đại số tuyến tính – Toán xác suất.

- Chơng II: Giới thiệu về mô hình toán kinh tế.

- Chơng III: Phơng pháp đơn hình và bài toán đối ngẫu

- Chơng IV: Bài toán vận tải

Khi biên soạn giáo trình này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn toán kinh tế

nhiều năm ở các trờng cao đẳng, đại học kinh tế Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến xác đáng.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trờng Cao Đẳng Nghề Công Nghiệp Thanh Hoá, các thầy cô giáo Khoa -Khoa học cơ bản đã tạo điều kiện để giáo trình đợc hoàn

Tác giả

CHƯƠNG I : ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ XÁC SUẤT

Vectơ với ai R được gọi là một véc tơ trên Rn

II.Các phép toán véctơ

Cho V là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là: a, b, c , K là một trường mà các phần tử được ký hiệu là k, x, y, z Trên V ta có hai phép toán

• Phép cộng hai phần tử của V :

+ : V × V

V (a, b) a + b

• Phép nhân một phần tử của V với một phần tử của K :

2 Tồn tại vectơ θ sao cho θ + a = a + θ = a

3 Với mỗi a có một phần tử a′ sao cho a + a′ = a′ + a = θ

4 a + b = b + a

5 x.(a + b) = x.a + x.b

6 (x + y).a = x.a + y.a

7 (xy).a = x.(y.a)

8 1.a = a, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K

Khi đó ta nói rằng V là một không gian vectơ trên trường K (hoặc V là K-

không gian vectơ).Ta cũng nói V là không gian tuyến tính trên trường K

• Khi K = R (tương ứng K = C ) ta nói V là không gian vectơ

thực (tương ứng không gian vectơ phức)

• Khi ta nói V là một không gian vectơ, ta ngầm hiểu rằng ta

đang nói đến V cùng với hai phép toán là phép cộng hai phần tử của V

và phép nhân một phần tử của V với một phần tử của K

• Để đơn giản trong cách viết, từ đây trở đi ta sẽ ký hiệu phép nhân một phần tử x thuộc trường K với một vectơ a thuộc V là xa thay

vì

viết x a

III Ví dụ về không gian vectơ

1 Trong không gian cho trước một điểm O cố định Tập tất cả các vectơ hình học trong không gian, có gốc tại O cùng với phép cộng các

vectơ và phép nhân một số thực với một vectơ là một không gian vectơthực Không gian vectơ này được gọi là không gian vectơ hình học

và được ký hiệu là E3

2 Xét trường số thực R và trường số hữu tỷ Q Đối với R , tổng của hai

số thực là một số thực và nếu x ∈ Q , a ∈ R thì xa ∈ R thì xa∈ R Tám điều kiện trong định nghĩa một không gian vectơ

chính là các tính chất quen thuộc của số thực Vì vậy R là một khônggian vectơ trên Q Tuy nhiên Q không là không gian

IV Độc lập và phụ thuộc tuyến tính

Cho a1, a2,……….,an V Một tổ hợp tuyến tính của V có dạng:

x = a1 + a2+ ……….+ an V Với ,……….,

x được gọi là biểu diễn được tuyến tính qua các véc tơ a1, a2,……….,an.

*) Hệ { a1, a2,……….,an} được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu

không đồng thời bằng 0 sao cho a1 + a2+ ……….+ an = θ

*) Hệ { a1, a2,……….,an} được gọi là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi

a1 + a2+ ……….+ an = θ

Suy ra hệ { a1, a2,……….,an} phụ thuộc tuyến tính nếu có một véc tơ là tổhợp tuyến tính của các véc tơ còn lại.

Giả sử tồn tại

Ví dụ: Trong không gian R3 xét ba véc tơ ; ;

Hệ 3 véc tơ này phụ thuộc tuyến tinh vì

Tuy nhiên hệ {a1; a2} độc lập tuyến tính vì θ( 0 ; 0 ; 0)

§ 2- MA TRẬN I.Các khái niệm cơ b¶n

lµ phÇn tö cña ma trËn A n»m ë giao ®iÓm cña hµng i cét j

§Ó ký hiÖu ma trËn ngêi ta dïng hai dÊu ngoÆc vu«ng nh trªnhay hai dÊu ngoÆc trßn

§Ó nãi A lµ ma trËn cì m n cã phÇn tö n»m ë hµng i cét j lµ taviÕt

(a) A = , B = (cïng cì)

(b) = víi mäi i vµ mäi j (c¸c phÇn tö ë cïng vÞ trÝ b»ng nhau)

đợc tính bởi công thức.

= + + ………+ =

( bằng tổng của tích các phần tử hàng i của ma trận A với các phần tử cột j của ma trận B)

Ví dụ : Tính tích của hai na trận sau

+) =

Chú ý 1 : Muốn nhân AB(A bên trái B bên phải ) phải có

điều kiện số cột của A phải bằng số hàng của B Muốn nhân BA(B bên trái A bên phải ) phải có điều kiện số cột của B phải bằng số hàng của A Do đó khi nhân AB đợc

cha chắc đã nhân BA đợc trờng hợp đặc biệt khi A và B

là ma trận vuông thì nhân đợc và nói chung AB

At = , Bt =

Suy ra Bt.At = Nh vậy (AB)t = Bt.At

Đ 3 – ĐỊNH THỨC I.Cỏch xỏc định định thức

1 Định thức của ma trận vuông

Xét ma trận cấp n

A =

Ta chú ý đến phần tử aij bỏ đi hàng i cột j ta thu đợc ma trận chỉ còn n -1 hàng n-1 cột tức là ma trận cấp n-1 ta ký hiệu

nó là Mij và gọi nó là ma trận con ứng phần tử aij

Chẳng hạn với A =

Ta có

M11 = , M12 = , M13 =

Để ký hiệu định thức ngời ta dùng hai gạch đứng đặt ở hai bên.

A = , B = , ………

Định thức của ma trận cấp n gọi là định thức cấp n

Vớ dụ

= 1.3 – 2.2 = -1

= 1 -2 -2 =

= 1 (-1.2-(-3).3) -2 (2.2-5.3) -2(2.-3 -5.-1) = 7 +22 +2 = 31

II.Tính chất của định thức

1.Tính chất 1 det(At) = det(A)

( Bạn đọc tham khảo Toán học cao cấp tập 1 tác giả Nguyễn

Để chứng minh tính chất 2 Ta chứng minh Bổ đề sau

Nếu đổi chỗ hai hàng liên tiếp thì định thức đổi dấu

Thật vậy bổ đề đúng với n = 2 Giả sử đúng với định thức cấp n -1 , n>2

Gọi A = là ma trận cấp n = det(Mij) , A’ = là ma trận suy ra từ ma trận A sau khi đổi chỗ hai hàng liên tiếp k , k+1 , = det(M’

ij) Khai triển det(A’) theo cột một ta có

det(A’) = (Trong đó là định thức cấp

vị trí hàng r cũ bằng r – s -1 lần đổi chỗ hai hàng liên tiếp Muốn vậy đổi chỗ hai hàng bất kỳ s và r (r > s + 1 ) ta phải thực hiện 2(r – s) -1 lần đổi chỗ hai hàng liên tiếp do đó theo

bổ đề trên ta có định thức đổi dấu2(r – s) -1 tức là một số lẻlần Vậy định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu

Gọi D là định thức có hai hàng nh nhau Theo tính chất trên

đổi chô hai hàng đó cho nhau ta có D = -D Vậy có 2D = 0

Do dó D = 0

4.Tính chất 4 Dựa vào định nghĩa trên và áp dụng tính

chất 2 ta suy ra

det(A) = (-1) [ a i1 det(M i1 ) – a i2 det(M i2 ) +…… a in det(M in )] (**)

Chú ý rằng các phần tử ai1 , ai2 …………,ain đều nằm ở hàng i của

định thức nên công thức trên có thể gọi là khai triển của định thức theo hàng i

Dựa vào công thức (**) và tính chất 2 ta có thể biểu diễn

nh sau:

det(A) = (-1)1+j [ a 1j det(M 1j ) – a 2j det(M 2j ) +…… a nj det(M nj )] (***)

Chú ý rằng các phần tử a1j , a2j …………,anj đều nằm ở cột j của

áp dụng công thức (***) khai triển định thức theo cột 2 ta cũng

có

D = (-1)1+2[2 -5 +(- 8) ] = 240

5 Tính chất 5

Một định thức có một hàng (hoặc một cột ) toàn số không thì bằng không

6 Tính chất 6

Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột ) với cùng một số k 0 thì ta đợc một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k.

Chẳng hạn nh

9 Tính chất 9

Nếu một dịnh thức có một hàng( hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác ( hay của các cột khác) thì định thức ấy bằng không

11 Tính chất 11 (định thức có dạng tam giác )

Các định thức của ma trận dạng tam giác bằng tích các phần

tử chéo

= a11 a22 ………ann

= a11 a22 ………ann

Cách chứng minh dựa vào khai triển (**) và(***) Bạn đọc tự chứng minh

Ví dụ ta xét định thức cấp ba sau

D = Khai triển theo cột 1 ta đợc

D = a11 Sau đó tính định thức cấp hai bằng khai triển theo cột 1 ta có

D = a11.a22.a33

Ví dụ

(a)

(b) Theo ví dụ tính chất 10 ta có thể đa ma trận của

định thức trên về ma trận dạng tam giác áp dụng tính chất 11

Các biến đổi sơ cấp về hàng mà ta sẽ dùng đợc liệt kê ở bảng sau đây.

Bây giờ để tính một định thức ta làm nh sau.

B1 áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng tìm cách đa dần định thức đã cho về dạng tam giác Nhớ ghi lại tác dụng củatừng phép biến đổi

B2 Tính giá trị của định thức tam giác thu đợc dựa vào tính chất 11

Ví dụ Tính

Đ 4 - MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

I Khái niệm ma trận nghịch đảo

Gọi là tập các ma trận vuông cấp n

= {A} , A =

1 Định nghĩa: Ma trận

I =

Trong đó các phần tử đờng chéo bằng 1 , các phần tử khác bằng không gọi là ma trận đơn vị cấp n

Thì nói A khả đảo và B gọi là ma trận nghịch đảo của A

Khi A có nghịch đảo thì ta nói A không suy biến

Ngời ta ký hiệu ma trận nghịch đảo của A là A-1 nghĩa là có

II Các tính chất

1 Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo

a Định lý Ma trận nghịch đảo A -1 của nếu có thì chỉ có một mà thôi

Khi det(A) 0 thì A có ma trận nghịch đảo nên A là ma trận

Vì C = Và do đó Ct =

3 Ma trận nghịch đảo của tích hai ma trận

a Định lý 1 : Giả sử A và B là hai ma trận khả đảo Khi đó AB cũng

(i) Ma trận sơ cấp và phép biến đổi sơ cấp về hàng của

Ma trân đợc gọi là ma trận sơ cấp loại 1

Thuộc cùng loại với

Hơn nữa phép nhân bên phải A với thực hiện phép nhân cột r của A với

2 Phép đổi chỗ hàng r và hàng s thực hiện bởi phép

Thuộc cùng loại với P(r,s)

Hơn nữa phép nhân bên phải A với P(r,s) thực hiện đổi chỗ

hai cột r và s của A

Hàng r

Hàng s

3.Céng lÇn hµng r víi hµng s thùc hiªn phÐp nh©n bªn tr¸i

det(EA) = det(A) vµ det(E) = nªn det(EA) = det(E) det(A) ■

NÕu E = P(r,s) th× det(EA) =- det(A) vµ det(E) = -1

Nªn det(EA) = det(E) det(A) ■

det(A) = det(F 1 ) det(F 2 )… det(F m ) det(U)

det(AB) = det(F 1 ) det(F 2 )… det(F m ) det(U)det(B)

Nh vËy det(AB) = det(A).det(B) ■.

Do det(A) vậy A khả đảo và có nghịch đảo là A

Nhân đẳng thức BA= I bên phải với A-1 ta có

I Dạng tổng quát của một hệ phơng trình tuyến tính

1 Là một hệ m phơng trình đại số bâc nhất đối với n

Khi m = n ta có một hệ vuông với n phơng trình n ẩn

Khi các bi = 0 ta có một hệ thuần nhất

Ta viÕt l¹i díi d¹ng ma trËn Ax = b (4)

1 §Þnh nghÜa : HÖ (4) hay Ax = b gäi lµ hÖ Cramer nÕu

Tõ Ax = b ta thay x = A-1b ta cã A(A-1b) = (AA-1)b = b

Do vËy x = A-1b lµ mét nghiÖm cña hÖ

Sö dông biÓu thøc cña A-1 ta cã

VËy hÖ chØ cã mét nghiÖm duy nhÊt

Ta cã det(A) = 44 , det(A1)=- 40 , det(A2)= 72 det(A3)= 152

4 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b»ng phÐp biÕn

b) Đối vứi hệ không phải là hệ tam giác trên , ta tìm cách biến đổi đa ma trận A về dạng tam giác trên

3 1

- 2

4 11 7

4 -2 7

2 4 3

-5

- 6,5

3 1

4 -8 -1

2 4 3

-5

- 6,5

- 2,9

4 -8

- 5,8

Vậy hệ đã cho tơng đơng với hệ tam giác trên

8 a T×m tÊt c¶ c¸c ma trËn cÊp haicã b×nh ph¬ng b»ng ma trËn kh«ng

b T×m tÊt c¶ c¸c ma trËn cÊp hai cã b×nh ph¬ng b»ng ma

20 Cho A là ma trận vuông cấp n

a) Cho det(A) = 3 hãy tính det(A2) và det(A3)

b) Cho biết A khả đảo và det(A) = 4 tính det(A-1)

c) Cho det(A) = 5 và B2 = A tính det(B)

d) Cho det(A) = 10 tính det(AtA)

21 Trong các ma trận sau ma trận nào khả đảo ? Nếu có hãy tìm ma trận nghịch đảo bằng phụ đại số

Giả sử có n phần tử được xếp ở n vị trí Ta đổi chỗ các phần tử cho nhau

Số cách đổi chỗ của n phần tử cho nhau gọi là số hoán vị của n phần tử Số cách

ấy được chứng minh bằng: n! = n.(n-1)(n-2)….2.1

Thí dụ 1: Có 3 người : A, B, C xếp vào 3 chỗ ngồi có các cách xếp như sau: ABC, ACB, CAB, CBA, BCA, BAC Cả thảy có 3! = 1.2.3 = 6 cách xếp

3.Tổ hợp

Ta lấy tùy ý k phần tử từ tập n phần tử ( k < n ), sao cho hai cách lấy được gọi là khác nhau nếu chúng có ít nhất một phần tử là khác nhau Số cách lấy k phần tử như vậy gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

Ký hiệu: và được chứng minh là : =

gọi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhât một phần tử khác nhau hoặc thứ tự lấy

ra của các phần tử là khác nhau Số cách lấy ra k phần tử như vậy gọi là một chỉnhhợp chập k của n phần tử ký hiệu : và được chứng minh:

( Tích của k số tự nhiên liên tiếp mà số lớn nhất là n)Thí dụ 3: Chọn ngẫu nhiên 2 người trong nhóm 3 người A, B, C để đi làm một nhiệm vụ nào đó Ai được chọn đầu tiên sẽ làm nhóm trưởng.

Giải

Theo thí dụ 2 ta đã có 3 cách chọn AB, AC, BC

Do hai cách chọn khác nhau còn kể đến thứ tự nên có thêm 3 cách chọn: BA, CA,

CB do đó có tất cả 6 cách chọn theo công thức:

Nhận xét: Mỗi cách chọn theo nghĩa tổ hợp, do cách chọn theo nghĩa chỉnh hợp

có kể tới thứ tự chọn ( có k! cách hoán vị k phần tử ) nên sẽ có:

5.Luật tích

Nếu có 2 công việc A1 và A2 khác nhau sao cho có k1 cách thực hiện côngviệc A1, k2 cách thưc hiện công việc A2 thì số cách thực hiện liên tiếp hai côngviệc A1 và A2 là k1.k2

Thí dụ 4: Có bao nhiêu cách lấy ra 5 con bài từ 52 quân bàì của bộ tú lơ khơ sao cho có 3 con át và 2 con 10

Giải: Số cách lấy ra 3 con át:

Số cách lấy ra 2 con 10:

Số cách lấy ra 3 con át và 2 con 10 là:

6 Công thức Newton

§2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

1 Phép thử và biến cố

Khi tung một đồng xu xuống đất có thể có hai khả năng xẩy ra là hoặc mặtsấp xuất hoặc mặt ngửa xuất hiện Việc tung con xúc xắc đó là một phép thử cònviệc xuất hiện mặt nào đó là biến cố

Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó có sảy ra hay không được gọi là một phép thử, còn hiện tượng có thể xảy ra trong kết quả của phép thử đó gọi là biến cố.

Thí du 1: Từ một lô sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm lấy ngẫu nhiên một

sản phẩm Việc lấy ngâu nhiên một sản phẩm là một phép thử còn việc lấy đượcchính phẩm hay phế phẩm là biến cố

Vậy một biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử gắn liền với nó được thựchiện

Các loại biến cố:

+ Biến cố chắc chắn: Là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phépthử

Ký hiệu : U

Thí dụ 2: Thực hiện phép thử tung một con xúc xắc Gọi U là biến cố “ xuất hiện

mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 6 “ U là biến cố chắc chắn

+ Biến cố không thể có : Là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiệnphép thử Ký hiệu là: V

Thí dụ 3: Thực hiện phép thử tung một con xúc xắc Gọi V là biến cố “ xuất hiện

mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 7 “ V là biến cố không thể có

+ Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra khi phépthử được thực hiện Ký hiệu: A, B, C, …hoặc A1, A2, ….B1, B2, …

+ Biến cố sơ cấp là biến cố không thể phân tích được nữa

Thí dụ 4: khi tung một con xúc xắc, gọi Ai là biến cố xuất hiện mặt i chấm(i:=1;2;3;4;5;6) Ai là một biến cố ngẫu nhiên Và thêm nữa đó là các biến cố sơcấp; gọi B là biến cố “ xuất hiện mặt có số chấm chẵn “ B xảy ra khi hoặc A2;