79 Chương 3 Áp dụng phép toán vi phân hàm nhiều biến vào phân tích kinh tế và kinh doanh 3 1 Các hàm số nhiều biến trong phân tích kinh tế 3 1 1 Hàm sản suất Khi phân tích hoạt động sản xuất, các nhà[.]
Trang 179
Chương 3
Áp dụng phép toán vi phân hàm nhiều biến vào phân
tích kinh tế và kinh doanh
3.1 Các hàm số nhiều biến trong phân tích kinh tế 3.1.1 Hàm sản suất
Khi phân tích hoạt động sản xuất, các nhà kinh tế quan tâm đến hai yếu tố đầu vào quan trọng là vốn (capital) và lao động (labor) và chúng được ký hiệu là K và L Do đó, hàm sản xuất có dạng:
Q=f K, L
Ý nghĩa
Hàm sản xuất biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng hàng hoá vào hai yếu tố đầu vào vốn (tư bản) và lao động
Một hàm sản xuất mà kinh tế học thường sử dụng là hàm sản xuất dạng Cobb – Douglas có dạng: Q=aK Lα β
Trong đó: a, ,α β là các hằng số dương
3.1.2 Hàm doanh thu, chi phí, lợi nhuận 3.1.2.1 Hàm chi phí
+) Hàm chi phí phụ thuộc đầu vào: TC=TC K, L ( )
Nếu tính theo các yếu tố sản xuất thì hàm chi phí là hàm số của các yếu tố sản xuất
và có dạng:
TC K, L =p K+p L+C Trong đó:
K
p : Giá thuê một đơn vị vốn (tư bản)
L
p : Giá thuê một đơn vị lao động
0
C : Chi phí cố định
+) Hàm chi phí kết hợp: TC=TC Q , Q( 1 2) Trong đó
1
Q : Số đơn vị hàng hóa 1;
Trang 280
2
Q : Số đơn vị hàng hóa 2
3.1.2.2 Hàm doanh thu và hàm lợi nhuận
+) Nếu doanh nghiệp là doanh nghiệp cạnh tranh thì tổng doanh thu của doanh nghiệp phụ thuộc vào K, L và có dạng:
TR = ⋅P f K, L =TR K, L (P : là giá sản phẩm) +) Hàm doanh thu gộp:
TR =TR +TR =P Q +P Q =TR Q , Q Với P : là giá sản phẩm mặt hàng 1, 1 P : là giá sản phẩm mặt hàng 2 2
3.1.2.3 Hàm lợi nhuận
Hàm lợi nhuận: π =TR−TC +) Hàm lợi nhuận phụ thuộc đầu vào
( ) ( k L 0) ( )
P.f K, L p K p L C K, L
+) Hàm lợi nhuận phụ thuộc đầu ra
(Q , Q1 2) TR Q , Q( 1 2) TC Q , Q( 1 2)
3.1.3 Hàm lợi ích
Giả sử cơ cấu tiêu dùng của người tiêu dùng gồm có n mặt hàng Mỗi giỏ hàng là một bộ gồm n số thực X=(x , x , , x1 2 n), trong đó x là lượng hàng hoá 1 T , x là lượng 1 2 hàng hoá T , , x là lượng hàng hoá 2 n T Hàm lợi ích là hàm số đặt tương ứng với mỗi túi n hàng X=(x , x , , x1 2 n) với một giá trị U nhất định theo quy tắc: Giỏ hàng nào được ưa chuộng nhiều hơn thì gán giá trị lợi ích lớn hơn Hàm lợi ích có dạng tổng quát như sau:
( 1 2 n)
U=U x , x , , x Hàm lợi ích hay được sử dụng là hàm Cobb – Douglas:
n
1 2
U=ax xα α xα (α α1, 2, ,αn là các hằng số dương)
3.1.4 Điểm cân bằng
+) Mức thu nhập quốc dân cân bằng Y phụ thuộc vào chi tiêu của Chính phủ G , 0 lượng đầu tư I và xuất khẩu 0 X : 0 Y = f G , I , X( 0 0 0)
+) Mức lãi suất cân bằng r phụ thuộc vào chi tiêu của Chính phủ G và lượng cung 0 tiền M : 0
Trang 381
( 0 0)
r=g G , M
3.1.5 Hàm cung, cầu thị trường n hàng hóa liên quan
Mức cung và mức cầu đối với một loại hàng hoá trên thị trường không những chỉ phụ thuộc vào giá hàng hoá đó mà còn bị chi phối bởi giá của các hàng hoá liên quan và thu nhập của người tiêu dùng Trên thị trường n hàng hoá liên quan hàm cung và hàm cầu đối với hàng hoá i có dạng (giả thiết thu nhập không thay đổi):
i
Q =S P , P , , P
i
Q =D P , P , , P Trong đó,
i
S
Q là lượng cung hàng hoá i,
i
D
Q là lượng cầu hàng hoá i, P là giá của i hàng hoá i i( =1, 2, 3, , n)
Ví dụ 1 Cho các hàm cầu: Q1=40 P ; Q− 1 2 = −30 0,5P2 Hãy lập hàm doanh thu
Giải
Từ hai hàm cầu thuận ta suy ra hai hàm cầu đảo như sau:
P =40 Q ; P− = −60 2Q Hàm doanh thu gộp
( 1 2) 1 1 2 2
TR Q , Q P Q P Q
(40 Q )Q ( 60 2Q )Q
hay
TR Q , Q = −Q −2Q +40Q +60Q
Ví dụ 2 Cho hàm sản xuất: Q K, L( )=10K0,3 0,4L Giá thuê một đơn vị vốn pK =3 USD, giá thuê một đơn vị lao động pL =2 USD và giá sản phẩm là P=4 USD Hãy lập hàm lợi nhuận
Giải
Hàm doanh thu:
TR K, L =PQ=40K L Hàm chi phí :
TC K, L =p K+p L=3K+2L Hàm lợi nhuận: ( ) ( ) ( ) 0,3 0,4
K, L TR K, L TC K, L 40K L 3K 2L
Trang 482
3.2 Áp dụng đạo hàm riêng và vi phân toàn phần vào phân tích kinh tế và kinh doanh 3.2.1 Đạo hàm riêng và giá trị cận biên
Xét mô hình hàm kinh tế: w f x , x , , x= ( 1 2 n) trong đó x , x , , x , w là các biến 1 2 n kinh tế
Đạo hàm riêng của hàm số w theo biến x tại điểm i X x , x , , x( 1 2 n) được gọi là giá trị cận biên của hàm w theo biến x tại điểm đó Nghĩa là, i /i( )
w x , x , , x biểu diễn xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến w khi giá trị x thay đổi i 1 đơn vị trong điều kiện giá trị các biến độc lập còn lại không thay đổi
3.2.1.1 Hàm sản xuất: Q f K,L= ( )
Có các đạo hàm riêng:
được gọi tương ứng là hàm sản phẩm cận biên của vốn (tư bản) (ký hiệu: MPK) và hàm sản phẩm cận biên của lao động (ký hiệu: MPL) tại điểm (K, L)
Ý nghĩa của các đạo hàm riêng
+) / / ( )
Q =f K, L : biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị vốn (tư bản) và giữ nguyên mức sử dụng lao động
+) / / ( )
Q =f K,L : biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động và giữ nguyên mức sử dụng vốn
Ví dụ 3 Giả sử hàm sản suất của một doanh nghiệp là:
( ) 1 34 4
Q K,L =20K L Trong đó: K, L, Q là mức sử dụng vốn, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày
a) Giả sử doanh nghiệp đó đang sử dụng 16 đơn vị vốn và 81 đơn vị lao động trong một ngày tức K 16, L 81.= =
Sản lượng cận biên của vốn là:
( ) / ( ) ( 0,75 0,75)
K
MPK 16,81 =f 16,81 =5 16− 81 =16,875 Sản lượng cận biên của lao động là:
Trang 583
L
MPL 16,81 =f 16,81 =15 16 81− =10 Nghĩa là, nếu doanh nghiệp tăng mức sử dụng vốn K từ 16 lên 17 đơn vị và giữ nguyên mức sử dụng lao động L 81= trong một ngày, thì sản lượng tăng thêm xấp xỉ 16,875 đơn vị sản phẩm Tương tự, nếu giữ nguyên mức sử dụng vốn K 16= và tăng mức
sử dụng lao động L từ 81 lên 82 trong một ngày thì sản lượng tăng thêm xấp xỉ 10 đơn vị sản phẩm
b) Tại K0 =16, L0 =81, nếu giảm vốn K xuống 0,5 đơn vị và tăng lao động L lên
2 đơn vị thì Q sẽ thay đổi như thế nào?
Q f K , L K f K ,L L
hay
( )Q 135.( 0,5) 10 2 185 0
Vậy Q sẽ tăng xấp xỉ 185/16 đơn vị
3.2.1.2 Hàm lợi ích: U U x , x , , x= ( 1 2 n)
Đạo hàm riêng của hàm lợi ích đối với các biến độc lập là:
i i
U
MU (i 1,2, ,n)
x
∂
∂
i
MU : được gọi là lợi ích cận biên của hàng hoá thứ i
Ý nghĩa Đạo hàm riêng MU tại điểm i X x , x , , x biểu diễn xấp xỉ lợi ích ( 1 2 n)
tăng thêm khi người tiêu dùng có thêm một đơn vị hàng hoá thứ i trong điều kiện số đơn
vị các hàng hoá khác không thay đổi
Ví dụ 4 Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày của một người tiêu dùng đối với hai loại hàng
hoá được cho như sau:
U x , x =2 x x Trong đó: x , x lần lượt là mức sử dụng hàng hoá 1 2 1 và hàng hoá 2, U là lợi ích của người tiêu dùng hàng ngày
Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 1 và 25 đơn vị hàng hoá
2 trong một ngày
+) Lợi ích cận biên của hàng hoá 1 đối với người tiêu dùng là:
Trang 684
1 1
−
+) Lợi ích cận biên của hàng hoá 2 đối với người tiêu dùng là:
2 2
U
x
−
Nghĩa là, nếu người tiêu dùng tăng mức sử dụng hàng hoá 1 thêm một đơn vị x1=65
và giữ nguyên mức sử dụng hàng hoá 2 trong một ngày thì lợi ích tăng thêm khoảng 0,21 đơn vị Tương tự, nếu giữ nguyên mức sử dụng hàng hoá 1 và tăng mức sử dụng hàng hoá
2 thêm 1 đơn vị trong một ngày thì lợi ích tăng thêm khoảng 0,8 đơn vị
Ví dụ 5 Người ta ước lượng hàm sản xuất hàng ngày của một doanh nghiệp như sau:
Q K, L =80 K L a) Với K 25= và L 64= hãy cho biết mức sản xuất hàng ngày của doanh nghiệp b) Bằng các đạo hàm riêng của Q, cho biết nếu doanh nghiệp:
+) Sử dụng thêm một đơn vị lao động mỗi ngày và giữ nguyên mức K 25= thì sản lượng sẽ thay đổi là bao nhiêu?
+) Ngược lại, nếu sử dụng thêm một đơn vị vốn mỗi ngày và giữ nguyên mức
L 64= thì sản lượng sẽ thay đổi bằng bao nhiêu?
c) Nếu giá thuê một đơn vị vốn K là 12 USD, giá đơn vị L là 2,5 USD và doanh nghiệp sử dụng các yếu tố đầu vào ở mức nêu trong câu a) thì doanh nghiệp nên sử dụng thêm một đơn vị K hay thêm một đơn vị L mỗi ngày?
Giải
a) Mức sản xuất hàng của doanh nghiệp khi K 25= và L 64= là:
3
Q 80 25 64 80.5.4 1600= = = (đvsp)
b) Các đạo hàm riêng của hàm sản xuất:
+) Đạo hàm riêng của Q theo K và của Q theo L:
( )
2 K
=
( )
/
Q K,L 80 K
Trang 785
Tại mức K 25= và L 64= , ta có
Q 25,64 32; Q 25,64 8,3
3
+) Nếu giữ nguyên mức sử dụng vốn K 25= và sử dụng thêm một đơn vị lao động mỗi ngày thì sản lượng tăng một lượng xấp xỉ là 8,3 đơn vị
+) Nếu giữ nguyên mức sử dụng lao động L 64= và sử dụng thêm một đơn vị vốn mỗi ngày thì sản lượng thay đổi một lượng xấp xỉ là 32 đơn vị
c) Với các giả thiết đã cho thì doanh nghiệp nên sử dụng thêm một đơn vị lao động mỗi ngày Vì ta có
MPL 25 / 3 MPK 32
p = 2,5 > p =12
3.2.2 Đạo hàm riêng và hệ số co dãn
Cho mô hình hàm kinh tế: w f x , x , , x= ( 1 2 n)
Hệ số co dãn của w theo biến x tại điểm i (x , x , , x1 2 n) là số đo lượng thay đổi tính bằng phần trăm của w khi x thay đổi 1% trong điều kiện giá trị của các biến độc i lập khác không thay đổi, được ký hiệu và xác định như sau:
i
w x
f x , x , , x x
x f x , x , , x
∂
∂
Ví dụ 6 Giả sử hàm cầu của hàng hoá 1 trên thị trường hai hàng hoá liên quan có dạng
3
= − − Trong đó, P , P tương ứng là giá của hàng hoá 1, 21 2 Tính hệ số co dãn của cầu theo giá tại điểm (20,30)
Giải
Hệ số co dãn của cầu theo giá P đối với giá của hàng hoá đó tại thời điểm 1 (P , P1 2)
1
D1 1
1
2
3
∂
Hệ số co dãn của cầu đối với hàng hoá thứ nhất theo giá hàng hoá thứ hai P tại thời 2 điểm (P , P1 2) là:
D1 2
1
2 2
2
3
Trang 886
Tại điểm (20,30) ta có:
Q P 0,4; Q P 0,75
Điều này có nghĩa là khi hàng hoá 1 đang ở mức giá 20 và hàng hoá 2 ở mức giá
30 nếu tăng giá hàng hoá 1 lên 1% còn giá hàng hoá 2 không đổi thì cầu đối với hàng hoá 1 sẽ giảm 0,4 %, tương tự, nếu giá của hàng hoá 1 không thay đổi nhưng giá của hàng hoá hai tăng thêm 1% thì cầu đối với hàng hoá 1 cũng giảm 0,75%
Ví dụ 7 Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng:
( ) 1 23 3
Q K,L =120K L a) Khi đó hệ số co dãn của sản lượng theo vốn tại thời điểm (K, L) là:
2 2
3 3
3 3
120 3 120K L
−
Khi đó hệ số co dãn của sản lượng theo lao động tại thời điểm (K, L) là:
1 1
3 3
3 3
120 3 120K L
−
−
Nhận xét Nếu mô hình hàm số kinh tế có dạng mô hình hàm Cobb –Douglass thì hệ số co dãn
của w theo x đúng bằng luỹ thừa của k x k b) Tại mức sử dụng (K, L) nếu giảm vốn K xuống 2% và tăng lao động L lên 3% thì
Q sẽ thay đổi như thế nào?
Ta có
∆ ≈ − ε + ε = − + = >
Do đó sản lượng Q tăng xấp xỉ (4/3)%
c) Tại mức sử dụng (K, L) nếu tăng vốn K lên 2% và giảm lao động L xuống 3% thì Q sẽ thay đổi như thế nào?
Ta có
∆ ≈ ε − ε = − = − <
Do đó sản lượng Q giảm xấp xỉ (4/3)%
Trang 987
3.2.3 Đạo hàm riêng cấp 2 và quy luật lợi ích biên giảm dần
Xét mô hình hàm kinh tế hai biến số: z f x, y= ( ) +) / /( )
z =f x, y : là hàm cận biên của mô hình hàm kinh tế trên theo biến x +) / /( )
z =f x, y : là hàm cận biên của mô hình hàm kinh tế trên theo biến y Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng: giá trị z− cận biên của biến x giảm dần khi x tăng y không đổi Tương tự, cho giá trị z− cận biên của biến
y giảm dần khi y tăng và x không đổi (Chú ý: chúng ta xét trong điều kiện giá trị của các biến x, y là đủ lớn)
Cơ sở toán học:
+) / /( )
z =f x, y : là hàm số giảm khi // // ( )
xx xx
z =f x, y <0 +) / /( )
z =f x, y : là hàm số giảm khi // //( )
yy yy
z =f x, y <0
Ví dụ 8 Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Cobb – Douglas như sau:
Q K, L =aK L a, ,α β α β >0 Hàm sản phẩm cận biên của vốn:
K
Q K, L = αa Kα− βL Hàm sản phẩm cận biên của lao động:
L
Q K, L = βa K L α β−
Biểu hiện của quy luật lợi ích cận biên giảm dần:
( ) ( ) ( ) ( )
KK
LL
1
α− β
α β−
⇔
β <
Áp dụng vào bài toán cụ thể ta thấy hàm sản xuất:
Trong đó K, L, Q là mức sử dụng vốn, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày Hàm này thoả mãn quy luật lợi ích cận biên giảm dần
Ví dụ 9 Cho hàm lợi ích: U x, y( )=15xy 2x− 2 −3y , (x, y 0).2 > Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không
Giải
Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm U theo biến x và theo y
Trang 1088
U x, y =15y 4x; U x, y− =15x 6y− Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm U theo x và theo y
U x, y = − <4 0; U x, y = − <6 0 Vậy hàm số trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần
3.2.4 Hàm thuần nhất và vấn đề hiệu quả của quy mô 3.2.4.1 Khái niệm hàm thuần nhất
Hàm số z f x, y= ( ) được gọi là hàm thuần nhất cấp k (k 0≥ ) nếu với ∀ ≠t 0, chúng
ta có:
k
f (tx, ty) t f x, y= ⋅
Ví dụ 10 Hàm sản xuất Q K, L( )=aK Lα β là hàm thuần nhất cấp (α + β) vì ∀ ≠t 0:
Ta tính toán giá trị của hàm Q K,L( ) tại điểm (tK, tL)
Q tK, tL =a tK α tL β=tα+β aK Lα β =tα+βQ K,L
Ví dụ 11 Hàm sản xuất dạng C.E.S
− β
= α + − α > < α < β > −
Luôn là hàm thuần nhất cấp 1 Vì ∀ ≠t 0
Ta tính toán giá trị của hàm Q K,L( ) tại điểm (tK, tL)
Q(tK, tL) A (tK) (1 )(tL)
− β
Q(tK, tL) tA K (1 )L tQ(K, L)
− β
Ví dụ 12 Hàm số z x, y( ) 22xy2
=
− là hàm thuần nhất cấp 0 Vì ∀ ≠t 0
Ta tính toán giá trị của hàm z x, y( ) tại điểm (tx, ty)
0
2(tx)(ty) 2xy
(tx) (ty) x y
3.2.4.2 Vấn đề hiệu quả của quy mô
Trang 1189
Xét hàm sản xuất Q f K, L = ( ) Với K, L là các yếu tố đầu vào; Q là yếu tố đầu ra +) Nếu Q mK, mL( )>mQ K, L( ) thì chúng ta nói hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô
+) Nếu Q mK, mL( )<mQ K, L( ) thì chúng ta nói hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô
+) Nếu Q mK, mL( )=mQ K, L( ) thì chúng ta nói hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo quy mô
3.2.4.3 Liên hệ hiệu quả của quy mô với bậc thuần nhất
Giả sử hàm sản xuất Q f K, L= ( ) là hàm thuần nhất cấp k
+) Nếu k 1> thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô
+) Nếu k 1< thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô
+) Nếu k 1= thì hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo quy mô
Ví dụ 13 Hàm sản xuất dạng C.E.S có bậc thuần nhất bằng 1, nên nó có hiệu quả không
đổi theo quy mô
Ví dụ 14 Hàm sản xuất: Q K, L( )=aK Lα β có cấp thuần nhất (α + β) nên:
+) Nếu (α + β) > 1 thì nó có hiệu quả tăng theo quy mô
+) Nếu (α + β) < 1 thì nó có hiệu quả giảm theo quy mô
+) Nếu (α + β) = 1 thì nó có hiệu quả không đổi theo quy mô
3.2.4.4 Liên hệ với đạo hàm riêng – Công thức Euler
Định lý (Công thức Euler) Hàm số z f x, y= ( ) là hàm thuần nhất cấp k khi và chỉ
x z x, y⋅ + ⋅y z x, y = ⋅k z x, y Với z f x, y= ( ) được giả thiết là hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục
3.2.5 Đạo hàm của hàm ẩn và áp dụng phân tích kinh tế 3.2.5.1 Khái niệm hàm ẩn
Nếu giá trị của hai biến x, y quan hệ với nhau bởi hệ thức F x, y( )=0 (*), trong đó
( )
F x, y là hàm hai biến xác định trên miền D⊂ℝ 2 Nếu ∀ ∈x X, tồn tại hàm số y f x= ( ) thỏa mãn hệ thức (*), thì ta nói hệ thức này xác định hàm ẩn y f x= ( ) trên tập X
Trang 1290
Ví dụ 15 Xét hệ thức
Với ∀ ∈ −x [ ]1,1 ta có y x( )= ± −1 x2 Vậy hàm y= 1 x− 2 với ∀ ∈ −x [ ]1,1 và hàm y= − −1 x2 với ∀ ∈ −x [ ]1,1 là các hàm ẩn xác định bởi hệ thức (**)
3.2.5.2 Định lý hàm ẩn
Cho hàm hai biến F x, y( ) xác định trong một lân cận của điểm (x , y và 0 0) ( 0 0)
F x , y =0, giả thiết rằng F x, y( ) có các đạo hàm riêng liên tục và /( )
y
F x, y ≠0 tại mọi điểm ( )x, y thuộc hàm lân cận của (x , y ; Khi đó tồn tại duy nhất hàm liên tục 0 0) y f x= ( )
xác định trong một lân cận của x thỏa mãn điều kiện: 0
( ) ( )
y =f x , F x,f x =0
( )
/
y
F x, y y
F x, y
= − (công thức đạo hàm của hàm ẩn)
Ví dụ 16 Cho hàm số: F x, y( )=x2 +y2− =1 0 (**) Xác định hai hàm ẩn liên tục y= 1 x− 2 và y= − −1 x2 với ∀ ∈ −x [ ]1,1 Tại điểm (x , y0 0) ( )= 0,1 ta có F 0,1( )=0 Khi đó chỉ có hàm ẩn y= 1 x− 2 thoả mãn điều kiện y 0( )=1
Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm ẩn Tính đạo hàm của y theo x
Đạo hàm riêng của F theo x và theo y
F x, y =2x; F x, y =2y Đạo hàm của y theo x:
( ) ( )
/
y
F x, y x y
y
F x, y
+) Nếu y x( )= 1 x− 2 thì /x
2
y
y
1 x
−