CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
II. Cách thành lập bài toán đối ngẫu
f(x) = Min (Max). (1) = b (i = 1 ) (2)
x (j = 1 ) (3)
ta gọi bài toán này là bài toán gốc. Chú ý rằng hệ phương trình ràng buộc của bài toán có thể viết dưới dạng: = b hoặc Ax = b, trong đó A là ma trận điều kiện và A là các vecto điều kiện. Dựa vào cấu trúc của bài toán gốc (I), ta xây dựng một bài toán quy hoạch tuyến tính khác gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán (I) có dạng sau:
(4)
Kí hiệu bài toán này là . Cặp bài toán (I, ) gọi là cặp bài toán đối ngẫu không đối xứng.
Phân tích cấu trúc của hai bài toán, ta có thể rút ra những nhận xét ,đồng thời là những nguyên tắc thành lập bài toán đối ngẫu.
có dạng
- Nếu f(x) thì và hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu có dạng
- So sánh ràng buộc không kể ràng buộc dấu) trong bài toán này bằng số biến số trong bài toán kia, từ đó thấy tương ứng với một ràng buộc của bài toán này là một biến số của bài toán kia.
- Hệ số trong hàm mục tiêu của một bài toán của bài toán này là vế phải của hệ ràng buộc trong bài toán kia.
- Ma trận điều kiện trong hai bài toán là chuyển vị của nhau.
- Các biến số trong bài toán đối ngẫu không có ràng buộc về dấu
Khi phân tích quan hệ của hai bài toán đối ngẫu cần sử dụng một khái niệm quan trọng sau:
Cặp ràng buộc đối ngẫu: Ta gọi hai ràng buộc bất đẳng thức (kể cả ràng buộc dấu) trong hai bài toán cùng tương ứng với một chỉ số là một cặp ràng buộc đối ngẫu.Trong hai bài toán (I) và ( ) có n cặp ràng buộc đối ngẫu.
x
Dùng các kí hiệu của bài toán gốc, bài toán đối ngẫu có thể viết dưới dạng
(A ,y) (j = 1 )
Từ đây suy ra cách viết bài toán đối ngẫu một cách đơn giản: Trừ các tương ứng về dấu, ta cho tương ứng với mỗi phương trình ràng buộc i của bài toán gốc một biến của bài toán đối ngẫu y (j = 1 m), thực hiện phép nhân vô hướng vecto y lần lượt với vecto b và vecto A (j = 1 ) ta sẽ được hàm mục tiêu và toàn bộ hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu.
Ví dụ 1: Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau:
f(x) = -3x + 5x + 4x - 2x + x Max 2x - 3x -x + 6x -2x + 2x = -14 - x + 2x + 5x + 3x -4x = 8 6x - 3x + 2x -x + x + 3x =12 x )
Bài toán đối ngẫu có 3 biến số y , y , y .Theo cách viết trên ta có:
(y) = -14y + 8y + 12y Min 2y - y + 6y
-3y + 2y -3y -y + 5y -2y
6y - y -2y + 3y + y
2y -4y + 3y b). Cặp bài toán đối ngẫu đối xứng
Xét bài toán f(x) = Thỏa mãn:
x
Đưa bài toán về dạng chính tắc, kí hiệu là (II’) F(x) =
x
Bài toán đối ngẫu của (II’) cũng là bài toán đối ngẫu của (II) có dạng:
(y) =
y
Kí hiệu bài toán này là (I ). Do đặc diểm của cấu trúc hai bài toán, ta gọi (II) và (I ) là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng. Hai cặp bài toán này có n + m cặp ràng buộc đối ngẫu sau:
x
c. Cặp bài toán đối ngẫu tổng quát
Theo quy tắc xây dựng có thể dễ dàng chứng minh , nếu xem ( ), (I )
Là bài toán gốc thì các bài toán đối ngẫu của chúng chính là (I) và (II). Vì vậy từ đây ta sẽ gọi chung hai bài toán đối ngẫu là một cặp bài toán đối ngẫu, khi cần thiết mới chỉ rõ bài toán gốc.
Đối với bài toán bất kì, đưa về dạng chính tắc, xây dựng bài toán đối ngẫu của bài toán này và gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán đã cho. Chúng ta có thể sử dụng các quy tắc nêu trong lược đồ dưới đây để trực tiếp viết bài toán đối ngẫu mà không cần phải thực hiện bước biến đổi về dạng chính tắc.
Lược đồ tổng quát
Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu f(x) =
y không có ràng buộc dấu y
y
x không ràng buộc dấu (j ) x
x
Từ lược đồ tổng quát ta có thể rút ra nhận xét hữu ích cho thực hành là:
Nếu một biến số không có ràng buộc dấu trong bài toán này thì có ràng buộc tương ứng trong bài toán kia có dấu bằng và ngược lại; nếu một biến số có ràng buộc dấu trong bài toán này thì ràng buộc tương uwngs trong bài toán kia có dấu bất đẳng thức và ngược lại, tuy nhiên cần chú ý rằng chiều của các bất đẳng thức của bài toán đối ngẫu được quyết định bởi hàm mục tiêu phải đạt cức tiểu hay cực đại.
Ví dụ:
Viết bài toán đối ngẫu của bài toán sau và chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu:
f(x) = -4x + x + 5x + 3x Min
3x - 6x - x + 2x -4x -15 (1) 2x 3x +4x + 5x - x 8 (2) - 6x + 3x +8x - 5x = 9
3x +2x -3x + x (3) x (4), x (5), x (6)
Bài toán đối ngẫu
= -15y + 8y + 9y +24y Max.
3y - 2y +3y -4 (7) -6y + 3y - 6y + 2y = 1
- y + 4y + 3y (8) 2y - 5y + 8y - 3y = 0
- y (10) y (11) -y (12)
Các cặp ràng buộc đối ngẫu là: (1), (10); (2), (11);(3), (12); (4), (7); (5), (8); và (6), (9).
BÀI TẬP CHƯƠNG III 1. Giải bằng phương pháp đơn hình bài toán
f(x) = 2x + 3x - x - 1/2x Min x - x +x + 1/2x = 9 x - 4x + 8x - 2x + 2x - 3x x 0 (j = )
Đáp số: Bài toán chính tắc: = (0,0,8,2,2,0,0) Với f( ) = -9. Bài toán góc X = (0,0,8,2) 2. Giải bằng phương pháp đơn hình bài toán
f(X) = 2x + 7x -5x + 9/2x Min x - x - x + 3x = 14 x - 4x + x 8 x - 2x + 3x x
f( ) = -98.
Bài toán gốc: X = (0,0,34,16); f(X) = -98 3. Giải bằng phương pháp đơn hình bài toán
f (X) = 3x - x - 2x Max x - x + 3x + 2x = 7 4x - 2x + x = 12 3x - 4x + 8x x
Đáp số: Bài toán chính tắc: = (0,5,4,0,0,11) với f( ) = 11.
Bài toán gốc: X = (0,5,4,0,0), f (X) =11 4. Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình
f (X) = 2x - x - x + 6x x + 2x - 4 x + x -3x + 2x + x 5 x + 3x + x 1 x
Đáp số: = (0,0,2,1,0,6); f(Max) = 8 ; f (Max) = 8 5. Cho bài toán
f(X) = c x + c x + c x + c x + x +x Min x - x + 3x - 7x - 2x + x = 14
-4x + 6x - 9x + 21x + 5x -2x = -45
-2x + 4x - x + 2x - x + x = -15 x
Và phương án cực biên X0 = (12, 0, 0,0,7,16)
a) Cho c = 0, tìm diều kiện đối với c ,c , c để X0 là phương án tối ưu
nhất.
Đáp số: a) c 6, c , c
b) c > 6 - c ; c + c ; c - 2c .
6. Cho bài toán
f(X) = 5x + 2 x - x + 8x - 8 x + 10x Min 2x - x + x - 3x = -4 -7x + 3x + x - 3x - 2x + 13x = 53
4x - 5x + 2x + 5x - 11x = -68 x
và vecto X0 = (7,0,0,18,0,12). Hãy chứng tỏ X0 là phương án cực biên. Tìm điều kiện đối với để:
a) X0 là phương án tối ưu b) Bài toán không giải được
Đáp số: a)
b) >7/4 7. Cho bài toán
f (X) = 4x + x +6x + 4x x + 3x + 2x 8 x - x - 2x - x = -13 x + x - 2x 7 x 0 (j = )
Cho X0= (0, 7,3, 0) là phương án cực biên của bài toán. Xuất phát từ X0tìm lời giải của bài toán bằng phương pháp đơn hình.
Đáp số: Bài toán không có lời giải
f(X) = -x + 6x - 2x + 2x + 3x Min x - 2x + 3x +1/2 x = 4 x + 2x + 4x + x + x +1/2x = 6 x - x + 2x + x x
a). Hãy chứng tỏ X0 = (4, 0, 0,2,0,0) là phương án cực biên.
b). Xuất phát từ X0 tìm lời giải của bài toán bằng phương pháp đơn hình.
Đỏp số: = (5, ẵ, 0,0,0,0,1/2); f ( ) = -2 X = (5, ẵ,0, 0,0, 0); f (X) = -2 9. Cho bài toán
f (X) = -2x + x + 4x + 3x
3x + x - 2x + 5x = 30 2x + x - 2x = -13 2x + 2x + x - 2x = 12 x 0 (j = )
a). Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình
b) Có kết luận gì về lời giải của bài toán nếu c = 11 Đáp số: a) Bài toán không có lời giải
b) X = (11, 0, 6, 0 ,3,0); f(X) = -20.
10. Cho bài toán
f (X) = x + 2x + 2x + x + 6x Max x + 3 + 3x + x + 9x = 18 x + 5x + 4x + 8x = 13
x + x = 3 x
a). Hãy chứng tỏ X0 = (0,1,2,0,1) lf phương án cực biên.
Đáp số: b) X = (5,0,3,4,0); f(X) = 15.
11. Cho bài toán QHTT (I):
f(x) = x - 2x + x + x Min 2x + x - 5x 7 2x + x - 2x3+ 2x4 = 2 x >0 với
a). Giải bài toán I bằng phương pháp đơn hình
b). Hãy viết bài toán đối ngẫu của bài toán I và chỉ ra các cặp điều kiện đối ngẫu.
c). Bài toán đối ngẫu có PACB hay không? Vì sao?
d). Nếu f(x) Max thì kết luận của câu c còn đúng hay không? Vì sao?
Đs: a) f(x) không bị chặn c) không vì không có PA
d) Vẫn đúng vì bài toán đối ngẫu mâu thuẫn có ràng buộc(cộng ràng buộc 3 với ràng buộc 4)
12. Cho bài toán QHTT
f(x) = px - 2x - 2x + 4x Max x + x + x + 2x = 6 - 2x - 2x + x + 2x = 32 x với , p là tham số.
a). Tìm PACB của bài toán trên bằng phương pháp đơn hình.
b). Viết bài toán đối ngẫu, chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
c). Tìm điều kiện đối p để y = (4, 0) là PA, PACB của bài toán đối ngẫu.
d). Trong trường hợp y là PA của bài toán đối ngẫu, y có phải là PA tối ưu không? Vì sao?
Đs: a) Bài toán không có phương án c) p ,p = 4
d) không vì bài toán gốc không có PA 13. Cho bài toán QHTT
f(x) = x + px + 2x Min x - 2x + 2x
x - x - x 1
x > 0 với j, p là tham số.
a). Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình với p =1.
b). Chứng minh rằng bài toán trên có PACB tối ưu với mọi p > 0.
c). Viết bài toán đối ngẫu, chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu
d). Nếu f(x) Max và p>0 thì bài toán đối ngẫu có phương án hay không? Vì sao? Đs: a) x = (0,0,2) không duy nhất
b) sử dụng bảng đơn hình cuối của câu a, chứng tỏ x vẫn tối ưu.
d) không (sử dụng bảng đơn hình cuối của câu a chứng tỏ f(x) không bị chặn.)
14. Cho bài toán QHTT
F(x) = 2x + x + 4x Min 2x +x -2x +x =10
x - x +x 12 x với
a). Không giải hãy chứng minh bài toán trên có PACB tối ưu là x = (0,0,0,0) b). Bằng phương pháp đơn hình hãy khẳng định lại điều kết luận ở câu a c). Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên, chỉ ra các cặp ràng buộc đối ngẫu.
d).Chứng tỏ bài toán đối ngẫu có PACB tối ưu, xác định PA đó.
Đs: d) y = (0,0) 16. Cho bài toán QHTT sau:
F(x) = x - x +2x +px +3x Min 2x - 2x - 2x + 4x = 16 x +x +4x +x +5x = 40 x +2x -x 30
x 0 với mọi j a). Giải bài toán với p = 2.
b). Viết bài toán đối ngẫu của bài toán trên và chỉ ra cặp ràng buộc đối ngẫu.
c). Cho y = (0, -1, 0), xác định điều kiện đối với p để y là phương án PACB của bài toán đối ngẫu
d). Sử dụng bước cuối của câu a, chứng minh rằng nếu p -3 thì bài toán đối ngẫu sẽ có phương án tối ưu.
Đs: a) x = (8, 32,0, 0, 0) duy nhất c)p , p= -1
d) căn cứ vào bảng đơn hình cuối cùng x vẫn tối ưu