CHƯƠNG 4 BÀI TOÁN VẬN TẢI
II. Tính chất của bài toán vận tải
1. Sự tồn tại phương án cực biên tối đa.
Bài toán cân bằng thu phát luôn có phương án cực biên tối ưu . Thật vậy ,do bài toán có dạng chính tắc nên nếu nó giải được thì sẽ có phương án cận biên tối ưu.
Bài toán luôn giải được là vì:
+ Trị số hàm mục tiêu bị chặn dưới: Do c ( ) nên với mọi phương án x = {x } ta có: f(x) = .
+ Bài toán luôn có phương án: d = , xác định tập hợp {x } như sau:
x (i = 1 m; j = 1 n) . Rõ ràng x , ngoài ra:
(i = 1 ) (j = 1 )
Như vậy {x } (i = 1 ; j = 1 ) là một phương án của bài toán.
2. Mô tả bài toán dưới dạng bảng và đặc điểm của phương án cận biên.
Do cấu trúc hệ ràng buộc khá đặc biệt nên ta có thể mô tả bài toán dưới dạng bảng (bảng 5). Cách mô tả này mang tính trực giác cao và rất thuận tiện cho việc thể hiện trực quan phương án cực biên và tìm lời giải của bài toán. Ta xây dựng một bảng gồm m hàng và n cột theo mẫu ở cột 5. Mỗi hàng đặc trưng cho một trạm phát, mỗi cột đặc trưng cho một trạm thu, trên hàng hoặc cột ghi yêu cầu của trạm tương ứng.
Trên bảng, giao của hàng i và cột j gọi là ô (i,j). Ô (i,j) đặc trưng cho đoạn đường nối trạm phát A và trạm thu B nên ở ô này tag hi c . Mỗi ô (i,j) còn ứng với một biến số x và do đó tương ứng với vecto điều kiện {A }. Với cách mô tả bài toán dưới dạng bảng, ta có thể thể hiện số liệu của một phương án trên bảng như sau: Cho x = {x } (i = 1 ) là phương án của bài toán. Nếu x
thì ta ghi giá trị này vào góc dưới phía phải của ô(i,j), nếu x thì ta không ghi.
Bảng 5 Thu
Phát b b ……… b
A c c ………. c
A c c c
………. ……. …… ……… ……
A c c c
Như vậy, ứng với một ô tương ứng ta có một tập hợp ô tương ứng với cá thành phần dương của phương án. Nếu phương án x là cực biên thì hệ vecto điều kiện {A } tương ứng với x sẽ độc lập tuyến tính và điều này chác chắn sẽ có liên quan đến đặc tính của tập các ô này. Để tìm ra đặc tính, ta hãy xét một số đặc điểm của bảng tương ứng với bài toán vận tải.
Ta gọi vòng là một tập hợp ô trên bảng mà trong đó mỗi ô đều nằm cùng hàng (cùng cột) chỉ với một ô đứng trước đó, đồng thời nằm cùng cột (cùng hàng) chỉ với một ô đứng sau nó. Như vậy, từ định nghĩa ta thấy một hàng hoặc một cột mà vòng đi qua thì phải và chỉ đi qua hai ô, do đó tổng số ô trên vòng là một số chẵn và ít nhất là 4 ô. Một tập hợp không chứa vòng gọi là ô không tạo thành vòng.
Người ta đã chứng minh được rằng:
Định lý 5: Đặc điểm của phương án cực biên.
Phương án x = {x } (i = 1 ; j = 1 ) là phương án cực biên khi và chỉ khi tập hợp các ô (i,j) tương ứng với x > 0 không tạo thành vòng.
Vì hạng của ma trận hệ ràng buộc bằng m+n-1 nên một phương án cực biên có tối đa m+n-1 thành phần dương và do đó số tối đa các ô không tạo thành vòng trong bảng m hàng và n cột cũng là m + n - 1. Nếu x là phương án cực biên, ta gọi tập hợp m + n-1 ô không tạo vòng bao hàm tập hợp ô tương ứng với các thành phần dương của x (x ) là tập ô cơ sở (ô chọn), các ô còn lại gọi là ô phi cơ sở (ô loại) của phương án cực biên ấy. Dễ thấy rằng nếu phương án cực biên x không suy biến thì nó chỉ có một tập ô cơ sở duy nhất, đó chính là tập ô ứng với các thành phần dương, nếu suy biến thì có nhiều tập ô cơ sở khác nhau, phần chung của chúng là tập ô ứng với các thành phần dương. Từ đây khi nói tới phương án cực biên ta luôn luôn gắn nó với tập ô cơ sở, tương tự như cơ sở của phương án cực biên của bài toán dạng chính tắc. Lợi dụng đặc điểm cấu trúc và cách thể hiện bài toán dưới dạng bảng, dưới đây ta sẽ nghiên cứu phương pháp khá đơn giản để tìm phương án cực biên của bài toán vận tải.