Giáo trình Toán kinh tế (Nghề: Kế toán - Cao đẳng): Phần 2 - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp

Giáo trình Toán kinh tế trang bị một số kiến thức về cơ sở lý thuyết, các bài toán cơ bản và các phương pháp giải bài toán trong quy hoạch tuyến tính: Khái niệm và cách thiết lập bài toán quy hoạch tuyến tính, phương án, phương án cực biên, phương án tối ưu của một bài toán quy hoạch tuyến tính;... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 giáo trình!

CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

 Giới thiệu

Ở chương 2, ta đã xét bài toán quy hoạch tuyến tính min-max như là hai bài toán tách biệt Nhưng thật sự đối với mỗi bài toán min luôn luôn tồn tại bài toán max tương ứng và ngược lại Bài toán quy hoạch ban đầu được gọi là bài toán

gốc còn bài toán tương ứng của nó được gọi là bài toán đối ngẫu

Trong nhiều trường hợp, nhờ Lý thuyết đối ngẫu mà các vấn đề phức tạp

trong khi giải bài toán gốc sẽ trở nên đơn giản và dễ dàng hơn thông qua giải bài toán đối ngẫu của nó Ta sẽ luôn tìm được phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu từ phương án của bài toán gốc và ngược lại

 Mục tiêu

- Về kiến thức:

+ Hiểu rõ về bài toán đối ngẫu là gì

+ Ý nghĩa kinh tế của bài toán đối ngẫu, sự cần thiết phải đưa về bài toán đối ngẫu

+ Hiểu được mối quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu từ đó

có những phương pháp tìm ra phương án tối ưu nhanh hơn

- Về kỹ năng:

+ Lập được bài toán đối ngẫu từ bài toán gốc

+ Từ phương án tối ưu của bài toán gốc suy ra được phương án tối

ưu của bài toán đối ngẫu và ngược lại

- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: Có thái độ nghiêm túc, tự giác học tập và chịu trách nhiệm với kết quả thực hiện

1 Khái niệm

1.1 Bài toán đối ngẫu của bài toán dạng chính tắc

Định nghĩa: Cho bài toán gốc (P):

- Các ràng buộc ở bài toán (D) đều là bất đẳng thức " "  nếu f x ( )  max

(hoặc " "  nếu f x ( )  min)

- Số ẩn của bài toán này là số ràng buộc của bài toán kia và ngƣợc lại

- Các hệ số cj và các số hạng tự do bi ở hai bài toán đối ngược nhau

- Ma trận hệ số các ràng buộc ở hai bài toán là chuyển vị của nhau Hàng

i trong ma trận A a  ( )ij mxn xác định ràng buộc thứ i của bài toán gốc ij

1

n

j i j

1.2 Bài toán đối ngẫu của bài toán dạng tổng quát

Quy tắc lập bài toán đối ngẫu được cho bởi bảng sau:

Bài toán gốc P (D) Bài toán đối ngẫu D (P)

 Nhận xét: Bài toán đối ngẫu của bài toán đối ngẫu chính là bài toán gốc Vì

vậy người ta nói cặp bài toán gốc – đối ngẫu là cặp bài toán đối ngẫu nhau

max  min Ẩn  Ràng buộc(cùng dấu) Ràng buộc  Ân (ngược dấu)

min  max Ẩn  Ràng buộc (ngược

dấu)

Ràng buộc  Ân (cùng dấu)

Định lý 1: Với cặp bài toán P và D, chỉ xảy ra một trong ba trường hợp sau:

1 Cả hai đều không có phương án

2 Cả hai đều có phương án, lúc đó cả hai cùng có phương án tối ưu và giá trị hàm mục tiêu đối với phương án tối ưu bằng nhau

3 Một trong hai bài toán không có phương án, còn bài toán kia có phương án Khi đó bài toán có phương án sẽ không có phương án tối

ưu và hàm mục tiêu của nó không bị chặn

?

Hệ quả 1: Nếu một trong hai bài toán có phương án tối ưu thì bài toán kia cũng

có phương án tối ưu

Hệ quả 2: Điều kiện cần và đủ để hai phương án x * của (P) và y * của (D) tối

ij 1

Bài toán đối ngẫu: g y ( ) 50  y1 16 y2 23 y3 min

Có phương án tối ưu là x (32,0,30,0,0), ( ) 184 f x  Viết bài toán đối ngẫu

và tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

2 3

2

y

y y y y

32

2 3

x

x x x

x x x

?

b) Tìm phương án tối ưu của bài toán gốc biết P.A.T.Ư của bài toán đối ngẫu là 0, 34 22 , ,0,2

3 Ý nghĩa bài toán đối ngẫu

Một bài toán quy hoạch tuyến tính gốc được lập nên từ những vấn đề của sản xuất và kinh doanh, khi đó mọi tham số (a ,b ,c )ij i j , ẩn số, hàm mục tiêu, các ràng buộc đều chứa đựng những nội dung rõ rệt về kinh tế Khi chuyển sang bài toán đối ngẫu đôi lúc ta sẽ khó có thể giải thích ý nghĩa kinh tế của các yếu tố trong bài toán đối ngẫu Tuy nhiên không phải vì vậy mà bài toán đối ngẫu

không có tầm quan trọng to lớn

Theo các khái niệm trên ta thấy: giải được một trong hai bài toán coi như

đã giải được bài toán kia Vì vậy nếu gặp bài toán khó giải thì rất có thể bài toán đối ngẫu sẽ dễ giải hơn

Ví dụ 7: Bài toán sau

Nếu giải trực tiếp, ta cần đưa vào m ẩn phụ với hệ số -1, rồi lại thêm m ẩn giả

với hệ số 1 mới đưa về dạng chuẩn để giải bằng thuật toán đơn hình Còn nếu đưa về bài toán đối ngẫu:

là phương án tối ưu của bài toán gốc (Trong đó m j là ước lượng của ẩn phụ

m j

y  )

Bẳng lý thuyết của bài toán đối ngẫu người ta đã đưa ra các thuật toán giải một

số bài toán quan trọng trong kinh tế như “phương pháp thế vị” giải bài toán vận tải và phương pháp “ Điều chỉnh nhân tữ” giải bài toán sản xuất đồng bộ

a) Lập bài toán đối ngẫu

b) Giải bài toán đối ngẫu và suy ra kết quả của bài toán gốc

4 Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu Biết bài toán gốc có phương án tối ưu là x (0,7/2,1) và có dạng:

Có phương án tối ưu là X (15,0,12,0), f X ( )  30

Viết bài toán đối ngẫu và tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

6 Cho bài toán (P)

Kiểm tra tính tối ưu của phương án x  (5/2,7/2,0,0,5/2,0) của bài toán (P)

7 Cho bài toán gốc

a) Giải bài toán trên bằng phương pháp đơn hình

b) Viết bài toán đối ngẫu và tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI - BÀI TOÁN THẾ VỊ

 Giới thiệu

Bài toán vận tải là bài toán quan trọng nhất trong các bài toán quy hoạch tuyến tính Thuật ngữ bài toán vận tải thường được hiểu là bài toán vận chuyển sao cho cước phí nhỏ nhất

Trong chương này, sinh viên sẽ làm quen các nội dung sau: bài toán vận tải

cân bằng thu phát và các dạng đặt biệt khác (như không cân bằng thu phát, bài toán vận tải ô cấm, bài toán vận tải có hàm mục tiêu max) để từ đó đó ra

phương pháp giải phù hợp, cách đặt bài toán dưới dạng bảng, một số phương pháp giải bài toán vận tải

 Mục tiêu

- Về kiến thức:

+ Nhận biết dạng bài toán vận tải cân bằng thu phát và các dạng đặt biệt khác (như không cân bằng thu phát, bài toán vận tải ô cấm, bài toán vận tải

có hàm mục tiêu max) để từ đó đó ra phương pháp giải phù hợp

+ Hiểu được cách đặt bài toán dạng bảng

+ Hiểu được các phương pháp giải bài toán vận tải

- Về kỹ năng:

+ Biết cách đặt bài toán dưới dạng bảng

+ Thành thạo phương pháp chi phí bé nhất đề tìm phương án cơ bản ban đầu cho bài toán vận tải

+ Phân tích vững thuật toán “Quy 0 cước phí các ô chọn” và phương pháp thế vị để tìm phương án tối ưu cho bài toán vận tải

- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: Có thái độ nghiêm túc, tự giác học tập và chịu trách nhiệm với kết quả thực hiện

1 Bài toán vận tải cân bằng thu phát (bài toán cổ điển)

1.1 Thiết lập bài toán

Giả sử có m địa điểm A A1, , ,2 Am cung cấp một loại hàng hóa (xi măng, sắt, thép,…) với khối lƣợng lần lƣợt là a a1, , , 2 am Cùng lúc đó có n địa điểm tiêu thụ hàng hóa đó là B B1, , ,2 Bn với khối lƣợng yêu cầu lần lƣợt là

x b j n

  

 (4.1.3) (3) Yêu cầu trạm phát và trạm thu đƣợc thỏa

 

 ( 1, ) i  m (4.1.7)

m

ij j i

Một ma trận X    xij mxn thỏa (4.1.7), (4.1.8) và (4.1.9) gọi là một phương

án, thỏa thêm (4.1.6) gọi là phương án tối ưu

1.2 Đặt bài toán dưới dạng bảng

Bài toán vận tải là bài toán QHTT nên có thể dùng thuật toán đơn hình để giải Nhưng do tính chất đặc biệt của bài toán vận tải, nên ta có thể có một phương pháp giải đơn giản và hiệu quả hơn

Trước hết ta trình bày bài toán dưới dạng bảng:

+ Chi phí vận chuyển: cij được ghi ở góc bên trái của ô ( , ) i j

+ Lượng hàng hóa cần vận chuyển: xij được ghi ở góc bên phải của ô

( , ) i j

- Một ô được gọi là ô treo nếu nó là ô duy nhất trên dòng hay cột

- Những ô ứng với xij 0 trong Bảng vận tải được gọi là ô chọn Những ô còn lại được gọi là ô loại Ô chọn đặc trưng cho tuyến đường có vận tải

- Một dãy các ô chọn, trong đó 3 ô liên tiếp không nằm trong cùng 1 dòng

hay một cột được gọi là một dây chuyền

( , )( , )( , ) ( , )( , ) i j i j i j ik j i jk k k

(Số ô trong một dây chuyền là một số chẵn, không nhỏ hơn 4)

- Một dây chuyền khép kín được gọi là một vòng (lưu ý: tổng số ô trên

- Một phương án mà các ô chọn không tạo thành vòng gọi là P.A cơ bản

- Một phương án cơ bản có đủ m n   1 ô chọn gọi là P.A cơ bản không suy biến, nếu ít hơn m n   1 ô chọn gọi là P.A cơ bản suy biến

ab x

 Chú ý: Trường hợp P.A cơ bản suy biến, ta có thể bổ sung một số ô loại sao

cho P.A cơ bản có m n   1 ô chọn Các ô loại được bổ sung này gọi là các “ô chọn 0”

Ví dụ 2: Trong bảng dưới đây có tập F gồm m n       1 4 3 1 7 ô chọn không chứa vòng có đánh dấu “x”

Ô (4, 4) của bảng không thuộc F

Khi bổ sung ô (4, 4) vào F ta sẽ có vòng duy nhất: (1,3) (1,4) (4,4) (4,3)

2 Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải cân bằng thu phát

2.1 Lập phương án cơ bản ban đầu

Áp dụng phương pháp chi phí bé nhất cho trường hợp cân bằng thu phát

- Nếu xij ai thì trạm phát i đã phát hết hàng, xóa hàng i của bảng

và số lượng thu còn lại tại trạm thu j chỉ còn là b aj i;

- Nếu xij bj thì trạm thu j đã nhận đủ hàng, xóa cột j của bảng và

số lượng phát còn lại tại điểm phát i là a bi j

- Nếu xij  a bi j thì trạm phát i và trạm thu j đều phát và nhận đủ hàng, xóa hàng i và cột j của bảng

 Bước 4: Trong bảng còn lại với số hàng và số cột ít hơn, ta lại tiếp tục

phân phối như trên cho đến khi hết hàng

 Bước 5: Kiểm tra lại các ô chọn

- Nếu m n    1 “số ô chọn” là P.A C.B của bài toán

- Nếu m n    1 “số ô chọn” thì ta bổ sung thêm một số “ô chọn 0”

cho đủ m n   1 ô không tạo thành vòng

Ví dụ 3: Tìm phương án cơ bản ban đầu của bài toán vận tải với các số liệu sau

Ta đặt bài toán dưới dạng bảng:

Thứ tự phân phối như sau:

Ô (1,3) được phân vào 50 Hàng 1 bị xóa, cột 3 còn cần 10

Ô (2,2) được phân vào 20 cột 2 bị xóa, hàng 2 còn 20

Ô (2,1) được phân vào 20 Hàng 2 bị xóa, cột 1 còn cần 60

Ô (3,1) được phân vào 60 cột 1 bị xóa, hàng 3 còn 10

Ta thấy có 5 ô chọn và m n       1 3 3 1 “số ô chọn” nên chúng tạo thành

một phương án cơ bản không suy biến

Phương án cơ bản ban đầu là:

2.2 Thuật toán “Quy 0 cước phí các ô chọn”

Định lý: Nếu ta cộng vào hàng i và cột j của ma trận cước phí C    cij mxn một số tuỳ ý ri ( 1, ) i  m và sj ( j  1, ) n, ta sẽ có bài toán vận tải mới với ma trận cước phí

- Xác định được một phương án cơ bản ban đầu (xem mục 4.3.1)

- Với m n   1 ô chọn, ta cộng vào hàng i và cột j của ma trận cước

phí C    cij mxn một số tuỳ ý ri ( 1, ) i  m và sj ( j  1, ) n sao cho ma trận cước

phí mới C’ thỏa '

ij 0

c  (tức r s ci  j ij 0)

 Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu

1 Sau khi quy 0 cước phí các ô chọn, nếu các ô loại đều có cước phí

0

 thì phương án đang xét là tối ưu

2 Sau khi quy 0 cước phí các ô chọn, nếu có ít nhất một ô loại có

cước phí < 0 thì phương án đang xét không phải tối ưu Ta chuyển sang

bước 3

 Bước 3: Xây dựng phương án mới tốt hơn

1 Chọn ô đưa vào: Ô đưa vào là ô (i*,j*) có cước phí âm nhỏ nhất

2 Tìm vòng điều chỉnh: Bổ sung (i*,j*) vào m n   1 ô chọn ban

đầu sẽ xuất hiện vòng duy nhất, gọi là vòng điều chỉnh V

3 Phân ô chẵn lẻ của vòng điều chỉnh V: Ta đánh số thứ tự các ô

của vòng V bắt đầu từ ô (i*,j*) Khi đó, V phân thành hai lớp:

V C : các ô có số thứ tự chẵn

V L: các ô có số thứ tự lẻ

4 Chọn ô đưa ra và lượng điều chỉnh:

- Tính giá trị nhỏ nhất trong 2 ô chẵn : min( , ) c c21 33

- Ô nào có phân ít hàng nhất làm ô đưa ra, còn lượng hàng

ở ô này là lượng điều chỉnh

5 Lập phương án mới: Phương án mới được tính như sau:

- Ô có thứ tự chẵn được bớt đi lượng điều chỉnh

- Ô có thứ tự lẻ được cộng thêm lượng điều chỉnh

- Ô ngoài vòng điều chỉnh không thay đổi

Ví dụ 4: Giải bài toán vận tải được cho trong ví dụ trên

Cho r2 0, giải hệ (I) ta được kết quả trong bảng trên

 Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu

Phương án chưa tối ưu vì còn ô loại (2, 3) có cước phí   1 0 Ta chuyển sang bước 3

 Bước 3: Xây dựng phương án mới tốt hơn

1 Chọn ô đưa vào: Ô loại (2, 3) là ô được đưa vào

70

Phương án chưa tối ưu vì còn ô loại (2, 3) có cước phí   1 0 Ta quay về bước

n

ij i j

Theo định lý đối ngẫu thứ 2 ta có dấu hiệu tối ưu:

Điều kiện cần và đủ để X  { } xij tối ưu là tồn tại một hệ thống {u , }i vj

( 1, ; i  m j  1, ) n thỏa mãn các điều kiện sau:

a) u v ci j ij nếu xij 0 (4.2.10) b) u v ci j ij với mọi i, j (4.2.11) (Các u vi, j gọi là thế vị của dòng i và cột j)

 Thuật toán

 Bước 1: Xây dựng phương bán cơ bản cho bài toán vận tải

- Lập bảng vận tải

- Kiểm tra điều kiện cân bằng thu-phát

- Xác định P.A.C.B (bằng phương pháp chi phí bé nhất)

- Kiểm tra lại có đúng m n   1 ô chọn, rồi chuyển qua bước 2

 Bước 3: Kiểm tra tính tối ưu

Tính    ij v u cj i ij cho các ô loại (dương thì ghi rõ số, âm thì ghi dấu (-)), các ô chọn thì   0

+ Nếu  ij 0  ( , ) i j thì phương án tối ưu

+ Nếu tồn tại  ij 0 thì chưa tối ưu chuyển sang bước 4

 Bước 4: Điều chỉnh phương án để tìm phương án mới tốt hơn

1.Chọn ô đưa vào: Ô loại có cước phí dương ( ij 0) lớn nhất

2 Xác định vòng điều chỉnh

3 Phân ô chẵn lẻ

4 Tìm ô đưa ra và lượng điều chỉnh

5 Lập phương án mới tốt hơn

Các việc 2, 3, 4, 5 làm tương tự như ở thuật toán “Quy 0 cước phí ô chọn”

Sau khi có phương án mới, quay về bước 1 và cứ tiếp tục cho đến khi tìm được phương án tối ưu

 Nhận xét: Thuật toán này dựa trên khái niệm bài toán đối ngẫu và định lý độ

lệch bù yếu khá trừu tượng đối với các bạn không nắm chắc cơ sở toán Về tiến

trình tính toán thì không gọn nhẹ bằng thuật toán “Quy 0 cước phí các ô chọn”

vì các ij tính ở bước này không được dùng ở bước sau Còn ở thuật toán trước

12

75

23 (-)

34 (-)

0

175 24

70

19 (+8)

22 (0)

16

70

27 (-)

12

75

23 (-)

34 (-)

16

85

27 (-) Kết thúc bảng 2, có   ij 0 ( ij) nên phương án tối ưu là

1 4 2 2

3 4 2 4 ( )

3 Bài toán vận tải có ô cấm

Trong thực tế có một số tuyến đường không thể vận chuyển hàng hóa qua được: cầu, phà, đường sá bị hư hỏng, hoặc không có phương tiện vận tải thích hợp, kế hoạch vận tải phải đảm bảo cho một trạm phát nào đó phát hết hàng hoặc trạm thu nào đó phải thu đủ hàng khi không cân bằng thu phát,…Các ô ứng với các tuyến đường này gọi là các “ô cấm”

 Cách giải

Ta lập bài toán mở rộng (VTM) bằng cách thay cij ở các ô cấm bằng

0

M  rất lớn, dùng phương pháp thế vị để giải bài toán này Có hai trường hợp:

* Nếu trong P.A.T.Ư của (VTM) có tất cả cá thành phần ứng với ô cấm đều bằng 0 Khi đó, bài toán xuất phát có P.A.T.Ư

* Nếu trong P.A.T.Ư của (VTM) có tất cả cá thành phần ứng với ô cấm khác 0 Khi đó, bài toán xuất phát không có P.A và do đó cũng không có P.A.T.Ư

Ví dụ 6: Giải bài toán vận tải với các số liệu sau đây:

9

Giải bài toán vận tải với các số liệu sau đây:

ij

5 4 6

8 5 9 ( )

Với điều kiện A3 và A4 phải bán hết hàng

4 Bài toán vận tải không cân bằng thu phát

 Chú ý: Khi tìm phương án cơ bản ban đầu, thì phân phối vào các ô chính

trước Các ô trên hàng hoặc cột ứng với các điểm thu và phát giả khi nào còn thừa hàng thì mới phân vào

Ví dụ 7: Giải bài toán vận tải cho bởi bảng dưới đây:

Kiểm tra điều kiện cân bằng thu-phát

Ta thêm trạm thu giả B4 với lƣợng hàng b4   160 120 40

Các ô nằm trên dòng của trạm thu giả có cij  0

5 Bài toán vận tải dạng bất đẳng thức

5.2 Điều kiện tối ưu

Điều kiện cần và đủ để bài toán (1) có phương án tối ưu là