Giáo trình Toán kinh tế (Nghề: Kế toán - Cao đẳng): Phần 1 - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp

Giáo trình Toán kinh tế cung cấp cho người học những kiến thức như: Một số khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính; Bài toán quy hoạch tuyến tính; Phương pháp đơn hình; Bài toán đối ngẫu; Bài toán vận tải - Bài toán thế vị. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 giáo trình!

UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH ĐỒNG THÁP

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP

GIÁO TRÌNH

MÔN HỌC/MÔ ĐUN: TOÁN KINH TẾ NGÀNH, NGHỀ: KẾ TOÁN, QUẢN TRỊ KINH DOANH TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG

(Ban hành kèm theo Quyết định Số:…./QĐ-CĐCĐ-ĐT ngày… tháng… năm

2021 của Hiệu trưởng Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp)

Đồng Tháp, năm 2021

TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN

Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thông tin có thể đƣợc phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo

Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm

LỜI GIỚI THIỆU

Toán kinh tế (Quy hoạch tuyến tính) là một bộ phận cơ bản và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn của Tối ưu hóa, được áp dụng trong kinh tế và nhiều ngành khoa học khác cả lý thuyết lẫn thực hành, nhằm tối ưu hóa kết quả đạt được Kiến thức về quy hoạch tuyến tính rất cần cho sinh viên ở bậc đại học, cao đẳng nói chung và khối ngành kinh tế nói riêng Với mong muốn có một tài liệu học tập phù hợp với đối tượng sinh viên hệ cao đẳng ngành kế toán và quản trị kinh doanh, nhóm tác giả biên soạn giáo trình toán kinh tế trên cơ sở bài giảng dùng chung đã giảng dạy nhiều năm và bổ sung thêm những bài tập ứng dụng phù hợp với lĩnh vực kinh tế Mục tiêu cụ thể của môn học là:

 Cung cấp cho sinh viên về một số dạng toán QHTT, cách xây dựng mô hình toán học cho một số bài toán thực tế - những hiện tượng kinh tế rất thường gặp sản xuất kinh doanh và các cách đưa bài toán QHTT tổng quát về dạng chính tắc Trên cơ sở đó để tìm ra các phương pháp giải tối ưu nhất

 Cung cấp cho sinh viên về cơ sở lý luận dẫn đến bảng đơn hình, từ đó

có thể giúp sinh viên giải quyết các bài toán để tìm được tính tối ưu của từng bài toán cho phù hợp

 Giới thiệu cho sinh viên về bài toán đối ngẫu, ý nghĩa kinh tế của bài toán đối ngẫu, sự cần thiết phải đưa về bài toán đối ngẫu

 Giới thiệu cho sinh viên về bài toán vận tải, ý nghĩa kinh tế của bài toán vận tải Các phương pháp giải các bài toán vận tải tổng quát và các bài toán vận tải đặc biệt

Cấu trúc của giáo trình toán kinh tế được biên soạn theo đề cương môn học đã được hội đồng khoa học trường thông qua với các chương:

Chương 0 Một số khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính

Chương 1 Bài toán quy hoạch tuyến tính

Chương 2 Phương pháp đơn hình

Chương 3 Bài toán đối ngẫu

Chương 4 Bài toán vận tải - Bài toán thế vị

Chân thành cảm ơn ban lãnh đạo trường Cao đẳng Cộng Đồng Đồng Tháp tạo điều kiện để có những cuốn giáo trình đến với sinh viên, cảm ơn những đồng nghiệp, các em sinh viên đã có những đóng góp để nội dung giáo trình hoàn thiện hơn Trong quá trình biên soạn giáo trình sẽ không tránh khỏi những sai sót nhỏ Rất mong nhận được sự góp ý từ quý đồng nghiệp và các bạn sinh viên

Đồng Tháp, ngày… tháng 5 năm 2021 Chủ biên/Tham gia biên soạn

Nguyễn Thành Tâm

MỤC LỤC

LỜI GIỚI THIỆU II

CHƯƠNG 0: MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1

1 MA TRẬN 2

1.1 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 2

1.1.1 Các định nghĩa 2

1.1.2 Các phép toán trên ma trận 6

1.2 ĐỊNH THỨC 8

1.2.1 Định thức cấp 2, 3 8

1.2.2 Định thức cấp n (khai triển theo một dòng hay theo một cột) 9

1.3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 11

1.4 HẠNG CỦA MA TRẬN 11

1.4.1 Định nghĩa 11

1.4.2 Cách tính hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp 12

2 VECTƠ 13

2.1 VECTƠ 13

2.2 KHONG GIAN VECTƠ 13

2.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TINH - PHỤ THUỘC TUYẾN TINH 14

BÀI TẬP CHƯƠNG 0 17

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 18

1 MỘT SỐ VÍ DỤ DẪN ĐẾN BÀI TOÁN QHTT 19

2 PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN 23

2.1 DẠNG TỔNG QUÁT 24

2.2 DẠNG CHÍNH TẮC 25

2.3 DẠNG CHUẨN 25

3 BIẾN ĐỔI DẠNG BÀI TOÁN 27

3.1 ĐƯA MỘT BÀI TOÁN DẠNG TỔNG QUÁT VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 27

3.2 KHÁI NIỆM TẬP HỢP LỒI, ĐIỂM CỰC BIÊN, PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN 28

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 31

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 35

1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 36

2 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH VỚI VECTƠ ĐƠN VỊ CÓ SẴN 37

f x 

2.2 TRƯỜNG HỢP f x ( )  m ax 39

3 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH VỚI VEC TƠ ĐƠN VỊ KHÔNG CÓ SẴN (BÀI TOÁN MỞ RỘNG) 44

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 51

CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 54

1 KHÁI NIỆM 55

1.1 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN DẠNG CHÍNH TẮC 55

1.2 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN DẠNG TỔNG QUÁT 56

2 QUAN HỆ GIỮA BÀI TOÁN GỐC VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 57

2.1 CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU 57

2.2 TÌM P.A.T.Ư CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU QUA P.A.T.Ư CỦA BÀI TOÁN GỐC 58 3 Ý NGHĨA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 61

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 63

CHƯƠNG 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI - BÀI TOÁN THẾ VỊ 65

1 BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT (BÀI TOÁN CỔ ĐIỂN) 66 1.1 THIẾT LẬP BÀI TOÁN 66

1.2 ĐẶT BÀI TOÁN DƯỚI DẠNG BẢNG 67

1.3 CÁC TÍNH CHẤT 68

1.3.1 Tính chất 1 68

1.3.2 Tính chất 2 69

1.3.3 Tính chất 3 69

2 THUẬT TOÁN THẾ VỊ GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT 69

2.1 LẬP PHƯƠNG ÁN CƠ BẢN BAN ĐẦU 69

2.2 THUẬT TOÁN “QUY 0 CƯỚC PHÍ CÁC Ô CHỌN” 71

2.3 PHƯƠNG PHÁP THẾ VỊ 74

3 BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ Ô CẤM 78

4 BÀI TOÁN VẬN TẢI KHÔNG CÂN BẰNG THU PHÁT 80

5 BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC 82

5.2 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU 82

5.3 CÁCH GIẢI 82

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 88

GIÁO TRÌNH MÔN HỌC/MÔ ĐUN Tên môn học/mô đun: TOÁN KINH TẾ

Mã môn học/mô đun: MH33 KX6340301.

Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trò của môn học/mô đun:

- Vị trí: Là môn học tự chọn thuộc ngành học cao đẳng Kế toán, Quản trị kinh doanh Môn học được phân bố từ đầu khóa học

- Tính chất: Nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về toán kinh tế (quy hoạch tuyến tính) để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở

& chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho sinh viên khả năng tư duy logic, khả năng tính toán, định lượng

- Ý nghĩa và vai trò của môn học/mô đun: môn học Toán kinh tế (quy hoạch tuyến tính) là môn học nhằm vận dụng toán học trong phân tích các mô hình kinh tế, lập ra mô hình một số bài toán kinh tế và tìm ra phương pháp tối ưu

để đưa ra những phân tích, những quyết định Toán kinh tế cung cấp cho các Nhà Quản lý các kiến thức để họ có thể vận dụng vào việc ra các quyết định sản xuất Môn học có vai trò quan trọng trong lĩnh vực kinh tế về các vấn đề tìm phương án tối ưu

Mục tiêu của môn học/mô đun:

- Về kiến thức:

+ Môn học trang bị một số kiến thức về cơ sở lý thuyết, các bài toán cơ bản và các phương pháp giải bài toán trong quy hoạch tuyến tính: Khái niệm và cách thiết lập bài toán quy hoạch tuyến tính, phương án, phương án cực biên, phương án tối ưu của một bài toán quy hoạch tuyến tính;

+ Hướng dẫn giải các dạng bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phương pháp đơn hình hoặc đơn hình mở rộng; Bài toán đối ngẫu và cách giải; Bài toán vận tải và ứng dụng

- Về kỹ năng:

+ Hiểu và vận dụng được các phương pháp giải quy hoạch tuyến tính, giúp người học có kỹ năng xây dựng mô hình toán cho các bài toán thực tế như: bài toán vốn đầu tư, bài toán lập kế hoạch sản xuất, bài toán vận tải

+ Vận dụng các phương pháp, kết quả cơ bản của lý thuyết đã được trang bị để giải các bài tập, sử dụng tốt các kiến thức về tối ưu hóa tuyến tính đã được trang bị để học các môn học khác, trong nghiên cứu khoa học và trong công việc sau này

+ Có ý thức nghiêm túc đúng đắn và khoa học về bản chất của các vấn đề toán học và vận dụng vào lĩnh vực chuyên môn

+ Có ý thức tích cực, chủ động trong quá trình học tập

+ Tự chịu trách nhiệm với các kết quả bài tập mình thực hiện

Nội dung của môn học/mô đun:

Thảo luận, bài tập

6 Chương 4: Bài toán vận tải Bài toán

thế vị

CHƯƠNG 0: MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

 Giới thiệu

Chương này nhằm củng cố các kiến thức về đại số tuyến tính cho sinh viên để có thể vận dụng tốt và linh hoạt vào các chương sau Giới thiệu các kiến thức cơ bản về ma trận và các phép toán của ma trận, khái niệm và phương pháp tính định thức của một ma trận, hạng của ma trận, áp dụng giải các hệ phương

trình tuyến tính, cấu trúc không gian vectơ V, khái niệm một hệ độc lập độc lập

tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

+ Thành thạo kỹ năng “phép biến đổi sơ cấp trên ma trận”, từ đó rút

ra phương pháp tìm hạng của ma trận bất kỳ

+ Làm được các bài tập tương tự

- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: Có thái độ nghiêm túc, tự giác học tập và chịu trách nhiệm với kết quả thực hiện

j j j

mj

a a A

:

a a

a a

(0.1.5)

e) Ma trận tam giác và ma trận chéo

Ma trận vuông là ma trận tam giác, nếu các phần tử ở một phía đường chéo bằng 0

* Ma trận A  ( ) aij n được gọi là ma trận tam giác trên nếu

(0.1.10) b) Phép hiệu hai ma trận

Hiệu hai ma trận A  ( ) aij m n , B  ( ) bij m n là ma trận C  ( ) cij m n có các phần tử tính bằng công thức:

Ví dụ 11: Một người có hai cửa dòng bán dòng tin học Số lượng dòng hóa bán

ra trong tháng thứ nhất và tháng thứ hai cho bởi hai ma trận A và B Tìm lượng dòng hóa bán trong cả hai tháng của người đó



 Chú ý: Tích AB xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận A bằng số dòng

Khái niệm định thức chỉ áp dụng cho ma trận vuông Định thức của ma trận

A là một số, kí hiệu là det(A) hay A

a a

A  a a  a a  a a

+ Định thức cấp 3 là tổng đầu gồm 3 tích số lấy theo đường chéo chính và

2 đường song song với nó nhân với phần tử đối diện Tổng sau cùng cũng gồm 3 tích số nhưng lấy theo đường chéo còn lại và 2 đường song song với nó nhân với phần tử đối diện

Định lý Laplace: Định thức của ma trận A cấp n là:

(0.1.18)

Trong đó:  Mij là ma trận vuông nhận từ A bằng cách bỏ đi dòng i, cột j

 Đặt Aij   ( 1)i j det( Mij), ta gọi là phần bù đại số của phần tử aij

Khi đó, ta có công thức khai triển định thức A theo dòng thứ i:

n i j

ij ij j



(khai triển theo dòng 1)

 Nhận xét: Do giá trị định thức không đổi dù ta khai triển theo dòng (cột) bất

kỳ nên khi thực hành ta chọn những dòng (cột) có nhiều số 0 nhất rồi khai triển theo dòng (cột) đó

1.3 Ma trận nghịch đảo

* Định nghĩa Ma trận vuông A cấp n đƣợc gọi là ma trận không suy

biến khi và chỉ khi A  0

* Định nghĩa Cho ma trận vuông A cấp n Nếu tồn tại ma trận vuông B

cấp n sao cho AB BA I   n thì B đƣợc gọi là nghịch đảo của A (hoặc A khả

A Ma trận nghịch đảo là    - 3 1  

2 - 7

B

Vì   3 7  

2 1

2 - 7

=  0 1  

0 1

và   - 3 1  

2 - 7

2 1

=  0 1  

0 1

2 -4 3

x

1.4.2 Cách tính hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp

Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận

Để tính hạng của ma trận A ta thường dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa

Biến đổi sơ cấp

i) Đổi chỗ hai hàng cho nhau (hi hj) ii) Nhân một hàng với một số k  0

iii) Cộng một hàng với k lần hàng khác( hi k hj)

2 2 1

3 3 1

3 2

m

y y y y

Ta gọi V cùng với hai phép toán trên được gọi là một không gian vectơ

(hay không gian tuyến tính) nếu 8 tiên đề sau được thỏa mãn  u v , ,w  V và

Mỗi phần tử của một không gian vectơ được gọi là một vectơ

Ta còn viết u     ( ) v u v và gọi là hiệu của u và v

Phép toán u + v gọi là phép cộng vectơ

Phép toán k.u gọi là phép nhân vectơ với một vô hướng, hay đơn giản là

phép nhân với vô hướng

Ví dụ 18: Rn  ( x1, x2 , xn) xi R , i  1 , , n  ta trang bị hai phép toán:

- Phép cộng: ( x1, x2, , xn)  ( y1, y2, , yn)  ( x1 y1, x2 y2, , xn yn)

- Phép nhân: k ( x1, x2, , xn)  ( kx1, kx2, , kxn), k  R

là một không gian vectơ

2.3 Độc lập tuyến tính - phụ thuộc tuyến tính

* Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của một hệ véctơ

Giả sử S   u u1, , ,2 un là một hệ (hay một tập) của không gian vectơ V

Vectơ

1, , 1, ,

n

i i i i

Hệ vectơ S   u u1, , ,2 un của không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu có các số k k1, , ,2 kn không đồng thời bằng 0 sao cho

1 1 2 2 n n

ku k u    k u  

Hệ vectơ S   u u1, , ,2 un được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ

thuộc tuyến tính, tức là nếu ku k u1 1 2 2  k un n  thì suy ra k1 k2  kn 0

Ví dụ 19: Trong 3, hệ vectơ  e e e1, ,2 3 với e1 (1,0,0), e2 (0,1,0), e3 (0,0,1) là một hệ độc lập tuyến tính

Thật vậy: Giả sử có: ke k e k e1 1 2 2 3 3 

0

) 0 , 0 , 0 ( ) , , (

) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 0 , 1 (

3 2 1

3 2 1

3 2

k k k

k k

) 0 , , 1 , 0 (

) 0 , , 0 , 1 (

2 1

là hệ độc lập tuyến tính

Ví dụ 20: Hệ {u 1 ,u 2 ,u 3 } với u 1 = (1,1,1), u 2 = (1,1,0), u 3 = (2,2,1) là phụ thuộc tuyến tính Vì u 1 + u 2 - u 3 = (1,1,1) + (1,1,0) - (2,2,1) = (0,0,0) = 

Nhận xét: Từ định nghĩa trên, suy ra:

Xét phương trình: xu x u1 1 2 2  x un n , với xi là các ẩn số thực Phương trình này luôn có nghiệm không x1 0, x2 0, , xn 0 Nếu nghiệm đó

là duy nhất thì hệ vectơ  u u1, , ,2 un là độc lập tuyến tính Còn nếu phương trình

có nghiệm khác nghiệm không thì hệ vectơ  u u1, , ,2 un là phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 21: Xét xem hệ vectơ u1 (1; 3; 2), u2 (1; 5; 3), = (2; 7; 5) u3 là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

 Giới thiệu

Tư tưởng tối ưu hóa có từ rất lâu và con người luôn phải suy nghĩ tìm các

giải pháp thực hiện các công việc sao cho có lợi nhất theo những mục đích xác

định Những yêu cầu cấp bách của sự phát triển nền kinh tế và quốc phòng làm nảy sinh ra nhiều ý tưởng về bài toán tối ưu Do đó đã xuất hiện một dạng bài

toán cần phải giải quyết, đó là bài toán tìm phương án tối ưu

Để giải quyết hiệu quả bài toán tối ưu, trước hết sinh viên cần phải: Thành thạo việc xây dựng mô hình toán học cho một bài toán đó, trên đó thể hiện được bản chất của mỗi đối tượng được khảo sát, các mối liên quan giữa chúng và cần chỉ rõ mục tiêu mong muốn đạt được

 Mục tiêu

- Về kiến thức:

+ Hiểu được thế nào là một bài toán quy hoạch tuyến tính

+ Hiểu được các bước lập thành một bài toán QHTT

+ Phân biệt được sự khác nhau giữa bài toán QHTT dạng tổng quát, dạng chính tắc và dạng chuẩn

+ Hiểu rõ khái niệm phương án cực biên và biết cách xét một phương án có phải là phương án cực biên không?

- Về kỹ năng:

+ Xây dựng được mô hình toán học cho một bài toán đố, trên đó thể hiện được bản chất của mỗi đối tượng được khảo sát, các mối liên quan giữa chúng và cần chỉ rõ mục tiêu mong muốn đạt được

+ Thành thạo các biến đổi để đưa một bài toán QHTT tổng quát về dạng chính tắc

- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: Có thái độ nghiêm túc, tự giác học tập và chịu trách nhiệm với kết quả thực hiện

1 Một số ví dụ dẫn đến bài toán QHTT

Ví dụ 1: (Bài toán lập kế hoạch sản xuất khi biết trước nguyên vật liệu)

Một xí nghiệp dùng 3 loại nguyên liệu N1; N2; N3 để sản xuất ra một loại sản phẩm theo ba theo ba phương pháp khác nhau: PP1, PP2, PP3 Định mức nguyên liệu và số lượng sản phẩm sản xuất ra trong một giờ theo các phương pháp cho ở bảng sau:

Nguyên liệu

Số lượng hiện có (đv)

Định mức tiêu hao trong một

Dĩ nhiên ta phải có x x x1, ,2 3 không âm

Vậy mô hình của bài toán kinh tế được phát biểu như sau:

Tìm các biến x x x1, ,2 3 sao cho

Hãy lập kế hoạch sản xuất trên cơ sở các yếu tố sản xuất hiện có sao cho tổng giá trị sản phẩm lớn nhất

Gọi xj là số sản phẩm j được sản xuất Điều kiện xj  0

( )

f x là tổng doanh thu ứng với kế hoạch sản xuất x (x ,x , ,x )  1 2 n

Khi đó có mô hình toán học là:

Ví dụ 2: (Bài toán khẩu phần)

Có hai loại thức ăn I và II dùng trong chăn nuôi Để nuôi một loại gia súc

trong 1 ngày đêm cần có khối lượng tối thiểu các chất dinh dưỡng chất béo,

đạm, chất khoáng tương ứng là 130, 90, 10 gram Tỷ lệ phần trăm theo khối lượng các chất trên có trong các loại thức ăn I và II như sau:

Cho biết giá 1 kg thức ăn I và II tương ứng là 4000 và 7000 đồng

Hãy lập mô hình bài toán, xác định khối lượng thức ăn cần mua sao cho

chi phí nuôi gia súc là thấp nhất

Giải

Gọi x x1, 2là số gram thức ăn I, II cần mua

Ta có mô hình của bài toán như sau:

Hãy xác định khẩu phần thức ăn cho gia súc sao cho chi phí thấp nhất đồng thời đảm bảo các chất dinh dưỡng cho gia súc

Gọi xj là lượng thức ăn j có trong khẩu phần Điều kiện xj  0

Ví dụ 3: (Bài toán vận tải)

Giả sử có 2 kho hàng chứa 30 tấn và 40 tấn hàng Có 3 cửa hàng có khả năng tiếp nhận 20 tấn, 25 tấn và 35 tấn Cước phí vận chuyển (ngàn đồng/tấn) từ

kho đến các cửa hàng như sau:

CH Kho C1: 20 C2: 25 C3: 35

Hãy lập mô hình bài toán vận chuyển thỏa hai yêu cầu: chi phí vận chuyển ít tiền nhất và giải tỏa kho

Gọi x x x1, ,2 3 lượng hàng từ kho K1 về các cửa hàng C1, C2, C3

Gọi x x x4, ,5 6 lượng hàng từ kho K2 về các cửa hàng C1, C2, C3

Ta có mô hình của bài toán như sau:

Gọi xij là số hàng chuyển từ kho i đến cửa hàng j Điều kiện xij 0

f(x) là tổng chi phí cho kế hoạch vận chuyển x

Khi đó có mô hình toán học là:

ij j

i 1 ij

 Phương pháp lập mô hỉnh toán học

Để lập mô hình toán học của một bài toán thực tế, ta phân tích bài toán đó theo ba bước sau:

 Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn