CHƯƠNG 4 BÀI TOÁN VẬN TẢI
V. Phương pháp thế vị giải baì toán vận tải
2. Thuật toán của phương pháp thế vị
Dựa trên tiêu chuẩn tối ưu, ta xây dựng thuật toán giải bài toán vận tải, thực hiện một cách đơn giản ngay trên bảng mô tả bài toán. Giống như trong phương pháp đơn hình, ở đây cũng xuất phát từ một phương án cực biên, đánh giá nó và tìm cách chuyển sang một phương án cực biên khác tốt hơn. Quá trình lặp lại và vì bài toán luôn giải được nên sau một số hữu hạn bước sẽ đi tới phương án cực biên tối ưu với giả thiết bài toán không suy biến. Toàn bộ quá trình tính toán được thực hiện theo trình tự sau :
Bước 1: Xây dựng phương án cực biên
Sử dụng một trong những phương pháp xây dựng phương án cực biên đã biết, thí dụ phương pháp chi phí nhỏ nhất, xây dựng phương án cực biên x với đủ m +n-1 ô cơ sở, kí hiệu tập ô này là S . Sau đó chuyển bước 2
Bước 2: Xây dựng hệ thống thế vị {u ,v }
Quá trình xây dựng hệ thống thế vị được thực hiện như sau:
Lấy một hàng i bất kì, cho nó một thế vị u tùy ý (thường cho bằng 0 để dễ tính).
Các thế vị hàng và cột còn lại xác định theo công thức:
v = u + c ,u đã biết và (i,j) (5) u = v - c , v đã biết và (i,j) S (6)
Vì S gồm m + n - 1 ô không tạo vòng nên nhờ hai công thức trên sẽ tính được m + n - 1 thế vị khác nhau, cung với thế vị u cho trước ta được toàn bộ thế vị hàng và cột. Sau đó chuyển sang bước 3.
Bước 3: Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu
Theo cách xây dựng, hệ thống thế vị {u ,v } thõa mãn điều kiện b) đối với các ô cơ sở (i,j) S do đó chỉ cần kiểm tra điều kiện a) đối với các ô phi cơ sở (i,j) S mà v u >c , nghĩa là không thõa mãn tiêu chuẩn tối ưu thì hiển nhiên phương án x chưa tối ưu. Ta sẽ gọi những ô này là ô vi phạm. Tính đại lượng
= v - u - c đối với các ô vi phạm, rõ ràng >0. Chuyển sang bước 4.
Bước 4: Điều chỉnh phương án
Giả sử Max = ( ). Ô (r, k) được lấy làm ô điều chỉnh, tất nhiên ô (r,k) . Vì S là số ô tối đa không tạo thành vòng nên ô (r,k) sẽ tạo thành một vòng duy nhất với một số ô thuộc S . Tìm vòng này kí hiệu là V, trê vòng đánh dấu chẵn, lẻ xen kẽ bắt đầu từ ô (r,k) là ô lẻ, kí iệu V ,V , tập hợp ô lẻ, chẵn trên V.
Tìm Min x với (i,j) V .Giả sử Min x =x = q Rõ ràng q 0 và q gọi là lượng điều chỉnh (i,j) V Thực hiện phép biến đổi số trên vòng V theo công thức:
x (7)
Như vậy, sau khi điều chỉnh, ô điều chỉnh (r,k) sẽ thành ô cơ sở còn ô (s,t) ứng với q sẽ trở thành ô phi cơ sở của phương án cực biên mới x . Phương án này tốn
bước 2, quá trình lặp lại sau một số hữu hạn bước sẽ tìm được phương án cực biên tối ưu.
Khi áp dụng bài toán thế vị ta cần chú ý một số điểm
+ Khi có nhiều ô có thể được chọn là ô điều chỉnh thì ta tùy chon một trong số những ô này.
+ Trường hợp bài toán suy biến: Trường hợp suy biến thì q có thể bằng 0.
Khi q = 0 vẫn có thể thực hiện thuật toán bình thường, nghĩa là ô điều chỉnh sẽ trở thành ô cơ sở với tư cách là ô bổ sung, còn ô ứng với q sẽ trở thành ô phi cơ sở.
Tuy nhiên, kết quả điều chỉnh không làm thay đổi phương án cực biên mà chỉ chuyển từ tập ô cơ sở này sang một tập ô cơ sở khác. Dấu hiệu xuất hiện phương án cực biên suy biến là trong quá trình điều chỉnh q đạt tại nhiều ô khác nhau, những ô này đều có thể loại khỏi tập ô cơ sở.Nhưng theo thuật toán khi đó ta sẽ chỉ loại một trong những ô ứng với q theo quy tắc ngẫu nhiên, những ô còn lại ứng với q vẫn nằm trong tập ô cơ sở với tư cách là các ô bổ sung.
+ Nếu phương án cực biên tối ưu x có v -u <c với mọi ô phi cơ sở thì x là phương án tối ưu duy nhất, trái lại x tối ưu không duy nhất.
Ví dụ 2:
Bằng phương pháp thế vị, giải bài toán vận tải với các số liệu cho dưới đây:
Thu Phát
76 62 88 45 40 179 10 19 9 6 8 102 13 11 8 7 4 70 12 17 10 5 3 60 12 18 18 7 9
- Kẻ bảng gồm 4 hàng, 5 cột ghi các số liệu có từ bảng 7, dùng phương pháp nhỏ nhất xây dựng phương án cực biên xuất phát, đó là phương án cực biên không suy biến, tập ô được phân phối chính là tập ô cơ sở, ta được bảng 8 tương ứng:
76 62 88 45 40 79 10
[64]
19 9 6
[15]
8
102 13 11
[14]
8
[88]
7 4
70 12 17 10 5
[30]
3
[40]
60 12
[12]
18
[48]
18 7 9
Cho u = 0, lần lượt tính được các thế vị hàng và cột khác theo (5) và (6). Các thế vị hàng và cột được ghi vào bên trái mỗi hàng và phía trên mỗi cột. Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu đối với các ô phi cơ sở. Đối với các ô vi phạm tính
=v -u -c >0 và ghi nó vào ô tương ứng với dấu cộng phía trước, cụ thể là
=+4, =+2, =+1
Max = =+4, ô (1,3) được lấy làm ô điều chỉnh > 0
Tìm vòng tạo bởi ô (1,3) với các ô cơ sở, đồng thời đánh dấu * cho các ô lẻ, dấu (*) cho các ô chẵn trên vòng, kết quả trên bảng 9
Bảng 9
12 18 15 8 6 Thu 76 62 88 45 40
79 10(*)
[64] 19 9*
+4 6
[15] 8
102 13 11*
[14] 8(*)
[88] 7 4
70 12 17 10
+2 5
[30] 3
[40]
60 12*
[12] 18(*)
[48] 18 7
+1 9 Xác định q = Min {88, 48,64} = 48; ứng với ô (4,2)
Thực hiện phép biến đổi (7) đối với các ô vòng, nghĩa là tăng q cho ô lẻ và giảm q ở ô chẵn.
Bảng 10.
12 14 11 8 6
2 3 3 0
Thu
Phát 76 62 88 45 40 79 10*
[16] 19 9
+4 6(*)
[15] 8
102 13 11
[62] 8
[40] 7 4
70 12 17 10 5
[30] 3
[40]
60 12(*)
[60] 18 18 7*
+1 9 q = Min {15;60} = 15 ứng với ô(1,4)
Tiếp tục thuật toán với bảng 10, sau khi điều chỉnh ta được phương án ghi trong bảng 11
.
Thu Phát
76 62 88 45 40
2 79 10
[31]
19 9
[48]
6 8
[62] [40]
2 70 12 17 10 5
[30]
3 [40]
0 60 12
[45]
18 18 7
[15]
9
Sau khi xây dựng hệ thống thế vị và kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu ta thấy:
v - u c
Phương án tương ứng là tối ưu (duy nhất). Dễ dàng tính được trị tối ưu của hàm mục tiêu:
f(x )= 10.31+9.48+11.62+8.40+5.30+3.40+12.45+7.15 = 2659
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
1.Chứng minh rằng nếu thực hiện phép biến đổi c’ = c + d ( )
thì lời giải của bài toán vận tải không đổi.
minh rằng:
u + v - c =
trong đó c – chỉ ô chẵn, l – chỉ ô lẻ trên vòng tạo bởi ô(i,j) với các ô chọn, còn (i,j) là ô lẻ.
3. Viết bài toán đối ngẫu của bài toán vận tải không cân bằng thu phát trong hai trường hợp. Phát biểu tiêu chuẩn tối ưu đối với mỗi phương án tương ứng.
4. Cho bài toán vận tải
140 70 50 100 90 15 15 10 12
50 18 16 13 14 60 11 9 9 8 110 20 22 12 14 a) Viết dạng toán học của bài toán
b) Tìm phương án tối ưu.
c) Phương án tối ưu tìm được có duy nhất không? Vì sao?
Đáp số: b). f(min) = 4050
c) Phương án tối ưu duy nhất mặc dù có = 0 5. Cho bài toán vận tải
T
F 40 110 50 70 40
60 4 2 7 13 5 80 5 6 14 12 16
75 2 5 10 9 7 95 7 11 8 14 11
a). Tìm phương án tối ưu.
b). Chứng minh rằng bài toán có vô số phương án tối ưu. Tìm một phương án tối ưu không cực biên.
Đáp số: a). f(min) = 2085 6. Cho bài toán vận tải (f min) T
F 120 50 40 80
140 9 19 14 16 60 8 11 9 12 60 7 13 14 17 a). Viết dạng toán học của bài toán
b). Tìm phương án tối ưu
c). Phương án tối ưu tìm được có duy nhất không? Nếu không duy nhất hãy tìm một phương án tối ưu khác.
c) phương án tối ưu không duy nhất.
7. Cho bài toán vận tải
F T 100 60 40 30
50 12 13 15 24 60 16 17 8 10 45 7 16 11 13 110 14 18 9 16 a). Tìm phương án tối ưu.
b). Phương án tối ưu tìm được có duy nhất không, vì sao? Nếu không duy nhất hãy tìm một phương án tối ưu khác.
Đáp số: a. f (min) = 3545 8. Cho bài toán vận tải (f min)
T 110 60 40 1 F
80 16 9 11 17
70 10 13 9 12 0 6 11 14 10 80 15 7 12 16
a). Tìm phương án tối ưu. Phương án tối ưu tìm được có duy nhất không, vì sao?
b). Thay c = 13. Lời giải của bài toán có thay đổi không? Tìm tập phương án tối ưu tương ứng của bài toán.
Đáp số: a. f(min) = 3220. phương án tối ưu duy nhất vì < 0 với ô loại (i,j).
MỤC LỤC
Trang Lời nói đầu 1 - 2
A. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH. 3 - 39
§1- Véc tơ n chiều và các phép toán. 3 - 5 §2 - Ma trận. 6 - 11 §3 - Định thức. 12 -19
§4 - Ma trận nghịch đảo. 20 - 29