CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
2. Bài toán quy hoạch tuyến tính và các dạng đặc biệt
Xét bài toán tìm cực tiểu hoặc cực đại của một hàm tuyến tính:
(1)
Với các điều kiện:
Trong đó là hàm mục tiêu
(2) hệ ràng buộc về phương trình và bất phương trình (3) hệ ràng buộc về dấu
(2+3) gọi chung là hệ ràng buộc của bài toán Bài toán quy hoạch tuyến tính là bài toán bao gồm (1) + (2)
Nhưng đa số các bài toán thực tiễn chứa đựng điều kiện không âm với tất cả các bộ phận và biến số.vì vậy để nhấn mạnh thông thường người ta tách điều kiện ấy thành một nhóm ràng buộc gọi là ràng buộc về dấu.Mặt khác ta có thể giả thuyết mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thêm ràng buộc (3) vì nếu có biến xj nào đó mà xj thì thay
xj = - xj’ trong đó xj’ . Có xj tùy ý thì có thể thay nó hiệu hai biến không âm:
xj = xj’ - xj’’ với xj’, xj’’
Vì vậy ta hiểu rằng bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát bao gồm (1) + (2) + (3)
Tập hợp tất cả các hệ số của biến số trong hệ ràng buộc (2) tạo nên một ma trận cấp m.n ký hiệu là A =
Một hệ ràng buộc của bài toán gọi là độc lập tuyến tính nếu các vectơ hàm tương ứng của nó đltt.
Ký hiệu c là vectơ n chiều với các thành phần cj (j = 1,…,n) nghĩa là c = (c1,c2,……,cn)
B là vectơ m chiều với các thành phần bi (i = 1,…,m) nghĩa là B = (b1,b2,……,bm)
Vectơ n chiều x = (x1,x2,……,xn) gọi là vectơ biến ẩn.
A là vectơ n chiều biểu diễn cột hệ số của biến số x trong hệ số ràng buộc (2).
chính là tích vô hướng của hai vectơ c và x Khi đó dạng rút gọn của bài toán trên là:
Hay dạng ma trận:
a. Phương án : Gọi một vectơ thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán là một phương án.
b. Phương án tối ưu:
- Một phương án mà tại đó hàm mục tiêu đạt trị số cực tiểu (cực đại) gọi là phương án tối ưu.
- Một bài toán có ít nhất một phương án tối ưu được gọi là bài toán giải được.
- Bài toán không giải được:là bài toán không ó phương án hoặc có phương án nhưng trị số f(x) giảm(tăng)vô hạn trên tập phương án.
Giả sử x0 là phương án tối ưu và x là phương án bất kỳ thì:
đối với bài toán min.
đối với bài toán max.
2.2. Các dạng bài toán đặc biệt
Bài toán quy hoạch tuyến tính có dạng sau gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc:
Dạng vectơ theo định nghĩa trên:
Dạng ma trận của bài toán:
Chú ý:
Mọi bài toán quy hoạch tuyến tính đều có thể quy về bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc
- Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có ràng buộc
Ta có thể đưa về dạng chính tắc bằng cách thêm vào vế trái một biến phụ Nghĩa là với hệ số của biến phụ trong hàm mục tiêu bằng 0 - Nếu bài toán quy hoạch tuyến tính có ràng buộc
Ta có thể đưa về dạng chính tắc bằng cách trừ vào vế trái một biến phụ Nghĩa là với hệ số của biến phụ trong hàm mục tiêu bằng 0 - Nếu biến xj không có ràng buộc gì về dấu thì được thay bằng hiệu của hai biến không âm nghĩa là đặt xj = xj’ - xj’’ với xj’, xj’’
Hay dạng vectơ
- Nếu đối với một phương án x mà ràng buộc i thỏa mãn dưới dạng dấu “ =’’
thì ràng buộc i gọi là chặt đối với phương án x hay phương án x thỏa mãn chặt ràng buộc i.
- Phương án x mà ràng buộc i thỏa mãn dưới dấu ( > , < ) thì ràng buộc i gọi là lỏng đối với phương án x hay phương án x thỏa mãn lỏng ràng buộc i.
- Đối với một ràng buộc cụ thể và một phương án cụ thể thì ràng buộc ấy hoặc lỏng hoặc chặt.
m1 ràng buộc đầu gọi là ràng buộc chặt của bài toán nghĩa là mọi phương án đều thỏa mãn chặt ( = ).
Đối với một phương án cụ thể ngoài ràng buộc chặt của bài toán còn có những ràng buộc chặt của riêng mình
Định nghĩa phương án cực biên:
Một phương án của bài toán thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính gọi là một phương án cực biên ( n: chính là số chiều của vectơ ẩn x)
- Phương án cực biên không suy biến: Một phương án cực biên thỏa mãn chặt đúng n ràng buộc độc lập tuyến tính gọi là phương án cực biên không suy biến.
- Phương án cực biên suy biến: Một phương án cực biên thỏa mãn chặt hơn n ràng buộc gọi là phương án cực biên suy biến.