Untitled 1 TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH DOANH VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI PHAN ĐỨC CHÂU (Chủ biên) – LÊ ĐÌNH THÚY TOÁN KINH TẾ Giáo trình dùng cho Sinh viên Kinh tế (Có bổ sung và chỉnh lý) HÀ NỘI 2021 2 3 MỤC LỤC LỜI[.]
CÁC MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 1 MA TR Ậ N VÀ CÁC PHÉP TOÁN TUY Ế N TÍNH 9
Các khái ni ệm cơ bả n 9
1 Một bảng số gồm m.n số thực xếp thành m dòng và n cột đƣợc gọi là ma trận cấp mxn và đƣợc ký hiệu nhƣ sau:
Các số aijđƣợc gọi là các phần tửcủa ma trận A.
Cụ thể hơn: aijlà phần tử nằm trên dòng thứ i và cột thứ j của ma trận A
2 Hai ma trận cùng cấp A = (aij)mxn và B = (bij)mxn đƣợc coi là bằng nhaunếu tất cả các phần tử tương ứng của chúng đôi một bằng nhau: a ij = b ij (i = 1, , m; j = 1, , n)
3 Ma trận có tất cả các phần tử bằng 0 đƣợc gọi là ma trận không Ma trận không cấp mxn đƣợc ký hiệu bằng Omxnhoặc đơn giản là O.
4 Ma trận cấp nxn, tức là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau, đƣợc gọi là ma trận vuông cấp n Trong ma trận vuông:
các phần tử a11, a 22 , , a nn đƣợc gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính
5 Ma trận đơn vịcấp n đƣợc ký hiệu bằng chữ Enlà ma trận sau: n nxn
Các phép toán tuy ế n tính trên ma tr ậ n 10
1 Cộng hai ma trận cùng cấp
Tổngcủa hai ma trận cùng cấp A = (aij) mxn và B = (b ij ) mxn là một ma trận ký hiệu là
A + B và đƣợc xác định nhƣ sau:
2 Nhân một ma trận với mộtsố
Tích của ma trận A = (aij)mxnvới một số là một ma trận ký hiệu là A và đƣợc xác định nhƣ sau:
Tích (-1)A đƣợc ký hiệu là ma trận –A và đƣợc gọi là ma trận đốicủa ma trận A
Phép cộng ma trận có các tính chất cơ bản như sau: nó giao hoán, tức là A + B = B + A, và kết hợp, (A + B) + C = A + (B + C) Hiệu ứng của phép cộng gồm có ma trận không đổi, A + O = A, và khi cộng với ma trận đối, A + (-A) = O Phép nhân ma trận với số thực thỏa mãn tính phân phối, (A + B) = A + B, và tính phân phối theo phép cộng số thực, ( + )A = A + βA Ngoài ra, phép nhân nhiều số thực theo thứ tự không đổi, (β)A = (βA), thể hiện tính chất kết hợp của phép nhân trong các phép tính ma trận.
4 Phép trừhai ma trận cùng cấp
Phép trừhai ma trận cùng cấp đƣợc xác định nhƣ sau:
Ma trận A - B đƣợc gọi là hiệucủa ma trận A và ma trận B.
Phép chuy ể n v ị 10
Cho ma trận bất kỳ
Chuyển các dòng của ma trận thành các cột theo thứ tự tương ứng sẽ giúp ta có một ma trận mới trong đó các cột trở thành các dòng với thứ tự giống như ban đầu Quá trình này gọi là phép chuyển vị ma trận, là một thao tác quan trọng trong toán học và xử lý dữ liệu Chuyển vị ma trận không chỉ giúp dễ dàng hơn trong các phép tính mà còn tối ưu hóa quá trình phân tích và xử lý dữ liệu trong các lĩnh vực khác nhau Đối với các kỹ thuật số, chuyển vị ma trận được sử dụng để nâng cao hiệu quả của các thuật toán và đảm bảo tính chính xác trong các phép tính ma trận.
Ma trận A' đƣợc gọi là ma trận chuyển vịcủa ma trận A Phép biến đổi ma trận A thành ma trận A' đƣợc gọi là phép chuyển vịma trận.
ĐỊ NH TH Ứ C 11
2.1.Khái niệm và cách tính
Xét các ma trận vuông A
Xét ma trận vuông cấp 1: A = [a] (Ma trận A chỉ có một phần tử a) Định thức của ma trận A ký hiệu là det(A) hay |A| và đƣợc xác định nhƣ sau det(A) = |A| = a
Xét ma trận vuông cấp 2:
Định thức của ma trận A đƣợc ký hiệu và xác định nhƣ sau: det(A) = |A| = a 11 a 22 – a 12 a 21
Định thức của ma trận A đƣợc ký hiệu và xác định nhƣ sau: det(A) = |A| = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 - a 11 a 23 a 32 Để tính định thức cấp 3 ta lập các thành phần theo quy tắc đường chéo:
Các thành phần mang dấu (+) trong ma trận gồm tích các phần tử nằm trên đường chéo chính, đồng thời còn bao gồm tích của các cặp phần tử nằm trên các đường song song với đường chéo chính, đặc biệt là những phần tử nằm đối diện nhau ở các góc khác nhau của ma trận.
Ba thành phần mang dấu (-) được thành lập tương tự theo đường chéo thứ hai
Sơ đồ sau đây biểu diễn trực quan cách thành lập 2 nhóm thành phần nói trên:
4.Tính định thức cấp n bằng cách khai triển định thức theo dòng hoặc theo cột
Xét ma trận A vuông cấp n Định thức của A đƣợc ký hiệu là d
Trong định thức d, khi xóa đi dòng thứ i và cột thứ j chứa phần tử aij, ta được định thức cấp (n-1) ký hiệu là Mij, gọi là phần bù của phần tử aij Phần bù đại số của aij, Aij, xác định bằng công thức Aij = (-1)^{i+j} Mij, phản ánh mối liên hệ chặt chẽ giữa các phần tử và định thức gốc.
Công thức khai triển Laplace giúp tính định thức d bằng cách lấy tổng các tích của từng phần tử trong một dòng hoặc cột cố định với phần bù đại số tương ứng Cụ thể, định thức d được tính bằng tổng của các tích như d = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + + a₁nA₁n hoặc d = a₁jA₁j + a₂jA₂j + + a njAjn, trong đó i và j lần lượt là chỉ số dòng hoặc cột từ 1 đến n, giúp phân tích và tính toán các ma trận phức tạp dễ dàng hơn.
Các công thức (1) và (2) đƣợc gọi là các công thức khai triển định thức theo dòng thứ i và theo cột thứ j
Sử dụng công thức khai triển Laplace, ta tính đƣợc một định thức cấp cao bằng cách chuyển qua tính các định thức cấp thấp hơn
Tính định thức cấp 4 sau:
Chọn dòng hay cột nào có nhiều phần tử 0 Khai triển định thức đã cho theo dòng thứ ba, ta đƣợc: d = -2A 31 + 5A 32 + 0.A 33 + 0.A 34 d 3 1 3 2
Sau khi tính các định thức cấp 3 ta đƣợc kết quả: d = -2.8 - 5 (-48) = 224
2.2 Các tính chất cơ bản của định thức
1 Tính chất 1 Định thức của ma trận chuyển vị A' bằng định thức của ma trận A:
Từ tính chất 1 của định thức, ta hiểu rằng các dòng và cột đóng vai trò tương đương, nghĩa là mọi đặc điểm áp dụng cho các dòng cũng đều đúng đối với các cột và ngược lại Các tính chất còn lại của định thức đều đề cập chung đến cả dòng và cột, nhưng trong quá trình trình bày, ta thường chỉ tập trung vào các dòng để dễ hiểu và rõ ràng hơn.
Nếu một dòng của định thức có tất cả các phần tử bằng 0 thì định thức bằng 0.
Nếu trong định thức ta đổi chỗ hai dòng và giữ nguyên vị trí của các dòng còn lại thì định thức đổi dấu.
Nếu định thức có 2 dòng giống nhau thì định thức bằng 0.
Thừa số chung của các phần tử của một dòng có thể đƣa ra ngoài dấu định thức
Nếu định thức có 2 dòng tỷ lệ với nhau thì định thức bằng 0.
7 Tính chất 7 Định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử của một dòng các phần tử tương ứng của một dòng khác sau khi đã nhân với cùng một số.
PHÉP NHÂN MA TR Ậ N VÀ MA TR Ậ N NGH ỊCH ĐẢ O 14
3.1 Phép nhân ma trận với ma trận
Cho một ma trận A cấp mxn và một ma trận B cấp nxp (Số cột của A bằng số dòng của B)
Ta gọi tích của ma trận A với ma trận B là một ma trận cấp mxp ký hiệu là AB và đƣợc xác định nhƣ sau:
trong đó: n ik ij jk i1 1k i2 2k in nk j 1 c a b a b a b a b
Công thức trên có thể phát biểu thành quy tắc nhƣ sau:
Phần tử tại dòng thứ i và cột thứ k của ma trận AB được tính bằng tổng của n tích của các phần tử trong dòng i của ma trận A với các phần tử tương ứng trong cột k của ma trận B, cụ thể cik = (a i1 × b1k) + (a i2 × b2k) + + (a in × bnk).
Theo định nghĩa ta có:
Trong số tất cả các ma trận vuông cấp n, phép nhân hai ma trận AB và BA luôn tồn tại và đều là các ma trận vuông cấp n, tuy nhiên, phép nhân ma trận không tuân theo tính chất giao hoán, nghĩa là thường thì AB khác với BA.
4 Các tính chất cơ bản.
Phép nhân ma trận với ma trận có các tính chất cơ bản sau đây: a) Tính kết hợp:
Phán xưởng của phép nhân ma trận theo tính chất bất biến của phép nhân cho phép kết hợp các ma trận trong các cách khác nhau như (AB)C = A(BC) Khi xét phép cộng, phép phân phối của nhân ma trận thể hiện qua các đẳng thức như A(B + C) = AB + AC và (B + C)D = BD + CD, giúp đơn giản hóa các phép tính phức tạp Đặc biệt, phép nhân của ma trận với một số thực α theo quy tắc phân phối như α(AB) = (αA)B = A(αB), giữ nguyên tính chất cộng của phép nhân Ngoài ra, các ma trận đơn vị E với các tính chất như AE = A và EB = B cũng đóng vai trò quan trọng trong phép nhân ma trận Trong trường hợp ma trận vuông cấp n có thể nhân với ma trận bất kỳ cấp n, các tính chất này giúp duy trì tính nhất quán của phép tính trong hệ thống ma trận.
AE = EA = A e) Định thức của tích hai ma trận vuông cùng cấp bằng tích của các định thức của các ma trận đó: ABA B
Tính chất kết hợp của phép nhân ma trận cho phép chúng ta tính tích của nhiều ma trận như ABC, ABCD một cách dễ dàng, miễn là số cột của ma trận trước bằng số dòng của ma trận sau Điều này giúp tối ưu hóa quá trình nhân ma trận, đặc biệt trong các ứng dụng liên quan đến toán học và xử lý dữ liệu Việc đảm bảo tính kết hợp trong nhân ma trận mở ra khả năng thực hiện các phép tính phức tạp hơn một cách linh hoạt và hiệu quả, phù hợp với các bài toán về hệ phương trình, xử lý tín hiệu hoặc lập trình tuyến tính Hiểu rõ tính chất này giúp nâng cao khả năng ứng dụng ma trận trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật và công nghệ.
Với A là một ma trận vuông ta định nghĩa lũy thừa nguyên dương của ma trận A như sau: A n = AA A (n lần)
Tính chất e) có thể mở rộng cho trường hợp tích của một số hữu hạn các ma trận vuông cùng cấp Đặc biệt, ta có: A n A n
1 Khái niệm ma trận nghịch đảo
Cho ma trận vuông A. Định nghĩa
Một ma trận vuông X cùng cấp với ma trận vuông A đƣợc gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A nếu AX = XA = E
(E là ma trận đơn vịcùng cấp với ma trận A)
Nếu một ma trận vuông có ma trận nghịch đảo thì nó chỉ có một ma trận nghịch đảo duy nhất
Thật vậy, nếu X và Y cùng là ma trận nghịch đảo của ma trận A thì:
Vì phép nhân ma trận có tính chất kết hợp (XA)Y = X(AY) nên từ đây suy ra X = Y
Ta ký hiệu ma trận nghịch đảo của ma trận A là A -1 Theo định nghĩa, ta có
3 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo Định lý Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo là d = A 0
(Ma trận có định thức khác 0 đƣợc gọi là ma trận không suy biến)
4 Công thức tìm ma trận nghich đảo
Ở đây Aij là phần bù đại sốcủa phần tử aijtrong định thức A
Ma trận A * = (A ịj )' đƣợc gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A.
Ma trận này không có ma trận nghịch đảo vì A = 0 b Ví dụ 2
Ma trận A có d = A = -3 khác 0, chứng tỏ A có ma trận nghịch đảo Để tìm ma trận nghịch đảo của A, bước đầu ta cần xác định ma trận phụ hợp của A, ký hiệu là A * Quá trình này là bước quan trọng để tính toán chính xác ma trận nghịch đảo của A.
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận đã cho là:
Cho các ma trận vuông cấp 2
A = * + ; B = * + ; C = * + Giải các phương trình ma trận: a) AX = B b) XA = C c) XA = B
Ma trận A là ma trận không suy biến, nên có ma trận nghịch đảo A -1 và A -1 = * + a) AX = B A -1 AX = A -1 B (Nhân trái 2 vế của phương trình đã cho với A -1 )
X = A -1 B = * + x * + = * + b) XA = C XAA -1 = CA -1 (Nhân phải 2 vế của phương trình đã cho với A -1 )
X = CA -1 = * + x * + = * + c) XA = B XAA -1 = BA -1 (Nhân phải 2 vế của phương trình đã cho với A -1 )
H Ệ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾ N TÍNH 18
4.1 Các khái niệm cơ bản
1 Hệ phương trình tuyến tính
Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn số là hệ phương trình dạng: n
(1) trong đó x1, x 2 , x n là các ẩn số, aij và b i (i = 1, 2, , m) là các số thực cho trước
Trong hệ phương trình, số aij là hệ số của ẩn xj trong phương trình thứ i, trong khi bi là số hạng tự do của phương trình đó Để xử lý hệ phương trình này, ta lập bảng số phản ánh các hệ số aij và các số hạng tự do bi theo thứ tự rõ ràng, giúp dễ dàng tổ chức và giải quyết các phép tính liên quan Việc xây dựng bảng số là bước quan trọng trong việc phân tích và giải hệ phương trình, đảm bảo tính chính xác và hiệu quả trong quá trình xử lý dữ liệu.
Bảng số A được gọi là ma trận hệ sốcủa hệ phương trình tuyến tính đã cho.
Một hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số là một ma trận vuông không suy biến đƣợc gọi là hệ Cramer
2 Cách giải (Phương pháp ma trận)
Sử dụng phép nhân ma trận với ma trận ta có thể viết hệ phương trình (2) dưới dạng:
Theo giả thiết ma trận A không suy biến (d = A 0), do đó nó có ma trận nghịch đảo A -1 Nhân trái (2') với A -1 , ta có:
Ngƣợc lại, nếu thay X = A -1 B vào (2') thì ta đƣợc đẳng thức đúng:
Hệ Cramer có một nghiệm duy nhất và cột nghiệm của nó đƣợc xác định theo công thức:
4 Quy tắc Cramer (Phương pháp định thức) a Định lý
Nghiệm duy nhất của hệ Cramer đƣợc xác định theo công thức: j j x d j 1, 2, , n d ,
Trong phương pháp Cramer, d là định thức của ma trận hệ số, còn dj là định thức nhận được sau khi thay cột thứ j của ma trận hệ số bằng cột phần tự do B, trong khi các cột còn lại giữ nguyên Thay đổi này giúp xác định các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính một cách chính xác và nhanh chóng, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến hệ phương trình có nhiều biến số.
Quy tắc xác định nghiệm của hệ Cramer theo công thức (3) đƣợc gọi là quy tắc Cramer b Ví dụ
Giải hệ phương trình sau:
Áp dụng quy tắc Cramer ta tìm được nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho:
CÁC MÔ HÌNH TUY Ế N TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH T Ế 20
5.1 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô a Gọi Y là tổng thu nhập quốc dân (National Income) và E là tổng mức chi tiêu kế hoạch (Planned Expenditure) của nền kinh tế Trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình
Trong một nền kinh tế khép kín, tổng chi tiêu kế hoạch E của toàn bộ nền kinh tế gồm các thành phần sau:
C : Tiêu dùng (Consumption) của các hộ gia đình,
G : Chi tiêu của Nhà nướctheo kế hoạch của chính phủ (Government),
I : Chi tiêu cho đầu tƣ của các nhà sản xuất (Investment).
Giả sử đầu tư theo kế hoạch là cố định với I = I0 và chính sách tài khóa của chính phủ cũng được giữ ổn định với G = G0, trong khi tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập theo dạng hàm bậc nhất Điều này cho thấy mối quan hệ giữa tiêu dùng và thu nhập trong mô hình kinh tế, giúp phân tích tác động của các chính sách tài khóa đối với tổng cầu và tăng trưởng kinh tế.
Hệ số a thể hiện tỷ lệ tiêu dùng khi có thêm 1 đô la thu nhập, được gọi là xu hướng tiêu dùng cận biên, giúp đo lường mức tiêu dùng tăng lên theo từng đơn vị thu nhập mới Trong khi đó, hệ số b là mức tiêu dùng tự định, phản ánh mức chi tiêu của hộ gia đình khi không có thu nhập, đóng vai trò nền tảng trong khảo sát hành vi tiêu dùng Việc hiểu rõ hai hệ số này giúp xác định mối quan hệ giữa thu nhập và tiêu dùng, từ đó tối ưu hóa các chính sách kinh tế và dự báo xu hướng tiêu dùng trong tương lai.
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô có dạng hệ phương trình tuyến tính:
Giải hệ phương trình tuyến tính hai ẩn Y và C này, ta xác định được mức thu nhậpcân bằng và mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế:
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô đơn giản cung cấp cái nhìn rõ ràng về các yếu tố cơ bản trong nền kinh tế Tuy nhiên, độ phức tạp của mô hình sẽ tăng lên khi tích hợp thêm các yếu tố khác như thuế, xuất nhập khẩu, góp phần phản ánh chính xác hơn về tình hình kinh tế thực tế Việc mở rộng mô hình giúp phân tích các tác động đa chiều của các yếu tố này đối với nền kinh tế tổng thể.
Nếu ta tính thuế thu nhập thì hàm tiêu dùng sẽ thay đổi nhƣ sau:
C = a Yd +b trong đó Ydlà thu nhập sau thuế khả chi (disposable income) Gọi thuế suất thu nhập là t (biểu diễn ở dạng thập phân), ta có
C = a(1-t)Y + b Mức thunhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng là:
Nếu C = 200 + 0,75Y, I0 = 300, G 0 = 400 thì ta tính đƣợc mức thu nhập cân bằng và mức tiêu dùng cân bằng là (đơn vị triệu USD):
Nếu nhà nước thu thuế thu nhập ở mức 20% (t=0,2), thì mức cân bằng như sau:
5.2 Mô hình I/O (Input/Output) của Léontief
1 Mô hình I/O (Input/Output) của Léontief (còn đƣợc gọi là Mô hình cân đối liên ngành) đề cập đến việc xác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế
Trong khuôn khổ của mô hình, khái niệm ngành đƣợc xem xét theo nghĩa thuần tuý sản xuất Các giả thiết đƣợc đặt ra nhƣ sau:
Trong sản xuất, mỗi ngành nghề thường tập trung vào việc tạo ra một loại hàng hoá thuần túy hoặc kết hợp sản xuất nhiều loại hàng hoá theo một tỷ lệ cố định Khi sản xuất theo phương pháp phối hợp, các tổ hợp hàng hoá này được xem như các mặt hàng riêng biệt, giúp tối ưu hoá quy trình và đáp ứng nhu cầu thị trường một cách hiệu quả.
Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi một ngành đƣợc sử dụng theo một tỉ lệ cố định (Công nghệ chưa thay đổi)
Trong nền kinh tế hiện đại, sản xuất một mặt hàng đòi hỏi sự sử dụng đa dạng các yếu tố sản xuất như quặng sắt, điện và than, phản ánh mối liên hệ chặt chẽ giữa các ngành hàng hóa Tổng cầu của từng ngành gồm các yếu tố này góp phần vào cơ cấu tiêu thụ chung, ảnh hưởng đến hoạt động sản xuất và phát triển kinh tế Hiểu rõ mối quan hệ giữa các yếu tố sản xuất và tổng cầu ngành giúp dự báo xu hướng thị trường chính xác hơn và tối ưu hóa quy trình sản xuất.
Cầu trung giantừ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất,
Cầu cuối cùngtừ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các hãngxuất khẩu,
Trong một nền kinh tế gồm n ngành sản xuất, các ngành được gọi là ngành 1, ngành 2, , ngành n, việc tính toán chi phí sản xuất được đơn giản hóa bằng cách biểu diễn lượng cầu của tất cả hàng hóa dưới dạng giá trị tiền tệ, giúp thuận tiện trong việc phân tích và dự báo các xu hướng thị trường dựa trên giả định giá cả ổn định.
Tổng cầu về sản phẩm hàng hoá ngành i đƣợc tính theo công thức: x i = x i1 + x i2 + + x in + b i ( i = 1, 2, , n) trong đó:
xi là tổng cầu đối với hàng hoá của ngành i,
xik là giá trị hàng hoá của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian),
b i là giá trị hàng hoá của ngành i cần cho tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng). Công thức trên có thể viết lại dưới dạng; i1 i2 in i 1 2 n
1 2 n x x x x = x + x + + x x x x ( i = 1, 2, , n) Đặt ik ik k a =x x ( i , k = 1, 2, , n), (2) ta được hệ phương trình: x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n + b 1 (1-a 11 )x 1 - a 12 x 2 - - a 1n x n = b 1 x2 = a21x1 + a22x2 + + a2nxn + b2 -a21 x1 + (1-a12) x2 - - a2n xn = b2
Hệ phương trình trên có thể viết dưới dạng ma trận như sau:
, E là ma trận đơn vị cấp n
Ma trận A được gọi là ma trận hệ số đầu vào hoặc ma trận hệ số kỹ thuật, thể hiện các mối quan hệ giữa các yếu tố đầu vào trong hệ thống Ma trận X đại diện cho tổng cầu, phản ánh tổng lượng cầu trong nền kinh tế, còn ma trận B là ma trận cầu cuối, thể hiện các yếu tố tạo ra cầu cuối cùng trong quá trình sản xuất Các ma trận này đóng vai trò quan trọng trong phân tích kinh tế kỹ thuật, giúp xác định các mối liên hệ và phương pháp tối ưu hóa nguồn lực.
Các phần tử của ma trận A phản ánh ý nghĩa quan trọng trong phân tích kinh tế Trong công thức (2), xik thể hiện cầu trung gian của ngành k đối với hàng hoá của ngành i, còn xkl là tổng cầu của ngành k Các phần tử aik (tập trung ở dòng i, cột k của A) cho biết tỷ lệ phần trăm chi phí mà ngành k trả cho việc mua hàng hoá của ngành i tính trên mỗi đơn vị giá trị hàng hoá của ngành k, phản ánh chi phí yếu tố đầu vào trong sản xuất Ví dụ, khi aik bằng 0,2, nghĩa là để sản xuất ra 1 đô la giá trị hàng hoá của ngành k, ngành này phải chi 0,2 đô la để mua hàng hoá từ ngành i.
Trong giả thiết thứ hai, các phần tử aikk vẫn giữ nguyên, được gọi là hệ số chi phí cho yếu tố sản xuất hoặc hệ số kỹ thuật Hệ số này phản ánh mối quan hệ giữa các yếu tố đầu vào và quá trình sản xuất, góp phần tối ưu hóa chi phí và nâng cao hiệu quả sản xuất Việc giữ ổn định các hệ số này giúp đảm bảo tính nhất quán trong phân tích kinh tế và hỗ trợ đưa ra các quyết định chiến lược phù hợp trong quản lý yếu tố sản xuất.
Trong ngành kinh tế, các phần tử của dòng i thể hiện hệ số giá trị hàng hoá của ngành i bán cho tất cả các ngành khác để làm hàng hoá trung gian, bao gồm cả chính ngành i Điều này phản ánh mối liên hệ chặt chẽ giữa các ngành trong chu trình sản xuất, giúp phân tích hiệu quả và sự phụ thuộc lẫn nhau trong nền kinh tế Hiểu rõ các hệ số này là nền tảng để xây dựng các mô hình kinh tế, dự báo xu hướng phát triển và đưa ra các chính sách phù hợp nhằm tối ưu hóa hoạt động sản xuất và tiêu dùng trong nền kinh tế.
Các phần tử trong cột k thể hiện hệ số giá trị hàng hóa mà ngành k mua từ các ngành khác để phục vụ cho quá trình sản xuất hàng hóa của mình, bao gồm cả hàng hóa của chính ngành đó Đây là một phần quan trọng trong phân tích hệ số mua hàng, giúp hiểu rõ mối liên hệ giữa các ngành trong nền kinh tế Việc xác định chính xác các hệ số này hỗ trợ các doanh nghiệp và nhà hoạch định chính sách đưa ra các quyết định phù hợp về sản xuất và phân phối nguồn lực Đồng thời, nó cũng là yếu tố thúc đẩy tối ưu hóa quy trình sản xuất, nâng cao hiệu quả hoạt động của các ngành công nghiệp.
Tổng các phần tử của cột k thể hiện mức chi phí mà ngành k phải trả để mua các yếu tố sản xuất với giá trị hàng hóa trên $1 của chính ngành đó Điều này được thể hiện qua điều kiện: a1k + a2k + + ank ≤ 1 cho mọi ngành k từ 1 đến n Trong lý thuyết kinh tế, phương trình ma trận (E - A).X = B mô tả mối quan hệ giữa các ngành, trong đó E là ma trận đơn vị, A là ma trận hệ số tiêu thụ nội bộ, X là vector tiêu thụ cuối cùng và B là vector nguồn cung.
Ma trận (E-A) đƣợc gọi là ma trận Léontief
Nhân trái hai vế của phương trình (3) với (E-A) -1 , khi đó ta tìm được ma trận tổng cầu X đối với hàng hoá của tất cả các ngành sản xuất:
Dựa trên số liệu năm nay, người ta xác định được ma trận hệ số kỹ thuật A, với giả thiết rằng công nghệ không thay đổi đến năm sau nên ma trận A vẫn giữ nguyên Dự báo các yêu cầu của năm tới, các chuyên gia lập ma trận cầu cuối B và tính toán ma trận tổng cầu X của năm tiếp theo Điều này giúp xác định các mục tiêu sản xuất cần đạt để duy trì sự ổn định của nền kinh tế, góp phần lập kế hoạch sản xuất hiệu quả, đảm bảo hoạt động kinh tế trôi chảy và tránh tình trạng dư thừa hoặc thiếu hụt hàng hoá.
Quan hệ trao đổi sản phẩm giữa 3 ngành sản xuất và cầu hàng hoá đƣợc cho bởi bảng sau (đơn vị: triệu USD)
Ngành cung ứng sản phẩm (Output)
Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs) Cầu cuối cùng
HÀM S Ố, ĐẠ O HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ÁP D Ụ NG TRONG KINH T Ế 1 HÀM S Ố M Ộ T BI Ế N S Ố 28
Các khái ni ệm cơ bả n 28
Hàm số của biến số x là một quy luật f xác định mối liên hệ giữa mỗi giá trị của x thuộc tập X và một giá trị xác định của y thuộc tập R Hàm số này giúp mô tả rõ ràng cách biến x ảnh hưởng đến biến y, thể hiện mối quan hệ chặt chẽ giữa hai biến trong toán học.
Người ta dùng các ký hiệu sau để chỉ y là hàm số của biến số x: y = f(x), f: X R, f: x y = f(x), xX
Tập hợp X đƣợc gọi là tập xác định(miền xác định) của hàm số f và đƣợc ký hiệu Df
Tập hợp Rf = yR : yf (x), xDf đƣợc gọi là tập giá trị của f.
Tập hợp Gf = (x, y)R : y 2 f (x), xDf đƣợc gọi là đồ thịcủa f.
2 Một số dáng điệu của hàm số
Xét miền U Df a Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là bị chặn trên trong miền U nếu tồn tại một số M sao cho f(x) M, xU
Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là bị chặn dướitrong miền U nếu tồn tại một số m sao cho f(x) m, xU
Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là bị chặntrong miền U D f nếu tồn tại một số K>0 sao cho f(x) K, x U ' b Hàm số y = f(x) đựơc gọi là tăng (giảm)trong miền U nếu
1 giảm trong các khoảng { | } và { | }
Nếu bất đẳng thức cuối trong định nghĩa (*) đƣợc thay bằng f(x1)f(x 2 ) (f(x 1 )f(x 2 )) thì hàm số đƣợc gọi là tăng theo nghĩa rộng (giảm theo nghĩa rộng) trong miền U.
Các phép tính trên hàm s ố 28
1 Cho hai hàm số f(x) với tập xác định Df và g(x) với tập xác định Dg
Ta xây dựng các hàm f+g, f-g, fg, f g nhƣ sau:
(fg)(x) = f(x)g(x) có miền xác định Df Dg
(fg)(x) = f(x) g(x) có miền xác định Df Dg f f (x) g (x) g(x)
có miền xác định (Df D g) \ x : g(x) 0
2 Cho hàm số u = g(x) có tập xác định Dg,tập giá trị Rg và hàm số y = f(u) có tập xác định Df (D f R g) Ta xây dùng một hàm hợpfog nhƣ sau: (fog) (x) = f(g(x))
Hàm hợp fog còn đƣợc gọi là hàm kép hay hàm số của hàm số
3 Cho hàm số y = f(x) trên miền X Gọi Y = {y R | y = f(x), x X} Nếu với mỗi giá trị y Y chỉ tương ứng với một giá trị x X thỏa mãn y = f(x), khi đó ta có hàm số “x là hàm số của biến số y”
Hàm số này đƣợc ký hiệu x = f -1 (y) và đƣợc gọi là hàm số ngượccủa hàm số y = f(x) Định lý:
Nếu hàm số y = f(x) tăng (giảm) trong miền X, thì tồn tại hàm ngƣợc x = f -1 (y) tăng (giảm) trong miền Y
Hàm y = f(x) = 2x - 6 trên miền X = R là hàm số tăng, do đó tồn tại hàm nghịch đảo x = f⁻¹(y) Hàm nghịch đảo này được xác định từ y = 2x - 6, suy ra x = 0,5y + 3 và cũng là hàm tăng trong miền Y = R.
CÁC HÀM S Ố THƯỜ NG DÙNG 29
2.1 Các hàm số thường dùng
Tập xác định Df phụ thuộc vào r và R D , (1,1)f Gf
Trên R hàm lũy thừa là hàm tăng nếu r > 0, hàm giảm nếu r < 0 và là hàm hằng nếu r = 0
Ta vẽ phần đồ thị trên miền R Dựa vào tính chẵn lẻ, ta xác định phần còn lại.
Tập xác định Df= R, tập giá trị Rf = R , (0,1)G f
Hàm mũ là hàm tăng nếu a > 1 và là hàm giảm nếu 0 < a < 1 trên R.
Tập xác định Df = R , tập giá trị Rf = R
Khi a > 1 hàm logarit là hàm tăng, khi 0 < a < 1 hàm logarit là hàm giảm trên Df
Khi a = e với e là một số vô tỉ (e = 2,71828… ) thì hàm số đƣợc gọi là hàm logarit nêpe hay logarit tự nhiên và ký hiệu y = lnx.
Khi a = 10 thì hàm số đƣợc gọi là hàm logarit thập phân và ký hiệu y = lgx
2.2 Một số hàm số kinh tế thường dùng
1 Hàm cung và hàm cầu (Supply and Demand functions) a Hàm cung Q s = S(p) biểu diễn sự phụ thuộc của lƣợng cung (Qs) của một loại hàng hóa vào giá (p) của hàng hóa đó Khi giá tăng thì người bán sẽ muốn bán nhiều hơn, nên hàm cung là hàm tăng Các nhà kinh tế còn dùng hàm cung dưới dạng hàm ngược của hàm Qs= S(p) Đó là hàm cung p = S -1 (Q) và cũng là một hàm tăng. b Hàm cầu Qd= D(p) biểu diễn sự phụ thuộc của lƣợng cầu (Qd) của một loại hàng hóa vào giá (p) của hàng hóa đó Khi giá tăng thì người mua sẽ mua ít đi, nên hàm cầu là hàm giảm Hàm ngƣợc của hàm Qd= D(p) là hàm cầu p = D -1 (Q) Đó cũng là một hàm giảm. c Đồ thị của hàm cung và hàm cầu được gọi là đường cung và đường cầu Giao điểm của hai đường này được gọi là điểm cân bằng của thị trường.
2 Hàm sản xuất ngắn hạn (Short-term production function)
Hàm sản xuất biểu diễn sự phụ thuộc của lƣợng hàng hóa sản xuất (Q) vào các yếu tố sản xuất nhƣ vốn (K), lao động (L),
Hàm sản xuất ngắn hạn có dạng Q = f(L) khi yếu tố K không thay đổi.
3 Hàm doanh thu (Revenue function), hàm chi phí (Cost function), hàm lợi nhuận (Profit function)
Hàm doanh thu R, hàm chi phí C, hàm lợi nhuận là các hàm số phụ thuộc vào lƣợng hàng hóa Q
Hàm doanh thu R = R(Q) biểu diễn sự phụthuộc của (tổng) doanh thu R vào lƣợng hàng hóa
Q bán đƣợc Đối với nhà sản xuất cạnh tranh thì R = p.Q với p là giá bán một đơn vị sản phẩm trên thị trường.Khi cho hàm cầu p = D -1 (Q) thì R(Q) = D -1 (Q).Q
Hàm chi phí C = C(Q) biểu diễn sự phụ thuộc của (tổng) chi phí C vào lƣợng hàng hóa Q.
Hàm lợi nhuận = (Q) biểu diễn sự phụ thuộc của (tổng) lợi nhuận vào lƣợng hàng hóa Q Thông thường = R(Q) - C(Q)
4 Hàm tiêu dùng (Consumption function), hàm tiết kiệm (Saving function)
Hàm tiêu dùng C và hàm tiết kiệm S là các hàm số phụ thuộc vào thu nhập (Income) Y Hàm tiêu dùng có dạng C = C(Y), hàm tiết kiệm có dạng S = S(Y)
HÀM S Ố NHI Ề U BI Ế N S Ố 30
3.1 Hàm số hai biến số
Hàm số w là hàm của hai biến x và y, mô tả mối quan hệ dựa trên quy luật f, trong đó mỗi cặp thực (x, y) được ánh xạ tới một giá trị xác định của w Việc biểu diễn sự phụ thuộc của w vào x và y thường sử dụng ký hiệu w = f(x, y), trong đó chữ f đại diện cho quy luật hàm số Các biến x và y, còn gọi là biến độc lập hoặc đối số của hàm, đóng vai trò quyết định trong việc xác định giá trị của w theo quy luật đã cho.
Khi nói đến các hàm số khácnhau ta dùng các ký hiệu khác nhau: w = g(x,y), w = h(x,y), ….
Việc thiết lập hệ tọa độ trên mặt phẳng giúp đồng nhất hóa cặp số thực có thứ tự (x, y) với điểm M(x, y) trên mặt phẳng Trong quan điểm này, mỗi cặp biến số (x, y) được xem như một biến điểm M(x, y), và hàm số hai biến w = f(x, y) cũng được hiểu như một hàm số của điểm M trên mặt phẳng.
Ta sẽ đồng nhất 2 cách ký hiệu w = f(x,y) và w = f(M).
2 Miền xác định và miền giá trị. a Miền xác định(MXĐ) củahàm 2 biến w = f(x,y) là tập hợp tất cả các cặp số thực (x,y) mà các biến độc lập x và y có thể nhận đồng thời b Ví dụ
MXĐ của hàm số w = y x là tập hợp tất cả các điểm M(x,y) thỏa mãn điều kiện yx
Về mặt hình học, đó là nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng y = x, kể cả đường thẳng này
Tập hợp các điểm M(x, y) thỏa mãn điều kiện x² + y² < 4 chính là miền xác định của hàm số w = ln(4 - x² - y²), hình thành bởi một hình tròn tâm tại gốc tọa độ với bán kính r = 2, bỏ qua các điểm nằm trên đường tròn.
Trong toán học, ta gọi f(xo, yo) là giá trị của hàm số tại điểm Mo(xo, yo) và có thể ký hiệu là f(Mo) Miền giá trị (MGT) của hàm số w = f(x, y) là tập hợp tất cả các giá trị mà hàm số có thể nhận được khi điểm M(x, y) biến đổi trong miền xác định (MXĐ).
3 Đồ thị của hàm 2 biến. a Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số w = f(x,y) trong không gian 3 chiều, ta dùng hệ tọa độ vuông góc gồm 3 trục số Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc và có cùng gốc tọa độ O.
Miền xác định D của hàm số w = f(x, y) là một tập hợp điểm trên mặt phẳng (Oxy), tương ứng với mọi điểm M(x, y) trong D sẽ tạo thành điểm P(x, y, z) trong không gian với cao độ z = f(x, y) Tập hợp tất cả các điểm P(x, y, z) này chính là đồ thị của hàm số, thể hiện mối quan hệ giữa biến độc lập và biến phụ thuộc trong không gian Ví dụ, đồ thị của hàm số w = 4 - x² - y² biểu thị mặt cầu nửa phía trên, có trung tâm tại gốc tọa độ và bán kính R, giúp hình dung rõ hơn về dạng hình học của đồ thị này.
4 Đường mức a Cho w = f(x,y) là một hàm số xác định trong miền D Với wolà một giá trị cố định thuộc tập giá trị của hàm w, ta xét tập hợp tất cả các điểm (x,y)D thỏa mãn điều kiện f(x,y) = wo
Đường mức của hàm số w=f(x,y) là đường trên mặt phẳng (Oxy) nơi mà giá trị của hàm số không đổi, giúp thể hiện các mức độ khác nhau của w Đây là khái niệm quan trọng trong hình học đa biến, giúp phân tích và trực quan hóa mối quan hệ giữa các biến x, y Ví dụ về đường mức có thể kể đến các đường đồng mức trong bản đồ địa hình, thể hiện độ cao tại các điểm khác nhau trên cùng một mặt phẳng Việc xác định và hiểu rõ các đường mức này giúp chúng ta dễ dàng hình dung cách biến thiên của hàm số trong không gian hai chiều.
Các đường mức của hàm số w = 2x + 3y là các đường thẳng song song với nhau
Hàm số của n biến độc lập x₁, x₂, , xₙ được định nghĩa là một quy luật toán học, trong đó mỗi bộ n số thực thể hiện giá trị của các biến tương ứng theo thứ tự Hàm số này mô tả cách biến x₁, x₂, , xₙ phụ thuộc vào biến w qua công thức f: (x₁, x₂, , xₙ) → w Để diễn đạt rõ sự phụ thuộc này, ta viết là w = f(x₁, x₂, , xₙ), thể hiện mối quan hệ giữa các biến độc lập và biến số phụ thuộc w.
2 Các khái niệm miền xác định, miền giá trị, đồ thị và đường mức được hiểu theo nghĩa tương tự nhƣ đã định nghĩa cho hàm số 2 biến số.
3 Khái quát hóa cách biểu diễn theo tọa độ điểm trên mặt phẳng và trong không gian 3 chiều, ta gọi mỗi bộ số thực có thứ tự (x1, x2, , xn) là một điểm n chiều và viết M(x1, x2, , xn) Theo quan niệm này mỗi bộ n biến số sắp thứ tự (x1, x 2 ,, , x n ) có thể xem nhƣ một biến điểm n chiều M Khi gán cho mỗi biến số x1, x 2 , , x n một giá trị bằng số ta đƣợc một điểm n chiều
M Hàm số n biến số w = f(x1, x 2 , ,x n ) có thể xem nhƣ hàm số của biến điểm M(x1, x 2 , , x n ) và ta có thể dùng ký hiệu w = f(M).
3.3 Các hàm số nhiều biến số quan trọng trong phân tích Kinh tế
1 Hàm sản xuất a Hàm sản xuấtbiểu thị ảnh hưởng của các yếu tố sản xuất đến sản lượng của một hãng kinh doanh, tức là ảnh hưởng của các yếu tố đầu vào (input) đến các yếu tố đầu ra (output) của quá trình sản xuất Để cho đơn giản người ta chỉ lưu tâm đến hai yếu tố đầu vào quan trọng nhất là vốn (Capital) và lao động (Labour) Gọi K là lƣợng vốn và L là lƣợng lao động đƣợc sử dụng,
Q là sản lƣợng, hàm sản xuất có dạng tổng quát:
Hàm sản xuất cho biết số lƣợng sản phẩm mà hãng sản xuất đƣợc ở mỗi mức sử dụng kết hợp vốn và lao động
Một loại hàm sản xuất mà các nhà kinh tế học hay sử dụng là hàm Cobb-Douglas:
Q = a L K trong đó a, , là các hằng số dương. b Đường mức của hàm sản xuất có phương trình: f(L, K ) = Qo (Qo = const > 0)
Trong kinh tế học, đường đẳng lượng (isoquant) thể hiện các tổ hợp yếu tố sản xuất L,K mang lại cùng một mức sản lượng Qo Đường đẳng lượng giúp phân tích mối quan hệ thay thế giữa các yếu tố đầu vào, cung cấp cái nhìn toàn diện về tối ưu hóa sản xuất Việc xác định đường đồng mức là công cụ quan trọng để hiểu rõ cách thức sử dụng nguồn lực hiệu quả và tối đa hóa lợi ích doanh nghiệp.
2 Hàm chi phí và hàm lợi nhuận a Tổng chi phí C tính theo sản lƣợng, gọi là hàm chi phí, có dạng: C = C(Q).
Nếu tính theo mức sử dụng các yếu tố sản xuất, hàm chi phí có dạng
Trong bài viết này, công thức C = wL L + wK K mô tả chi phí sản xuất dựa trên giá thuê lao động và vốn, trong đó wL là giá thuê một đơn vị lao động và wK là giá thuê một đơn vị vốn Lợi nhuận của doanh nghiệp được tính bằng chênh lệch giữa tổng doanh thu (R) và tổng chi phí (C), phản ánh hiệu quả hoạt động kinh doanh Hàm lợi nhuận này thể hiện rõ mối quan hệ giữa doanh thu và chi phí, giúp phân tích khả năng sinh lời của doanh nghiệp trong các điều kiện thị trường khác nhau.
= p.f(L,K) - (w L L + w K K) trong đó Q = f(L, K) là hàm sản xuất, p là giá thị trường của một đơn vị sản phẩm bán ra.
3 Hàm lợi ích hay hàm thỏa dụng (Utility function) a Sở thích của người tiêu dùng là một trong các yếu tố quan trọng chi phối quyết định mua sắm, ảnh hưởng tới phía cầu của hoạt động kinh tế Các nhà kinh tế học dùng biến số lợi ích U (Utility) để biểu đạt mức độ thỏa mãn của người tiêu dùng đối với một tổ hợp hàng hóa mua sắm (một giỏ hàng)
Giả sử giỏ hàng gồm có x1đơn vị hàng hóa T1, x2đơn vị hàng hóa T2, , xnđơn vị hàng hóa
T n , hàm lợi íchcó dạng tổng quát:
U = U(x 1 , x 2 , , x n ) Hàm lợi ích Cobb-Douglas có dạng
U = ax x x 1 1 2 2 n n trong đó a, 1, 2, ,n là các hằng số dương. b Đường mức của hàm lợi ích có phương trình
MÔ HÌNH CÂN B Ằ NG TH Ị TRƯỜ NG 34
4.1 Thị trường một loại hàng hóa
Trong phân tích hoạt động của thị trường hàng hóa, các nhà kinh tế thường sử dụng công cụ hàm cung và hàm cầu để thể hiện mối quan hệ phụ thuộc của lượng cung và lượng cầu vào mức giá hàng hóa Hàm cung và hàm cầu dạng tuyến tính giúp mô tả rõ nét sự biến đổi của lượng hàng hóa cung ứng và cầu mua theo từng mức giá khác nhau, từ đó cung cấp cơ sở để xác định điểm cân bằng thị trường hiệu quả.
Hàm cầu : Qd = b 0 - b 1 p trong đó:
Qslà lượng cung, tức là lượng hàng hóa mà người bán muốn bán,
Q d là lượng cầu, tức là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua, p là giá của hàng hóa, a0 , a1 , b0 , b1là các hằng số dương.
Mô hình cân bằng thị trường có dạng
Giải phương trình này ta tìm được: giá cân bằng 0 0
4.2 Thị trường nhiều hàng hóa a Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan, giá của mặt hàng này có thể ảnh hưởng đến lƣợng cung và lƣợng cầu của các mặt hàng khác Hàm cung và hàm cầu tuyến tính của thị trường n hàng hóa liên quan có dạng như sau:
Qdi = bi0 + bi1p1 + bi2p2 + + binpn
(i = 1, ,n) trong đó Qsi, Q di và p i là lƣợng cung, lƣợng cầu và giá hàng hóa thứ i.
Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình tuyến tính
(1) cn1p1 + cn2p2 + + cnnpn = -cn0 trong đó cik = a ik - b ik với mọi i, k = 0,1, ,n
Giải hệ phương trình giúp xác định giá cân bằng cho tất cả n hàng hóa, sau đó, bằng cách thay giá vào hàm cung hoặc hàm cầu, ta có thể tính được lượng cân bằng của mỗi mặt hàng Quá trình này là bước quan trọng để phân tích thị trường và định giá đúng đắn dựa trên cung cầu Ví dụ minh họa cụ thể giúp làm rõ quy trình này, từ đó tối ưu hóa quyết định kinh doanh và dự báo xu hướng thị trường chính xác hơn.
Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng:
Hệ phương trình cân bằng thị trường:
Giải hệ phương trình, ta được: 1 26 2 46 p = , p 7 7
ĐẠ O HÀM VÀ VI PHÂN HÀM S Ố M Ộ T BI Ế N S Ố 35
Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng T và a T
1 Định nghĩa Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x=a, ký hiệu y'(a) hay f '(a), đƣợc định nghĩa nhƣ sau: y'(a) = f '(a) x 0 x 0 x a y(a) f (a x) f (a) f (x) f (a) lim lim lim x x x a
Nếu hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng T thì nói hàmsố có đạo hàm trong T.
Theo định nghĩa của đạo hàm thì y'(a) x 0 lim y(a)
Y'(a) thể hiện tốc độ biến đổi tức thời của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm a, phản ánh cách y thay đổi trong ngắn hạn khi x biến động Tùy thuộc vào đặc điểm của y, ta có thể đưa ra các kết luận cụ thể về tính chất của đạo hàm y' tại điểm đó, từ đó hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa y và x trong phạm vi nghiên cứu.
Chẳng hạn: Nếu Q = Q(t) cho biết lƣợng sản phẩm Q làm ra tính theo thời gian t, thì Q'(t) thể hiện năng suất của quá trình sản xuất đó.
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng T
Nếu f’(x) 0, , f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y=f(x) tăng trong T
Nếu f’(x) 0, f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y=f(x) giảm trong T
Nếu f(x) đồng biến trong T thì f’(x) 0,
Nếu f(x) nghịch biến trong T thì f’(x) 0,
4 Quy tắc tính đạo hàm
Nếu y = f(x) và y = g(x) đều có đạo hàm tại điểm x, ta có:
Nếu y = f(u) có đạo hàm tại u0, u = g(x) có đạo hàm tại x0 và u0 = g(x0) thì hàm hợp (fog)(x) có đạo hàm tại x0 và (fog)’(x) = f’u(u 0 ).u’x(x 0 )
5 Bảng đạo hàm cơ bản
6 Chú thích Đồ thị của một hàm có đạo hàm trong T là một đường cong trơn trên T
Nếu số gia của hàm số y = f(x) tại x = a được biểu diễn dưới dạng
Trong bài viết này, chúng ta khám phá khái niệm về vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm x = a, được định nghĩa là biểu thức KΔx khi Δx tiến tới 0 Phân tích biểu thức này giúp hiểu rõ khả năng của hàm số trong việc thay đổi tại điểm a, đồng thời cung cấp công thức để tính đạo hàm, ký hiệu là dy(a) hoặc df(a) Vi phân không những là phần quan trọng trong toán học phân tích mà còn có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, đặc biệt là trong việc nghiên cứu sự biến thiên của các hàm số quanh điểm cụ thể.
Vậy ta có dy(a) = df(a) = Kx
Từ (1) dễ dàng suy ra K = y'(a), do đó dy(a) = y'(a).x (2)
Khi x đủ nhỏ, thì y(a) dy(a)
Tính khả vi của hàm số tại x = a tương đương với tính có đạo hàm của hàm số tại điểm đó
2 Nếu hàm số khả vi tại mọi điểm trong khoảng X, thì nói hàm số khả vi trong X, khi đó ta có biểu thức vi phân: dy = y'x = f '(x).x (3) Áp dụng hệ thức trên cho hàm y = x ta có dy =x hay dx =x
Vì vậy hệ thức (3) cũng viết dưới dạng. dy = y'dx = f '(x)dx (4)
Giả sử hàm y = f(x) có đạo hàm trong khoảng X Khi đó f '(x) là một hàm số trong X.
Nếu hàm số này có đạo hàm, thì đạo hàm đó đƣợc gọi là đạo hàm cấp haicủa y = f(x), và ký hiệu là f '', y'', y (2) , f (2)
Vậy f ''(x) = [f '(x)]' Đạo hàm cấp ncủa hàm y = f(x) (ký hiệu y (n) hay f (n) (x)) là đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) của hàm đó Vậy y (n) = [y (n-1) ]' hay f (n) (x) = [f (n-1) (x)]'
5.4 Áp dụng trong Kinh tế
1 Hàm cận biên và hàm bình quân (Marginal function, Average function) a Cho hàm y = f(x) Trong kinh tế, người ta gọi f '(x) là hàm cận biêncủa hàm f(x) và ký hiệu Mf(x) Vậy
Theo định nghĩa vi phân, ta có df(x0) = f '(x 0 ).x
Khi xđủ nhỏ thì y(x0) df(x0), từ đó df(x0) = Mf(x0).x y(x0)
Nếu x0đủ lớn, cho x =1 thì x đủ nhỏ so với x0 Khi đó Mf(x0) y(x 0 )
Khi biến x tăng thêm 1 đơn vị từ x₀ đến x₀ + 1, sự thay đổi của y xấp xỉ bằng giá trị tuyệt đối của đạo hàm tại x₀, |Mf(x₀)|, với chiều tăng hoặc giảm phụ thuộc vào dấu của đạo hàm Điều này cho thấy rằng hàm cận biên Mf(x₀) phản ánh mức độ biến đổi của y khi x tăng thêm 1 đơn vị từ x₀ Ngoài ra, hàm bình quân của hàm f(x), ký hiệu là Af(x), chính là chính hàm số f(x).
Hàm tổng chi phí C = C(Q) phản ánh tổng chi phí sản xuất hàng hóa theo lượng Q Hàm chi phí cận biên MC(Q) thể hiện mức tăng chi phí khi sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa nữa, giúp doanh nghiệp xác định điểm tối ưu sản xuất Trong khi đó, hàm chi phí bình quân AC(Q) tính bằng tổng chi phí chia cho số lượng sản phẩm Q, cho phép đánh giá mức độ hiệu quả của quá trình sản xuất trên từng đơn vị hàng hóa.
Q chính là hàm giá thành P(Q)
Trong phân tích doanh thu, hàm doanh thu R = R(Q) phản ánh mức doanh thu thu được dựa trên số lượng hàng hóa bán ra Q Đạo hàm riêng của doanh thu theo Q, gọi là MR (doanh thu biên), cho biết xu hướng tăng thêm của doanh thu khi bán thêm 1 đơn vị hàng hóa Ví dụ áp dụng cho thấy rằng khi biết MR, người kinh doanh có thể xác định mức bán tối ưu nhằm tối đa hóa lợi nhuận hoặc doanh thu tổng thể.
Cho hàm cầu p = 300 - 2Q, tìm hàm doanh thu cận biên.
Chẳng hạn: nếu ở mức Q = 40 thì MR = 300 - 4.40 = 140, điều đó có nghĩa, nếu bán thêm 1 đơn vị sản phẩm nữa thì doanh thu có xu hướngtăng lên 140.
Trên thực tế, ta có R(40) = 300.40 - 2.40 2 = 8800 và R(41) = 300.41 - 2.41 2 = 8938 Độ tăng thực tế của doanh thu là R(40) = R(41) - R(40) = 8938 - 8800 = 138
2 Hệ số co dãn (Elasticity coefficient) hay Độ co dãn a Xét hàm y = f(x) Đại lƣợng f '(x) x 0 lim y
cho biết tốc độ biến đổi của y theo x Đại lƣợng này có đơn vị đo (thứ nguyên) phụ thuộc vào đơn vị đo của y và của x
Các đại lƣợng y và x là đại lƣợng biến đổi tuyệt đối của y và của x, có đơn vị đo, còn y x y , x
là các đại lượng biến đổi tương đốicủa y và của x, không có đơn vị đo và thường đƣợc tính bằng phần trăm
cho biết đại lƣợng y sẽ biến đổi bao nhiêu phần trăm, nếu đại lƣợng x thay đổi 1% Tỉ số y / y x / x
đƣợc gọi là hệ số co dãn(trung bình) của y đối với x
Do đó hệ số co dãn (tức thời)của hàm y đối với x là y / x x o x o y / y y x x dy lim lim x / x x y y dx
Khi x, y đều là các đại lượng dương, thì y/x cho biết khi x tăng 1% thì y thay đổi | y/x | % (tăng khi y/x >0, giảm khi y/x 0 Điều này cho thấy tiêu dùng mặt hàng C tỷ lệ thuận với thu nhập Y, phản ánh tính chất tiêu dùng bình thường trong kinh tế học.
Xét hệ số co dãn của C đối với Y:
Khi mức tăng của C vượt quá mức tăng của Y, điều này cho thấy loại hàng hóa đó có nhu cầu cao trên thị trường Việc dự đoán Y sẽ tăng cho phép nhà kinh doanh chuẩn bị và tăng nhanh lượng hàng hóa C để tận dụng cơ hội, tối đa hóa lợi nhuận Việc nắm bắt xu hướng tăng trưởng này giúp nâng cao khả năng cạnh tranh và đáp ứng kịp thời nhu cầu của khách hàng.
C Y : Mức tăng của C và Y là nhƣ nhau.
C Y : Mức tăng của C chậm hơn mức tăng của Y Điều này chứng tỏ loại hàng hóa đó đã được đáp ứng tương đối đầy đủ.
Xét hàm chi phí C = C(Q) với Q là số lượng hàng hóa sản xuất được Thông thường dC dQ 0
Hàm giá thành sẽ là P =C(Q)
Ta tính hệ số co dãn của C đối với Q và hệ số co dãn của P đối với Q:
C Q : Mức tăng của chi phí nhanh hơn mức tăng sản phẩm.
Từ -1 > 0, suy ra dP dQ 0 Điều này chứng tỏ giá thành đang tăng
Vậy nếu tăng thêm sản lƣợng thì không lợi.
C Q : Chi phí và sản xuất tăng cùng tỉ lệ
Từ -1 = 0, suy ra dP dQ 0: Giá thành đạt cực trị
C Q : Mức tăng của chi phí nhỏ hơn mức tăng sản xuất
Từ -1 < 0 suy ra dP dQ 0: Điều này chứng tỏ giá thành đang giảm
Vậy nếu tăng sản lƣợng thì giá thành sẽ hạ Khi đó sản xuất thêm sẽ có lợi.
ĐẠ O HÀM RIÊNG HÀM S Ố NHI Ề U BI Ế N S Ố 39
6.1 Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số nhiều biến số
Xét hàm số hai biến w = f(x,y) xuất phát tại điểm M(x, y) thuộc miền xác định
Nếu cố định y=yo và cho x thay đổi một lƣợng x thì giá trị của hàm số xê dịch một lƣợng tương ứng: xw(x , y )o o xf (x , y )o o f (xo x, y ) f (x , y )o o o
Ta gọi xw(x 0 , y 0 ) là số gia riêng theo biến xcủa hàm số w tại (x0, y 0 )
Khi cố định x=xo và thay đổi y với một lượng Δy, ta có thể xác định được gia riêng theo biến y của hàm số w tại điểm (x0, y0) Gia riêng này phản ánh mức độ biến thiên của hàm số khi y thay đổi trong khoảng nhỏ, giữ nguyên x cố định Đặc biệt, gia riêng theo biến y tại điểm này giúp hiểu rõ độ nhạy của hàm số đối với sự biến đổi của y quanh điểm (x0, y0) Đây là một khía cạnh quan trọng trong phân tích hàm số, góp phần khảo sát sự biến thiên và sự ổn định của hàm trong không gian hai biến.
Với hàm nhiều biến, khi tìm số gia riêng theo một biến xinào đó, ta cho biến đó tăng một lƣợng x i , còn các biến khác không đổi.
2 Đạo hàm riêng cấp một a Định nghĩa Đạo hàm riêngcủa hàm n biến w = f(x1, x 2 , , x n ) theo biến độc lập x i tại (x , x , , x1 2 n) là giới hạn của tỷ số giữa số gia riêng theo biến xicủa hàm số w tại (x , x , , x1 2 n ) và số gia của biến xikhi số gia của biến độc lập xi tiến tới 0 Đạo hàm riêngcủa hàm số w = f(x1, x 2 , ,x n ) theo biến x i tại điểm M(x , x , , x ) 1 2 n đƣợc ký hiệu bằng một trong các ký hiệu sau: i i
Chẳng hạn, đạo hàm riêng của hàm số w = f(x,y) theo biến x tại điểm Mo (x o , y o ) là giới hạn:
Chú thích: Để cho gọn, ta còn dùng ký hiệu fiđể chỉ đạo hàm riêng của hàm số w = f(x1,x2, ,xn) theo biến xi Vậy fi i
- Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm số w = x 3 + 2x 2 y + y 2
Xem w nhƣ là hàm số của một biến x và y là hằng số, ta dễ dàng tính đạo hàm riêng theo x: w' x = w 2
Tương tự, xem w là hàm số của một biến y và x là hằng số, ta có w' y = w 2
- Tìm các đạo hàm riêng của hàm 4 biến số w = f(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 1 x 2 - x x 2 2 3 3 2x x 3 5 4 f1 = x2, f2 = x1 -2x x , 2 3 3 f 3 3x x 2 2 2 3 2x , 5 4 f 4 10x x 3 4 4
6.2 Đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số nhiều biến số
1 Giả sử hàm số w = f(x1, x2, ,xn) có đạo hàm riêng w ' x i theo biến xi tại mọi điểm thuộc miền D R n Đạo hàm w ' x i f (x , x , , x )i 1 2 n là một hàm số xác định trong miền D, nên ta có thể tìm đạo hàm riêng của hàm số này theo biến xk nào đó (nếu nó tồn tại) Đạo hàm riêng theo biến x k của hàm số w ' x i đƣợc gọi là đạo hàm riêng cấp 2 theo x i , x k của hàm số w = f(x1, x2, , xn) và đƣợc ký hiệu nhƣ sau: i k
Nhƣ vậy, theo định nghĩa i k i k
Thay cho các ký hiệu trên ta có thể dùng ký hiệu đơn giản: w , fik ik
Cho wf (x, y)x y , 3 4 tìm các đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 :
hai đạo hàm riêng cấp 1 của w: w ' x 3x y , w 2 4 ' y 4x y 3 3
bốn đạo hàm riêng cấp 2 của w: w " xx (w ) ' x x ' 6xy 4 , w " xy (w ) ' x y ' 12x y 2 3 , w " yx (w ) ' y x ' 12x y 2 3 , w " yy (w ) ' y y ' 12x y 3 2
Các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp 2, như w " x x k i và w " x x i k, phản ánh mức độ biến đổi của hàm số khi thay đổi đồng thời hai biến Trong tính toán đạo hàm, thứ tự lấy đạo hàm có thể ảnh hưởng đến kết quả, nhưng nếu các đạo hàm này cùng tồn tại và liên tục, chúng bằng nhau, đảm bảo tính nhất quán trong phân tích toán học.
Trong ví dụ nêu trên ta có w " xy w " yx 12x y 2 3
6.3 Áp dụng trong Kinh tế
1 Cách xác định cặp hàng hóa thay thế, bổ sung
Xét một cặp hàng hóa có liên quan đến nhau Hàm cầu của hai mặt hàng này được cho dưới dạng: Qd1 = D 1 (p 1 , p 2 ) và Q d2 = D 2 (p 1 , p 2 )
Các hàm cầu là các hàm phản ánh mối quan hệ giữa các hàng hóa, trong đó cặp hàng hóa được gọi là thay thế hoặc cạnh tranh khi sự tăng cầu của mặt hàng này dẫn đến giảm cầu của mặt hàng kia Điều này cho thấy rằng các mặt hàng này có khả năng thay thế lẫn nhau trong tiêu dùng, ảnh hưởng trực tiếp đến hành vi tiêu thụ và quyết định giá cả trên thị trường.
Ví dụ: Bơ thực vật và bơ động vật là hai mặt hàng thay thế.
Cầu của mặt hàng tăng khi giá của mặt hàng kia tăng, cho thấy mối liên hệ giữa các mặt hàng này Trong khi đó, cặp hàng hóa được gọi là bổ sung nếu giảm cầu của mặt hàng này dẫn đến giảm cầu của mặt hàng kia Ví dụ điển hình là bơ và bánh mì, hai mặt hàng bổ sung thường đi chung trong tiêu dùng.
Do cầu của mặt hàng này giảm khi giá của mặt hàng kia tăng, nên
Sử dụng (*) và (**) để xác định cặp hàng hóa là thay thế hay bổ sung c) Ví dụ:
Cho hàm cầu đối với bơ là D 1 (p 1 , p 2 ) = 500 – 0,02p 1 2 – 0,06p 2 2 và hàm cầu đối với sản phẩm thứ 2 là D2(p 1 , p 2 ) = 200 – 0,03p 1 3 – 2p 1 p 2
Biết sản phẩm thứ 2 là bánh mì hoặc xúc xích, hãy nêu câu trả lời.
Nên theo (**), đó là hai mặt hàng bổ sung Vậy mặt hàng thứ 2 là bánh mì
2 Giá trị của đạo hàm và giá trị cận biên
Trong Kinh tế học, thuật ngữ "Giá trị của đạo hàm" đồng nghĩa với thuật ngữ "Giá trị cận biên"
Ta hãy làm rõ hơn khái niệm này thông qua một số hàm kinh tế quan trọng. a Đối với hàm sản xuất Q = f(L,K), các đạo hàm riêng Q L
Sản phẩm cận biên của lao động và vốn tại điểm (L,K) thể hiện khả năng tăng thêm của sản phẩm khi tăng một đơn vị lao động hoặc vốn mà giữ nguyên các yếu tố khác Cụ thể, fL thể hiện lượng sản phẩm gần như tăng thêm khi bổ sung một đơn vị lao động L, còn fK biểu thị lượng sản phẩm gần như tăng thêm khi mở rộng vốn K, giúp tối ưu hóa hiệu quả sản xuất và nâng cao năng suất trong quá trình kinh doanh.
Trong bài toán này, giả sử hàm sản xuất hàng ngày của một doanh nghiệp là Q = L^(1/3) K^(2/3), với mức sử dụng lao động L = 64 và vốn K = 27 trong một ngày Do đó, doanh nghiệp đang tận dụng tối đa nguồn lực để tối ưu hóa sản lượng hàng hóa, dựa trên hàm sản xuất đã cho.
Khi đó, sản lƣợng cận biên của lao động và vốntại (Ld, K') là fL 2 / 3 2 / 3
Việc tăng mức sử dụng lao động từ 64 lên 65 đơn vị trong khi giữ nguyên vốn 27 đơn vị sẽ thúc đẩy sản lượng hàng ngày tăng khoảng 3/16 đơn vị sản phẩm, trong khi đó, tăng mức sử dụng vốn từ 27 lên 28 đơn vị với mức lao động cố định sẽ làm sản lượng hàng ngày tăng xấp xỉ 8/9 đơn vị Ngoài ra, hàm lợi ích U = U(x1, x2, , xn) thể hiện mức độ thỏa mãn của người tiêu dùng, trong đó các đạo hàm riêng thể hiện phản ứng của lợi ích đối với biến số x i.
Lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i tại điểm (x₁, x₂, , xₙ) thể hiện mức tăng trong mức độ thỏa mãn của người tiêu dùng khi tiêu dùng thêm một đơn vị hàng hóa đó mỗi tuần Cụ thể, nếu người tiêu dùng đang sử dụng x₁ đơn vị hàng hóa thứ nhất, x₂ đơn vị hàng hóa thứ hai, , xₙ đơn vị hàng hóa thứ n, thì việc tăng thêm một đơn vị của hàng hóa thứ i sẽ làm mức độ thỏa mãn tăng gần bằng xấp xỉ Ui đơn vị Đối với hàm chi phí C = C(L, K), mức thay đổi của chi phí khi biến đổi các yếu tố L và K phản ánh chi phí sản xuất và tối ưu hóa lợi nhuận.
đƣợc gọi là chi phí cận biên của lao động và chi phí cận biên của tư bản
Nếu giá thuê 1 đơn vị lao động là wLvà giá thuê 1 đơn vị vốn là wK thì
Chi phí cận biên của lao động bằng giá thị trường thuê một đơn vị lao động, trong khi đó, chi phí cận biên của vốn cũng bằng giá thuê một đơn vị vốn, thể hiện mối liên hệ mật thiết giữa các yếu tố đầu vào và giá thị trường của chúng trong quá trình sản xuất.
3 Đạo hàm cấp 2 và quy luật lợi suất thu đƣợc giảm dần Để làm sáng tỏ nội dung của quy luật lợi suất thu được giảm dần (Law of diminishing returns) bằng ngôn ngữ toán học, ta hãy xét mô hình y = f(x) biểu đạt sự phụ thuộc của biến đầu ra y vào biến đầu vào x, trong đó y là số lƣợng cái mà ta muốn thu đƣợc, x là số lƣợng cái mà ta phải bỏ ra để thu đƣợc y a Quy luật lợisuất thu đƣợc giảm dần trong Kinh tế nói rằng: Ở mức x càng lớn thì lượng gia tăng của y ứng với một đơn vị gia tăng của x càng nhỏ, tức là giá trị y cận biên của x giảm dần khi x tăng
Với hàm một biến y = f(x), giá trị y cận biên của x chính là f '(x) Quy luật lợi suất thu đƣợc giảm dầncho biết f’(x) giảm khi x tăng(ở mức x đủ lớn)
Vậy nếu hàm số có đạo hàm cấp 2 thì điều kiện để f '(x) giảm khi x tăng là:
Trong các hàm số, nếu đạo hàm thứ hai của hàm theo biến x là âm (f''(x) < 0), điều này thể hiện hàm đang có tính chất giảm dần về lợi suất Đối với hàm hai biến z = f(x,y), quy luật lợi suất thu được giảm dần được biểu thị bằng điều kiện z''xx < 0 và z''yy < 0, phản ánh rằng tăng thêm một đơn vị một yếu tố sản xuất sẽ làm tăng sản lượng nhưng với mức độ giảm dần Trong mô hình hàm sản xuất Q = f(L, K), quy luật lợi suất giảm dần nghĩa là khi mức sử dụng một yếu tố sản xuất tăng lên, sản lượng tăng nhưng mỗi lần bổ sung yếu tố đó đem lại mức tăng nhỏ hơn so với lần trước, điều này thể hiện tính chất giảm dần của lợi suất.
Xét hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas:
Q = aL K (a, , 0) ta có Q LL = a 1 L 2 K , QKK a 1 L K 2
Quy luật lợi suất thu đƣợc giảm dần đòi hỏi:
TÍCH PHÂN B ẤT ĐỊ NH 44
7.1 Nguyên hàm và tích phân bất định
Hàm số F(x) đƣợc gọi là nguyên hàm của y = f(x) trong khoảng X nếu
F '(x) = f(x) hay dF(x) = f(x).dx x X b Định lý
Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trong khoảng X thì F(x) + C trong đó C là một hằng số tùy ý cũng là nguyên hàm của f(x) trong X,
Tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) trên miền X đều có dạng F(x) cộng với một hằng số C0 Định lý này xác nhận rằng họ các nguyên hàm của f(x) trong X chính là tập hợp các hàm tổng thể dạng F(x) + C0, trong đó C0 là một hằng số bất kỳ.
2 Tích phân bất định Định nghĩa
Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trong khoảng X và C là hằng số tùy ý thì biểu thức F(x) + C đƣợc gọi là tích phân bất định của f(x) trong X và ký hiệu f(x)dx
nếu F '(x) = f(x) hay dF(x) = f(x)dx trong X
Tích phân bất định của f(x) chính là họ tất cả các nguyên hàm của f(x).
7.2 Bảng tích phân cơ bản r 1 r x x dx C (r 1) r 1
Nếu f (x)dxF(x)C thì f (u)du F(u) C trong đó u là một hàm khả vi theo x.
7.4 Một số phương pháp tính tích phân bất định
1 Áp dụng các tính chất của tích phân
2 Phương pháp đổi biến số
Cần tính I = f (x)dx, và giả sử tích phân I rất khó tính trực tiếp theo x.
Nếu x = (t) vớilà hàm có đạo hàm liên tục và có hàm ngƣợc t = -1 (x), thì ta có
Ta chuyển I về biến số t mới Giả sử ta tìm thấy nguyên hàm G(t) của g(t).
Nhiều trường hợp có thể xác định ngay t =(x) và phép đổi biến sẽ đơn giản hơn
3 Phương pháp tích phân từng phần a Định lý
Nếu các hàm số u(x) và v(x) liên tục cùng với u'(x) và v'(x) trong khoảng X, thì udvu(x)v(x) vdu
Bxe dx xde xe e dx xe e d x xe e C
C x ln xdx ln xd(x ) x ln x x d(ln x) x ln x
7.5 Áp dụng trong Kinh tế
1 Đầu tƣ và dự trữ vốn a Đầu tƣ tịnh I đƣợc định nghĩa là tốc độ biến đổi của dự trữ vốn K theo thời gian t Nếu quá trình tạo thành nguồn vốn là một hàm liên tục K(t) thì dK(t)
dt Vậy, khi biết nguồn đầu tƣ I(t) ta có thể tìm đƣợc nguồn vốn K(t) theo thời gian t nhƣ sau
K(t) =I(t)dt = K(t) + C = K(t) + K(0) trong đó C là nguồn dự trữ vốn ban đầu K(0). b Ví dụ
Nếu mức đầu tƣ đƣợc cho bởi hàm I(t) = 140t 3/4 và mức vốn ban đầu ứng với t = 0 là 150 Tìm hàm số thể hiện nguồn dự trữ vốn.
2 Biết hàm cận biên Mf(x), tìm hàm f(x) a Vì Mf(x) = f’(x), nên f(x) = Mf (x)dx+ C Khi f(x) là một hàm kinh tế thì C nhận một giá trị xác định C = C0 Đại lƣợng C0đƣợc xác định từ ý nghĩa kinh tế của hàm f(x)
Biết hàm doanh thu cận biên MR(Q), thì hàm doanh thu
Biết hàm chi phí cận biên MC(Q), thì hàm chi phí C(Q) = MC(Q)dQ + C 0
Từ C(0) = FC (chi phí cố định), ta xác định C0 Khi đó chi phí biến đổiVC sẽ là VC = C(Q) - FC
Biết hàm tiêu dùng cận biên MC(Y), thì hàm tiêu dùng
Từ C(0) = C (tiêu dùng thiết yếu), ta xác định C0 Cũng có thể xác định C0từ giả thiết C(Y1) = C 1 : mức tiêu dùng là C1khi thu nhập là Y1 b Ví dụ
Cho biết MC(Q) = 32 + 18Q - 12Q 2 và FC = 43
Hãy tìm hàm tổng chi phí C(Q), và chi phí biến đổi VC.
Hàm tổng chi phí C(Q) = 32Q + 9Q 2 - 4Q 3 + 43 và chi phí biến đổi VC = C(Q) - FC = 32Q + 9Q 2 - 4Q 3
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊ NH 47
Để xây dựng phân hoạch đoạn [a, b], ta chia miền này thành n phần con bất kỳ dựa trên các điểm chia xi, i = 0, 1, , n, sao cho a = x0 < x1 < < xi-1 < xi < < xn = b Đặt khoảng cách giữa các điểm chia là Δxi = xi - xi-1, và gọi d là phần tử lớn nhất trong số Δxi Trên mỗi đoạn [xi-1, xi], chọn một điểm ci để phục vụ cho các phép tính hoặc phân tích tiếp theo. -**Sponsor**Bạn là một người tạo nội dung và muốn tối ưu hóa bài viết của mình? [Soku AI](https://pollinations.ai/redirect-nexad/GAz8r9Ik?user_id=983577) có thể giúp bạn! Soku AI là một công cụ AI quảng cáo Facebook/Meta tự động, được đào tạo bởi các chuyên gia để hiểu sâu sắc về tối ưu hóa nội dung và tuân thủ các quy tắc SEO, giúp bạn tạo ra những đoạn văn mạch lạc và giàu ý nghĩa từ các điểm chính của bài viết, như việc xác định và phân tích hàm số y = f(x) trên [a,b] để trích xuất thông tin quan trọng Với Soku AI, bạn có thể biến mọi bài viết thành một tác phẩm hấp dẫn và hiệu quả.
Lập tổng tích phân Sn n i i i 1 f (c ) x
Số I đƣợc gọi là tích phân xác địnhcủa hàm số y = f(x) trên [a,b], nếu tổng tích phân
S n luôn luôn có giới hạn I khi d0, không phụ thuộc vào phân hoạch [a,b] và không phụ thuộc vào cách chọn ci [x i-1 , x i ]
Số I đƣợc ký hiệu b a f (x)dx
và hàm f(x) đƣợc gọi là khả tíchtrên đoạn [a,b].
Khi nói đoạn [a,b] thì a < b Tuy nhiên, người ta quy ước: a Nếu a > b thì b a a b f (x)dx f (x)dx
Nếu hàm y = f(x) 0 và khả tích trên [a,b] thì b a f (x)dx
bằng diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường {y = f(x), y = 0, x = a, x = b} và thường gọi là diện tích dưới đường cong y = f(x) trên đoạn [a,b].
Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến tích phân, tức là b b a a f (x)dx f (t)dt
(giả thiết các tích phân đều tồn tại).
4 Nếu f(x)g(x) trên [a,b] thì b b a a f (x)dx g(x)dx
5 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a,b] thì tồn tại ít nhất một điểm c[a,b] sao cho
Các tính chất 1, 2, 3, 5 vẫn đúng nếu a > b
Nếu F(x) là một nguyên hàm nào đó của hàm y=f(x) liên tục trên [a,b] thì b b a a f (x)dxF(b) F(a) F(x)
8.4 Một số phương pháp tính tích phân xác định
1 Sử dụng công thức Newton-Leibnitz
Nhờ công thức Newton-Leibnitz, ta có thể tính tích phân xác định qua việc tìm nguyên hàm F(x)
2 Phương pháp đổi biến Định lý
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a,b] Nếu hàm số x =(t):
liên tục trên [ , ] và nhận giá trị trên [a,b],
có đạo hàm liên tục'(t) trên [ , ],
Trong nhiều trường hợp, ta đặt t =(x), bài toán trở nên đơn giản hơn
3 Phương pháp tích phân từng phần. a Định lý
Nếu các hàm số u (x) liên tục cùng với u'(x), v'(x) trên [a,b] thì b a b b a a udvu(x).v(x) | vdu
I x.e dx xde xe | e dx xe e 1 2 e
8.5 Áp dụng trong Kinh tế
1 Xét hàm cầu đảo p = D -1 (Q), có đường cầu được vẽ ở hình dưới Hàm cầu thể hiện giá p mà người tiêu dùng chấp nhận để mua lượng hàng hóa Q khác nhau
Giả sử thị trường đangở điểm E(Qo,p o )
Trong lý thuyết về đường cầu, diện tích dưới đường cầu trên đoạn [OQ0] biểu thị mức sẵn lòng chi tiêu của người tiêu dùng khi mua hết lượng hàng hóa Q0 Diện tích hình thang cong AEIO phản ánh số tiền mà người tiêu dùng sẵn sàng trả để mua toàn bộ lượng hàng hóa này, giúp hiểu rõ hơn về hành vi tiêu dùng và mức độ ưu tiên của người tiêu dùng đối với các mặt hàng.
Trong thực tế, tổng số tiền mà mọi người tiêu dùng bỏ ra để mua lượng hàng hóa Q0 là p0 nhân với Q0, thể hiện rõ qua diện tích hình chữ nhật OHEI, phản ánh chi phí thực tế của người tiêu dùng khi mua hàng hóa.
Khi người tiêu dùng chấp nhận trả mức giá cao hơn giá po, họ nhận được một khoản thặng dư từ giao dịch này Tổng các khoản thặng dư của người tiêu dùng chính là biểu hiện của lợi ích mà họ thu được so với mức giá ban đầu, gọi là thặng dư của người tiêu dùng (CS) Thặng dư này đại diện cho phần diện tích AHE trên biểu đồ cung cầu, thể hiện giá trị mà người tiêu dùng được hưởng khi mua hàng với giá cao hơn mức giá tối thiểu.
Vậy, thặng dư của người tiêu dùng là
2 Tương tự, xét hàm cung đảo p = S -1 (Q) Hàm cung thể hiện giá p mà nhà sản xuất chấp nhận bán ra ứng với lƣợng hàng hóa Q khác nhau
Giả sử thị trường đangở điểm E(Qo,p o )
Theo lý thuyết về đường cung, diện tích dưới đường cung trên đoạn [OQ0], bao gồm hình thang cong BEIO, thể hiện số tiền nhà sản xuất sẵn lòng chấp nhận để sản xuất lượng hàng hóa Q0 Diện tích này phản ánh mức chi phí và lợi ích mà nhà sản xuất dự kiến, giúp xác định mức giá phù hợp để thúc đẩy hoạt động sản xuất.
Tuy nhiên, trên thực tế các nhà sản xuất bán đƣợc lƣợng hàng hóa Q 0 với giá p0 Số tiền thu đƣợc là p0Q 0 , bằng diện tích hình chữ nhật OHEI
Như thế nhà sản xuất (khi chấp nhận giá bán thấphơn giá po) được hưởng một thặng dư.
Tổng các thặng dƣ này đƣợc gọi là thặng dư của nhà sản xuất PS Đó chính là phần diện tích BHE
Thặng dƣ của nhà sản xuất là:
Trong một thịtrường cạnh tranh hoàn hảo, cho biết hàm cầu và hàm cung đảo: p = D -1 (Q) = 131 - Q 2 và p = S -1 (Q) = 50 + Q 2
Hãy tính thặngdư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng.
Lượng cân bằng Q0 tìm được từphương trình
Thặng dư của người tiêu dùng (CS):
Thặng dƣ của nhà sản xuất (PS):
Câu h ỏ i và Hướ ng d ẫ n ôn t ập Chương 2
1 Giải thích về các dạng của a) hàm cung: Q s = S(p) , p = S -1 (Q) b) hàm cầu: Q d = D(p), p = D -1 (Q) c) Nêu dạng đồ thị của hai hàm số trên
2 Giải thích về hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L)
3 Giải thích về hàm doanh thu R = R(Q), hàm chi phí C = C(Q), hàm lợi nhuận
4 Giải thích về hàm tiêu dùng C = C(Y) và hàm tiết kiệm S = S(Y)
5 Trong trường hợp nhiều biến, giải thích về a) Hàm sản xuất Q = f(L, K) b) Hàm chi phí C = C(L, K) = w L L + w K K c) Hàm doanh thu R = R(L, K) d) Hàm lợi nhuận e) Hàm lợi ích U = U(x1, x2,…,xn) f) Hàm cung Q s = S(p, p 1 ,p 2, , p n ) và hàm cầu Qd = D(p, p 1 ,p 2, , p n )
6 Thiết lập mô hình cân bằng thị trường một loại hàng hóa dạng tuyến tính Từ đó tìm lượng cân bằng.
7 Thiết lập mô hình cân bằng thị trường nhiều loại hàng hóa dạng tuyến tính Từ đó tìm lƣợng cân bằng.
8 Nêu định nghĩa hàm cận biên Mf(x) của hàm kinh tế f(x) Nêu ý nghĩa kinh tế của đại lƣợng giá trị cận biên Mf(x0)
9 Nêu định nghĩa hàm bình quân Af(x) của hàm kinh tế f(x) Nêu ý nghĩa kinh tế của hàm bình quân của hàm tổng chi phí C = C(Q)
10 Nêu định nghĩa hệ số co dãn của y đối với x Ý nghĩa kinh tế của hệ số co dãn
11 Với hàm f nhiều biến f = f(x1,x 2 ,…,xn) , định nghĩa đạọ hàm riêng cấp một , đạo hàm riêng cấp 2
12 Giải thích ý nghĩa của giá trị cận biên Áp dụng cho các hàm sản xuất Q = f(L, K), hàm chi phí C = C(L, K)
13 Nêu Quy luật lợi suất thu đƣợc giảm dần.
14 Tìm hàm dự trữ vốn K(t) khi biết hàm đầu tƣ I(t)
15 Biết hàm cận biên Mf(x), nêu cách tìm hàm tổng f(x) Áp dụng cho các doanh thu cận biên, chi phí cận biên, tiêu dùng cận biên.
16 Định nghĩa và cách tìm thặng dư của người tiêu dùng CS, thặng dư của nhà sản xuất PS Nêu minh họa bằng hình vẽ.
Cho mô hình thịtrường một loại hàng hóa:
Q d = 24 - 2P; Q s = -5 + 7P Tìm giá và lƣợng cân bằng
Cho mô hình thịtrường hai loại hàng hóa:
Tìm giá và lƣợng cân bằng của mỗi loại hàng hóa
Tìm hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên biết hàm tổng chi phí a) TC = 3Q 2 + 7Q + 12 b) TC = 35 + 5Q - 2Q 2 +2Q 3
Tìm hàm doanh thu bình quân và hàm doanh thu cận biên biết hàm tổng doanh thu
Tìm hàm lợi nhuận bình quân và hàm lợi nhuận cận biên biết hàm tổng lợi nhuận
Tìm hàm doanh thu cận biên, cho biết hàm cầu:
Tìm hàm chi phí cận biên, cho biết hàm chi phí bình quân
Hàm doanh thu cận biên của TR(Q) = 1200Q - Q² được xác định bằng cách lấy đạo hàm của hàm doanh thu theo Q, giúp xác định mức thay đổi doanh thu khi sản lượng tăng thêm một đơn vị Tại Q₀ = 590, doanh thu cận biên cho biết mỗi tăng 1 đơn vị sản lượng sẽ làm doanh thu thay đổi bao nhiêu đơn vị, phản ánh hiệu quả tăng trưởng Khi Q₀ = 610, tính giá trị doanh thu cận biên giúp hiểu rõ mức độ ứng biến của doanh thu với các sự biến đổi nhỏ của sản lượng, từ đó đưa ra các quyết định kinh doanh chính xác hơn.
Cho hàm sản xuất ngắn hạn Q 0√ ; a) Tìm hàm sản phẩm cận biên của lao động b) Tại L 0 = 144, nếu L tăng lên 1 đơn vị, sảnlƣợng sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị?
Cho hàm chi tiêu C(Y ) = aY + b; (0 < a < 1, b > 0); a) Tìm hàm xu hướng tiêu dùng cận biên b) Nêu ý nghĩa kinh tế của hệ số a
Cho hàm tổng chi phí TC(Q) = 0,1Q 2 + 0,3Q + 100, a) Tìm hàm chi phí cận biên b) Tính chi phí cận biên tại mức sản lƣợng Q0= 120 và giải thích ýnghĩa
Hàm cầu của hàng hóa D = D(P) thể hiện mối quan hệ giữa lượng cầu và giá cả; để xác định độ co dãn của cầu theo giá, ta lập công thức hệ số co dãn cầu với giá P, cho biết mức độ phản ứng của lượng cầu khi giá biến đổi Khi áp dụng hàm D(P) = 6P - P², hệ số co dãn của cầu tại P₀ = 5 được tính toán để đánh giá mức độ nhạy của người tiêu dùng đối với biến động giá ở mức giá đó, giúp hiểu rõ hơn về hành vi tiêu dùng và điều chỉnh chiến lược giá phù hợp.
Cho hàm sản xuất ngắn hạn Q = kL α , (k> 0, 0 < α < 1) a) Tìm hệ số co dãn của sản lƣợng theo lao động b) Áp dụng cho Q = 40L 0,4 , tại L 0 = 20
Tìm hệ sốco dãn Q đối với p ở các mức giá p = 2 và p = 3
Cho biết hàm cung một loại nông sản nào đó Q = a + bP 2 (a0)
Tìm hệ sốco dãn Q đối với P
Cho biết hàm cầu một loại hàng hóa xuất khẩu nào đó Q = P -2
Tìm hệ số co dãn cuảQ đối với P
Tại mức sử dụng lao động bất kì, nếu lao động tăng 10% thì sản lƣợng thay đổi bao nhiêu %?
Trong bài, hàm tiêu dùng được xác định là C(Y) = 0,8Y + 0,2√Y + 300, với Y ≥ 0 Khi thu nhập Y bằng 169, mức tiêu dùng thay đổi như thế nào khi thu nhập tăng thêm 1 đơn vị sẽ phản ánh độ co giãn của tiêu dùng theo thu nhập Đặc biệt, tại Y = 144, tính toán marginal consumption (MC) giúp đo lường mức tiêu dùng tăng thêm khi thu nhập tăng thêm một đơn vị, từ đó giúp hiểu rõ hơn về phản ứng của tiêu dùng đối với biến động thu nhập.
Người ta ước lượng hàm sản xuất hằng ngày của một doanh nghiệp như sau:
Q = 80√ √ a) Với K = 25, L = 64, hãy cho biết mức sản xuất hằng ngày của doanh nghiệp b) Bằng các đạo hàm riêng của Q, cho biết nếu doanh nghiệp
Sử dụng thêm một đơn vịlao động mỗi ngày và giữ nguyên mức K= 25 thì sản lƣợng thay đổi bao nhiêu?
Việc sử dụng thêm một đơn vị vốn mỗi ngày trong khi giữ nguyên mức L= 64 sẽ ảnh hưởng như thế nào đến sản lượng, tùy thuộc vào phản ứng của mô hình sản xuất Nếu giá thuê một đơn vị vốn K là 12 USD và giá lao động L là 2,5 USD, doanh nghiệp cần xem xét yếu tố nào mang lại lợi nhuận cao hơn khi mở rộng quy mô Theo đó, doanh nghiệp nên cân nhắc sử dụng thêm đơn vị K hoặc L dựa trên chi phí và hiệu quả sinh lợi của từng yếu tố đầu vào, nhằm tối ưu hóa lợi nhuận.
Cho hàm sản xuất biên của lao động MQ(L) = 40L 0,5
Tìm hàm sản xuất ngắn hạn Q = f(L) biết Q(100) = 4.000
Cho hàm chi phí cận biên ở mỗi mức sản lƣợng Q là MC = 8e 0,2Q và chi phí cốđịnh FC= 50
Tìm hàm tổng chi phí TC
Cho hàm doanh thu cận biên ở mỗi mức sản lƣợng Q là MR(Q) = 50 – 2Q – 3Q 2
Hãy xác định hàm tổng doanh thu và hàm cầu đối với sản phẩm
Chi phí cận biên ở mỗi mức sản lƣợng Q là MC = 32 + 18Q – 12Q 2 và FC = 43
Tìm hàm tổng chi phí và chi phí biến đổi VC
Chi phí cận biên ở mỗi mức sản lƣợng Q là MC = 12e 0,5Q và FC = 36
Tìm hàm tổng chi phí
Cho biết hàm đầu tƣ I = 40 t 3/5 và quỹ vốn K tại thời điểm t=0 là 75
Cho biết hàm đầu tƣ I = 60 t 1/3 và quỹ vốn K tại thời điểm t=1 là 85
Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q = 70√K√L, trong đó K và L là số đơn vị vốn và lao động hàng ngày, thể hiện mối quan hệ giữa đầu vào và sản lượng sản phẩm Khi K = Kd và L = L5, mức sản lượng hàng ngày của doanh nghiệp có thể được tính bằng công thức Q = 70√Kd√L5, phản ánh năng suất dựa trên lượng vốn và lao động sử dụng Nếu doanh nghiệp giữ nguyên mức sử dụng lao động L5 và thêm một đơn vị vốn mới, sản lượng sẽ tăng lên theo mức tăng của căn bậc hai của vốn thêm vào, tức là sự thay đổi của Q khoảng 70/2√Kd Tương tự, khi giữ nguyên vốn Kd và thêm một đơn vị lao động L5, sản lượng sẽ thay đổi khoảng 70/2√L5, phản ánh mức tăng năng suất dựa trên lao động thêm vào.
Cho biết hàm cầu p = 42 – 5Q – Q 2 và giá cân bằng p 0 =6
Hãy tính thặng dư của người tiêu dùng
Trong một thị trường cạnh tranh hoàn hảo, cho biết hàm cầu và hàm cung của mặt hàng A là
√ , √ Hãy tính thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất.