MH16 GIAO TRINH TOÁN KINH tế

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PHÁT TRIỂN NÔNG THÔN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CƠ GIỚI NINH BÌNH GIÁO TRÌNH MÔN HỌC TOÁN KINH TẾ NGHỀ KẾ TOÁN DOANH NGHIỆP TRÌNH ĐỘ CAO ĐẲNG Ban hành kèm theo Quyết định số /QĐ TCGNB ngày thán[.]

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PHÁT TRIỂN NÔNG THÔN

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CƠ GIỚI NINH BÌNH

GIÁO TRÌNH MÔN HỌC: TOÁN KINH TẾ NGHỀ: KẾ TOÁN DOANH NGHIỆP

TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG

Ban hành kèm theo Quyết định số: /QĐ-TCGNB ngày…….tháng….năm 20

của Trường Cao đẳng Cơ giới Ninh Bình

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: MA TRẬN 3

1 Các khái niệm cơ bản về ma trận 3

2 Các dạng ma trận 4

3 Các phép toán tuyến tính đối với ma trận 6

CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC 11

1 Định thức của ma trận vuông 11

2 Tính các định thức cấp thấp theo định nghĩa 11

3 Các tính chất cơ bản của định thức 12

4 Các phương pháp tính định thức 13

CHƯƠNG 3: MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 19

1 Khái niệm ma trận nghịch đảo 19

2 Ma trận phụ hợp của ma trận vuông 19

3 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo 19

4 Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan tính ma trận nghịch đảo 21

CHƯƠNG 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 24

1 Dạng tổng quát 24

2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính 24

3 Hệ Cramer 25

4 Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan giải hệ phương trình tuyến tính 26

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình Toán kinh tế được biên soạn trên cơ sở tiếp thu những nội dung

và kinh nghiệm giảng dạy môn Toán kinh tế trong nhiều năm qua và yêu cầu ứng

dụng trong quản lý kinh tế theo xu hướng hội nhập Giáo trình do tập thể giáo viên

tổ bộ môn kế toán doanh nghiệp biên soạn, đã được hội đồng thẩm định củaTrường Cao đẳng Cơ giới Ninh Bình xét duyệt

Để phù hợp với nội dung kiến thức của khung chương trình đào tạo mới,chúng tôi biên soạn giáo trình Nguyên lý thống kê gồm 4 chương:

Chương 1 : Ma trậnChương 2 : Định thứcChương 3 : Ma trận nghịch đảoChương 4 : Hệ phương trình tuyến tínhMặc dù tập thể nhóm biên soạn đã có rất nhiều cố gắng trong quá trình biênsoạn, song không thể tránh khỏi những khiếm khuyết Nhóm biên soạn rất mongnhận được những đóng góp ý kiến đóng góp chân thành của bạn đọc

Tập thể tác giả

Phạm Thị Hồng

Đỗ Quang Khải

An Thị Hạnh

GIÁO TRÌNH MÔN HỌC Tên môn học: Toán kinh tế

Mã số môn học: MH 16

Thời gian môn học: 45 giờ; (Lý thuyết: 18 giờ; Thực hành, thảo luận, bài tập: 25

giờ; Kiểm tra: 2 giờ)

Vị trí, tính chất của môn học:

- Vị trí: Môn học được bố trí giảng dạy sau các môn học chung

- Tính chất: Là môn học giúp người học vận dụng tốt các môn học chuyênmôn của nghề

+ Xây dựng được mô hình bài toán kinh tế và phân tích được mô hình;

+ Giải được bài toán quy hoạch tuyến tính, xác suất và thống kê toán;

+ Kiểm định được các giả thuyết thống kê toán

- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: Có phẩm chất đạo đức, kỷ luật tốt, có ý thức

tự rèn luyện để nâng cao trình độ

Nội dung môn học:

CHƯƠNG 1: MA TRẬN

Mã chương: TKT01 Giới thiệu:

Trang bị cho người học những kiến thức chung về ma trận, các dạng ma trận,các phép toán tuyến tính đối với ma trận, phép cộng, trừ và nhân ma trận

Ta có thể dùng ký hiệu

A =

[

]

để nói rằng A là một ma trận cấp m x n mà phần tử nằm trên dòng i và cột jđược ký hiệu là aij Cách viết (1.2) tương đương với cách viết (1.1) và được dùngkhi nói đến một ma trận tổng quát nào đó Khi cấp của ma trận và các phần tử đãđược xác định bằng số ta thường sử dụng cách viết dạng (1.1).

Khái niệm: Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp

và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau

Để nói rằng hai ma trận A và B bằng nhau ta viết A = B

A =

[

a21 a22 … a2n

… … … …

an1 an2 … ann

]

Trong ma trận vuông A đường chéo thứ nhất nối góc trên bên trái với gócdưới bên phải được gọi là đường chéo chính, đường chéo thứ hai được gọi là đườngchéo phụ Vị trí của các phần tử aij so với đường chéo chính được xác định theo cácchỉ số i, j như sau:

aij thuộc đường chéo chính khi và chỉ khi i = j

aij nằm phía trên đường chéo chính khi và chỉ khi i < j

aij nằm phía dưới đường chéo chính khi và chỉ khi i > j

2.3 Ma trận đường chéo, ma trận vô hướng và ma trận đơn vị

Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đườngchéo chính bằng 0 Ma trận đường chéo cấp n có dạng :

1 Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m x n, ký hiệu là A + B

và được xác định như sau:

A + B =

[

]

2 Tích của hai ma trận A với một số α là một ma trận cấp m x n, ký hiệu là

αA và được xác định như sau:

αA =

[

]

Chú ý rằng phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp (có sốdòng và số cột như nhau) Nói cách khác thì:

Cộng hai ma trận cùng cấp có nghĩa là cộng các phần tử ở vị trí tương ứngvới nhau

Nhân một ma trận với một số α có nghĩa là nhân mọi phần tử của ma trận đóvới α

Hiệu của ma trận A và ma trận B được xác định thông qua phép cộng nhưsau :

Trong đó số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B Người ta gọi tích

AB là ma trận C =

[

]

Ví dụ 1:

A =

[

0 2 -1

]

[

5 3 -1 0

]

1 3 0 -1 -5 -1 4 1

]

c13 = 3.(-5) + 1.0 +(-2).4 = - 23

c14 = 3.1 + 1.(-1) +(-2).1 = 0

Để tính các phần thử thuộc hàng thứ hai của AB ta lấy hàng thứ hai nhân của

A nhân lần lượt với các cột của B:

Khái niệm : Ma trận A’ được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A Phép

biến đổi ma trận A thành ma trận A’ được gọi là phép chuyển vị ma trận

Ví dụ : Ma trận chuyển vị của ma trận :

A =

[

0 -2 4 7 -2 6 11 -8

]

là ma trận

A’ =

[

3 -2 6

10 4 11 -2 7 -8

]

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1: Cho

A =

[

-1 2

3 4

]

[

3 2 -2 3

]

[

CHƯƠNG 2: ĐỊNH THỨC

Mã chương: TKT02

- Trình bày được các tính chất cơ bản của định thức;

- Trình bày được các phương pháp tính định thức ;

- Tính được giá trị định thức theo các phương pháp;

T1 là tích ba phần tử trên đường chéo chính ; mỗi tích T2 và T3 là tích của haophần tử trên đường song song với đường chéo chính (có hai đường như vậy) vàphần tử ở góc đối diện.

Các tích T4 , T5, T6 (đặt sau dấu -) được xác định hoàn toàn giống như T1, T2,

T3 nhưng theo đường chéo phụ

4 Các phương pháp tính định thức

4.1 Phương pháp khai triển

4.1.1 Khái niệm phần bù đại số

4.1.2 Quy tắc khai triển định thức

Định thức cấp n bằng tổng các tích số của mỗi phần tử của một dòng (hoặc cột) bất kỳ với phần bù đại số của phần tử đó

Ví dụ 1 : Tính định thức :

d1 =

|

-3 1 5 1 -2 5 0 0

2 -1 3 -1

|

Khai triển định thức d1 theo dòng thứ ba ta được :

d1 = (-2)A31 + 5A32 + 0A33 + 0A34

= (-2)M31 + 5(-M32)

= (-2)

|

1 5 1 -1 3 -1

|

|

-3 5 1

2 3 -1

|

= (-2).8 – 5.(-48)

= 224

Nhận xét: Trên đây ta chọn hàng thứ ba để khai triển định thức d1 bởi vì sự

có mặt các phần tử bằng 0 trên hàng này làm giảm hẳn khối lượng tính toán Đểtính một định thức cấp n, nói chung ta phải tính n định thức cấp n – 1 Để việc tínhtoán khỏi cồng kềnh, ta nên biến đổi sao cho một hàng (hoặc một cột) nào đó chỉcòn lại một phần tử khác 0, sau đó khai triển theo hàng (hoặc cột) đó Bằng cáchnhư vậy ta có thể tính một định thức cấp n thông qua một định thức cấp n – 1

Tiếp theo ta lại biến đổi định thức cấp 4 sao cho cột thứ nhất chỉ còn lại mộtphần tử khác 0 là a21 = 1 Cộng lần lượt vào hàng thứ nhất, hàng thứ ba, hàng thứ tưtích của hàng thứ hai, theo thứ tự, với 2, với (-3), với (-2), ta được:

Định thức dạng tam giác bằng tích các phần tử thuộc đường chéo chính

Để biến đổi về dạng tam giác, trước hết ta cộng vào hàng thứ hai, hàng thứ

ba, hàng thứ tư và hàng thứ năm tích của hàng thứ nhất, theo thứ tự, với (-2), (-1),(-3) và (-1) Sau các phép biến đổi đó ta được:

Tiếp theo, để tránh phải tính phân số ta cộng vào hàng thứ hai, hàng thứ tư vàhàng thứ năm, theo thứ tự, tích của hàng thứ ba với (-1), (-2) và (-1) Kết quả là:

CHƯƠNG 3: MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Mã chương: TKT03 Giới thiệu:

Trang bị cho người học những kiến thức chung về ma trận nghịch đảo vàcách tìm ma trận nghịch đảo

Mục tiêu:

- Trình bày được khái niệm ma trận nghịch đảo;

- Trình bày được khái niệm ma trận phụ hợp của ma trận vuông;

- Tìm được ma trận nghịch đảo;

- Có ý thức học tập nghiêm túc, cẩn thận và chính xác

Nội dung chính:

1 Khái niệm ma trận nghịch đảo

Khái niệm: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trậnvuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện:

a*

ij = A*

ji (i, j = 1, 2, …, n)

3 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo

Điều kiện cần và đủ để một ma trận vuông A có ma trận nghịch đảo là

d = | A |≠ 0 Khi đó ma trận nghịch đảo của ma trận A được xác định theo công thức:

6 16 16 11

60 - 760 112

]

4 Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan tính ma trận nghịch đảo.

Muốn tính ma trận nghịch đảo A-1 của ma trận A bằng các phép biến đổi sơcấp về hàng ta làm như sau:

Bước 1: Viết ma trận đơn vị E bên cạnh ma trận A

Bước 2: Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đưa dần ma trận A về

ma trận E, tác động đồng thời phép biến đổi sơ cấp vào cột ma trận E

Bước 3: Khi A đã được biến đổi thành E thì E trở thành ma trận nghịch đảo

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 Bài 1: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau bằng phương pháp phần bù đại số

CHƯƠNG 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Mã chương: TKT04 Giới thiệu:

Trang bị cho người học những kiến thức chung về hệ phương trình tuyến tính

và phương pháp giải hệ Cramer, phương pháp Gauss – Jordan

Mục tiêu:

- Trình bày được dạng tổng quát và dạng ma trận của hệ phương trình tuyếntính;

- Trình bày được khái niệm hệ Cramer;

- Vận dụng phương pháp Gauss – Jordan giải hệ phương trình tuyến tính;

- Rèn luyện tác phong làm việc nghiêm túc tỉ mỉ, cẩn thận, chính xác

bi là vế phải của phương trình thứ i

Khi m = n ta có một hệ vuông với n phương trình n ẩn

2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính

-3 4 30 -1 -2 8

]

Ta tính được: det (A) = 44 ≠ 0

det (A1) = - 40 , det (A2) = 72, det (A3) = 152

Ta suy ra các nghiệm của hệ đã cho:

x1 = - 4044 = - 1011

,

,

4 Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan giải hệ phương trình tuyến tính

Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp về hàng để đưa ma trận A về dạng ma trậnđơn vị từ đó suy ra nghiệm

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 Bài 1: Giải các hệ Cramer sau:

5

{

3x1+ 4x2 - 2x3 = 11

3x1- 2 x2 + 4 x3 = 11 6

{

2x1 + 3 x2 + x3 = 1 2x1+ x2 + 3x3 = 11

Bài 2: Áp dụng phương pháp Gauss – Jordan giải hệ phương trình tuyến tính

{

x1 - x3 + 2x4 = 0

−x1+ 2x2 - 2x3 + 7 x4 = -7 2x1- x2 - x3 = 3