Giáo trình toán kinh tế phần 2

60 Chương 3 BÀI TOÁN TỐI ƢU 1 CỰC TRỊ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1 1 Cực trị 1 Định nghĩa Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại aDf nếu tồn tại một lân cận V(a) nào đó của điểm a, V(a) Df''''[.]

f(x) < f(a) (f(x) > f(a)),   x V(a) \ a  

Các giá trị cực đại, cực tiểu đƣợc gọi chung là các cực trị Cực trị của một hàm số mang tính

chất địa phương, vì chỉ đƣợc xét trong một lân cận V(a)

2 Điều kiện cần

Định lý

Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại a thì y'(a) = 0 hoặc không tồn tại y'(a)

Những điểm mà y'(a) = 0 đƣợc gọi là các điểm dừng Các điểm dừng và các điểm mà tại đó không tồn tại đạo hàm đƣợc gọi là điểm ngờ (có cực trị) Cho nên muốn tìm các cực trị, ta chỉ

 Nếu f '(x) đổi dấu từ + sang - khi x chuyển qua a thì hàm số đạt cực đại tại x=a,

 Nếu f '(x) đổi dấu từ - sang + khi x chuyển qua a thì hàm số đạt cực tiểu tại x=a

b Định lý (Điều kiện đủ thứ 2)

Giả sử f '(a) = f”(a) = = f(n-1)

(a) = 0 và f(n)(a)  0 (nN và n2)

Khi đó:

 Nếu n là một số chẵn thì hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x=a:

 Hàm số đạt cực đại tại x=a nếu f(n)

(a) < 0

 Hàm số đạt cực tiểu tại x=a nếu f(n)

(a) < 0

 Nếu n là một số lẻ thì hàm số y = f(x) không đạt cực trị tại x=a

1.2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1 Xét hàm số y = f(x) trên [a,b] Nếu hàm số liên tục trên [a,b], theo Weierstrass, hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên [a,b] Các điểm này hoặc là các điểm ngờ trong (a,b) hoặc

2 đầu mút a và b Vì vậy để tìm giá trị lớn nhất (maxy), giá trị nhỏ nhất (miny) của hàm số trên [a,b], ta xét tập các giá trị của hàm số tại các điểm ngờ trong (a,b) và f(a), f(b) Sau đó, trên tập các giá trị vừa tìm đƣợc, ta chọn ra maxy và miny

2 Ví dụ

Tìm maxy, miny của y = x4

- 2x2 + 1 trong [-2, 2]

Ta tìm các điểm dừng trên (-2, 2)

Cho y' = 0 hay 4x3 - 4x = 0 ta có x1 = 0, x2 = - 1, x3 = 1 và x1, x2, x3  (-2; 2)

Tính: f(-2) = 9; f(2) = 9;

f(1) = 0; f (-1) = 0 f(0) = 1;

Vậy maxy = 9 và miny = 0

1.3 Bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu trong kinh tế là bài toán tìm cực đại hoặc cực tiểu các hàm kinh tế Các hàm

này được gọi là hàm mục tiêu Chẳng hạn cần tìm cực tiểu của hàm chi phí C, tìm cực đại của

hàm lợi nhuận ,

1 Cực tiểu giá thành

Xét hàm C = C(Q) là hàm tổng chi phí để sản xuất ra Q đơn vị sản phẩm

Khi đó hàm giá thành P(Q) = AC(Q) = C(Q)

Q Cần tìm mức sản xuất Q thích hợp, để hàm giá thành đạt cưc tiểu Muốn tìm điểm dừng Qo , ta giải phương trình

P'(Q) = 12

Q [C'(Q).Q - C(Q)] = 0  C '(Q) = C(Q)

Q  MC(Q) = P(Q) (*) Như vậy nghiệm Q0 của (*) là hoành độ giao điểm hai đường MC(Q) và P(Q) Sử dụng điều kiện đủ để xét giá trị Qo có phải là điểm làm cho P đạt cực tiểu hay không

2 Cực đại lợi nhuận

Hàm lợi nhuận được tính là hiệu giữa hàm tổng doanh thu R và hàm tổng chi phí C:

Chú thích

 Điểm Q mà tại đó hàm =0 được gọi là điểm hòa vốn

 Nếu >0 thì sản xuất có lãi, nếu <0 thì nhà sản xuất chịu lỗ

3 Ví dụ

Giả sử hàm chi phí C = Q3

- 12Q2 + 60Q (Q > 0) Khi đó hàm chi phí cận biên MC(Q) = C ' = 3Q2

- 24Q + 60 Hàm giá thành P(Q) = AC(Q) = C 2

Điểm A(6, 24) (điểm cực tiểu của P(Q)) là giao điểm hai đồ thị hàm P(Q) và hàm MC(Q), hay

đồ thị MC(Q) đi qua điểm cực tiểu của P(Q)

2 CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC

VÀ BÀI TOÁN TỐI ĐA LỢI NHUẬN

2.1 Khái niệm cực trị và điều kiện cần

Giả sử hàm số w = f(x1, x2, ,xn) xác định, liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục theo tất cả các biến độc lập trong miền

thì hàm số w = f(x, y) đạt giá trị cực đại tại điểm Mo(xo, yo),

 Nếu D < 0 thì hàm số không đạt cực trị tại điểm Mo(xo, yo)

x ' y

Hệ phương trình này có 2 nghiệm (x=0, y=0) và (x=1, y 1)

3  3 Theo định lý về điều kiện cần, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm này Ta sử dụng định lý về điều kiện đủ để kiểm tra lần lượt từng điểm

Với x = 0 và y = 0 ta có:

a11 =- 6, a12 = a21 = 2, a22 = 2,

D = (-6) 2-22 =-16 < 0 Vậy tại điểm này hàm số không có cực trị

2 Trường hợp hàm số n biến số

a Giả sử M x , x , , x  1 2 nlà một điểm dừng của hàm số w = f(x1, x2, , xn) và tại điểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục

Lập ma trận H vuông cấp n với các phần tử là các đạo hàm riêng cấp hai của w tại điểm dừng

M(Ma trận H có tên gọi là ma trận Hess hay Hessian)

a a aCác định thức H1, H2,., Hn được gọi là các định thức con chính của ma trận H (Hn = |H| ) Định lý

 Nếu Hk> 0 với mọi k = 1, 2, , n

thì hàm số w = f(x1, x2, , xn) đạt giá trị cực tiểu tại điểm M x , x , , x  1 2 n

 Nếu (-1)k

Hk> 0 với mọi k = 1, 2, , n thì hàm số w = f(x1, x2, ,xn) đạt giá trị cực đại tại điểm M x , x , , x  1 2 n

Các biến độc lập x1, x2, ,xn được gọi là các biến chọn, tức là ta phải lựa chọn các giá trị thích

hợp của chúng để mục tiêu đặt ra được thực hiện một cách tốt nhất

1 Trường hợp một hãng cạnh tranh thuần túy sản xuất một loại sản phẩm

Mục tiêu của hãng là thu lợi thuận tối đa trên cơ sở áp dụng hợp lý của yếu tố đầu vào là lao động và vốn (với giả thiết các yếu tố khác giữ nguyên)

Vì là hãng cạnh tranh thuần túy nên hãng phải chấp nhận giá thị trường, kể cả giá đầu vào và giá đầu ra Gọi p là giá thị trường của loại sản phẩm do hãng sản xuất, wL và wK là giá thuê một đơn vị lao động và giá thuê một đơn vị vốn

Nếu Q = f(L, K) là hàm sản xuất của hãng thì hàm lợi thuận có dạng:

= p.f(L, K) - (wLL + wKK)

trong đó p.Q = p.f(K, L) là tổng doanh thu và wLL + wKK là tổng chi phí

Điều kiện cần của cực trị trong trường hợp này là:

là, mặc dù lợi suất thu được giảm dần tại điểm dừng, lợi nhuận tối đa vẫn chưa đạt được nếu

sự thay đổi của yếu tố đầu vào này lại ảnh hưởng mạnh hơn tới sản phẩm cận biên của yếu tố đầu kia so với ảnh hưởng đối với sản phẩm cận biên của chính yếu tố đầu vào đó

2 Trường hợp một hãng cạnh tranh thuần túy sản xuất 2 loại sản phẩm

a Giả sử tổng chi phí đựơc tính theo số lượng sản phẩm được sản xuất:

C = C(Q1 , Q2) trong đó Q1 là số lượng sản phẩm thứ nhất và Q2 là số lượng sản phẩm thứ hai

Do tính chất cạnh tranh, hãng phải chấp nhận giá thị trường của các sản phẩm đó Với p1, p2

là giá thị trường của 2 loại sản phẩm do hãng sản xuất, hàm tổng lợi nhuận có dạng:

 = p1Q1 + p2Q2 - C(Q1, Q2) Bài toán đặt ra trong trường hợp này là chọn một cơ cấu sản xuất (Q , Q )1 2 để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất

Giải

Hàm tổng lợi nhuận của hãng sẽ là

 = 60Q1 + 34Q2 - 6Q123Q224Q Q 1 2Điều kiện cần:

3 Trường hợp một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm

a Giả sử hàm tổng chi phí của hãng là

C = C(Q1, Q2)

Vì hãng độc quyền nên có thể lựa chọn giá p1, p2 cho các sản phẩm của mình và giả sử lượng cầu của sản phẩm này không những phụ thuộc vào giá của sản phẩm đó mà còn phụ thuộc vào giá của sản phẩm khác, tức là Q1 = f(p1, p2), Q2 = g(p1, p2)

Từ hệ trên rút ra p1 = D1(Q1, Q2) và p2 = D2(Q1, Q2)

Hàm tổng lợi nhuận là

 = p1Q1 + p2Q2 - C(Q1, Q2)

= D1(Q1, Q2).Q1 + D2(Q1, Q2) Q2 - C(Q1, Q2)

Hãng cần chọn giá bán (p , p )1 2 để hàm tổng lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất

Trước hết cần xác định được mức sản xuất (Q , Q )1 2 để  đạt tối đa, sau đó tìm được

Trong ví dụ này lượng cầu của mỗi loại sản phẩm chỉ phụ thuộc vào giá của loại sản phẩm đó,

có nghĩa là loại hàng hóa do hãng độc quyền sản xuất không có quan hệ với nhau

Đảo ngược các hàm cầu đã cho, ta có:

p1 = 56 - 4Q1, p2 = 48 - 2Q2

Do đó hàm tổng lợi nhuận sẽ là:

Bài toán đặt ra ở đây là lựa chọn p1, p2 để hàm tổng lợi nhuận  đạt cực đại

Giải bài toán cực trị ta xác định được mức sản xuất để đạt lợi nhuận tối đa là

3 CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC

Ta đã xét bài toán cực trị của hàm số w = f(x1, x2, ,xn) với các biến chọn x1, x2, xn độc lập với nhau, tức là giá trị của biến số này không ảnh hưởng đến các biến số khác Trên thực tế, nhiều khi ta phải lựa chọn phương án tối ưu trong bối cảnh các biến chọn chi phối lẫn nhau bởi những điều kiện ràng buộc nhất định

3.1 Cực trị có điều kiện với hai biến chọn và một phương trình ràng buộc

1 Bài toán

Tìm cực trị của hàm số

Điều kiện (2) còn được gọi là ràng buộc Với sự có mặt của phương trình ràng buộc (2), miền

biến thiên của cặp biến chọn (x, y) bị thu hẹp

2 Phương pháp trực tiếp

a Nếu từ (2) ta biểu diễn được y dưới dạng y=(x) thì bài toán cực trị có điều kiện (1)-(2)

quy về bài toán cực trị tự do của hàm số một biến số x:

Từ hệ thức (4), ta rút ra y = 30 - 2x Do đó có thể loại bớt biến số y và biểu diễn hàm mục tiêu (3) dưới dạng hàm số một biến số x:

Dễ dàng thấy rằng hàm số (5) đạt giá trị cực đại khi x = 8, khi đó y = 30 - 16 = 14

Vậy hàm số (3), với điều kiện (4) đạt giá trị cực đại khi x = 8, y = 14

3 Phương pháp nhân tử Lagrange

a Trong phương pháp trực tiếp nêu trên, ta xem một trong hai biến chọn là biến độc lập và biến kia phụ thuộc vào nó Hơn nữa, khi ràng buộc (2) phức tạp thì việc áp dụng phương pháp

thế để loại bớt biến phụ thuộc sẽ gặp khó khăn Lagrange đề ra một phương pháp (Phương

pháp nhân tử Lagrange) cho phép đưa bài toán cực trị có điều kiện về bài toán cực trị tự do

mà vẫn giữ vai trò bình đẳng của các biến chọn

b Xuất phát từ hàm mục tiêu (1) và điều kiện (2) ta lập hàm số, gọi là hàm Lagrange:

L = L(λ, x, y) = f(x,y) + λ[b - g(x, y)] (6) Hàm số (6) có thêm một biến chọn, gọi là nhân tử Lagrange Chú ý rằng với tất cả các điểm

M(x, y) thỏa mãn điều kiện (2), hàm mục tiêu w đồng nhất với hàm số L

Như vậy, điều kiện cần để hàm số (1) với điều kiện (2) đạt cực trị quy về điều kiện cần để hàm

số Lagrange (6) đạt cực trị không điều kiện Điều lý thú là phương trình đầu của hệ điều kiện

(7) chính là điều kiện ràng buộc của bài toán cực trị có điều kiện

Để có được kết luận cuối cùng về cực trị ta phải dùng điều kiện đủ để kiểm tra

Trở lại bài toán tìm cực trị của hàm số w = xy + 2x với điều kiện 8x + 4y = 120

Nhƣ đã nêu ở trên, hàm số Lagrange

L = xy + 2x +(120 - 8x - 4y)

có một điểm dừng duy nhất (= 2, x=8, y=14)

Tại điểm dừng trên, ta có

3.2 Cực trị có điều kiện với n biến chọn và một phương trình ràng buộc

tức là ( , x , x , , x ) 1 2 n là điểm dừng của hàm số Lagrange Chú ý rằng phương trình đầu của

hệ phương trình (10) chính là điều kiện ràng buộc (9) của bài toán

 Nếu Hk< 0 với mọi k = 2, 3, , n

thì hàm số (8) với điều kiện (9) đạt giá trị cực tiểu tại điểm (x , x , , x )1 2 n

 Nếu H2> 0, H3< 0, , (-1)n Hn> 0, tức là (-1)k

Hk> 0 với mọi k = 2, 3, , n thì hàm số (8) với điều kiện (9) đạt giá trị cực đại tại điểm (x , x , , x )1 2 n

5 Ví dụ

Tìm cực trị của hàm số w = x + y + z

với điều kiện xyz = 8

Hàm số Lagrange trong trường hợp này là

yL

3.3 Ý nghĩa của nhân tử Lagrange

Trong mô hình bài toán cực trị có điều kiện (8)-(9), ta phân biệt vai trò của các biến số x1,

x2, , xn, w với tham số b Các biến chọn x1, x2, , xn và biến mục tiêu w được gọi là các

biếnnội sinh, do bản thân mô hình quyết định thông qua phương pháp nhân tử Lagrange Khác

với các biến nội sinh, giá trị của tham số b được cho trước, không do mô hình quyết định

Người ta gọi b là biến ngoại sinh của mô hình Sự thay đổi giá trị của b đặc trưng cho sự thay

đổi của ngoại cảnh, làm nới rộng hoặc thu hẹp ràng buộc, dẫn đến sự thay đổi lời giải tối ưu của bài toán Nói cách khác, phương án chọn tối ưu (x , x , , x1 2 n) của bài toán và giá trị tối

ưu w của hàm mục tiêu phụ thuộc vào b:

x  x (b), x  x (b), , x  x (b);

1 2 n

w  f (x , x , , x )  w(b)Theo phương pháp nhân tử Lagrange, phương án chọn tối ưu nói trên được xác định cùng với một giá trị của nhân tử Lagrange     b

Như vậy,  chính là giá trị w- cận biên của b, tức là khi b tăng một đơn vị thì giá trị tối ưu

w của hàm mục tiêu xê dịch một lượng bằng xấp xỉ || (tăng khi >0, giảm khi <0) Chú ý

Nội dung nêu trên về ý nghĩa của nhân tử Lagrange chỉ đúng khi ràng buộc được viết dưới

dạng g(x1, x2, ,xn) = b và hàm Lagrange được viết dưới dạng:

L  f (x , x , , x )    [b g(x , x , , x )]

4 BÀI TOÁN TỐI ƯU VỚI ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC

4.1 Cực đại lợi ích tiêu dùng

1 Bài toán:

Cực đại hàm lợi ích

U = U(x1, x2) với điều kiện

p1x1 + p2x2 = m trong đó p1, p2 là giá thị trường của hai mặt hàng trong cơ cấu mua sắm (x1, x2);

m là lượng tiền trích từ thu nhập dành cho việc mua sắm

2 Ví dụ

Giả sử sở thích của người tiêu dùng được phản ánh thông qua hàm lợi ích

U = 4 x x1 2

Giá của 2 mặt hàng tương ứng là p1=20, p2=5 (ngàn đồng) và thu nhập dành cho tiêu dùng là

600 ngàn đồng Hãy xác định cơ cấu mua sắm tối đa hóa lợi ích

xL

2 3

1 1 2

1 3

Nhân tử Lagrange  = 0,2 chứng tỏ khi có thêm 1 ngàn đồng thu nhập (tức là khi m tăng từ mức 600 lên 601) thì lợi ích tối đa của người tiêu dùng sẽ tăng thêm khoảng 0,2

4.2 Tối thiểu chi tiêu

1 Bài toán:

Giả sử người tiêu dùng với hàm lợi ích U = U(x1, x2) phải mua sắm hàng hóa với giá cả (p1,

p2) cho một đơn vị hàng hóa tương ứng Nếu người tiêu dùng đó muốn chọn giỏ hàng

 x , x1 2 ít tốn kém nhất mà vẫn giữ được mức độ lợi ích U = Uo cố định thì bài toán được đặt

ra như sau:

Cực tiểu hàm số

m = p1x1 + p2x2với điều kiện

Giả sử hãng tiến hành sản xuất với một ngân sách b cố định chi cho việc mua các yếu tố sản xuất K và L Trong trường hợp này mục tiêu tối đa hóa lợi nhuận đồng nhất với mục tiêu tối

đa hóa sản lượng Bài toán được đặt ra như sau:

Giải bài toán này theo phương pháp nhân tử Lagrange ta tìm được:

 phân biệt giá bán;

 không phân biệt giá bán ở hai thị trường

Khi phân biệt giá bán ở hai thị trường, ta có bài toán cực trị không có điều kiện ràng buộc của hàm hai biến

 = (Q1, Q2)

Khi không phân biệt giá bán ở hai thị trường, ta có bài toán cực trị của hàm hai biến

 = (Q1, Q2) với ràng buộc p1 = p2 hay D1-1(Q1) = D-12 (Q2)

 phân biệt giá bán;

 không phân biệt giá bán ở hai thị trường

Để giải bài toán đặt ra, trước hết ta đảo ngược các hàm cầu:

p1 = 210 - 10Q1, p2 = 125 - 2,5Q2Trong cả hai trường hợp, tổng doanh thu trên cả hai thị trường là

R = p1Q1 + p1Q2 = (210-10Q1) Q1 + (125- 2,5Q2) Q2 Tổng lợi nhuận thu được là:

Từ đây ta xác định được Q110, Q2 23 Dễ dàng thấy rằng điều kiện đủ của cực đại được thỏa mãn với mọi Q1, Q2, do đó hãng thu được lợi nhuận tối đa khi bán 10 sản phẩm ở thị trường thứ nhất và 23 sản phẩm ở thị trường thứ hai Giá bán tương ứng là:

p 210 10Q 110, p 125 2, 5Q 67, 5Tổng lợi nhuận thu được là:  322, 5

* Trong trường hợp không phân biệt giá bán, ta phải giải bài toán cực đại hóa hàm tổng lợi nhuận  với điều kiện ràng buộc:

p1 = p2 210 - 10Q1 = 125 - 2,5Q2

 10Q1 - 2,5Q2 = 85 Hàm số Lagrange trong trường hợp này là:

Câu hỏi và Hướng dẫn ôn tập Chương 3

1 Nêu điều kiện cần và điều kiện đủ tìm cực trị hàm số một biến số

2 Áp dụng tìm cực tiểu giá thành

3 Với hàm lợi nhuận = Q), phân tích điểm hòa vốn, điểm để đạt cực đại

4 Nêu điều kiện cần để hàm số nhiều biến số đạt cực trị

5 Nêu điều kiện đủ để hàm 2 biến số đạt cực trị tại điểm dừng M0

6 Nêu điều kiện đủ để hàm số nhiều biến số đạt cực trị tại điểm dừng M0 Chú ý trường hợp hàm 3 biến số

7 Thiết lập và cách giải bài toán tối đa lợi nhuận trong hai trường hợp sau:

a) Một hãng cạnh tranh thuần túy sản xuất một loại sản phẩm

b) Một hãng cạnh tranh thuần túy sản xuất hai loại sản phẩm

8 Lập bài toán cực trị có điều kiện đối với hàm hai biến và một phương trình ràng buộc

9 Nêu phương pháp nhân tử Lagrange Với hàm Lagrange 3 biến, nêu điều kiện cần và điều kiện đủ để hàm Lagrange đạt cực trị

10 Lập bài toán cực đại lợi ích tiêu dùng khi mua hai loại hàng hóa với ràng buộc về ngân sách chi tiêu cho trước Cách giải quyết bài toán này

11 Lập bài toán cực tiểu chi tiêu khi mua hai loại hàng hóa vớiràng buộc về mức độ thỏa mãn

cố định cho trước Cách giải quyết bài toán này

12 Lập bài toán cực đại lượng hàng hóa sản xuất với ràng buộc về vốn cho trước Cách giải quyết bài toán này

13 Lập bài toán cực tiểu chi phí với rang buộc về lượng hang hóa sản xuất cố đinh cho trước.Cách giải quyết bài toán này

14 Một hãng sản xuất một loai sản phẩm, nhưng tiêu thụ ở hai thị trường riêng biệt Thiết lâp bài toán tối đa lợi nhuận trong hai trường hợp sau:

a) Phân biệt giá bán

b) Không phân biệt giá bán

2 + 20, tìm mức sản lượng Q1 , Q2 và giá bán tương ứng để thu được lợi nhuận tối đa

Bài 8

Một hãng độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm

Cho biết hàm cầu đối với hai loại sản phẩm là:

Q1 = 1300 - P1; Q2 = 675 - 0,5P2

và hàm chi phí kết hợp là

C= Q1 2 + 3Q1Q2 + Q2

2