PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ.. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT... Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 2 BÀI TẬP... PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Trang 1Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 1
DẠNG 1 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ
A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
● 0< <a 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
● a>1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
g x
f x
f x g x
Ví dụ 1 Giải bất phương trình : 2
x x 1
3
3
− −
≥
x 2x 0
x 2
≤
≥
- Bất phương trình ⇔ 3 x2−2x ≥3x x 1− − ⇔ x2−2x ≥ − −x x 1 (1)
+ Nếu x≤0 thì x 1− = −1 x, khi đĩ ( ) 2
1 ⇔ x −2x ≥2x 1− (luơng đúng vì x≤0) + Nếu x≥2 thì x 1− = −x 1, khi đĩ ( ) 2 2
1 ⇔ x −2x≥ ⇔1 x −2x 1 0 − ≥ ( )
x 1 2 loai
x 1 2 chon
≥ +
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S= −∞( ; 0]∪ +1 2;+∞)
Ví dụ 2. Giải bất phương trình : ( ) 2
log x log x
3 +x ≤6
- ðiều kiện : x>0
- Ta cĩ : ( ) 2 ( ) 3
log x log x log x
- Khi đĩ bất phương trình log x 3 log x 3 log x 3 ( log x 3 )
1 log x.log x 1 log x 1 1 log x 1 x 3
3
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S 1;3
3
CHUYÊN ĐỀ 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT
Trang 2Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 2
BÀI TẬP
x 2
log
x
−
( )
2 log2x 1
x
2
1
1 3
−
+ +
≥
3)
log x
log x log x
B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
● 0< <a 1
● a>1
≥ ⇔ < ≥ (ñồng biến)
Ví dụ Giải bất phương trình : 1 2
3
1 2x
1 x
+
>
2
x 0
< − ∨ >
> −
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S=(0;+∞)
BÀI TẬP
1)
2
x 4
+
4
log log x+ 2x −x <0
1
2
1 x
−
<
log 4 +144 −4 log 2 1 log< + 2 − +1 6) ( x x)
2
log 7.10 −5.25 >2x 1+
5
1
2x 1 1
− −
8) log 64 log 162x + x2 ≥3
Trang 3Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 3
Bất phương trình dạng : log ( ) ( )
x
f g x > a , ta xét hai trường hợp của cơ số :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
1
a
a
x
f
g x
g x
f x
g x a
f x
<
<
<
>
>
< <
> ⇔
Ví dụ Giải bất phương trình : ( 2 )
x
log 5x −8x+ >3 2
- Bpt
2
2
0 x 1
x 1
− + < − + < < <
− + >
2
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S 1 3; 3;
= ∪ +∞
BÀI TẬP
1) log3x x− 2(3 x− )>1 2) logx 1+ (−2x)>2
3) logx x 1 2
4
log log 9 −72 ≤1
x 3
2 2 2
log x 9x 8
2 log 3 x
<
−
log x 3x 2
2 log x log 2
>
3 a
2
log 35 x
3
log 5 x
−
>
−
DẠNG 2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Ví dụ 1 Giải bất phương trình :
x x 2
2.3 2
1
+
- ðiều kiện : x x
3 −2 ≠ ⇔ ≠0 x 0
Trang 4Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 4
- Chia cả tử và mẫu cho x
2 , ta ñược :
x
x x 2
x
3
1 2
+
−
−
(*)
2
= < ≠
- Khi ñó (*) trở thành 2t 4 1 0 t 3 0 1 t 3
- Với
x
3 2
3
2
< ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : 3
2
S 0; log 3
Ví dụ 2. Giải bất phương trình : 2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 2
5 − − − −4.5 − <5+ −
X=5 − 0, Y> =5 − >0
4X 5Y X 4XY 5Y vi Y 0
⇔ − − < ⇔ X( +Y)(X 5Y− )<0 ⇔ X 5Y− <0 ⇔ X<5Y
x 5 1 3 x 2
5 − 5+ − x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2
- Bpt (*)
x 2 0
2 x 6
x 6 0
6 x 18
3 x 18
x 21x 54 0
− ≥
⇔ ≤ <
− <
⇔ − ≥
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S=[2;18)
Ví dụ 3 Giải bất phương trình : 22 x2− −4 x 2−16.22 x x− −2 1− ≤2 0
- Ta có : 22 x2− −4 x 2−16.22 x x− −2 1− ≤ ⇔2 0 22 x2− −4 x 2−16.22 x x− + −2 1 2− ≤2 0
( 2 ) ( 2 )
2 x 2 x 1 x 2 x 1
2 − − 4.2− − − 2 0
- ðặt : t =2x2− −2 x 1, t >0
t
t 2 t 1 1 0 t 2 0 t 2
- Với t≤2 ⇔ 2x2− −2x 1 ≤2 ⇔ x2 −2x 1 1 − ≤ ⇔ x2 −2x− ≤2 0 ⇔ − 1 3≤ ≤ +x 1 3
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S= −1 3;1+ 3
Trang 5Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 5
Ví dụ 4 Giải bất phương trình : 32x 1+ −22x 1+ −5.6x ≤0
- Ta có :
- ðặt :
x 3
2
= >
- ðối chiếu ñiều kiện ta chọn : 0< ≤t 2
- Với
x
3 2
2 x log 2 2
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : 3
2
S ; log 2
BÀI TẬP
1) 8 2+ 1 x+ −4x +21 x+ >5 2)
1
+
3) 2.14x+3.49x−4x ≥0 4) 32x−8.3x+ x 4+ −9.9 x 4+ ≥0
B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Ví dụ 1. Giải bất phương trình : ( 2)
log 8 log x+ log 2x ≥0
- ðiều kiện : 0< ≠x 1
- ðặt : t=log x2
t 0
≤ −
2
1 log x 1
2
x 1
≤ −
- ðối chiếu ñiều kiện ta chọn :
1
0 x
2
x 1
< ≤
>
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : 1 ( )
2
Trang 6Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 6
Ví dụ 2 Giải bất phương trình : 4( ) 2 3 2 ( )
- ðiều kiện : x>0
3
2
2
log x log x log 8 9 log 32 log x 4 log x
log x 3log x 3 9 5 2 log x 4 log x
- ðặt : t=log x2
2
3 log x 2
t 13t 36 0 4 t 9
− < < −
− < < −
− + < ⇔ < < ⇔ < < ⇔ < <
x
4 x 8
< <
< <
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : 1 1 ( )
8 4
BÀI TẬP
1+ log 2x +3x+2 >log 2x +3x+2 2) ( ) x
x
log 3 + +2 2.log + 2 3− >0
DẠNG 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC
Dạng : loga u<logb v, ta thường giải như sau : ðặt t=loga u ( hoặc t=logb v) để đưa
về bất phương trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm số
Ví dụ : Giải bất phương trình : log5(3+ x)>log x4
- ðiều kiện : x>0
4
t=log x ⇔ = x 4
5
+ > ⇔ + > ⇔ + >
- Hàm số ( ) 1 t 2 t
x 3
= +
nghịch biến trên ℝ và f ( )1 =1
- Bpt (*)⇔ f( )t > f ( )1 ⇔ < t 1
- Với t< ⇔1 log x4 < ⇔ < <1 0 x 4
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S=( )0; 4
Trang 7Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 7
loga u > logb v , ta thường giải như sau :
● Lập bảng xét dấu của loga u và log b v trong tập xác ñịnh của phương trình
● Trong TXð, nếu loga u và log b v cùng dấu thì : 1 1 og og
loga u > logb v ⇔ l a u<l b v
Ví dụ : Giải bất phương trình :
log x 1 >log 3 2x
- ðiều kiện :
2 3
x 0;1 2
− < ≠
● log2(x + 1)> ⇔ + > ⇔ >0 x 1 1 x 0
● log2(3 2x− )> ⇔ −0 3 2x> ⇔ <1 x 1
- Ta có bảng xét dấu :
- Từ ñó ta có các trường hợp sau :
1) Với 1− < <x 0 thì VT<0, VP>0, suy ra bpt vô nghiệm
2) Với 0< <x 1 thì VT>0, VP>0 Khi ñó bpt ⇔ log2(x 1+ <) log2(3 2x− )
2
3 2x x 1 x
3
⇔ − > + ⇔ <
3) Với 1 x 3
2
< < thì VT>0, VP<0, suy ra bpt vô nghiệm
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S 0 x 2
3
= < <
BÀI TẬP
1)
2
1 1
3 3
log x 1 log 2x 3x 1>
+
− + 2) log(− −3x 5)4 log− (− −6x 2)16≥0
Dạng : loga u v u loga u u loga v v
v < − ⇔ + < + , ta thường giải như sau : Xét hàm số ( ) loga
f t = t t+ ñồng biến khi t >0, suy ra f u( )< f v( ) ⇔ <u v
Ví dụ : Giải bất phương trình :
2
2
u=x + +x 1; v=2x −2x+3 u>0, v>0 Suy ra : v− =u x2−3x+2
Trang 8Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
trang 8
- Bpt trở thành : log3 u v u log u3 log v3 v u log u3 u log v3 v
- Xét hàm số : f ( )t =log t3 +t, ta có : ( ) 1
t ln 3
f = + > ∀ > nên hàm số ñồng biến khi
t>0 Do ñó (*)⇔ f ( )u > f ( )v ⇔ > u v
- Với u> ⇔v x2+ + >x 1 2x2−2x+ ⇔3 x2−3x+ < ⇔ < <2 0 1 x 2
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S=( )1; 2
Dùng phương pháp ñánh giá : Dùng bất ñẳng thức, trị tuyệt ñối, biểu thức chứa căn,…
Ví dụ : Giải bất phương trình : 2( ) 3
1
x 1
−
- ðiều kiện : x≥2
- Ta có : ● x− + ≥ ⇔2 4 4 log2( x− + ≥ ⇔2 4) 2 VT≥2
x 1
−
1 8 9 log 3 1 8 2 VP 2
- Vậy bpt có nghiệm khi và chỉ khi VT 2 x 2 0 x 2
- Vậy nghiệm của bất phương trình là : S={ }2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1)
2 2
2x x
3
−
1) log x2 +log x3 < +1 log x.log x2 3
2 2
2
x 3
3)
1
x
3
>
2
log x+log x − >3 5 log x −3
5
1
2x 1 1
− −
- HẾT -