Phương trình hệ phương trình và bất phương trình logarit

Giải phương trình:... HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOG Bài 1... Tìm m để bất phương trình có nghiệm:.

logaNa =a logaN(với a Î R)

· Công thức đổi cơ số: a,b,c >0 và a,b,c ¹ 1

logaN=log

logbb

Na

Hay logaN= logab logbN

í

=ïîlogau(x) = logav(x) Û

Ûlog5x =log 35 Ûx = 3(nhận so điều kiện x >0)

Bài 3: Giải phương trình:

Û

Ta có:(*)Û1 log( 3 )2 =log log ( 23 3 + -1 1)

ì >

í ¹î

-2

2 2

log 2

2 1 loglog

log x= Û = Þ2 x 4 (nhận so với điều kiện)

Bài 7: : Giải hệ phương trình: ( + )= - ( + 1- )

ï - - =î

Bài 10: Giải phương trình:log2x 1- (2x2+ - +x 1) log (2x 1)x+1 - 2 = (*) 4

Đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2008

Giải

Điều kiện: x>1

2 và x ¹1Phương trình đã cho:

Ú =

Bài 11: Giải phương trình: 4log 2x 2 -xlog 6 2 =2.3log 4x 2 2(*)

Giải

Điều kiện: x> 0 Ta có:

(*)Û41 log + 2 x-6log 2 x =2.32 2log + 2 x

Û4.4log 2 x-6log 2 x =18.9log 2 x

Û

log2 2

x

Û = (nhận so với điều kiện x > 0)

Bài 12 Giải phương trình:

Û

327

23

3

12

x x

ì > ïí

ï ¹ î

+

ìïí+ =ïî

- + =î

Ûlog2x [log (2¶ + 2) 2]- = 0 Û log2x = 0

Ûx = 1 (nhận so với điều kiện)

Do đó nghiệm của phương trình (*) là x = 1

Cách 3: NHẪM NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH NGHIỆM DUY NHẤT

Bài 14 Giải phương trình:

Phương trình (*) thành: log3 = v – u

Ûlog3u – log3v = v – u (**)

+ Khi u = v thì (**) nghiệm đúng

+ Khi u > v: vế trái log3u – log3v > 0 Vế phải v – u > 0

Phương trình (**) không nghiệm đúng

+ Khi u < v thì vế trái log3u – log3v < 0 Vế phải v – u > 0

Phương trình (**) không nghiệm đúng

Do u = v nên x2 + x + 3 = 2x2 + 4x + 5

Û x2 + 3x + 2 = 0

Vậy nghiệm của phương trình (*) là x = -1, x = 2

Bài 16 Giải phương trình:

log3(x2 + x + 1) – log3x = 2x – x2 (*)

Giải

(*)Û 2

2 3

>

ìï

-ïî

01

Bài 17 Cho phương trình: log32x+ log23x+ -1 2m- = (1) 1 0

a Giải phương trình khi m = 2

Û t = -3 (loại) Ú t = 2 Vậy log23x= Û3 log3x= ± 3Û =x 3± 3

b/ Khi 1£ £x 3 3 thì 0£log3x£ 3

3

Ta có: (2) Û t2 + t – 2 = 2m

Đặt y = f(t) = t2

+ t – 2 với t Î[1, 2]

Thì f’(t) = 2t + 1

x 1 2

f’ 0 +

f 4

0 (d) Yêu cầu bài toán Ûy = 2m (d) cắt (C) y = f(x) trên [1,2] Û 0£2m£ Û £ £4 0 m 2 Bài 18 Cho phương trình: 2 1 1 2 2 (m-1) log (x- -2) (m-5) log (x- + - =2) m 1 0 (1) Tìm m để (1) có nghiệm x1, x2 thỏa 2< £x1 x2 <4 Giải Đặt t = log2(x – 2) với x > 2 (1) thành (m – 1)t2 + (m – 5)t + m – 1 = 0 (2) Ta có: (1) hai nghiệm x1, x2 mà 2< £x1 x2< Û < - £4 0 x1 2 x2- <2 2 Ûlog2(x1 – 2) £log (2 x2 -2)< 1Û(2)có 2 nghiệm t1, t2 mà t1 < t2 < 1 Ta có: (2)Û (t2 + t + 1)m = t2 + 5t +1 Û m = 2 2 5 1 1 t t t t + + + + (do t 2 + t + 1 Xét y = 2 2 5 1 1 t t t t + + + + (C) và (d) y = m trên miền D = ( Ta có: y’ = 2 2 2 4 4 ( 1) t t t - + + + t 1

y’ 0 + 0

y 1

-3

Yêu cầu bài toán Û (d) và (C) có 2 điểm chung Û -3

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOG

Bài 1 Giải hệ phương trình:

y y

44

4

28

-ïîÛ

îÛ

î

(loại do y>0)

0

x y

=ì

í =

î (loại)

12

x y

= ì

-Ú í =

î (loại)

21

x y

=ì

ïí

ï + =î

Đề thi tuyển sinh đại học khối A-2004

ïí

ï + =î

ïí

ï + =î

Û

14

y 25

y x

259

ì =ïïí

= ì

í =

-î (loại)

34

x y

=ì

Ú í =î

î

(1)(2)

= é

-ê =ë

=ì

í =î

Bài 5 Giải hệ phương trình:

Û í

ïî

£ £ìï

3

x y

y x

ïïí

22log ( 12 ) log ( 3 )

33

y x

2

1

2( )

x

x y

0

x y

=ì

í =î

Bài 8 Giải hệ phương trình:

(1)(2)

+ + =ë

Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2005

í = +î

III.BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOG

Cách 1: Sử dụng các công thức sau:

+ Nếu a > 1: log a u(x) ³ log a v(x) Ûu(x) ³ v(x) > 0

+ Nếu 0 < a < 1: log a u(x) ³ log a v(x) Ûv(x) ³ u(x) > 0

+ Nếu a thay đổi

log a u(x) ³ log a v(x) Û

( ) 0 ( ) 0( 1)[ ( ) ( )] 0

> Ú ¹ì

Bài 4: Giải bất phương trình:log (4 144) 4 log5 x+ - 25 < +1 log (25 x-2 + 1)

Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2006

Giải

ì

>

ïí

8

xx

> logxx

x x

xxx

Do đó: " £x 0thì f x( )£ f(0)=log 2 log 32 + 3 =2

0

x

" > thì f x( )> f(0)=2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình S= (-∞,0]

Bài 13: Giải bất phương trình: 8 6

log ( x+ x)³log x

Giải:

Điều kiện: x > 0

Đặt t =6

x(với t>0) nên t6 =x

Bất phương trình đã cho trở thành 6

2 2

log 6(t + ³t) log t =log t

Xét f(t) = log (6 t2+ -t) log2t với t > 0

Û f’(t) = 2 1 1 (2 1) ln 2 ( 1) ln 6

( 1) ln 6 ln 2 ( 1) ln 2 ln 6

f’(t) = 0Û (2ln2-ln6)t +ln2 – ln6=0

Û t = ln 3

2

ln

3

(0 ln 3 0)

2 ln 3

t = <

Ta có: f’(1)= 3ln 2 2 ln 6

2 ln 2 ln 6

-<0 nên f’(t) < 0 " >t 0

Nên:

t 2 +

f’(t) + 0

f(t) +

0

Ta có: f(2) = log 6 log 26 - 2 = 0

Do đó f(t)³ Û < £0 0 t 2

Û0 < 6

2

x<

Û 0 < x <26 =64

Bài 14 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

2

Giải:

Điều kiện: 0 £ £x 4

Do 2+ 4- ³x 2nên log (22 + 4-x) 1³ > 0

Nên bất phương trình Û + + £

-2

12 log (2 4 )

Xét: y = f(x) =

3 2

Yêu cầu bài toán Û có phần ( C ) trên [0,4] nằm dưới (d) y = m Û 12 £m

Bài 48 Cho bất phương trình

Max f x

Min f x

£ìï

ïî

Mà f’(x) = 2x-2 Þ f x'( )= Û =0 x 1

Ta có: f(0) = f(2) = m

BÀI TẬP:

BT1.Giải các phương trình sau:

a)log2 x+2 log7x= +2 log2 x.log7 x b)log (4 x+2).log 2 1x =

c)log3x+log2x=log3x.log2x d) 2 2

8x 1

1

xx

+

1 2

3

xx

log x+2 log (x- +1) log 6 0£ (DBA/03)

k)2log 2 x.3log 2 x - 1 log.5 2 x - 2 > 1 m)log2x +log 8 42x £

2

2log 3

xx

<

g)(4 12.2x- x+32 log 2x 1) 2( - £) 0 h)log 3 5x 18x 16x ( 2 - + )>2

+

>

+BT13 Tìm m để bất phương trình có nghiệm:

( 2 )

1

2

log x -2x+m > -3 ĐS: m<9

BT14 Cho bất phương trình: log2 x2+ <1 log (ax2 + a)

a)Giải bất phương trình khi a = -2

b)Tìm m để bất phương trình có nghiệm ĐS: a< -1 2

2a

Ú ³