Phương trình liên tục

Chương 2. Những phương trình chủ đạo của động lực học chất lỏng

2.5 Phương trình liên tục

Bây giờ chúng ta hãy áp dụng tư tưởng thảo luận trong Mục 2.2 để:

(a) viết nguyên lý vật lý cơ bản,

(b) áp dụng nó cho một mô hình thích hợp của dòng, và

(c) nhận được một phương trình thể hiện nguyên lý vật lý cơ bản.

Trong mục này chúng ta sẽ xử lý trường hợp sau:

Nguyên lý vật lý: bảo toàn khối lượng

Chúng ta sẽ thực hiện ứng dụng của nguyên lý này cho cả thể tích kiểm soát hữu hạn lẫn những mô hình phần tử chất lỏng vô cùng bé của dòng. Điều thực hiện ở đây đặc biệt

để minh họa những bản chất vật lý của cả hai mô hình. Hơn nữa, chúng ta sẽ chọn thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian (bên trái của Hình 2.la), trong khi phần tử chất lỏng vô cùng bé sẽ di chuyển với dòng (bên phải của Hình 2.1b). Theo cách này chúng ta sẽ làm tương phản những sự khác nhau giữa dạng bảo toàn và không bảo toàn của những phương trình như đã mô tả trong Mục 2.2.

Trước hết, hãy xét mô hình của một phần tử chất lỏng chuyển động. Khối lượng của phần tử này cố định, và cho bằng m. Biểu thị thể tích của phần tử này bởi V như trong Môc 2.4. VËy

m V

  (2 15).

Vì khối lượng được bảo toàn, chúng ta có thể phát biểu rằng suất biến đổi của khối lượng của phần tử chất lỏng theo thời gian bằng 0 khi phần tử di chuyển cùng với dòng.

Theo ý nghĩa vật lý của đạo hàm thể chất thảo luận trong Mục 2.3, chúng ta có

( )

d m 0 dt

  (2.16) Kết hợp Pt. (2.15) và (2.16), chúng ta có

( ) ( )

d V d d V 0

dt V dt dt

  

 

  

hay

1 ( )

[ ] 0

d d V

dt V dt

 

 

  (2.17) Chúng ta coi số hạng trong dấu móc ở Pt. (2.17) có ý nghĩa vật lý như của V

.

 bàn luận trong Mục 2.4. Do đó, kết hợp Pt. (114) và (2.17), ta nhận được

d . 0

dt V

   r 

(2.18) Pt. (2.18) là phương trình liên tục trong dạng không bảo toàn. Từ những tư tưởng của chúng ta đã thảo luận ở Mục 2.2, thấy rằng:

(1) Bằng việc áp dụng mô hình phần tử chất lỏng vô cùng bé, chúng ta nhận được Pt.

(2.18) trực tiếp trong dạng đạo hàm riêng

(2) Bằng việc chọn mô hình chuyển động cùng với dòng, chúng ta nhận được dạng không bảo toàn của phương trình liên tục, tức là Pt. (2.18).

Bây giờ, hãy xét mô hình một thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian, như phác họa trong Hình 2.4. Tại một điểm trên bề mặt kiểm soát, vận tốc dòng là V

và diện tích bề mặt của phần tử vectơ (như định nghĩa trong Mục 2.4) là dS

. Cũng cho dV là thể tích phần tử trong thể tích kiểm soát hữu hạn. áp dụng cho thể tích kiểm soát này, nguyên lý vật lý cơ bản của chúng ta là khối lượng được bảo toàn, có nghĩa là:

khối lượng ròng chảy ra khỏi thể tích kiểm soát qua bề mặt S

= suất giảm khối lượng trong thể tích kiểm soát theo thời gian (2.19a) hoặc

B = C (2.19b) trong đó B và C chỉ là những ký hiệu tiện lợi cho vế phải và vế trái, tương ứng, của Pt.

(2.19a). Trước hết, hãy để chúng ta nhận được biểu thức cho B dưới dạng những đại lượng trong Hình 2.4. Dòng khối lượng của chất lỏng chuyển động qua bất kỳ bề mặt cố định nào (ví dụ, bằng kg/s, hoặc slug/s) bằng tích của (mật độ) x (diện tích bề mặt) x (thành phần vận tốc thẳng góc với bề mặt). Do đó dòng khối lượng phần tử qua vùng dS là

n .

V dS V dS

 r r

(2.20) Khảo sát Hình 2.4, hãy chú ý rằng theo quy ước, dS

luôn hướng ra khỏi thể tích kiểm soát. Do đó, khi V

cũng hướng ra khỏi thể tích kiểm soát (như trong Hình 2.4), tích S

d V 

 . là số dương. Hơn nữa, khi V

hướng ra khỏi thể tích kiểm soát, dòng khối lượng về mặt vật lý là rời khỏi thể tích kiểm soát, tức là một sự chảy ra. Do đó, một VdS

 . dương biểu thị sự chảy ra. Lần lượt, khi V

hướng vào thể tích kiểm soát, VdS

 . âm. Hơn nữa, khi V

hướng vào trong, dòng khối lượng về mặt vật lý đi vào thể tích kiểm soát, tức là một sự chảy vào. Do đó, một VdS

 . âm biểu thị sự chảy vào. Dòng khối lượng ròng ra khỏi

toàn bộ thể tích kiểm soát qua bề mặt kiểm soát S là tổng trên S của những dòng khối lượng phần tử trong Pt. (2.20). Trong giới hạn, nó trở thành một tích phân mặt, mà về mặt vật lý là vế trái của Pt. (2.19 a và b), tức là

S .

BÒ  V dSr r (2.21)

Hình 2.4. Thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian.

Bây giờ xét vế phải của phương trình (2.19a và b). Khối lượng chứa trong thể tích phần tử dV là dV. Toàn bộ khối lượng trong thể tích kiểm soát bởi vậy là

V dV



Suất tăng khối lượng theo thời gian trong V là tV dV



 

Lần lượt, suất giảm khối lượng theo thời gian trong V là âm của nó, tức là C

t V dV 



    (2.22) Như vậy, thay Pt. (2.21) và (2.22) vào (2.19 b), chúng ta có

S V dS. V dV

   t 

 r r  

Ò Ó

hoặc

. 0

V dV S V dS

t  

  

 Ó  Ò  r r (2.23) Phương trình (2.23) là dạng tích phân của phương trình liên tục; nó cũng trong dạng bảo toàn.

Chúng ta hãy đưa Pt. (2.23) vào dạng một phương trình vi phân. Vì thể tích kiểm soát trong Hình 2.4 cố định trong không gian, những giới hạn tích phân trong Pt. (2.23) không thay đổi, và do đó đạo hàm thời gian d/dt có thể đặt trong tích phân.

. 0

V dV S V dS

t

 

  

  Ò  r r

Ó (2.24)

áp dụng định lý phân kỳ từ phép tính vectơ, tích phân mặt trong Pt. (2.24) có thể biểu thị như một tích phân thể tích

( ). .( )

S V dS  V  V dV

 r r  r

Ò Ó (2.25) Thay (2.25) vào Pt. (2.24), chúng ta có

.( ) 0

V dV V V dV

t

 

   

   r

Ó Ó

hoặc

[ .( )] 0

V V dV

t

 

  

  r

Ó (2.26) Vì thể tích kiểm soát hữu hạn được vẽ tùy ý trong không gian, cách duy nhất để tích phân trong Pt. (2.26) bằng 0 là cho biểu thức dưới dấu tích phân bằng 0 tại mỗi điểm trong thể tích kiểm soát. Do đó,

.( V) 0 t

 

   



r (2.27) Pt. (2.27) là phương trình liên tục trong dạng bảo toàn.

Khảo sát các dẫn xuất trên theo các thảo luận của chúng ta trong Mục 2.2, nhận thấy rằng:

(1) Bằng việc áp dụng mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn, chúng ta nhận được Pt.

(2.23) trực tiếp ở dạng tích phân

(2) Chỉ sau sự thao tác nào đó với dạng tích phân chúng ta gián tiếp nhận được một phương trình đạo hàm riêng, Pt. (2.27).

(3) Bằng việc chọn mô hình cố định trong không gian, chúng ta nhận được dạng bảo toàn của phương trình liên tục, Pt. (2.23) và (2.27).

Điều nhấn mạnh là Pt. (2.18) và (2.27) đều phát biểu về bảo toàn khối lượng biểu thị trong dạng những phương trình đạo hàm riêng. Pt. (2.18) có dạng không bảo toàn, và Pt.

(2.27) có dạng bảo toàn; cả hai dạng hợp lệ như nhau. Đương nhiên, một dạng này có thể dễ dàng nhận được từ dạng khác như sau. Xét đồng nhất vectơ bao gồm sự phân kỳ của tích vô hướng vectơ theo thời gian, như sau

.(V)  .V V. 

 r   r r

(2.28) Thay Pt. (2.28) trong dạng bảo toàn, Pt. (2.27)

. . 0

V V

t

  

     



r r

(2.29) Hai số hạng đầu tiên trên vế trái của Pt. (2.29) đơn giản là đạo hàm thể chất của mật

độ. Do đó, Pt. (2.29) trở thành

. 0

d V

dt

   r  là dạng không bảo toàn đã cho bởi Pt. (2.18).

Một lần nữa chúng ta chú ý rằng việc sử dụng dạng bảo toàn hoặc không bảo toàn của những phương trình chủ đạo tạo nên sự khác biệt nhỏ trong hầu hết lý thuyết động lực học hàng không. Ngược lại, sử dụng bất cứ dạng nào cũng đều có thể tạo sự khác nhau trong những ứng dụng CFD, và đó là tại sao là chúng ta đang tạo sự phân biệt giữa hai dạng khác nhau này trong bài giảng hiện thời.