Chương 3. Những dòng không nhớt không nén được: phương pháp tấm nguồn và tấm xoáy
4.3 Trạng thái tổng quát của những nhóm phương trình đạo hàm riêng khác
Trong mục này chúng ta đơn giản bàn luận, không chứng minh, một vài hành vi của những phương trình đạo hàm riêng hyperbolic, eliptic và parabolic, và liên hệ hành vi
này với lời giải của những bài toán trong động lực học chất lỏng. Để có nhiều chi tiết về những đặc trưng của phương trình đạo hàm riêng, hãy xem bất kỳ bài giảng tốt nào về toán học hiện đại, như Tham khảo 17.
4.3.1 Phương trình hyperbolic
Với những phương trình hyperbolic, thông tin tại một điểm P đã cho chỉ ảnh hưởng tới những vùng giữa những đặc trưng tiến. Ví dụ, khảo sát Hình 4.1, được phác hoạ cho bài toán hai chiều với hai biến không gian độc lập. Điểm P được định vị tại (x, y) đã cho.
Xét những đặc trưng chạy trái và chạy phải đi qua điểm P như trong Hình 4.1.
Hình 4.1. Miền và biên cho lời giải phương trình hyperbolic. Dòng hai chiều ổn định.
Thông tin tại điểm P chỉ ảnh hưởng lên vùng bóng - vùng được gắn nhãn I giữa hai
đặc trưng tiến đi qua P trong Hình 4.1. Điều này có một hiệu ứng đồng thời lên những
điều kiện biên đối với những phương trình hyperbolic. Giả thiết rằng trục hoành là một
điều kiện biên đã cho của bài toán, tức là những biến phụ thuộc u và v được biết dọc theo trục hoành. Như vậy lời giải có thể nhận được bằng 'tiến triển phía trước' một khoảng cách y, bắt đầu từ biên đã cho. Tuy nhiên, lời giải cho u và v tại điểm P sẽ chỉ phụ thuộc vào phần biên giữa a và b, như thấy trong Hình 4.1. Thông tin tại điểm c nằm ngoài khoảng ab, lan truyền dọc theo những đặc trưng đi qua c, và chỉ ảnh hưởng lên vùng II trong Hình 4.1. Điểm P là bên ngoài vùng II và do đó không cảm nhận thông tin từ điểm c. Với lý do này, điểm P chỉ phụ thuộc vào phần biên được chặn và bao bọc giữa hai đường
đặc trưng qua điểm P, thiết lập khoảng cách ab.
Trong động lực học chất lỏng, những kiểu dòng sau đây được kiểm soát bởi những phương trình đạo hàm riêng hyperbolic, và do đó thể hiện hành vi mô tả ở trên:
Hình 4.2. Miền và biên cho lời giải phương trình hyperbolic. Dòng ổn định ba chiều.
(1) Dòng ổn định, siêu âm không nhớt. Nếu dòng là hai chiều, hành vi giống như đã
thảo luận trong Hình 4.1. Nếu dòng ba chiều, thì có những mặt đặc trưng trong không gian xyz, như phác hoạ trong Hình 4.2. Xét điểm P tại vị trí đã cho (x, y, z). Thông tin tại P ảnh hưởng lên thể tích bóng trong mặt đặc trưng. Ngoài ra, nếu mặt phẳng xy là một mặt biên, thì chỉ phần biên hiện gạch chéo trong mặt phẳng xy, được cắt bởi mặt đặc trưng, là có hiệu ứng bất kỳ lên P. Trong Hình 4.2, những biến phụ thuộc được giải bằng việc bắt đầu với dữ liệu cho trong mặt phẳng xy, và 'tiến triển' theo hướng z. Với bài toán dòng siêu âm không nhớt, hướng dòng tổng quát cũng trong hướng z.
Hình 4.3. Miền và biên cho lời giải của phương trình hyperbolic: dòng không ổn định một chiều.
(2) Dòng không ổn định không nhớt nén được. Với những dòng không ổn định không nhớt một chiều và hai chiều, những phương trình chủ đạo là hyperbolic, không quan
trọng liệu dòng địa phương dưới âm hoặc siêu âm. ở đây, thời gian theo hướng tiến. Với dòng không ổn định một chiều, xét một điểm P trong mặt phẳng xt cho trong Hình 4.3.
Một lần nữa, vùng bị ảnh hưởng bởi P là vùng bóng giữa hai đặc trưng tiến đi qua P, và khoảng ab là phần duy nhất của biên dọc theo trục hoành mà ở đó lời giải tại P phụ thuộc. Với dòng không ổn định hai chiều xét một điểm P trong không gian (x, y, t) như
trong Hình 4.4. Vùng bị ảnh hưởng bởi P, và phần của biên trong mặt phẳng xy mà trên
đó lời giải tại P phụ thuộc được cho trong hình này. Bắt đầu với dữ liệu ban đầu được biết trong mặt phẳng xy, lời giải 'tiến bước" theo thời gian.
Hình 4.4. Miền và biên cho lời giải của phương trình hyperbolic: dòng không ổn định hai chiều.
4.3.2 Phương trình parabolic
Với những phương trình parabolic, thông tin tại điểm P trong mặt phẳng xy ảnh hưởng lên toàn bộ vùng của mặt phẳng ở một phía của P. Điều này được phác hoạ trong Hình 4.5, trong đó đường đặc trưng đơn đi qua điểm P được vẽ. Giả thiết trục x và y là những biên, lời giải tại P phụ thuộc vào những điều kiện biên dọc theo toàn bộ trục y, cũng như trên phần đó của trục hoành từ a tới b. Những lời giải cho phương trình parabolic cũng là lời giải 'tiến triển'; bắt đầu với những điều kiện biên dọc theo cả hai trục x và y, lời giải trường dòng nhận được bằng 'tiến triển' trong hướng x tổng quát.
Trong động lực học chất lỏng, có những dạng đơn giản của phương trình Navier- Stokes thể hiện hành vi kiểu parabolic. Nếu những số hạng ứng suất nhớt xét đến đạo hàm ứng với x được bỏ qua trong những phương trình này, chúng ta nhận được phương trình Navier-Stokes 'parabolic hoá', cho phép một lời giải tiến triển xuôi chiều theo hướng x, bắt đầu với một vài dữ liệu đặc trưng dọc theo hướng x và y. Một sự đơn giản hơn nữa của phương trình Navier-Stokes cho trường hợp số Reynolds lớn dẫn tới phương trình lớp biên nổi tiếng. Các phương trình lớp biên thể hiện hành vi parabolic này cho trong Hình 4.5.
Hình 4.5. Miền và biên cho lời giải những phương trình parabolic trong hai chiều.
4.3.3 Phương trình eliptic
Với những phương trình eliptic, thông tin tại điểm P trong mặt phẳng xy ảnh hưởng tất cả các vùng khác của miền. Điều này được phác hoạ trong Hình 4.6, cho một miền hình chữ nhật. ở đây, miền đóng hoàn toàn, được bao vây bởi biên đóng abde. Điều này trái ngược với những miền mở với những phương trình hyperbolic và parabolic bàn luận sớm hơn như trong những hình trước đây, tức là Hình 4.1 tới 4.5.
Hình 4.6. Miền và biên cho lời giải những phương trình eliptic hai chiều.
Với những phương trình eliptic, vì điểm P ảnh hưởng lên tất cả các điểm trong miền, vậy đến lượt lời giải tại điểm P bị ảnh hưởng bởi toàn bộ biên kín abde. Bởi vậy lời giải tại
điểm P phải được thực hiện đồng thời với lời giải tại tất cả các điểm khác trong miền.
Điều này hoàn toàn trái ngược với những lời giải 'tiến triển' với phương trình hyperbolic và parabolic. Với lý do này, những bài toán xét đến những phương trình eliptic
thường được gọi là 'cân bằng ', hoặc những bài toán “giám khảo”, vì lời giải trong miền phụ thuộc vào toàn bộ biên xung quanh miền [xem Tham khảo 18 cho nhiều chi tiết hơn].
Trong động lực học chất lỏng, dòng ổn định dưới âm, không nhớt được kiểm soát bởi phương trình eliptic. Như một trường hợp nhỏ, điều này cũng bao gồm dòng không nén
được (mà về lý thuyết ngụ ý rằng số Mach bằng 0). Do đó, với những dòng như vậy, những
điều kiện biên vật lý phải được áp dụng trên một biên đóng mà về tổng thể bao vây dòng, và lời giải trường dòng tại mọi điểm trong dòng phải nhận được đồng thời vì lời giải tại một điểm ảnh hưởng đến lời giải tại tất cả các điểm khác.
Đối với Hình 4.6, những điều kiện biên phải được áp dụng trên toàn bộ biên abed.
Những điều kiện biên này có thể có những dạng sau:
(1) Một đặc trưng của những biến u và v phụ thuộc dọc theo biên. Kiểu điều kiện biên này được gọi là điều kiện Dirichlel.
(2) Một đặc trưng những đạo hàm của những biến phụ thuộc, như u/x.. dọc theo biên. Điều kiện biên kiểu này được gọi là điều kiện Neumann.
4.3.4 Một vài bình luận
Tại giai đoạn này điều bổ ích là quay lại thảo luận của chúng ta về dòng không nhớt qua một vật thể mũi tù siêu âm trong Chương 1, và đặc biệt trong Hình 1.1. ở đó chúng ta chỉ ra dòng ổn định dưới âm địa phương được kiểm soát bởi những phương trình đạo hàm riêng eliptic, và dòng ổn định siêu âm địa phương được kiểm soát bởi những phương trình đạo hàm riêng hyperbolic. Bây giờ chúng ta có hiểu biết tốt hơn điều đó có nghĩa là gì về mặt toán học; và vì hành vi toán học của những phương trình hyperbolic và eliptic là khác nhau về tổng thể, chúng ta có sự đánh giá mới với những khó khăn gặp phải bởi những nhà nghiên cứu trước đây trong việc cố gắng giải bài toán vật thể mũi tù. Sự thay
đổi đột ngột trong bản chất của những phương trình chủ đạo qua hàng rào âm thanh trên thực tế loại trừ bất kỳ lời giải thực hành nào của bài toán dòng ổn định vật thể mũi tù, xét đến một xử lý đồng nhất cả những vùng dưới âm lẫn siêu âm. Tuy nhiên, từ Hình 4.4 thấy rằng dòng không ổn định không nhớt được kiểm soát bởi những phương trình hyperbolic, bài toán không cần biết dòng địa phương dưới âm hoặc siêu âm. Điều này cung cấp cơ hội sau đây. Bắt đầu từ điều kiện ban đầu khá tuỳ tiện đối với trường dòng trong mặt phẳng xy trong Hình 1.1, giải những phương trình dòng không nhớt không ổn
định hai chiều, tiến về phía trước theo thời gian như phác hoạ trong Hình 4.4. Với những thời gian lớn, lời giải tiếp cận trạng thái ổn định, trong đó những đạo hàm thời gian của những biến dòng tiếp cận 0. Trạng thái ổn định này là kết quả mong muốn và cái gì bạn có, khi bạn tiếp cận trạng thái ổn định này là lời giải cho toàn bộ trường dòng bao gồm cả
những vùng dưới âm lẫn siêu âm. Hơn nữa, lời giải này cũng nhận được bằng cùng phương pháp cho toàn bộ dòng. Thảo luận ở trên cho ta tư tưởng cơ bản của kỹ thuật phụ thuộc thời gian đối với lời giải bài toán dòng. Việc thực hiện số thực hành bởi Moretti và Abbett [2] vào năm 1966 tạo nên một đột phá khoa học chủ yếu cho lời giải của bài toán vật thể mũi tù siêu âm như đã thảo luận trong Chương 1.
Tại giai đoạn này, nó đáng để sinh viên khảo sát lời giải thực tế dạng khép kín những phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nào đó có dạng hyperbolic và parabolic. Nhiều lời
giải cổ điển có thể cho trong những Tham khảo 17 và 18 là những nguồn tốt. Tuy nhiên, chúng ta sẽ không thực hiện một khảo sát như vậy trong bài giảng này; thay vì đó chúng ta sẽ chuyển đến những lời giải số liên quan đến dòng chất lỏng. Một lần nữa, sinh viên
được khuyên đọc những Tham khảo 17 và 18 để biết thêm chi tiết.
4.3.5 Bài toán được sắp đặt kỹ
Trong khi giải những phương trình đạo hàm riêng, đôi khi dễ dàng thử một lời giải sử dụng những điều kiện biên và ban đầu sai và thiếu. Không cần biết lời giải là giải tích hoặc bằng số, bài toán sắp đặt kém sẽ thường dẫn đến những kết quả giả tạo.
Bởi vậy, chúng ta định nghĩa bài toán được sắp đặt kỹ như sau: nếu lời giải cho một phương trình đạo hàm riêng tồn tại và duy nhất, và nếu lời giải phụ thuộc liên tục vào những điều kiện ban đầu và điều kiện biên, thì bài toán được sắp đặt kỹ. Trong CFD,
điều quan trọng là bạn thiết lập bài toán của bạn được sắp đặt kỹ trước khi bạn thử thực hiện một lời giải số.