Sự ổn định của phương pháp số đối với tích phân những phương trình đạo hàm thường

9.2 Thuộc tính ổn định tương ứng của phương pháp ẩn và hiện

9.2.1 Sự ổn định của phương pháp số đối với tích phân những phương trình đạo hàm thường

đạo hàm thường

9.2.1.1 Định nghĩa - các ví dụ

Sự ổn định của tích phân số phương trình đạo hàm thường, thông thường được định nghĩa bởi phát biểu sau. Một phương pháp được coi là ổn định (ổn định yếu) nếu lời giải số bị chặn khi số bước n đi tới vô hạn và kích thước bước thời gian t đi tới 0 với tích nt là hằng số. Về mặt toán học, dãy un được chặn với

t 0 n nt = hằng số.

Khi phương pháp ổn định theo định nghĩa đó, chúng ta có hệ quả quan trọng là, rời rạc hoá phương trình là chặt chẽ, phương pháp là hội tụ, có nghĩa là lời giải số hướng tới lời giải giải tích khi t tiến tới 0. Định lý quan trọng này phát biểu rằng ổn định + chặt chẽ thể hiện sự hội tụ P. Lax.

Những thuộc tính ổn định của phương pháp tích phân ODE nói chung được nghiên cứu bằng việc xét phương trình kiểm định

(0) 1

du qu u

dt    (9.11) Lời giải giải tích là u = eqt. Khi phương pháp số ứng dụng cho bài toán đó, lời giải luôn luôn có thể viết

1 ( , )

n n

u   g q t u trong đó g gọi là hệ số khuếch đại.

VËy,

 

1 ( , )n 1

un  g q t u

Điều kiện ổn định như vậy yêu cầu những số [g(q, t )]n phải đồng nhất bị chặn đối với 0 < t < t, 0  nt < T. Một điều kiện cần thiết cho điều này là g(q, t )  1+O(t),

đặc biệt g(q, 0 )  1.

Chúng ta hãy xét hai ví dụ. Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn đối với phương trình kiểm định.

1

1 2

2 2 2

3

2 3

2 3

3 3

1 1 2 3 4

2 3 4

2 3 4

(1)

( ) (1 )

2 2

( )

( ) (1 )

2 2 4

( ) ( )

( ) (1 )

2 4 4 4

1( 2 2 )

6

( ) ( ) ( )

(1 1 2 6 2

n n

n n

n n

n n

n n

k tqu q t u

k t

k tq u q t q u

k t t

k tq u q t q q u

k t t t

k tq u q t q q q u

u u k k k k

t t t t

q q q q



   

      

 

      

  

       

    

   

    

2 3 4

2 3 4

4 )

( ) ( ) ( )

1 1 2 6 24

un

t t t t

g q q  q  q 

     

Như vậy g  1+O(t), g(q, 0 ) = 1  1 và phương pháp Runge-Kutta là ổn định.

Ví dụ khác là phương pháp hiện điểm giữa hai bước đối với phương trình thử

1 1 2

n n n

u  u   q tu (9.12) Chúng ta hãy tìm g sao cho

2

1 1

n n n

u   gu  g u  VËy th×

2 2

1 1 2 1 hoặc 2 1) 1

n n n n

g u  u   q tgu   g  q tg  u    g phải là nghiệm của

2 2 1 1 ( )2

g  q tg      g q t  q t

Biểu thức này là đối với g(q, t )  1+O(t), và phương pháp điểm giữa hiện hai bước là ổn định.

9.2.1.2 Bất ổn định yếu

Vì nó chặt chẽ và ổn định, chúng ta áp dụng phương pháp điểm giữa hiện hai bước

đối với phương trình thử xác định ở trên với q = -1 và t = 0.1. Vì phương pháp là hai bước, hai giá trị ban đầu được yêu cầu. Một đã cho bởi điều kiện ban đầu của bài toán: u0

= 1 nhưng giá trị của u1 cũng được yêu cầu. Tính toán được thực hiện với hai xấp xỉ của lời giải chính xác e-0.1 = 0.90484, tức là u1 = 0.85 và u1 = 0.9.

Những kết quả tính toán được trình bày trong Hình 9.3. Ta chú ý rằng nhiễu động trên u1 làm khuyếch đại dao động. Trong thực tế, vì nhiễu động ban đầu có thể nhỏ và sẽ luôn luôn do sai số làm tròn, nó sẽ dần dẫn đến sự bùng nổ lời giải số. Hiện tượng này rõ ràng là không chấp nhận được. Đó là bất ổn định yếu.

Hình 9.3. Lời giải số của du/dt = -u; u(0) = 1 với phương pháp điểm giữa hiện hai bước

Trước khi tiến xa hơn, chúng ta tìm nguyên nhân của hiện tượng này. Trong mục trước đây thấy rằng phương pháp điểm giữa hiện hai bước cho phép lời giải dạng un+1 = gun = gnu1 với hai giá trị có thể cho g, ví dụ g1 và g2. Một biểu thức có dạng

1 1 2 2

n n

un c g c g cũng thỏa mãn phương trình sai phân

1 1 2 ( 1)

n n n

u  u   q tu  q  và những hằng số c1 và c2 được xác định bởi giá trị ban đầu.

0 1 2 1 1 1 2 2

u c c u c g c g Nh­ng

2 2

1

2 2

2

1 ( ) 1 ( )

1 ( ) 1 ( ) ( 1)

g q t q t t t

g q t q t t t q

         

             như vậy g1< 1 và g2> 1 với g2 < 0. Tiếp tục phân tích ta nhận được

3

3

3 3

3 3

2

3 3 ( )

1

2

3 3 ( )

2

( ) 1 ( )

1

( ) ( )

2

( )

1 ( ) ( )

2 ( )

1 ( ) ( 1)( ( )) ( 1)

2

( 1) ( 1) v ×

t t O t

t t O t

n n t O n t O t

n n n t O t n t O t

g t t O t e O t e

g t t O t e O t e

g e e e e

g e e e e n t t

    

   

    

  

          

             

 

       

Những dao động nhận thấy bởi vậy được giải thích bằng số hạng g2

n dao động do hệ số (-1)n và khuyếch đại như et. Số hạng này không có quan hệ với lời giải chính xác và là một giả tạo thuần túy số. u1 càng gần với g1u0, hệ số c2 càng nhỏ, làm chậm sự quan sát những dao động khuếch đại, nhưng nó sẽ luôn luôn không thể bằng c2 = 0 để tránh bất ổn định.

Ví dụ trước đây cho thấy rằng định nghĩa trạng thái ổn định trong Mục 2.1.1 là chưa

đủ vì nó không cảnh báo chúng ta khả năng của hiện tượng bất ổn định yếu không thể chấp nhận. Lý do này là định nghĩa ổn định trong 2.1.1 chỉ cho ta thông tin về trường hợp giới hạn (hơi vô ích) t  0, mà không phải với những tính toán thực tế với t hữu hạn.

Kết quả này dẫn đến mở đầu một khái niệm mới, gọi là vùng ổn định (tuyệt đối).

9.2.1.3 Vùng ổn định (tuyệt đối)

Khái niệm vùng ổn định (tuyệt đối) được giới thiệu bởi Dahlquisi [10]. Vùng ổn định (tuyệt đối) của một thuật giải số để tích phân ODE là tập hợp những giá trị của z = qt (q

= tham số phức của phương trình thử du/dt = qu) sao cho dãy những giá trị số như vậy

được chặn khi n  . Như định nghĩa trước đây của ổn định (2.1.1) yêu cầu rằng dãy un

sẽ được chặn khi n  , t 0, điều này tương đương với phát biểu rằng nguồn gốc nằm trong vùng ổn định (tuyệt đối) (t 0 ngụ ý z = qt 0).

Với định nghĩa này, có thể kiểm tra vùng ổn định của phương pháp hai bước hiện

điểm giữa là đoạn của trục ảo giữa -i và +i. Không đáng ngạc nhiên rằng tính toán thực hiện với q = -1, t = 0.1  z = -0.1 dẫn tới một bùng nổ tính toán, vì z = -0.1 nằm bên ngoài vùng ổn định (tuyệt đối) đối với sơ đồ đó.

Trong thực hành, vì tính toán thực tế được thực hiện với những giá trị hữu hạn của

t, điều quan trọng là biết vùng ổn định của phương pháp sẽ sử dụng. Trong đa số các ví dụ, ta không phải lo lắng về hạn chế do t bị ép buộc bởi những xem xét ổn định (trừ một vài phương pháp bệnh lý giống như phương pháp hiện điểm giữa hai bước) vì t bị hạn chế bởi xem xét độ chính xác. Chúng ta hãy cho thấy điều này bởi một ví dụ.

Giả thiết ta muốn giải cùng bài toán như trước đó, tức là du/dt = -u; u(0) = 1 nhưng chúng ta quyết định sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc bốn. Vùng ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc bốn được xác định và được trình bày dưới đây. Trên trục thực âm, ta thấy rằng biên tại qt = -2.8, tức là với q = -1, t = 2.8, t phải được chọn dưới giá trị đó mà không đòi hỏi rất chính xác vì theo lời giải chính xác u = e-t, ta có thể chọn những giá trị của t từ 0.1 để nhận được độ chính xác thỏa mãn.

Hình 9.4. Vùng ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc bốn

9.2.1.4 Những bài toán cứng

Tuy nhiên trong một vài thể hiện, những xem xét ổn định có thể trở nên rất hạn chế.

Điều này sẽ được minh họa bởi ví dụ sau. Xét phương trình

{ {

ạ ạ đ

100( sin ); (0) 0

số h ng ép buộc số h ng ồng nhất

du t u u

dx           (9.13) Lời giải chính xác là

sin 0.01cos 0.01 100

( ) 1.0001

t t e t

u t

  

 (9.14) Số hạng có số mũ (phản ứng tự nhiên) tắt rất nhanh và lời giải trở thành một hàm tuần hoàn có chu kỳ 2 (phản ứng cưỡng bức). Nếu quan tâm về hành vi tuần hoàn đó và không phải nhất thời vào số mũ, ta chọn một bước thời gian có bậc, ví dụ, một phần hai mươi chu kỳ hoặc t = 2/20 = 0.3. Nhưng, nếu ta thử sử dụng một bước thời gian như vậy với phương pháp Runge-Kutta bậc bốn, thì một bất ổn định kinh khủng phát sinh. Đương nhiên, thậm chí với t = 0.03, tính toán bị gián đoạn. Giải thích là do sự có mặt của số hạng đồng nhất. Nếu ta bỏ qua số hạng cưỡng bức, phương trình là cùng kiểu như phương trình thử du/dt = qu với q = -100. Bây giờ, biên ổn định cho phương pháp Runge-Kutta là qt  -2.8 (xem 2.1.3) hoặc trong trường hợp này t  0.028. Như vậy ở đây có vẻ là, sự có mặt của số hạng đồng nhất chịu trách nhiệm về hạn chế khốc liệt bước thời gian, mặc dầu nó sinh ra phản ứng tự nhiên phá huỷ nhanh (rất ổn định). Lý do cơ bản của khó khăn nằm trong sự cùng tồn tại của hai hiện tượng với quy mô thời gian rất khác nhau (hành vi tuần hoàn và số mũ nhất thời) và ở việc quy mô thời gian ngắn nhất xác định bước thời gian được phép cực đại (thậm chí hiện tượng tương ứng đang biến mất rất nhanh chóng).

Những bài toán trong đó có sự cùng tồn tại như vậy của hiện tượng với những quy mô

thời gian rất khác nhau được gọi là những bài toán cứng. Không may, chúng lại thường gặp trong nhiều lĩnh vực kỹ nghệ và đặc biệt trong cơ chất lỏng. Với những bài toán đó,

điều mong muốn là chúng ta có những sơ đồ sao cho một bài toán ổn định về mặt vật lý dẫn đến lời giải bị chặn mà không để ý tới giá trị của bước thời gian. Thuộc tính đó được gọi là ổn định tuyệt đối hoặc một sự ổn định sẽ được thảo luận trong mục tiếp theo.

9.2.1.5 Sự ổn định tuyệt đối

Trong mục trước sự ổn định tuyệt đối được định nghĩa như một thuộc tính, theo đó lời giải số của một bài toán ổn định về mặt vật lý được chặn, không để ý tới bước thời gian.

Chúng ta hãy diễn tả điều này thành những số hạng toán học. Những bài toán kiểm tra có kiểu du/dt = qu là ổn định nếu Re(q)  0. Bởi vậy, tập hợp của những giá trị qt ứng với những bài toán ổn định nếu là nửa mặt phẳng trái. Sự ổn định tuyệt đối như vậy tương đương với yêu cầu rằng vùng ổn định bao gồm nửa mặt phẳng trái.

ổn định tuyệt đối = Vùng ổn định bao gồm nửa mặt phẳng trái.

Bây giờ có định nghĩa hoạt động của ổn định tuyệt đối, chúng ta có thể tìm kiếm ổn

định tuyệt đối (hoặc ổn định A). Trước hết ta nhận thấy rằng phương pháp Runge-Kutta

bậc bốn là không ổn định (Hình 9.4). Tiếp theo ta khảo sát phương pháp Euler lùi. áp dụng phương trình thử, phương pháp Euler lùi là

1

n n

n

u u t qu

 

  Bởi vậy,

1 1

(1 ) hoặc 1

n n n 1 n

u q t u u u

 q t 

     

  (9.15) Tiếp theo un sẽ bị chặn nếu

t q

 1

1 <1 hoặc |1-qt| > 1, trong đó mặt phẳng z(= qt) là vùng bên ngoài của một vòng tròn có bán kính và tâm tại 1. Vùng này bao gồm toàn bộ mặt phẳng nửa trái và phương pháp như vậy là ổn định A. Bây giờ có thể thấy rằng phương pháp Euler lùi là một phương pháp ẩn và yêu cầu giải một phương trình để nhận

được un. Trong ví dụ thử, tất nhiên phương trình là một phương trình vô hướng tuyến tính được giải ngay lập tức, nhưng trong trường hợp của hệ phương trình phi tuyến, bài toán không phải đơn giản vậy.

Vì những phương pháp hiện dễ thiết lập hơn so với phương pháp ẩn, ta có thể phân vân rằng ở đó tồn tại hay không một phương pháp hiện ổn định A. Không may, trả lời cho

điều này là không, theo một định lý bởi Dahlquist [9] phát biểu rằng

• phương pháp ổn định A phải ẩn

• phương pháp ổn định A có độ chính xác bậc p  2.

Vậy thì với những bài toán cứng, ta sẽ thường xuyên chọn giữa những phương pháp ổn định A bậc hai đơn giản nhất, đặc biệt là phương pháp hình thang mà với phương trình thử là

 

1

2 1

n n

n n

u u q

u u t





  

 (9.16) Có thể dễ dàng chỉ ra rằng vùng ổn định của phương pháp hình thang là trái-một nửa mặt phẳng trái để phương pháp đương nhiên ổn định A.

Để tổng kết, những phương pháp ẩn tốn kém hơn về bước thời gian so với những phương pháp hiện, nhưng vì chúng có thể ổn định A, cho phép tăng kích thước t trong bước tích phân lớn hơn để bù vào chi phí thêm về số bước thời gian. Điều đó lại càng đúng với những bài toán, trong đó ta duy nhất quan tâm đến lời giải trạng thái ổn định, nhưng cũng đúng với những bài toán không ổn định, trong đó thời kỳ quan tâm lớn hơn giới hạn ép buộc bởi những thuộc tính ổn định. Điều này là lý do tại sao phương pháp ẩn có được tính phổ biến và đáng để nghiên cứu.