Dòng nâng trên vật thể hai chiều bất kỳ: phương pháp tấm xoáy

Chương 3. Những dòng không nhớt không nén được: phương pháp tấm nguồn và tấm xoáy

3.4 Dòng nâng trên vật thể hai chiều bất kỳ: phương pháp tấm xoáy

Trong Mục 3.3 khái niệm một tấm nguồn được giới thiệu. Trong mục này, chúng ta giới thiệu khái niệm tương tự của một tấm xoáy. Xét sợi xoáy thẳng thảo luận trong Mục 3.2.2. Bây giờ tưởng tượng một số vô hạn những sợi xoáy đứng cạnh nhau, trong đó cường

độ của mỗi sợi là vô cùng bé. Những sợi xoáy cạnh nhau này tạo nên một tấm xoáy, như

phối cảnh trong Hình 3.10.

Nếu chúng ta nhìn dọc theo chuỗi những sợi xoáy (theo trục tung trong Hình 3.10), tấm xoáy sẽ xuất hiện như phác hoạ tại phần bên phải của Hình 3.10. ở đây, chúng ta

đang nhìn lên mép tấm; tất cả những sợi xoáy đều thẳng góc với trang giấy. Cho s là khoảng cách đo dọc theo mép tấm xoáy. Định nghĩa  = (s) là cường độ của tấm xoáy trên

đơn vị độ dài dọc theo s. Như vậy, cường độ của một phần ds vô cùng bé của tấm là ds.

Đoạn nhỏ này của tấm xoáy có thể xử lý như một xoáy phân biệt có cường độ ds. Bây giờ

xét điểm P trong dòng, định vị tại một khoảng cách r từ ds. Đoạn nhỏ của tấm xoáy có cường độ ds tạo ra thế vận tốc tại P, nhận được từ Pt. (3.7) là

2 d ds

 

   (3.35) Thế vận tốc tại P do toàn bộ tấm xoáy từ a tới b là

1 2

b

a

ds

     (3.36)

Hình 3.10. Tấm xoáy

Ngoài ra, lưu số xung quanh tấm xoáy trong Hình 3.10 là tổng của những cường độ của các xoáy cơ bản, tức là

b

a

ds

  (3.37) Một thuộc tính khác của tấm xoáy là thành phần vận tốc tiếp tuyến với tấm chịu một sự thay đổi gián đoạn ngang qua tấm, bằng

2

1 u

u 

  (3.38) trong đó u1, và u2 là những vận tốc tiếp tuyến ngay ở trên và dưới tấm, tương ứng [xem Tham khảo 3 cho xuất xứ của kết quả này]. Pt. (3.38) được sử dụng để thể hiện rằng đối với dòng trên một cánh máy bay, giá trị của  bằng 0 tại mép đuôi của cánh máy bay.

Điều kiện này chính là

TE 0

  (3.39) một dạng của điều kiện Kutta, ấn định giá trị chính xác của lưu số xung quanh một cánh máy bay với mép đuôi sắc cạnh.

Cuối cùng chúng ta chú ý rằng lưu số xung quanh tấm liên quan tới lực nâng trên tấm thông qua định lý Kutta- Joukowski:



 V

L  (3.40)

Rõ ràng, một giá trị hữu hạn của lưu số được yêu cầu để tồn tại lực nâng. Trong mục này, chúng ta sẽ thấy rằng mục đích cuối cùng của phương pháp tấm xoáy áp dụng cho một vật thể đã cho là tính toán tổng lưu số, và từ đó nhận được lực nâng trên vật thể từ Pt. (3.40).

Hình 3.11. Mô phỏng một cánh máy bay bất kỳ bằng việc phân bố tấm xoáy trên bề mặt cánh máy bay.

Với lưu ý trên, xét một vật thể hai chiều bất kỳ như trong Hình 3.11. Chúng ta hãy bao một tấm xoáy lên bề mặt xung quanh của vật thể, như trong Hình 3.11. Chúng ta tìm

(s) sao cho bề mặt vật thể trở thành một đường dòng của dòng. Không có lời giải giải tích dạng khép kín nào cho (s); thay vào đó phải nhận được lời giải bằng số. Đây là mục đích của phương pháp tấm xoáy.

Chúng ta hãy xấp xỉ tấm xoáy trong Hình 3.11 bởi một chuỗi các tấm chắn thẳng như

được chỉ ra trước đó trong Hình 3.6. Trong Mục 3.3, Hình 3.6 sử dụng để bàn luận về những tấm nguồn; ở đây, chúng ta sử dụng cùng bức họa đó cho thảo luận của chúng ta về tấm xoáy. Cho cường độ xoáy trên đơn vị độ dài (s) là không đổi trên một tấm chắn đã

cho, nhưng cho phép nó thay đổi từ tấm chắn này tới tấm chắn kia. Vậy là, với n tấm chắn trong Hình 3.6, những cường độ tấm xoáy trên đơn vị độ dài là 1, 2,...n. Những cường độ tấm chắn này chưa biết; áp lực chính của kỹ thuật tấm chắn là giải cho j, j = 1 tới n, sao cho bề mặt vật thể trở thành một đường dòng của dòng và sao cho điều kiện Kutta được thỏa mãn. Như đã giải thích trong Mục 3.3, trung điểm của mỗi tấm chắn là một điểm kiểm soát mà tại đó điều kiện biên được ứng dụng, tức là tại mỗi điểm kiểm soát, thành phần thẳng góc của vận tốc dòng bằng 0.

Cho P là một điểm định vị tại (x, y) trong dòng, và rpj là khoảng cách từ bất kỳ điểm nào trên tấm chắn tới P, như trong Hình 3.6. Bán kính rpj tạo góc pj với trục hoành. Thế vận tốc sản sinh tại P do tấm chắn j là j, từ Pt. (3.35),

j j pj j

j   ds

   

 2

1 (3.40 a) Trong Pt. (3.40 a), j không đổi trên tấm chắn j, và tích phân chỉ lấy trên tấm chắn j. Góc pj cho bằng

j j

pj x x

y tg y



 1 

 (3.41) Lần lượt, thế tại P do tất cả các tấm chắn là Pt. (3.40a) lấy tổng tất cả các tấm chắn:

j pj j n j

j n

j

j ds

P   









 



 

( ) 2

1 1

(3.42) Vì điểm P là chỉ là một điểm bất kỳ trong dòng, chúng ta đặt P tại điểm kiểm soát của tấm chắn i trong Hình 3.6. Tọa độ của điểm kiểm soát này là (xi, yi). Vậy Pt. (3.41) và (3.42) trở thành

j i

j i j

i x x

y tg y



 1 

,

j ij j n j

j i

i y ds

x  





 



 

) 2 , (

1

(3.43) Pt. (3.43) về mặt vật lý là đóng góp của tất cả các tấm chắn cho thế tại điểm kiểm soát của tấm chắn i. Tại những điểm kiểm soát, thành phần tiếp tuyến của vận tốc bằng 0; vận tốc này chồng lên vận tốc dòng đều và vận tốc được sản sinh bởi tất cả các tấm xoáy. Thành phần của V thẳng góc với tấm chắn i do Pt. (3.15) đưa ra

i

n V

V,  cos (3.44) Thành phần tiếp tuyến của vận tốc tại (xi, yi) bởi những tấm xoáy là

)]

, (

[ i i

i

n x y

V n 



  (3.45)

Kết hợp Pt. (3.43) và (3.45), chúng ta có

j j i ij n j

j

n ds

V  n









1 2

(3.46) trong đó tổng lấy trên tất cả các tấm chắn. Thành phần tiếp tuyến của vận tốc dòng tại

điểm kiểm soát i là tổng của nó do dòng tự do (Pt. (3.44)) và do những tấm xoáy (Pt.

(3.46)). Điều kiện biên phát biểu rằng tổng này phải bằng 0:

,  0

n Vn

V (3.47) Thay Pt. (3.44) và (3.46) vào Pt. (3.47), chúng ta nhận được

2 0 cos

1

 

 



 j j

i ij n j

j

i ds

V n



  (3.48)

Hình 3.12. Các tấm xoáy tại mép đuôi.

Pt. (3.48) là bài toán nan giải của phương pháp tấm xoáy. Những giá trị tích phân trong Pt. (3.48) phụ thuộc đơn giản vào hình học tấm chắn, chúng không phải là những thuộc tính của dòng. Cho Ji,j là giá trị của tích phân này khi điểm kiểm soát ở tấm chắn j, th× Pt. (3.48) cã thÓ viÕt nh­ sau

2 0

cos ,

1







 ij

n j j

i J

V 

  (3.49) Pt. (3.49) là một phương trình đại số tuyến tính với n ẩn số, 1, 2.. n. Nó thể hiện

điều kiện biên dòng đánh giá tại điểm kiểm soát của tấm chắn i. Nếu Pt. (3.49) áp dụng cho những điểm kiểm soát của tất cả các tấm chắn, chúng ta nhận được một hệ n phương tr×nh tuyÕn tÝnh víi n Èn sè.

Tại điểm này, chúng ta đồng thời thảo luận phương pháp tấm nguồn cho trong Mục 3.3; tuy nhiên sự giống nhau dừng lại ở đây. Với phương pháp tấm nguồn, n phương trình với n cường độ nguồn chưa biết được giải theo thông lệ, cho ta dòng trên một vật thể không nâng được. Ngược lại, với trường hợp có thể nâng được với những tấm xoáy, ngoài n phương trình do Pt. (3.49) đưa ra áp dụng cho tất cả các tấm chắn, chúng ta cũng phải thỏa mãn điều kiện Kutta, Pt. (3.39). Điều này có thể thực hiện trong một vài cách. Ví dụ, xét Hình 3.12 minh họa chi tiết phân bố tấm xoáy tại mép đuôi. Chú ý rằng độ dài của mỗi tấm chắn có thể khác nhau; độ dài và phân bố của chúng trên vật thể phụ thuộc vào cách rời rạc của bạn. Cho hai tấm chắn tại mép đuôi (những tấm chắn i và i-1 trong Hình 3.12) là rất nhỏ. Điều kiện Kutta được ứng dụng chính xác tại mép đuôi và bằng (TE) = 0. Để xấp xỉ điều này bằng số, nếu những điểm i và i-1 đủ gần mép đuôi, chúng ta có thể viÕt

1

i i

    (3.50) sao cho cường độ của hai tấm xoáy i và i-1 chính xác triệt tiêu tại điểm chúng gặp nhau tại mép đuôi. Như vậy, để gán điều kiện Kutta lên lời giải của dòng, Pt. (3.50) hoặc một biểu thức tương đương phải được xem xét. Chú ý rằng Phương trình (3.49) đánh giá tại tất cả các tấm chắn và Pt. (3.50) cấu thành một hệ thống xác định n ẩn số với n + 1 phương trình. Do đó để nhận được một hệ giải được, Pt. (3.49) không được đánh giá tại một trong những điểm kiểm soát trên vật thể. Vậy là chúng ta chọn để bỏ đi một trong số các điểm kiểm soát, và chúng ta đánh giá Pt. (3.49) tại n-1 điểm kiểm soát khác. Vậy, kết hợp với Pt. (3.50), bây giờ đưa ra một hệ n phương trình đại số tuyến tính với n ẩn số, có thể giải bởi kỹ thuật chuẩn.

Hình 3.13. Cánh máy bay như một vật thể đặc, với vận tốc 0 bên trong mặt cắt.

Tại giai đoạn này, về khái niệm chúng ta nhận được những giá trị của 1, 2.. n tạo cho bề mặt vật thể một đường dòng của dòng và cũng thỏa mãn điều kiện Kutta. Lần lượt, vận tốc tiếp tuyến với bề mặt có thể trực tiếp nhận được từ . Để thấy điều này rõ hơn, hãy xét cánh máy bay trong Hình 3.13. Chúng ta chỉ đề cập đến dòng bên ngoài cánh máy bay và trên bề mặt của nó. Bởi vậy, cho vận tốc bằng 0 tại mỗi điểm trong vật thể, như

trong Hình 3.13. Đặc biệt, vận tốc ngay trong tấm xoáy trên bề mặt bằng 0. Điều này tương ứng với u3 = 0 trong Pt. (3.38). Do đó vận tốc ngay ngoài tấm xoáy là, từ Pt. (3.38)

1 1

2

1 u u 0 u

u    

 

Trong Pt. (3.38 u biểu thị vận tốc tiếp tuyến với tấm xoáy. Dưới dạng bức tranh cho trong Hình 3.13, chúng ta nhận được Va = a tại điểm a, Vb = b tại điểm b, vv. Bởi vậy, những vận tốc địa phương tiếp tuyến với bề mặt cánh máy bay bằng những giá trị địa phương của . Lần lượt, phân bố áp suất địa phương có thể nhận được từ phương trình Bernoulli.

Lưu số tổng hợp và lực nâng kết quả nhận được như sau. Cho s độ dài của tấm chắn j thì lưu số do tấm chắn là jsj. Lần lượt, lưu số tổng hợp do tất cả các tấm chắn là

0

1





 

 j n j

jS

 (3.51) Do đó, lực nâng trên khẩu độ đơn vị nhận được từ

j n j

jS V

L 



 



1

,   (3.52) Sự trình bày trong mục này dự định chỉ đưa ra nét chung của phương pháp tấm xoáy.

Có nhiều biến thiên của phương pháp sử dụng hiện nay, và động viên bạn đọc các tài liệu hiện đại, đặc biệt xuất hiện trong Tạp chí AIAA và Tạp chí Máy bay từ 1970. Phương pháp tấm xoáy mô tả trong mục này được gọi là phương pháp bậc nhất vì nó giả thiết một giá trị không đổi của  trên một tấm chắn đã cho, mặc dầu phương pháp có thể là trực tiếp, sự thực hiện số của nó đôi khi có thể thất bại. Ví dụ, những kết quả với một vật thể

đã cho sẽ nhạy cảm với số tấm chắn sử dụng, kích thước khác nhau của chúng và cách mà chúng khuếch tán qua bề mặt vật thể, tức là sẽ ích lợi nếu đưa ra một số nhiều tấm chắn nhỏ gần mép cánh máy bay và một số ít hơn những tấm chắn lớn ở giữa.

Hình 3.14. Phân bố tuyến tính của cường độ xoáy trên mỗi tấm chắn - phương pháp tấm chắn bậc hai.

Nhu cầu bỏ đi một trong những điểm kiểm soát để có một hệ giải được của n phương trình cho n ẩn số cũng khá tuỳ tiện trong lời giải số. Bạn bỏ đi điểm kiểm soát nào?

Những lựa chọn khác nhau đôi khi tạo ra những trả lời số khác nhau cho phân bố của  trên bề mặt. Hơn nữa, những phân bố số kết quả cho  không luôn mịn, thay vì đó chúng có những dao động từ tấm chắn này tới tấm chắn khác như một kết quả của sự không chính xác số. Những bài toán đề cập ở trên thường được vượt qua bằng những cách khác nhau bởi những nhóm khác nhau, những người phát triển các chương trình tấm chắn tương đối phức tạp cho ứng dụng thực hành. Lần nữa, động viên bạn đọc tài liệu tham khảo để biết chi tiết hơn.

Hình 3.15. Phân bố hệ số áp suất trên một cánh máy bay NACA 0012; so sánh giữa phương pháp tấm xoáy bậc hai và kết quả lý thuyết. Những kết quả tấm chắn số nhận được bởi sinh viên tốt nghiệp của tác giả,

Tae-Hwan Cho.

Những vấn đề về độ chính xác như vậy khích lệ phát triển kỹ thuật tấm chắn với bậc cao hơn. Ví dụ, phương pháp tấm chắn 'bậc hai' giả thiết sự biến đổi tuyến tính của  trên một tấm chắn đã cho, như phác hoạ trong Hình 3.14. ở đây, giá trị của  tại mép của mỗi tấm chắn được ghép với những điểm lân cận của nó, và những giá trị 1, 2, 3, .., tại những

điểm biên trở thành ẩn số được giải. Điều kiện biên tiếp tuyến với dòng vẫn được ứng dụng tại điểm kiểm soát của mỗi tấm chắn như trước đó. Một vài kết quả sử dụng kỹ thuật tấm xoáy bậc hai cho trong Hình 3.15, cho thấy phân bố hệ số áp suất trên mặt

trên và mặt dưới một cánh máy bay NACA 0012 với góc đến 9o. Những vòng tròn và những hình vuông là những kết quả số từ kỹ thuật tấm xoáy bậc hai phát triển tại Trường đại học Maryland, và những đường liền là từ những kết quả NACA cho trong Tham khảo 27, nhận được sự phù hợp tuyệt vời.

Cuối cùng, nhiều nhóm phát triển và sử dụng kỹ thuật tấm chắn đều áp dụng một tổ hợp những tấm xoáy và tấm nguồn đối với vật thể nâng - những tấm nguồn để thể hiện chính xác bề dày của vật thể, và những tấm xoáy cung cấp lưu số. Một lần nữa, bạn được

động viên đọc tài liệu tham khảo. Ví dụ, Tham khảo 28 là một bài báo cổ điển về những phương pháp tấm chắn, và Tham khảo 29 chiếu sáng nhiều khái niệm cơ bản của phương pháp tấm chắn cùng chương trình máy tính có mã nguồn mở với những ứng dụng đơn giản.