Hệ tọa độ khớp biên

Chương 6. Những phép biến đổi và lưới

6.5 Hệ tọa độ khớp biên

Xét dòng đi qua một ống phân kỳ trong Hình 6.5a. Đường cong de là mép trên của ống và đường fg là đường trục. Với dòng này, một lưới hình chữ nhật đơn giản trong mặt phẳng vật lý là không thích hợp vì những lý do thảo luận trong Mục 6.1. Thay vào đó, chúng ta vẽ lưới cong trong Hình 6.5a, cho phép cả hai biên de trên và đường trục fg là những đường tọa độ, khớp chính xác với những biên này. Lần lượt, lưới cong trong Hình 6.5a phải được thay đổi thành một lưới hình chữ nhật trong mặt phẳng tính toán, Hình 6.5b. Điều này có thể thực hiện như sau. Cho ys = f(x) là tung độ của mặt de trên Hình 6.5 a. Như vậy sự biến đổi sẽ tạo ra một lưới hình chữ nhật trong không gian (, )

s

x y y







 trong đó ys = f(x)

Hình 6.5. Một hệ toạ độ khớp biên đơn giản, (a) Mặt phẳng vật lý, (b) Mặt phẳng tính toán.

Trên đây là ví dụ đơn giản của một hệ tọa độ khớp biên. Một ví dụ phức tạp hơn được cho trong Hình 6.6, là một công phu của trường hợp minh họa trong Hình 6.2, xét dạng cánh máy bay cho trong Hình 6.6a. Một hệ thống cong bao bọc vòng quanh cánh máy bay, trong đó đường tọa độ  = 1 = hằng số trên bề mặt cánh máy bay. Đây là biên trong của lưới, được chỉ định bằng 1.

Biên phía ngoài lưới được gắn nhãn 2 trong Hình 6.6a và cho bằng  = 2 = hằng số.

Khảo sát lưới này chúng ta thấy rõ ràng rằng nó khớp với biên, và do đó nó là một hệ tọa

độ khớp biên. Những đường xoè ra từ biên trong 1 và cắt ngang biên 2 ở phía ngoài là những đường hằng số , như đường  = 1 = hằng số. Chú ý là trong Hình 6.6a những

đường hằng số  về tổng thể bao cánh máy bay, tương tự như những vòng tròn kéo dài;

một lưới như vậy được gọi là lưới điển hình cho cánh máy bay. Lưới cong liên quan khác có thể có  = đường hằng số kéo xuôi tới phía bên phải, không hoàn toàn bao kín cánh máy bay (trừ trên biên trong 1). Lưới như vậy được gọi là lưới kiểu C. Chúng ta sẽ xem xét ngắn gọn một ví dụ của lưới kiểu C.

Hình 6.6 (a) Mặt phẳng vật lý, (b) Mặt phẳng tính toán.

Câu hỏi: biến đổi nào sẽ đem lưới cong trong Hình 6.6a vào một lưới đồng nhất trong mặt phẳng tính toán như phác hoạ trong Hình 6.6b? Để trả lời câu hỏi này, chú ý từ Hình 6.6a là dọc theo biên trong 1, tọa độ vật lý của vật thể được biết:

(x, y) biết dọc theo 1.

Tương tự, tọa độ vật lý của biên 2 ở phía ngoài cũng được biết bởi vì 2 đơn giản là một vòng khá tùy ý xung quanh cánh máy bay. Vì vòng 2 này được chỉ rõ, vậy tọa độ vật lý dọc theo nó được biết:

(x, y) được biết dọc theo 2

Những lưu ý này của bài toán giá trị biên là điều kiện biên (tức những giá trị x và y)

được biết dọc theo biên. Từ Mục 4.3.3, lời giải phương trình đạo hàm riêng eliptic yêu cầu

đặc trưng điều kiện biên khắp nơi dọc theo biên khép kín miền. Bởi vậy, chúng ta coi biến

đổi trong Hình 6.6 được xác định bởi một phương trình đạo hàm riêng eliptic (ngược với quan hệ đại số minh họa trong Mục 6.4). Một trong những phương trình eliptic đơn giản nhất là phương trình Laplace:

2 2

2 2 0

x y

 

 

 

  (6.35a)

2 2

2 2 0

x y

 

 

 

  (6.35b) trong đó chúng ta có điều kiện biên Dirichlet

 = 1 = hằng số trên 1

 = 2 = hằng số trên 2

 = (x, y) được chỉ rõ trên cả 1 lẫn 2 .

Điều quan trọng là lưu ý điều mà chúng ta đang làm ở đây. Những Pt. (6.35a và b) không có gì để làm với vật lý của trường dòng. Chúng là những phương trình đạo hàm riêng eliptic đơn giản mà chúng ta chọn để liên hệ  và  với x và y, và do đó cấu thành một biến đổi (tương ứng một đối một của những điểm lưới) từ mặt phẳng vật lý đến mặt phẳng tính toán. Vì sự biến đổi này được kiểm soát bởi những phương trình eliptic, nó là một ví dụ của một nhóm chung về tạo lưới, gọi là tạo lưới eliptic. Tạo lưới eliptic như vậy trước hết được sử dụng trên cơ sở thực hành bởi Joe Thompson tại Trường đại học Quốc gia Missippi, và được mô tả chi tiết trong bài báo giới thiệu trong Tham khảo 23.

Hình 6.7. Mặt phẳng tính toán minh họa điều kiện biên và điểm trong.

Chúng ta hãy nhìn lên những mặt phẳng tính toán và vật lý cho trong Hình 6.6. Để xây dựng một lưới hình chữ nhật trong mặt phẳng tính toán (Hình 6.6b), một sự cắt phải

được thực hiện trong mặt phẳng vật lý (Hình 6.6a) tại mép đuôi của cánh máy bay. Sự cắt này có thể thấy rõ như hai đường chồng lên trên nhau: đường pq biểu thị bởi 3 thể hiện

một giới tuyến cho không gian vật lý ở trên pq, và đường rs biểu thị bởi 4 thể hiện một giới tuyến cho không gian vật lý ở dưới rs. Trong mặt phẳng vật lý, những điểm p và r biết ở đây từ cùng điểm, và điểm q điểm và s là cùng điểm; trong Hình 6.6a chúng hơi

được xê dịch để nhìn cho rõ. Tuy nhiên trong mặt phẳng tính toán, những điểm này là khác nhau. Đương nhiên, lưới trong mặt phẳng tính toán nhận được bằng việc cắt mỏng lưới vật lý tại chỗ cắt, và sau đó “mở gói” lưới từ cánh máy bay. Ví dụ bề mặt cánh máy bay trong mặt phẳng vật lý, đường cong trở thành đường thẳng thấp hơn biểu thị bằng 1

trong mặt phẳng tính toán. Tương tự, biên ghfdbs trở thành đường hơi thẳng phía trên, biểu thị bởi 2 trong mặt phẳng tính toán. Những cạnh phía bên phải và trái của hình chữ nhật trong mặt phẳng tính toán được hình thành từ sự cắt trong mặt phẳng vật lý;

cạnh trái là đường rs biểu thị bởi 4 trong Hình 6.6b, và cạnh phía bên phải là đường pq biểu thị bởi 3 trong Hình 6.6b.

Mặt phẳng tính toán được phác hoạ lần nữa trong Hình 6.7. ở đây chúng ta nhấn mạnh rằng những giá trị của (x, y) được biết dọc theo tất cả bốn biên 1, 2, 3 và 4. Khía cạnh cơ bản của cách tiếp cận tạo lưới eliptic như vậy là, với điều kiện biên đã cho Pt.

(6.35a và b) được giải đối với những giá trị (x, y) cho tất cả các điểm trong. Ví dụ của một

điểm trong như vậy do điểm A cho trong Hình 6.7, ứng với cùng điểm đó trong Hình 6.6 (a) và (b). Trên thực tế, những phương trình được giải là nghịch đảo của Pt. (6.35a và b), vậy là phương trình nhận được từ Pt. (6.35a và b) bằng việc luân phiên thay đổi những biến độc lập và phụ thuộc. Kết quả là:

2 2 2

2 2 2 0

x x x

  

 

 

  

  

 

  (6.36a)

2 2 2

2 2 2 0

  

  

 

 

y y y

  

    (6.36b) trong đó

2 2

( x) ( y)

  

 

 

 

x x y y

    

   

 

   

2 2

( x) ( y)

  

 

 

 

Trong Pt. (6.36a và b) x và y bây giờ được biểu thị như biến phụ thuộc. Trở lại lần nữa Hình 6.7, Pt. (6.36a và b) được giải cùng với những điều kiện biên đã cho (x, y) trên 1, 2,

3 và 4 để nhận được những giá trị của (x, y) ứng với những điểm lưới đồng nhất trong mặt phẳng tính toán (, ). Như vậy, một điểm lưới đã cho (, ) trong mặt phẳng tính toán tương ứng với điểm lưới tính toán (xi, yi) trong không gian vật lý. Nghiệm của Phương trình (6.36a và b) nhận được bằng cách giải sai phân hữu hạn thích hợp với phương trình eliptic; ví dụ kỹ thuật giảm dư là phổ biến đối với những phương trình như

vËy.

Lưu ý rằng sự biến đổi trên sử dụng một phương trình đạo hàm riêng để phát sinh lưới, không xét đến những biểu thức giải tích dạng khép kín; thay vào đó nó sản sinh một tập hợp số định vị một điểm lưới (xi, yi) trong không gian vật lý ứng với một điểm lưới đã

cho (, ) trong không gian tính toán. Đến lượt, metric trong những phương trình dòng chủ đạo (giải trong mặt phẳng tính toán) như /x, /y vv, nhận được từ những sai phân hữu hạn; những sai phân trung tâm thường được sử dụng cho mục đích này.

Hệ tọa độ lưới cong khớp biên cho trong Hình 6.6a đơn giản được minh họa với ý nghĩa định tính trong hình đó với mục đích chỉ dẫn. Một lưới thực tế được phát sinh gần giống như cánh máy bay sử dụng cách tiếp cận lưới eliptic phát sinh ở trên được cho trong Hình 6.8, lấy từ Tham khảo 24. Sử dụng sơ đồ tạo lưới của Thompson [Tham khảo 23], Wright [24] đã tạo một hệ tọa độ khớp biên xung quanh cánh máy bay Miley (cánh máy bay Miley là một cánh máy bay đặc biệt được thiết kế với số Reynolds thấp, ứng dụng bởi Stan Miley tại Đại học Quốc gia Mississippi). Trong Hình 6.6, màu trắng lốm đốm giữa hình là cánh máy bay, và lưới trải rộng ra xa từ cánh máy bay theo tất cả các hướng.

Hình 6.8. Biên khớp với lưới (theo Tham khảo 24)

Hình 6.9. Một chi tiết của lưới khớp với biên (theo Tham khảo 24).

Trong Tham khảo 24, dòng có số Reynolds thấp qua cánh máy bay được tính toán bằng lời giải sai phân hữu hạn phụ thuộc vào thời gian đối với phương trình Navier- Stokes (lời giải phụ thuộc thời gian như vậy sẽ thảo luận trong Chương 7). Dòng tự do là dưới âm, do đó biên ở phía ngoài phải được đặt xa khỏi cánh máy bay do sự lan truyền nhiễu động trong dòng dưới âm. Một chi tiết của lưới trong vùng lân cận cánh máy bay

được cho trong Hình 6.9. Chú ý là từ hình 6.8 lẫn 6.9, lưới có kiểu C, ngược với lưới kiểu O phác họa trong Hình 6.6.

Chúng ta chấm dứt mục này bằng việc nhấn mạnh lần nữa rằng, việc tạo lưới eliptic cho lời giải phương trình đạo hàm riêng eliptic của nó để nhận các điểm lưới trong, tách biệt hoàn toàn với lời giải sai phân hữu hạn cho những phương trình chủ đạo. Trước hết là phải tạo lưới, trước bất kỳ lời giải nào của những phương trình chủ đạo được dự định.

Việc sử dụng phương trình Laplace (6.35a và b) để nhận được lưới này không động đến bất cứ điều gì với những khía cạnh vật lý của trường dòng thực tế. ở đây, phương trình Laplace chỉ đơn giản được sử dụng để tạo lưới.