Phương pháp Lax-Wendroff

Chương 7. Những phương pháp sai phân hữu hạn hiện: một số ứng dụng chọn lọc với dòng nhớt và không nhớt

7.2 Phương pháp Lax-Wendroff

Chúng ta hãy mô tả phương pháp này bằng việc xét một bài toán khí động lực đơn giản, tức là dòng đẳng entropi dưới âm/siêu âm đi qua một vòi phun hội tụ/phân kỳ, như

phác hoạ trong Hình 7.1. ở đây, một vòi phun có phân bố vùng đặc trưng A = A(x) đã cho, và những điều kiện chứa được biết. Chúng ta hãy xét lời giải tựa một chiều, trong đó những biến trường dòng là hàm của x (trạng thái ổn định). Với một khí hoàn hảo về nhiệt, lời giải của dòng này là kinh điển, và có thể tìm thấy trong bất kỳ sách giáo khoa dòng chịu nén nào [ví dụ xem các Tham khảo 3 và 14]. Chúng ta chỉ sử dụng ví dụ này ở đây bởi vì nó là con tàu tuyệt vời để giới thiệu và mô tả tư tưởng sai phân hữu hạn phụ thuộc thêi gian.

Vòi phun được chia thành một số điểm lưới theo hướng x như trong Hình 7.1; khoảng cách giữa những điểm lưới kề nhau là x. Bây giờ giả thiết những giá trị của các biến trường dòng tại tất cả điểm lưới, và xét khá tùy tiện dòng với giả thiết điều kiện ban đầu ở thời gian t = 0. Nói chung những giá trị giả thiết này sẽ không phải là kết quả trạng thái ổn định chính xác; đương nhiên kết quả chính xác của trạng thái ổn định là những kết quả chúng ta cố gắng tính toán. Xét một điểm lưới, ví dụ điểm i. Cho gi biểu thị một biến trường dòng tại điểm này (gi có thể là áp suất, mật độ, vận tốc..). Biến gi sẽ là một hàm của thời gian; tuy nhiên, chúng ta biết gi tại thời điểm t = 0, tức là chúng ta biết gi(0) vì ta giả thiết giá trị cho tất cả các biến trường dòng tại tất cả tại thời điểm ban đầu t = 0.

H×nh 7.1.

Chúng ta bây giờ tính toán một giá trị mới của gi vào thời gian t + t; khởi động từ

điều kiện ban đầu, thời gian mới đầu tiên là t + t = 0 + t. ở đây t là độ tăng thời gian, sẽ được thảo luận về về sau. Giá trị mới của gi tức là gi (t + t), nhận được từ khai triển chuỗi Tayjor theo thời gian,

2 2

2

( )

( ) ( ) ...

i i 2

i i

g g t

g t t g t t

t t

 

  

 

        

 

   

hoặc sử dụng ký hiệu chuẩn của thời gian bằng chỉ số trên,

2 2

2

( ) 2 ...

t t

t t t

i i

i i

g g t

g g t

t t

      

      

 

   

(7.1) ở đây gi

(t + t)

là giá trị của g tại điểm lưới i và vào thời gian (t + t), ( g)ti t



 là đạo hàm riêng bậc nhất của g đánh giá tại điểm lưới i tại thời gian t, vv. Trong Pt. (7.1), gi

t được biết và t được chỉ rõ. Bởi vậy chúng ta có thể sử dụng phương trình (7.1) để tính toán gi

t+t nếu ta có những số với những đạo hàm ( g)ti t t

 

 và

2

( g2)ti t t

  

 . Những số cho đạo hàm nhận được từ vật lý dòng như đã xét trong phương trình dòng chủ đạo. Lưu ý Pt. (7.1)

đơn giản là toán học, và chính nó không đủ chặt chẽ để giải bài toán. Những phương trình dòng chủ đạo cho dòng tựa một chiều chảy qua vòi phun là [14]:

1 ( uA)

t A x

 

 

    (7.2)

1 ( )

u u

t x u x

 



  

  

   (7.3)

1 (ln )

e u A e

p pu u

t x x  x



     

     

     

(7.4) Chú ý là Pt. (7.2)-(7.4) được viết với những đạo hàm thời gian bên vế trái, và những

đạo hàm không gian bên vế phải. Lúc này hãy tính toán mật độ, tức là g = , và chúng ta hãy chỉ xét phương trình liên tục, Pt. (7. 2).

Khai triển vế phải của Pt. (7.2), chúng ta nhận được

1 A u

u u

t A x x x

 

 

   

   

    (7.5) Vào thời gian t = 0, những biến trường dòng được giả thiết; do đó chúng ta có thể thay thế những đạo hàm không gian bằng các sai phân trung tâm:

1 1 1 1 1 1

1 ( ) ( ) ( )

2 2 2

t t t t t

t t i i t i i t i i

i i i i

i

A A u u

u u

t A x x x

 

           

 

   

 

   

 

(7.6) Phương trình (7.6) cho chúng ta một giá trị số đối với ( )ti

t





 , được đưa vào phương trình (7.1). Tuy nhiên, để hoàn thành Pt. (7.1), chúng ta cũng cần một giá trị số cho đạo

hàm bậc hai, tức là

2

( 2 )ti t





 . Để nhận được điều này, đạo hàm phương trình liên tục, Pt.

(7.5) theo thêi gian:

2 2 2

2

1 A( u) ( )( u) u ( u)( )

u u

A x t t x t x t x t x t

t

    

 

          

                 

  

(7.7) Cũng vậy, đạo hàm phương trình liên tục Pt. (7.5) theo x:

2 2 2 2

2 2 2

1 A A( u) ( )( u) u ( u)( )

u u u

t x A x x t t x x x x x x

    

  

 

          

        

             

(7.8) Thủ tục như sau:

(1) Trong Pt. (7.8), thay thế tất cả các đạo hàm bên vế phải bằng sai phân trung tâm nh­

1 1

2

1 1 1

2 2

2 2 ( )

t t

i i

t t t

i i i

u u

u

x x

u u u

u

x x

 

  

 

  

 

 

 

Điều đó bây giờ cung cấp một giá trị số

2

( )ti t x





  tõ (7.8).

(2) Đưa giá trị số

2

( )ti t x





  này vào Pt. (7.7). Cũng trong Pt. (7.7), những giá trị số ( u) t



 và

2

( u) t x



  nhận được từ xử lý phương trình động lượng, Pt. (7.3) theo một cách chính xác cũng như với phương trình liên tục đã xử lý ở trên. Những chi tiết sẽ không cho ở đây.

Trong Pt. (7.7), một giá trị số cho ( ) t





 đã sẵn có, tức là từ Pt. (7.6). Kết quả ròng là chúng ta bây giờ có một giá trị số

2

( 2 )ti t





 nhận được từ Pt. (7.7).

(3) Đưa giá trị số

2

( 2)ti t





 này vào trong Pt. (7.1), nhớ rằng g =  đối với trường hợp này.

(4) ( )ti t





 nhận được từ Pt. (7.6), đưa vào Pt. (7.1).

(5) Mỗi đại lượng trên vế phải của Pt. (7.1) bây giờ được biết. Điều này cho phép mật

độ it+t được tính toán từ Pt. (7.1). Đây đương nhiên cái chúng ta muốn. Chúng ta bây giờ có mật độ tại điểm lưới i tại bước thời gian tiếp theo t + t.

(6) Thực hiện thủ tục trên tại mỗi điểm lưới nhận được (t + t) khắp vòi phun.

(7) Thực hiện thủ tục trên những phương trình động lượng và năng lượng để nhận

được u(t + t) và e(t + t) khắp vòi phun. Chúng ta bây giờ có trường dòng đầy đủ tại thời gian (t + t), nhận được từ trường dòng đã biết vào thời gian t. Quá trình được khởi động tại t = 0 với điều kiện ban đầu giả thiết.

(8) Lặp lại quá trình trên đối với một số lớn bước thời gian. Tại mỗi bước thời gian, những thuộc tính dòng tại tất cả những điểm lưới sẽ thay đổi từ một thời điểm tới thời

điểm tiếp theo. Tuy nhiên ở những thời gian lớn, những thay đổi này trở thành rất nhỏ, và một trạng thái ổn định được tiếp cận. Trạng thái ổn định này là kết quả mong muốn, và kỹ thuật phụ thuộc thời gian đơn giản là một phương tiện đi tới kết cục đó.

Hành vi của kiểu lời giải này được minh họa trong Hình 7.2 và 7.3. Trong Hình 7.2, phân bố nhiệt độ đi qua một vòi phun đã được thấy. Đường gạch nối t = 0 là giá trị ban

đầu, giả thiết cho T trên suốt vòi phun. Đường cong 8t ở trên nó là phân bố nhiệt độ sau tám bước thời gian theo thủ tục trên. Những đường cong l6t và 32t là kết quả tương tự sau 16 và 32 bước thời gian tương ứng. Chú ý rằng phân bố nhiệt độ đã nhanh chóng thay

đổi từ phân bố ban đầu giả thiết tại t = 0. Tại những thời điểm về sau, những thay đổi trở nên nhỏ hơn; chú ý là đường cong 120t không quá khác với đường cong 32 t. Cuối cùng, sau 744 bước thời gian, những thay đổi nhỏ đến mức phân bố nhiệt độ thực chất là một trạng thái ổn định.

Hình 7.2. Những phân bố nhiệt độ trạng thái ổn định và tức thời cho một khí hoàn hảo về nhiệt từ phân tích phô thuéc thêi gian,  = 1.4.

Trạng thái ổn định này là lời giải mong muốn. Chú ý là trạng thái ổn định nhận được bằng số về thực tế là phù hợp hoàn hảo với những kết quả cổ điển như từ những Tham khảo 3 và 14 và Tham khảo 34. Hình 7.3 minh họa sự biến đổi của dòng khối lượng m đi qua vòi phun. Đường gạch nối phù hợp với điều kiện ban đầu được giả thiết tại t = 0.

Những đường cong 16t và 32t trình diễn bằng đồ thị những biến đổi hoang dã của m tại các thời điểm trước. Tuy nhiên, sau 120 bước thời gian m đã trở thành ổn định hơn, và sau 744 bước thời gian đã đạt đến trạng thái ổn định. Phân bố trạng thái ổn định này đối với m là một đường thẳng nằm ngang, như nó cần có đối với dòng ổn định, trong đó

m = không đổi qua vòi phun. Hơn nữa, nó là giá trị đúng của dòng khối lượng, như so sánh với những kết quả từ Tham khảo 34.

Phương pháp mô tả ở trên dùng Pt. (7.1), là ba số hạng đầu tiên của khai triển chuỗi Taylor và trong đó cả đạo hàm riêng bậc nhất và bậc hai trong Pt. (7.1) được lấy bằng sai phân hữu hạn những đạo hàm không gian trong phương trình dòng chủ đạo với sai phân trung tâm, gọi là phương pháp Lax-Wendroff. Chú ý rằng phương pháp có độ chính xác bậc hai từ Pt. (7.1), phương pháp này được sử dụng với nhiều thành công vào cuối những năm 1960 cho đến khi nhiều phiên bản trực tiếp hơn có cùng ý tưởng đó được giới thiệu bởi MacCormack vào năm 1969. Đây là chủ đề của mục tiếp theo.

Hình 7.3. Những phân bố nhiệt độ trạng thái ổn định và tức thời cho một khí hoàn hảo về nhiệt nhận từ ph©n tÝch phô thuéc thêi gian,  = 1.4.

Xem những Tham khảo 35 và 36 để biết chi tiết hơn về phương pháp Lax-Wendroff

áp dụng cho bài toán vòi phun.