Chương 2. Những phương trình chủ đạo của động lực học chất lỏng
2.9 Các dạng phương trình chủ đạo đặc biệt phù hợp với CFD: thảo luận về dạng bảo toàn
Chúng ta đã chú ý rằng tất cả các phương trình trước đây trong dạng bảo toàn có một số hạng phân kỳ bên vế trái. Những số hạng này xét đến sự phân kỳ thông lượng của đại lượng vật lý nào đó, như:
(theo Pt. (2.27)): V
- dòng khối lượng (theo Pt. (2.42a)): uV
- dòng thành phần x của động lượng (theo Pt. (2.42b)): vV
- dòng thành phần y của động lượng (theo Pt. (2.42c)): wVr
- dòng thành phần z của động lượng (theo Pt. (2.62)): eV
- dòng nội năng (theo Pt. (2.64)): V V
e
2 ) (
2
- dòng năng lượng toàn phần
Thấy rằng dạng bảo toàn của những phương trình nhận được trực tiếp từ một thể tích kiểm soát cố định trong không gian, thay vì chuyển động theo chất lỏng. Khi thể tích cố định trong không gian, chúng ta đề cập đến dòng khối lượng, động lượng và năng lượng vào và ra khỏi thể tích. Trong trường hợp này, chính những dòng trở thành những biến phụ thuộc quan trọng trong những phương trình, thay vì chỉ là những biến tích phân nguyên thủy như p, , V
, vv.
Chúng ta hãy theo đuổi ý tưởng này. Khảo sát dạng bảo toàn của tất cả các phương trình chủ đạo: liên tục, động lượng và năng lượng. Chú ý rằng chúng có cùng dạng tổng quát, bằng
U F G H
t x y z J
(2.65) Pt. (2.65) có thể biểu thị toàn bộ hệ thống những phương trình chủ đạo trong dạng bảo toàn nếu U, F, G, H và J được giải thích như những vectơ cột, cho bằng
( 2 ) 2 u
U v
w e V
2
( 2 )
2
xx xy
xz
xx xy xz
u
u p
F vu
wu V T
e u pu k u v w
x
2
( 2 )
2
yx yy yz
yx yy yz
v uv
G v p
wv V T
e v pv k u v w
y
2
( 2 )
2
zx zy
zz
zx zy zz
w uw
H vw
w p
V T
e w pw k u v w
z
0
( )
x y z
x y x
f
J f
f
uf vf wf pq
&
Trong Pt. (2.65), những vectơ cột F, G, và H được gọi là những số hạng dòng (hoặc những vectơ dòng), và J thể hiện 'số hạng nguồn' (bằng 0 nếu lực khối không đáng kể).
Với bài toán không ổn định, U được gọi là vectơ nghiệm vì những phần tử trong U (, u,
v...) là những biến phụ thuộc, thường được giải bằng số theo các bước thời gian. Xin nhớ rằng trong hình thức này, những phần tử của U nhận được bằng tính toán, tức là những số nhận được bằng tích u, v, w và (e + V2/2) thay vì chính những biến tích phân nguyên thủy u, v, w và e. Do đó, trong lời giải tính toán của bài toán dòng không ổn định sử dụng Pt. (2.65), những biến phụ thuộc được xét là u, v, w và (e + V2/2). Tất nhiên khi những số được biết với những biến phụ thuộc này (bao gồm cả ), việc nhận được những biến nguyên thuỷ rất đơn giản:
2
2 2 2
( )
2
2 u u
v v w w
e V u v w
e
Với dòng không nhớt, Pt. (2.65) duy trì như vậy, trừ những phần tử của vectơ cột được
đơn giản hóa. Bằng việc khảo sát dạng bảo toàn của những phương trình không nhớt tổng kết trong Mục 2.8b, chúng ta thấy rằng
( 2 )
2 u
U v
w e V
;
2
( 2 )
2 u
u p
F vu
wu
u e V pu
2
2
;
( )
2
v uv
G v p
wv
v e V pv
2
( 2 )
2 w
uw
H vw
w p
e V w pw
0
( )
x y z
x y x
f
J f
f
uf vf wf pq
&
Đối với lời giải số của dòng không ổn định không nhớt, một lần nữa vectơ lời giải là U, và những biến phụ thuộc đối với những số trực tiếp nhận được là , u, v, w và (e + V2/2). Với dòng không nhớt ổn định, U/t = 0. Thông thường, lời giải số cho những bài toán như vậy lấy dạng 'kỹ thuật tiến triển'; ví dụ, nếu lời giải nhận được bằng việc tiến triển trong hướng x, thì Pt. (2.65) có thể viết như sau
F G H
x J y z
(2.66) ở đây, F trở thành vectơ 'nghiệm', và những biến phụ thuộc với những số nhận được là u, (u2 + p), uv, uwv và [u(e + V2/2)+pu]. Từ những biến phụ thuộc này có thể nhận được những biến nguyên thuỷ, mặc dầu tính toán phức tạp hơn trong trường hợp chúng ta bàn luận trước đó (xem Tham khảo 16 cho nhiều chi tiết hơn).
Chú ý rằng những phương trình chủ đạo đó khi viết trong dạng của Pt. (2.65), không có những biến dòng nằm ngoài những đạo hàm riêng rẽ x, y, z và t. Đương nhiên, những số hạng trong Pt. (2.65) có mọi thứ chứa trong những đạo hàm này. Những phương trình dòng trong dạng của Pt. (2.65) được coi là dạng bảo toàn mạnh. Ngược lại, khảo sát dạng của Pt. (2.42a-c) và (2.64). Những phương trình này có một số đạo hàm của x, y và z xuất hiện tường minh bên vế phải. Đó là dạng bảo toàn yếu của các phương trình.
Dạng của những phương trình chủ đạo cho bởi Pt. (2.65) là phổ biến trong CFD; ta hãy giải thích tại sao. Trong những trường dòng xét đến sóng xung, chúng liên tục thay
đổi rõ nét trong những biến trường dòng nguyên thuỷ p, , u, T .. ngang qua những xung.
Nhiều tính toán dòng với những xung được thiết kế để có những sóng xung xuất hiện tự nhiên trong không gian tính toán như một kết quả trực tiếp của lời giải trường dòng toàn bộ, tức là kết quả trực tiếp của thuật giải tổng quát mà không cần bất kỳ xử lý đặc biệt nào để chăm sóc những xung. Những cách tiếp cận như vậy được gọi là phương pháp bắt xung. Điều này ngược với cách tiếp cận luân hướng, trong đó những sóng xung được thể hiện tường minh trong lời giải trường dòng, những quan hệ chính xác Rankine-Hugoniot
đối với những thay đổi ngang qua một xung được sử dụng để liên hệ dòng ngay phía trước và phía sau xung, và những phương trình dòng chủ đạo được sử dụng để tính toán phần còn lại của trường dòng. Cách tiếp cận này được gọi là phương pháp khớp xung. Hai cách tiếp cận khác nhau này được minh họa trong những Hình 2.8 và 2.9.
Trong Hình 2.8, miền tính toán để tính toán dòng siêu âm trên vật thể mở rộng cả
trước và sau mũi tàu. Sóng xung được phép hình thành trong miền tính toán như một hệ quả của thuật giải trường dòng tổng quát, không có bất kỳ những quan hệ xung đặc biệt nào được đưa ra. Theo cách này, sóng xung 'bị bắt' trong miền bởi lời giải tính toán của phương trình đạo hàm riêng chủ đạo. Do vậy Hình 2.8 là một ví dụ của phương pháp bắt xung.
Ngược lại Hình 2.9 cũng minh hoạ bài toán dòng như vậy, nhưng bây giờ miền tính toán là dòng giữa xung và vật thể. Xung được thể hiện trực tiếp trong lời giải như một gián đoạn hiện, và quan hệ xung nghiêng chuẩn (quan hệ Rankme-Hugomot) được sử dụng để làm khớp dòng tự do siêu âm phía trước xung với dòng tính toán bằng các
phương trình đạo hàm riêng hạ lưu xung. Bởi vậy Hình 2.9 là một ví dụ của phương pháp khíp xung.
Hình 2.8. Mắt lưới cho tiếp cận bắt xung.
Hình 2.9 Mắt lưới cho tiếp cận khớp xung.
Có những lợi thế và bất lợi của cả hai phương pháp. Ví dụ phương pháp bắt xung là lý tưởng với những bài toán dòng phức tạp xét đến những sóng xung mà chúng ta không biết hoặc vị trí, hoặc số của xung. ở đây, những xung đơn giản hình thành trong miền tính toán như bản chất nó vốn có. Hơn nữa, điều này được thực hiện mà không yêu cầu bất kỳ sự xử lý đặc biệt nào của xung trong thuật giải, và do đó đơn giản hóa lập trình máy tính. Tuy nhiên, một bất lợi của cách tiếp cận này là những xung nói chung tạo tỳ vết trên một số điểm lưới trong mắt lưới tính toán, và do đó bề dày xung nhận được bằng số không có quan hệ vốn có với bề dày xung vật lý, và vị trí chính xác của gián đoạn xung
không chặt chẽ trong một số kích cỡ mắt lưới. Ngược lại, lợi thế của phương pháp khớp xung là xung luôn luôn được xử lý như một gián đoạn, và vị trí của nó được xác định tốt bằng số. Tuy nhiên đối với bài toán đã cho bạn phải biết trước một cách gần đúng đặt sóng xung trong đó, và nhiều như thế nào. Với những dòng phức tạp, điều này có thể là một bất lợi rõ ràng. Bởi vậy, có cả ủng hộ lẫn chống lại liên quan đến phương pháp bắt xung và khớp xung, và cả hai đã được sử dụng rộng rãi trong CFD. Thật ra một sự kết hợp hai phương pháp này là có thể, ở chỗ cách tiếp cận bắt xung trong thời gian giải được sử dụng để dự báo sự hình thành và vị trí xấp xỉ của xung, và sau đó những xung này
được khớp với những gián đoạn ở giữa chừng lời giải.
Sự kết hợp khác làm khớp những xung một cách tường minh trong những phần của trường dòng, trong đó bạn biết trước rằng chúng xuất hiện và sử dụng phương pháp bắt xung cho phần còn lại của trường dòng để phát sinh xung mà bạn không thể dự báo trước
đó.
Một lần nữa, cái gì làm cho tất cả thảo luận này phải thực hiện với dạng bảo toàn của những phương trình chủ đạo như Pt. (2.65)? Đơn giản là thế này. Với phương pháp bắt xung, kinh nghiệm chỉ ra rằng dạng bảo toàn của những phương trình chủ đạo cần được sử dụng. Khi dạng bảo toàn được sử dụng, những kết quả tính toán trường dòng nói chung trơn và ổn định. Tuy nhiên khi dạng không bảo toàn được sử dụng cho lời giải bắt xung, kết quả trường dòng tính toán dòng thường biểu thị không thoả mãn các dao động không gian thượng lưu và hạ lưu của sóng xung, những xung có thể xuất hiện sai vị trí và lời giải có thể thậm chí trở thành không ổn định. Ngược lại, với phương pháp khớp xung, những kết quả thỏa mãn thường nhận được cho mọi dạng phương trình, bảo toàn hoặc không bảo toàn.
Tại sao việc sử dụng của dạng bảo toàn của những phương trình lại quan trọng như
vậy đối với phương pháp bắt xung? Câu trả lời có thể thấy được bằng việc xét dòng chảy ngang qua một sóng xung pháp tuyến, như minh họa trong Hình 2.10.
Xét phân bố mật độ ngang qua xung, như phác hoạ trong Hình 2.10a. Rõ ràng, có sự tăng không liên tục của ngang qua xung. Nếu dạng không bảo toàn của phương trình chủ đạo được sử dụng để tính toán dòng này, trong đó những biến phụ thuộc sơ cấp là những biến nguyên thuỷ như và p, thì các phương trình thấy một gián đoạn lớn trong biến phụ thuộc . Điều này lần lượt tạo nên những sai số số liên quan đến tính toán . Mặt khác, việc lấy phương trình liên tục cho một sóng xung pháp tuyến [xem Tham khảo 3 và 14]:
1u1 = 2u2 (2.67) Từ Pt. (2.67), thông lượng khối lượng u không đổi ngang qua sóng xung, như minh họa trong Hình 2.10b. Dạng bảo toàn của các phương trình chủ đạo sử dụng tích u như
một biến phụ thuộc, và do đó những phương trình dạng bảo toàn không thấy gián đoạn biến phụ thuộc này ngang qua sóng xung. Lần lượt, độ chính xác và sự ổn định số của lời giải cần được tăng cường đáng kể. Để củng cố thảo luận này, hãy xét phương trình động lượng ngang qua một sóng xung pháp tuyến:
p1 + u21 = p2 + u22 (2.68)
Hình 2.10. Sự biến thiên của thuộc tính dòng đi qua một sóng xung pháp tuyến.
Như trong Hình 2.10c, chính áp suất là gián đoạn ngang qua xung; tuy nhiên, từ Pt. (2.68) biến thông lượng (p + u2) không thay đổi ngang qua xung. Điều này được minh họa trong Hình 2.10d. Khảo sát những phương trình dòng không nhớt trong dạng bảo toàn đã cho bởi Pt. (2.65), chúng ta thấy rõ ràng đại lượng (p + u2) là một trong số những biến phụ thuộc. Bởi vậy, dạng bảo toàn của phương trình không thấy gián đoạn biến phụ thuộc này ngang qua xung. Mặc dầu ví dụ dòng ngang qua một sóng xung pháp tuyến có phần đơn giản, nó phục vụ để giải thích tại sao việc sử dụng dạng bảo toàn của những phương trình chủ đạo lại quan trọng như vậy đối với những tính toán sử dụng phương pháp bắt xung. Vì dạng bảo toàn sử dụng những biến dòng như những biến phụ thuộc, và vì những thay đổi các biến dòng này là nhỏ hoặc bằng 0 ngang qua một sóng xung, chất lượng số của phương pháp bắt xung sẽ được tăng cường bằng việc sử dụng dạng bảo toàn, ngược với dạng không bảo toàn, mà sử dụng những biến nguyên thuỷ như những biến phô thuéc.
Tóm lại, thảo luận trước đây là một trong những lý do cơ bản tại sao CFD tạo sự phân biệt giữa hai dạng phương trình chủ đạo - bảo toàn và không bảo toàn. Và đó là tại sao chúng ta đi một chặng đường lớn trong chương này để dẫn xuất những dạng khác nhau
này để giải thích mô hình vật lý cơ bản nào dẫn tới những dạng khác nhau, và tại sao chúng ta cần ý thức được những sự khác nhau giữa hai dạng.