Chương 3. Những dòng không nhớt không nén được: phương pháp tấm nguồn và tấm xoáy
4.2 Phân loại những phương trình đạo hàm riêng
Để đơn giản, chúng ta xét một hệ phương trình tựa tuyến tính khá đơn giản. Chúng không là những phương trình dòng, nhưng chúng tương tự trong một vài khía cạnh. Bởi vậy, mục này được trình bày như một ví dụ đơn giản hóa.
Xét hệ phương trình tựa tuyến tính cho dưới đây.
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
u u v v
a b c d f
x y x y
u u v v
a b c d f
x y x y
(4.1)
trong đó u và v là những biến phụ thuộc, những hàm của x và y, và những hệ số a1, a2, b1, b2, c1, c2, d1, d2, f1, f2 có thể là những hàm của x, y, u và v.
Xét điểm bất kỳ trong mặt phẳng xy. Chúng ta hãy tìm những đường hoặc hướng đi qua điểm này (nếu tồn tại), dọc theo đó những đạo hàm của u và v là bất định, và ngang
đó có thể không liên tục. Những đường như vậy được gọi là đường đặc trưng. Để tìm những đường như vậy, chúng ta giả thiết rằng u và v liên tục, và do đó là
( , );
( , );
u u
u u x y du dx dy
x y
v v
v v x y dv dx dy
x y
(4.2)
Những Pt. (4.la và b) và (4.2a và b) cấu thành một hệ bốn phương trình tuyến tính với bốn ẩn số, (u/x, u/y, v/x và v/y). Những phương trình này có thể viết ở dạng ma trËn nh sau
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
0 0 .
0 0
u x
a b c d f
a b c d u x f
dx dy u du
dx dy x dv
u x
(4.3)
Cho [A] biểu thị ma trận hệ số,
1 1 1 1
2 2 2 2
0 0
0 0
a b c d
a b c d
A dx dy
dx dy
Hơn nữa, cho A là định thức của [A]. Từ quy tắc Cramer, nếu A 0 có thể nhận
được nghiệm duy nhất cho u/x, u/y, v/x và v/y. Mặt khác nếu A= 0, thì u/x,
u/y, v/x và v/y sẽ bất định. Chúng ta đang tìm những hướng đặc biệt trong mặt phẳng xy dọc theo đó những đạo hàm của u và v là suy biến. Bởi vậy, chúng ta đặt A=
0 và xem cái gì xảy ra.
1 1 1 1
2 2 2 2
0 0 0
0 0
a b c d
a b c d
dx dy
dx dy
Do đó:
2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
(a c a c )(dy) (a d a d b c b c)(dx dy)( )(b d b d )(dx) 0 (4.4) Chia Pt. (4.4) cho (dx)2.
2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1
( )(dy) ( )dy ( ) 0
a c a c a d a d b c b c b d b d
dx dx
(4.5)
Pt. (4.5) là một phương trình bậc hai đối với dy/dx. Với bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng xy, lời giải Pt. (4.5) sẽ cho ta độ dốc của những đường, dọc theo chúng những đạo hàm của u và v là suy biến. Tại sao? Vì Pt. (4.5) nhận được bởi sự thiết lập A= 0, mà từ ma trận Pt. (4.3) đảm bảo những lời giải đó cho các đạo hàm u/x, u/y, v/x và v/y suy biến. Những đường này trong không gian xy dọc theo đó những đạo hàm của u và v là suy biến, được gọi là những đường đặc trưng cho hệ phương trình do Pt. (4.1a và b) đưa ra.
Trong Pt. (4.5), cho
1 2 2 1
1 2 2 1 1 2 2 1
1 2 2 1
( )
( )
( )
a a c a c
b a d a d b c b c c b d b d
Nh vËy Pt. (4.5) cã thÓ viÕt nh sau
(dy)2 (dy) 0
a b c
dx dx (4.6) Do đó, từ công thức bậc hai:
2 4
2
dy b b ac
dx a
(4.7) Pt. (4.7) cho ta hướng của đường đặc trưng đi qua một điểm xy đã cho. Những đường này có bản chất khác nhau, phụ thuộc vào giá trị của biệt số trong Pt. (4.7). Biểu thị biệt số bởi D
2 4
Db ac (4.8)
Đường đặc trưng có thể là thực và khác nhau, thực và bằng nhau, hoặc ảo, phụ thuộc vào giá trị của D. Đặc biệt:
D > 0: Hai đặc trưng thực và phân biệt tồn tại qua mỗi điểm trong mặt phẳng xy. Với trường hợp này, hệ phương trình do Pt. (4.1a và b) đưa ra được gọi là hyperbolic.
Nếu D = 0: Một đặc trưng thực tồn tại. ở đây, hệ Phương trình. (4.1a và b) được gọi là parabolic.
Nếu D < 0: đường đặc trưng là ảo. ở đây, hệ Pt. (4.la và b) được gọi là eliptic.
Sự phân loại tựa tuyến tính những phương trình đạo hàm riêng thành eliptic, parabolic hoặc hyperbolic là tổng quát trong phân tích những phương trình như vậy. Ba nhóm phương trình này có hành vi khác nhau về tổng thể, như sẽ được thảo luận tóm tắt về sau. Gốc của những từ eliptic, parabolic hoặc hyperbolic được sử dụng để gắn cho
những phương trình này, đơn giản là sự tương tự trực tiếp với trường hợp các mặt cắt hình nón. Phương trình tổng quát cho một mặt cắt hình nón theo hình học giải tích là
ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 trong đó, nếu
b2-4ac > 0, hình nón là một hình hypecbol b2-4ac = 0, hình nón là một parabol b2-4ac < 0, hình nón là một hình elip.
Chúng ta chú ý rằng, đối với những phương trình đạo hàm riêng hyperbolic, việc tồn tại hai đặc trưng phân biệt và thực cho phép phát triển một phương pháp cho lời giải sẵn của những phương trình này. Nếu chúng ta trở lại với Pt. (4.3) và trên thực tế muốn giải, ví dụ u/y, sử dụng quy tắc Cramer, chúng ta có
0 0 u N
y A
trong đó định thức tử số là
dy dx dv du dx
d c f a
d c f a N
0
0 0
2 2 2 2
1 1 1 1
(4.9)
Lý do tại sao N phải bằng 0 là u/y suy biến, có dạng 0/0. Vì A đã cho bằng 0,
N phải bằng 0 để cho phép u/y là suy biến. Sự khai triển Pt. (4.9) sẽ dẫn đến những phương trình xét đến những biến trường dòng là những phương trình đạo hàm thường, và trong một vài trường hợp là những phương trình đại số; những phương trình này nhận
được từ Pt. (4.9) gọi là những phương trình tương đương. Chúng chỉ áp dụng dọc theo những đường đặc trưng. Đây là bản chất của lời giải những phương trình đạo hàm riêng hyperbolic chính gốc: đơn giản là tích phân phương trình đạo hàm thường đơn giản hơn, (phương trình tương đương) dọc theo những đường đặc trưng trong mặt phẳng xy. Nó
được gọi là phương pháp đặc trưng. Phương pháp này được phát triển mạnh để giải dòng không nhớt siêu âm, với nó hệ phương trình dòng chủ đạo là hyperbolic. Việc thực hiện thực hành phương pháp đặc trưng yêu cầu sự sử dụng máy tính số cao tốc, và bởi vậy có thể xét một cáh hợp lý như một bộ phận của CFD. Tuy nhiên, phương pháp đặc trưng nổi tiếng là do kỹ thuật cổ điển cho lời giải dòng siêu âm không nhớt, và bởi vậy chúng ta sẽ không xét nó trong bất kỳ chi tiết nào trong bài này. Để biết chi tiết hơn, xem Tham khảo 14.