Chuơng 10. Giới thiệu kỹ thuật phần tử hữu hạn trong động lực học chất lỏng tính toán
10.4 Thực hiện phương pháp phần tử hữu hạn
10.4.1 Hợp nhất
Thành phần cơ bản thứ ba và cuối cùng của phương pháp phần tử hữu hạn là cách mà theo đó những phương trình nút được xây dựng.
Như đã thấy trong ví dụ của mục trước đây, tích phân xét đến trong trình bày yếu dẫn đến tổng của đóng góp trên những phần tử kề với nút được xử lý. Thay vì thực hiện tích phân trên tập hợp những phần tử kề một nút như trong mục trước đây, chúng ta tất
nhiên trước hết có thể thực hiện tích phân trên tất cả các phần tử riêng rẽ và sau đó xây dựng những phương trình nút bằng việc bổ sung đóng góp từ những phần tử kề bên. Quá
trình này được gọi là hợp nhất. Nó có lợi thế là tích phân trên tất cả các phần tử có thể thực hiện cùng cách và hệ quả là với cùng quy trình đó.
Ví dụ đối với Pt. (10.29), tích phân trong vế trái trên một phần tử e, (bỏ chỉ số l)
1 2 1 2
1 2 1 2
ˆ
e e
e e e e
e e e e
d d d d
dw du
dx w w u u dx
dx dx dx dx dx dx
Ma trận phần tử Ke có thể xác định bằng
e
e e
e i j
ị
d d
K dx
dx dx
(10.37)
Hình 10.17. Thể hiện sơ đồ hợp nhất của ma trận cứng đối với bài toán một chiều.
Rõ ràng, ma trận này là
1 1
1 1
e e
K x
Những thành phần của ma trận hệ thống trong hệ thống rời rạc toàn cầu
KU = F (10.38) bây giờ có thể tìm bằng việc thêm những thành phần từ ma trận phần tử. Ví dụ:
, 1 21
1
, 22 11
1
, 1 12
i i i
i i
i i
i i i
K K
K K K
K K
Ma trận hệ thống K trong Pt. (10.38) nói chung gọi là ma trận cứng. Thuật ngữ này rõ ràng có nguồn gốc trong cơ học kết cấu.
Hình 10.17 cho thấy sự trình bày sơ đồ của quá trình hợp nhất. Tất nhiên, một hợp nhất tương tự có thể xác định cho những vectơ phần tử ứng với vế phải trong Pt. (10.38).
10.4.2 TÝch ph©n sè
Trong những bài toán tổng quát, tính toán ma trận phần tử cứng và phần tử vế phải không thể thực hiện bằng giải tích do sự phức tạp của biểu thức tích phân và vì sự phức tạp của phần tử.
Sử dụng những phần tử cong hai chiều, biến đổi tọa độ dẫn đến
1
x y
x x
x y J
y y
x J y
(10.39)
trong đó J là Jacobian.
Sử dụng ánh xạ đẳng tham số Pt. (10.36), Jacobian này dễ đánh giá như một hàm của và .
Một vùng vô cùng bé de như vậy được cho bằng
e ( )
d Det J d d (10.40) Bằng các Pt. (10.39) và (10.40), tất cả các tích phân phần tử được tối giản thành tích phân trên phần tử cha mẹ.
Khi hàm hình dạng địa phương có bậc p, tức là khi chúng được xem xét như đa thức
đầy đủ cao nhất có bậc p, những giá trị hàm được thể hiện đến bậc p. Biểu thức tích phân trong Pt. (10.37), ví dụ, như vậy được thể hiện đến bậc hai (p-1). Nói chung đối với đạo hàm bậc m, đó là một biểu thức tích phân có bậc hai (p-m). Có thể thấy [Tham khảo 5]
bậc hội tụ (tức là độ chính xác của lời giải đạt đến khi kích thước phần tử tiến tới 0) là
hp-m+1 đối với tích phân chính xác những số hạng theo nguyên lý phần dư có trọng số mà
không mất đi sự hội tụ, thậm chí nếu những phần tử cong được sử dụng, nếu độ cầu phương số cho thấy sai số là 0 (h2(p-m)+1) hoặc nhỏ hơn, trong đó h biểu thị kích thước tiêu biểu của phần tử. Bởi vậy đối với bài toán tích phân C0, những công thức cần phải như
sau:
Những phần tử tuyến tính: 0 (h) Những phần tử bậc hai: 0 (h2) Những phần tử bậc ba: 0 (h3)
Điều này có nghĩa là, công thức Gauss với 1 điểm, 2 x 2 điểm và 3 x 3 điểm là đủ trong hai chiều, tương ứng.
10.4.3 Thủ tục giải
Thủ tục phác hoạ ở đây giả thiết một cách ẩn rằng hệ phương trình rời rạc (10.38) trên thực tế được xây dựng và được giải với một lời giải trực tiếp. Đây là thủ tục thông thường đối với những bài toán tuyến tính. Trong cơ chất lỏng, do sự phi tuyến của các phương trình, nói chung nó không hiệu quả, vì ít nhất nó ngụ ý một sự lặp toàn cầu với mỗi bước lặp, lời giải của hệ thống tuyến tính có dạng Pt. (10.38). Thường nó hiệu quả
hơn khi sử dụng trực tiếp một kỹ thuật lặp trên dạng phi tuyến của Pt. (10.38). Trong kỹ thuật giảm dư, ví dụ, phương trình nút tại một nút nào đó chỉ được xây dựng khi nó cần trong thủ tục giảm dư và hệ phương trình toàn cầu (10.38) không bao giờ được hình thành.