Một vài khía cạnh cơ bản của dòng không nhớt, không nén được

Chương 3. Những dòng không nhớt không nén được: phương pháp tấm nguồn và tấm xoáy

3.2 Một vài khía cạnh cơ bản của dòng không nhớt, không nén được

được

Trong mục này chúng ta tóm tắt lại một vài khía cạnh cơ bản của dòng không nhớt không nén được. Với những người quen thuộc với những dòng như vậy, mục này phục vụ như một khoá bổ túc ngắn; với những ai chưa học những dòng như vậy, hy vọng mục này sẽ đưa ra cơ sở đầy đủ để hiểu những mục sau, về những phương pháp tấm nguồn và tấm xoáy.

Dòng không nén được là dòng có mật độ không đổi, tức là  = hằng số. Xét một phần tử chất lỏng có khối lượng cố định chuyển động dọc theo dòng trong một dòng không nén

được. Vì mật độ của nó không đổi, thể tích của phần tử chất lỏng cũng không thay đổi.

Trong Mục 2.4, chúng ta liên hệ V .

 với suất biến đổi theo thời gian của thể tích một phần tử chất lỏng trên thể tích đơn vị; xem Pt. (2.14). Vì thể tích không thay đổi đối với một phần tử chất lỏng trong dòng không nén được, từ Pt. (2.14) chúng ta có

.V0

(3.1)

Hơn nữa, nếu phần tử chất lỏng không quay khi nó di chuyển dọc theo dòng, tức là nếu chuyển động của nó chỉ tịnh tiến, thì dòng được gọi là dòng không quay. Với dòng như vậy, vận tốc có thể biểu thị như gradient của một hàm vô hướng gọi là thế vận tốc, biểu thị bằng  [với chi tiết, xem Tham khảo 3].





 V

(3.2) Kết hợp Pt. (3.1) và (3.2), chúng ta có

.0 hoặc

2 0





 (3.3) Pt. (3.3) là phương trình Laplace - một trong những phương trình nổi tiếng và được nghiên cứu rộng rãi nhất trong phương trình toán lý. Từ Pt. (3.3), chúng ta xét dòng không nhớt không nén được, không quay (đôi khi gọi là 'dòng thế') kiểm soát bởi phương tr×nh Laplace.

Phương trình Laplace là tuyến tính, và do đó bất kỳ lời giải riêng nào đối với Pt. (3.3) có thể được bổ sung để cùng nhận được lời giải khác. Điều này thiết lập nên một tư tưởng cơ bản của lời giải với những dòng không nén được, tức là một bức tranh phức tạp cho dòng không quay, không nén được có thể tổng hợp bằng việc bổ sung cùng một số dòng cơ

bản mà cũng là dòng không quay và không nén được.

Chúng ta hãy khảo sát một số dòng cơ bản quan trọng thỏa mãn phương trình Laplace.

3.2.1 Dòng đều

Xét một dòng đều với vận tốc V chuyển động trong hướng x, như phác hoạ trong Hình 3.1. Dòng này không quay, và lời giải của phương trình Laplace đối với dòng đều là:

x V



 (3.4) Trong tọa độ cực (r,), Pt. (3.4) có thể được biểu thị như

 cos r V



 (3.5)

Hình 3.1. Dòng đều

3.2.2 Dòng nguồn

Xét một dòng với đường dòng thẳng phát ra từ một điểm, trong đó vận tốc dọc theo mỗi đường dòng tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ điểm đó như trong Hình 3.2. Dòng như

vậy được gọi là dòng nguồn. Dòng này cũng không quay, và lời giải của phương trình Laplace là [xem Tham khảo 3]

A r 2 ln

  (3.6) trong đó A được định nghĩa là cường độ nguồn; về mặt vật lý A là suất của dòng thể tích từ nguồn, trên chiều sâu đơn vị thẳng góc với trang sách trong Hình 3.2. Nếu A âm, chúng ta có dòng thoát, ngược với dòng nguồn. Trong Hình 3.2, điểm 0 là gốc của những

đường dòng xuyên tâm. Chúng ta có thể thấy rõ rằng điểm 0 là một điểm nguồn hoặc

điểm thoát tạo ra dòng xuyên tâm quanh nó; trong giải thích này, điểm nguồn hoặc điểm thoát là một điểm kỳ dị trong trường dòng (vì V không xác định ở đó). Chúng ta cũng có thể thấy rõ rằng điểm 0 trong Hình 3.2 đơn giản là một điểm hình thành bởi sự giao nhau của mặt phẳng trang giấy và đường thẳng góc với trang giấy. Đường thẳng góc với trang giấy là một đường nguồn, với cường độ A trên đơn vị độ dài.

Hình 3.2. Dòng nguồn.

3.2.3 Dòng xoáy

Xét một dòng trong đó tất cả các đường dòng đều là những vòng tròn đồng tâm tại một điểm đã cho, trong đó vận tốc dọc theo mỗi đường dòng tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ tâm, như phác hoạ trong Hình 3.3. Dòng như vậy được gọi là dòng xoáy. Dòng này không quay, và lời giải của phương trình Laplace là [xem Tham khảo 3]



 2

 

 (3.7) trong đó  là cường độ của xoáy. Trong Hình 3.3, điểm 0 có thể coi như một điểm xoáy khiến dòng xoay vòng quanh nó; trong giải thích này, điểm xoáy là một điểm kỳ dị trong trường dòng (vì V trở thành không xác định ở đó).

Hình 3.3. Dòng xoáy

Chúng ta cũng có thể thấy rõ rằng điểm 0 trong Hình 3.3 đơn giản là một điểm hình thành bởi sự giao nhau của mặt phẳng trang giấy và một đường thẳng góc với trang giấy.

Đường này được gọi là sợi xoáy, có cường độ . Cường độ  là lưu số xung quanh sợi xoáy, trong đó lưu số được xác định như

. V ds

  ẹ  r r

Trong phần trên, tích phân đường của thành phần vận tốc tiếp tuyến với đường cong có độ dài cơ bản ds được lấy quanh một đường cong kín. Đây là định nghĩa chung của lưu số. Với sợi xoáy, biểu thức trên đối với  (trong đó đường cong kín bao và chứa điểm xoáy)

được định nghĩa là cường độ xoáy.