Lựa chọn toán tử hiện: sơ đồ trung tâm so với sơ đồ ngược dòng

9.3 Xây dựng phương pháp ẩn cho các bài toán phụ thuộc thời gian

9.3.2 Lựa chọn toán tử hiện: sơ đồ trung tâm so với sơ đồ ngược dòng

Với một mặt căng sai phân đã cho, những rời rạc hoá trung tâm có độ chính xác hình thức như được định nghĩa bởi sự phân tích sai số cắt cụt (Phần 1, Mục 5.2 và cũng [21]).

Tuy nhiên, đối với những bài toán bình lưu thống trị thường gặp trong động lực học chất lỏng, những rời rạc hoá không gian trung tâm dẫn đến những bài toán khốc liệt có nhiễu

động giả tạo do thiếu sự tiêu tán số. Đầu tiên, nguồn gốc bài toán sẽ được định nghĩa bằng việc giới thiệu khái niệm tiêu tán số và giải thích tại sao sự tiêu tán số nào đó được yêu cầu cho những bài toán bình lưu thống trị. Như vậy, có nhiều cách theo đó tiêu tán số có thể phát sinh sẽ được xem lại, và cuối cùng sẽ thấy những rời rạc hoá bảo toàn ngược dòng của những hệ phương trình hyperbolic như phương trình Euler có thể xây dựng như

thế nào.

9.3.2.1 Tiêu tán số là gì và tại sao lại cần

Định nghĩa tiêu tán số

Như đã đề cập ở trên, câu hỏi tiêu tán số xuất hiện cho những bài toán bình lưu thống trị. Tiêu tán số bởi vậy được xác định trong mối liên hệ với phương trình bình lưu (sãng):

u u 0 t c x

 

 

  (9.28) Phương trình này mô tả sự vận chuyển của đại lượng u với tốc độ c. Lời giải tổng quát của nó là u = f(x - ct). Một lời giải đặc biệt là lời giải chu kỳ

( )

ik x ct ikx i t

u e  e e víi kc (9.29) thể hiện sự lan truyền không tắt của một sóng có độ dài 2/k với tốc độ c.

Chúng ta hãy tính toán hệ số khuếch đại u(x, t + t)/ u(x, t) cho lời giải chính xác. Ta thÊy:

_______________________________________________________________________________

(2)Tương tự, ta có thể giải hệ tuyến tính phi nhân tử bởi kỹ thuật lặp tuyến tính nào đó mô tả

trong Mục 1.1.1. Trong trường hợp này, một quy định trước là cần có, mà trong đa số các trường hợp chính xác là một xấp xỉ nhân tử hóa nào đó của ma trận hệ thống. Sơ đồ ẩn nhân tử hoá thật ra tương đương với việc thực hiện một sự lặp tuyến tính đơn trên hệ thống ứng với sơ đồ phi nhân tử (xem Mục 9.3.4).

( , ) ( , )

ê

i t ikc t i

u x t t

e e e

u x t

c t sè CFL x

k x số sóng phi thứ nguy n

     

    

    



       

(9.30)

Lời giải số sẽ cho ta

1

( , )

n i

n i

u g

u



   (9.31) Khi muốn tuân theo đúng một hiện tượng không ổn định thực sự, ta rõ ràng mong muốn có g(, ) càng gần với e-i càng tốt. Để ổn định, ta phải có g(, )  < 1 cho mọi . Sự khác nhau giữa g(, )và 1 được gọi là tiêu tán hoặc sai số tiêu tán, và sự khác nhau giữa arg(g(, )) và  được gọi là sự phát tán hoặc sai số phát tán.

Như vậy, đây là định nghĩa của tiêu tán. Chúng ta bây giờ hãy thử thông dịch nó để hiểu cái gì nó liên quan đến. Với mục đích này, xét phương trình bình lưu - khuyếch tán.

2 2

u u u

t c x x

  

 

  

Lời giải đặc biệt có cùng kiểu như trên, tức là một lời giải tuần hoàn

( ) 2

ik x ct k t

ue  e

Hệ số khuếch đại bây giờ là

2 2 4 2

( , )

( , )

ikc t k t i k t i x

u x t t

e e e e e e

u x t

 

         

     (9.32)

tức là cùng biểu thức như trước đó, được nhân với hệ số suy giảm e-k2t. Trong trường hợp này, một sóng thuần tuý lan truyền với tốc độ c nhưng yếu đi theo thời gian, như minh hoạ trong hình sau.

Hình 9.5. Bình lưu - khuyếch tán của một gói sóng có số sóng k = 4 với  = 2.5 10-3. Lời giải tại t = 1.6.

Khi trong lời giải số, g(, ) < 1 đối với một số sóng phi thứ nguyên đặc biệt , nó làm suy giảm sóng theo thời gian, tương tự như điều đã thấy trong trường hợp phương trình khuyếch tán - bình lưu. Đó là lý do tại sao sự tiêu tán, xác định bởi sự khác nhau giữa g(, )và 1, có liên hệ với hiện tượng khuyếch tán nhớt.

Không chỉ những số hạng khuyếch tán bậc hai như xét ở trên có thể sản sinh sự suy giảm. Những số hạng bậc bốn và nói chung, thậm chí tất cả những đạo hàm theo biến không gian đều sản sinh sự suy giảm. Sự tiêu tán của một sơ đồ số nói chung là hỗn hợp của những suy giảm sản sinh bởi một vài hoặc tất cả các số hạng đó. Bản chất hỗn hợp phụ thuộc vào sơ đồ đặc biệt đang xét và có thể định nghĩa bằng cái gọi là kỹ thuật phương trình sửa đổi (để nghiên cứu kỹ kỹ thuật đó, xem sách Anderson và nnk [1]).

Hình 9.6. Bình lưu của một gói sóng có số sóng k = 4 đối với nhiều sơ đồ. Lời giải tại t = 1.6. (theo [21])

Để kết thúc mục này, hiệu ứng tiêu tán của một vài sơ đồ được minh họa trong Hình 9.6, thể hiện lời giải số của phương trình bình lưu với cùng gói sóng xét ở trên. Kích thước mắt lưới là x = 0.025 để  = /10 và số CFL sử dụng là  = 0.8 cho tất cả các sơ đồ. Chú ý

rằng sự tiêu tán mạnh sản sinh bởi sơ đồ ngược dòng và sơ đồ Lax-Friedrichs bậc nhất.

Ngược lại, sơ đồ Lax-Wendroff và sơ đồ nhảy cóc (hiện điểm giữa) trên thực tế được xem là ít tiêu tán hơn, sơ đồ sau không tiêu tán về tổng thể, và những sai số phát tán được coi là vượt trội.

Nhu cầu tiêu tán

Hạn chế cố hữu của những phương pháp số. Chúng ta hãy xét một bài toán tuyến tính được kiểm soát bởi một PDE trên miền vô hạn một chiều. Một cách giải bài toán (vì

nó tuyến tính) là đi tới không gian Fourier, giả thiết rằng những điều kiện để thực hiện

điều này được thoả mãn. Như vậy lời giải có thể biểu thị như tổng của những hàm tuần hoàn không gian. Trên thực tế, miền là vô hạn, tổng là một vô cùng bé, tức là một tích phân. Nói chung, lời giải sẽ xét đến tất cả số sóng 0  k . Hạn chế của bất kỳ lời giải số nào của cùng bài toán là nó không thể giải những số sóng k lớn hơn /x.

Điều này liên quan chặt chẽ đến một kết quả nổi tiếng của lý thuyết tín hiệu mà theo

đó, từ một mẫu tín hiệu có tần số fs, chúng ta chỉ có thể xây dựng lại một tín hiệu với một nội dung tần số lên tới fs/2(3). Khi chúng ta tìm kiếm lời giải số cho một bài toán, trên thực tế chúng ta đang cố gắng tính toán những mẫu không gian của lời giải chính xác. Lấy mẫu độ dài là x. Bởi vậy, lấy mẫu số sóng là 2/x và chúng ta có thể chỉ giải số sóng lên tới 1/2(2/x) = /x. Sóng với số sóng /x nói chung được gọi là kiểu số cực trị và thể hiện một mẫu dao động có dạng +1, -1, + 1... tại điểm mắt lưới.

Những ví dụ trong đó sự tiêu tán là cần: sự không thích ứng cố hữu của mắt lưới.

Bây giờ trong tín hiệu mẫu, nói chung mắt lưới được chọn sao cho số sóng nội dung của lời giải không trải dài tới kiểu số cực trị, tức là số sóng quan tâm sao cho kx nhỏ so với 1.

Nhưng có những ví dụ trong đó số sóng cao là có mặt cố hữu. Một trong số ví dụ đó là khi lời giải thể hiện những gián đoạn giống như những sóng xung hoặc những gián đoạn tiếp xúc. Bắt đầu từ một lời giải mịn ban đầu, những gián đoạn phát sinh bởi sự tương tác phi tuyến của các sóng. Về mặt số, những tần số cao hơn phát sinh bởi những tương tác sóng phi tuyến dần dần đạt đến giới hạn độ phân giải của mắt lưới. Như vậy, tồn tại hai khả

n¨ng:

1. những tần số cao lùi trở lại thành những tần số thấp và làm thay đổi độ chính xác của lời giải số.

2. chúng luỹ tích tại đầu cuối tần số cao.

Ngoài ra, cả hai hiệu ứng có thể tạo ra bất ổn định số. Chúng ta hãy minh họa bài toán này bởi một ví dụ. Giả thiết rằng ta muốn tính toán lời giải của phương trình phi tuyến bình lưu u/t + uu/x = 0 hoặc u/t + (u2/2)/x = 0 trong dạng bảo toàn, sử dụng phương pháp sai phân trung tâm và điểm giữa hiện (phương pháp nhảy cóc).

_______________________________________________________________________________

(3)Có mối liên hệ thực hành là khi lấy mẫu tín hiệu cho xử lý số, chúng ta phải đảm bảo rằng mẫu tần số ít nhất là hai lần tần số, mà trên đó những thành phần Fourier có thể có biên độ không

đáng kể (tần số cắt). Ví dụ, đối với tín hiệu âm thanh, tần số cắt là 20 kHz vì chúng ta không thể nghe trên tần số đó. Điều này giải thích tại sao những hệ thống CD nói chung thực hiện với mẫu tÇn sè 44 kHz.

Chúng ta trước hết đánh giá những thuộc tính tiêu tán của phương pháp nhảy cóc.

Để bắt đầu, ta thực hiện khai triển Fourier của rời rạc hoá không gian. Rời rạc hoá không gian là

1 1 0

2

i i i

du u u

dt c x

  

 



để phương trình đối với thức Fourier có số sóng k

sin x

2

i i

dui e e c

u i u víi

dt x x

  

         

 

mà không có gì khác phương trình thử xác định trong Mục 2.1.1 với q =-i(c/x)sin. Bây giờ hệ số khuếch đại của phương pháp điểm giữa hiện cho một ODE cũng được xác định trong Mục 2.1.1. Kết quả là

1 ( )2

g  q t  q t

Khi qt là một số ảo thuần túy giữa -i và + i, mà bảo đảm   1, như vậy ta có thể đặt qt = isin, g = eihoặc g = ei(-), tức là g = 1 chứng minh rằng sơ đồ không tiêu tán như

được đề cập ở trên. áp dụng phương pháp nhảy cóc cho bình lưu phi tuyến của gián đoạn (sóng xung), nhận được kết quả sau 80 bước thời gian (những tham số tính toán x = .025,

t = 0.125), trong đó rõ ràng nhận thấy tích lũy sóng tại đầu tần số cao của dải tần. Rõ ràng, một kết quả như vậy là không thoả mãn.

Còn có nguồn quan trọng khác có số sóng cao, được minh họa bởi bài toán 1D bình lưu - khuyếch tán ổn định sau.

2

2 (0) 0; (1) 1

du d u

c u u

dx dx     (9.33) Lời giải giải tích của phương trình này là

1 1

cx

c

u e e





 



(9.34)

Hình 9.7. Lời giải số bình lưu phi tuyến của một gián đoạn sử dụng phương pháp nhảy cóc. Lời giải tại t = 1.

Khi  0, lời giải này có kiểu lớp biên, trong đó hầu hết sự biến đổi của lời giải xảy ra trong một vùng hẹp có kích thước tỷ lệ với /c (với /c << 1, bài toán được coi có bản chất nhiễu động kỳ dị). Vậy khi  tiến tới 0 (tương tự đối với số Reynolds tiến tới vô hạn trong cơ chất lỏng), nội dung số sóng của lời giải chuyển về phía đầu cao hơn của phổ số sóng.

Khi bài toán này được giải bằng số, sử dụng những sai phân trung tâm (phải nhận được khi giới hạn n  áp dụng bất kỳ sơ đồ tích phân theo thời gian nào đối với rời rạc hoá

không gian trung tâm của phương trình không ổn định u/t + cu/x = 2u/x2) sản sinh những dao động không mong muốn khi cx/ = R, cái gọi là số Reynolds lưới, lớn hơn 2(4) như trong Hình 9.8.

Hình 9.8. Lời giải phương trình khuyếch tán bình lưu ổn định 1D với R = 5

Bây giờ ta có thể phủ định rằng trong trường hợp sau, những dao động phát triển là do mắt lưới không được chọn phù hợp. Vậy là nếu quy mô độ dài /c của lớp biên gần x = 1 rất nhỏ, mắt lưới phải được làm mịn để phủ lớp biên đó. Với bài toán khuyếch tán bình lưu này, sự phản đối là hợp lệ vì rốt cuộc nếu chúng ta giữ số hạng 2u/x2 trong phương trình, thì có nghĩa là chúng ta quan tâm về cấu trúc lớp biên tại x = 1.

__________________________________________________________________________________

(4)Điều này được thấy dễ dàng bằng việc tìm lời giải của phương trình sai phân tuyến tính

1 1 1 1 1

1 1 1

2

2 (1 ) 2 (1 ) 0

2 ( ) 2 2

i i i i i

i i i

u u u u u R R

c u u u

x x

    

  

  

      

 

Lời giải tổng quát của phương trình này là u = gn. Đưa vào phương trình sai phân, ta tìm thấy

2

1 2

(1 ) 2 (1 ) 0 1

2 2

1 2 R

R R

g g g hoặc g

R



         

 như vậy g trở thành âm khi R > 2 và lời giải là dao động.

Nhưng trong động lực học chất lỏng tính toán, thậm chí khi có thể muốn giữ lại những số hạng nhớt, chúng ta có thể không quan tâm về tất cả các hiệu ứng nhớt. Chúng ta hãy minh họa điểm này.

Tính tương tự trực tiếp trong động lực học chất lỏng của bài toán mô hình bình lưu/khuyếch tán đã thảo luận ở trên là bài toán có cấu trúc của một sóng xung. Điều nổi tiếng từ động lực học khí là bề dày tương đối của sóng xung t/L = O(1/Re) = O(

L u

 ) hoặc t = O(

u

 ), là một biểu thức rất tương tự như trong bài toán mô hình. Để bắt hợp lý cấu trúc sóng xung, ta cần sử dụng x là một phần của

u

 . Trên thực tế điều này không thể

đạt được vì

u

 có bậc của một vài đường tự do trung bình(5). Ngoài ra, trong đa số các ví dụ, chúng ta không quan tâm về cấu trúc sóng xung chi tiết.

Ngược lại, sự phát triển những lớp biên dọc theo vật thể trong dòng 2D hoặc dòng ba chiều cho ta những lớp nhớt có bề dày tương đối t/L = O(1/Re1/2) (đối với chảy tầng).

Những lớp biên đó nói chung được quan tâm và cần bắt bởi mắt lưới. Trong những dòng nhớt có số Reynolds cao, chúng ta tồn tại cùng với hiện tượng nhớt, một vài trong số chúng đáng được quan tâm (những lớp biên tường chắn, lớp trượt, hiện tượng khuyếch tán ngang) và một vài trong số chúng không cần quan tâm (cấu trúc sóng xung: hiện tượng khuyếch tán theo dòng) trong đa số các ví dụ. Nếu một thuật giải không sử dụng tiêu tán vì mắt lưới không thích hợp để giải hiện tượng khuyếch tán theo dòng, nó sẽ tạo ra dao động không thể chấp nhận, nhưng mặt khác nếu sơ đồ tiêu tán được sử dụng, thì

tiêu tán nhân tạo có thể hoàn toàn che khuất tiêu tán vật lý, tạo ra những kết quả phi thực tế, đặc biệt với những thông lượng số Reynolds cao. Điều này gợi ý rằng đối với những dòng nhớt có số Reynolds cao cần thận trọng hơn để sinh ra một tiêu tán thích hợp và sự tiêu tán thích hợp đó cần phải là dị hướng, tức là mạnh hơn theo hướng dòng so với hướng ngang, mà về lý tưởng phải bị triệt tiêu.

9.3.2.2 Tiêu tán đối với bài toán trạng thái ổn định - Điều khiển nhiễu động ổn định

Tiêu tán định nghĩa ở trên quy chiếu tới những bài toán không ổn định và nó cho thấy rằng hiệu ứng quan trọng của sự thiếu tiêu tán là phát sinh nhiễu động giả tạo gần hoặc tựa gián đoạn. Nó cũng chỉ ra rằng những dao động như vậy có thể cũng xuất hiện trong lời giải trạng thái ổn định. Bây giờ, định nghĩa không ổn định của tiêu tán rõ ràng không đủ để nghiên cứu nhiễu động trạng thái ổn định. Đương nhiên, khi sai phân không gian và thời gian được thực hiện độc lập (như trong nhóm phương pháp bước thời gian ẩn bàn luận trong thuyết trình này - xem Mục 9.3.1), lời giải trạng thái ổn định là độc lập

_______________________________________________________________________________

(5)Vì đường dẫn tự do trung bình có bậc M/Rea, trong đó Rea là số Reynolds đơn vị, rõ ràng là víi nh÷ng sè Reynolds cao, ®­êng dÉn tù do trung b×nh rÊt nhá.

với sơ đồ bước thời gian, và như vậy với những thuộc tính tiêu tán của nó. Bởi vậy ta phải phát triển khái niệm thay thế nào đó để đặc trưng những thuộc tính (không) nhiễu động của công thức rời rạc hoá không gian.

Với mục đích này, chúng ta xét bán rời rạc hoá phương trình bình lưu tuyến tính - trên thực tế, lý thuyết có thể dễ dàng mở rộng tới những định luật bảo toàn phi tuyến và tới một vài chiều, ví dụ xem [24]. Một bán rời rạc hoá chung là

i

ik k k

du c u

dt  (9.35) trong đó những hệ số cik khác 0 tương ứng với những điểm của khuôn tính toán. Ví dụ đối với rời rạc hoá không gian trung tâm, ta có

1 1

2 2

ii ii

c c

c c

x x

     

 

Để chặt chẽ, ta phải có kcik = 0. Do đó Pt. (9.35) có thể viết lại theo bán rời rạc hoá

( ) ( )

i

ik k ik k ik k i

k k k

du c u c u c u u

dt      (9.36) Bây giờ, định luật bảo toàn vô hướng (và đặc biệt phương trình bình lưu tuyến tính) cã nh÷ng thuéc tÝnh sau [28]:

- không cực trị địa phương mới nào có thể xuất hiện trong lời giải khi thời gian tăng lên,

- giá trị cực đại địa phương không thể tăng lên và giá trị cực tiểu địa phương không thể giảm đi.

Để tránh sự xuất hiện của những dao động giả tạo, xấp xỉ số cần phải có cả hai thuộc tính đó. Bây giờ, nếu ui là một cực đại địa phương, như vậy tất cả (uk - ui) âm và vậy thì

dui/dt sẽ là âm cho tất cả các hệ số cik(k  i) dương. Cùng điều kiện đó bảo đảm rằng dui/dt > 0 nếu ui là một cực tiểu địa phương. Bởi điều kiện kcik = 0, nó tạo ra cik = -ki cik

< 0. Vậy tại trạng thái ổn định, tức là

ik k k i i

ii

u c u

c

  

tức ui là một trung bình lồi của những giá trị nút tại những điểm khác của khuôn tính.

Do đó, không có cực đại địa phương nào có thể tồn tại mà bảo đảm không có dao động giả.

Việc sử dụng ràng buộc dương được đề xướng bởi Spekreijse [38] như một mở rộng tự nhiên tới một vài chiều của khái niệm TVD bởi Marten [19]. Cách tiếp cận tương tự đã

được Jameson [24] tiếp nối để phát triển khái niệm sơ đồ giảm bớt cực đại địa phương.

Rời rạc hoá không gian trung tâm (9.36) không phải là dương, nó giải thích hành vi dao

động đối với bài toán khuyếch tán - bình lưu. Ngược lại rời rạc hoá lùi (bậc nhất)

1 0

i i i

du u u dt c x

 

 

