Khía cạnh cơ bản của phương trình sai phân hữu hạn

Chương 5. Rời rạc hoá những phương trình đạo hàm riêng

5.3 Khía cạnh cơ bản của phương trình sai phân hữu hạn

Bản chất của những lời giải sai phân hữu hạn trong CFD là sử dụng những thương số khác nhau dẫn ra trong Mục 5.2 (hoặc những tương tự khác) để thay thế những đạo hàm riêng trong những phương trình dòng chủ đạo, tạo ra một hệ phương trình sai phân đại số với những biến phụ thuộc tại mỗi điểm lưới. Trong mục này, chúng ta khảo sát một vài khía cạnh cơ bản của phương trình sai phân.

Xét phương trình mô hình sau đây, trong đó chúng ta giả thiết rằng biến phụ thuộc u là một hàm của x và t.

2 2

u u

t x

 

   (5.23)

Chúng ta chọn phương trình đơn giản này để tiện lợi; tại giai đoạn này trong những thảo luận của chúng ta, không có lợi khi đề cập đến nhiều phương trình dòng phức tạp hơn. Những khía cạnh cơ bản của những phương trình sai phân hữu hạn được khảo sát trong mục này có thể phát triển bằng cách sử dụng phương trình Pt. (5.23). Cần phải thấy Pt. (5.23) là parabolic.

Nếu chúng ta thay thế đạo hàm thời gian trong Pt. (5.23) với một sai phân tiến, và

đạo hàm không gian với một sai phân trung tâm, kết quả:

1

1 1

2

2 ( )

n n n n n

i i i i i

u u u u u

t x



 

  

   (5.24) Trong Pt. (5.24) ký hiệu thông thường được sử dụng cho sai phân của đạo hàm thời gian. Chỉ số thời gian thông thường xuất hiện như chỉ số trên trong CFD, trong đó n biểu thị những điều kiện tại thời gian t, (n + 1) biểu thị những điều kiện tại thời gian (t + t), vv. Chỉ số dưới vẫn biểu thị vị trí điểm lưới; với kích thước không gian xét ở đây, rõ ràng chúng ta cần duy nhất chỉ số i.

Câu hỏi: Cái gì là sai số cắt cụt cho phương trình sai phân hữu hạn đầy đủ? Rõ ràng, phải có một sai số cắt cụt bởi vì mỗi sai phân hữu hạn có sai số cắt cụt của chính nó.

Chúng ta hãy tập trung vào câu hỏi này.

Kết hợp Pt. (5.23) và (5.24), và viết tường minh cho sai số cắt cụt liên quan đến những sai phân theo Pt. (5.4) và (5.10), chúng ta có

2 1 2 2 2

1 1

2 2 2 2

2 ( )

( ) ( )

2 12

( )

n n n n n

n n

i i i i i

i i

u u u u u

u u u t u x

t x t x t x



   

  

     

      

       

(5.25) Khảo sát Pt. (5.25), trên vế trái là phương trình đạo hàm riêng gốc, hai số hạng đầu tiên trên vế phải là trình bày sai phân hữu hạn của phương trình này và những số hạng trong những dấu móc vuông là sai số cắt cụt cho phương trình đầy đủ. Chú ý rằng sai số cắt cụt cho trình bày này là O(t, (x)2).

Phương trình sai phân hữu hạn có tối giản thành phương trình đạo hàm thường khi số điểm lưới đi tới vô hạn, tức là khi x  0 và y  0 hay không? Khảo sát Pt. (5.25), chúng ta thấy rằng sai số cắt cụt tiến tới 0, và do đó phương trình sai phân đương nhiên tiếp cận phương trình đạo hàm gốc. Với trường hợp này, sự trình bày sai phân hữu hạn của phương trình đạo hàm riêng được coi là chặt chẽ.

Lời giải của Pt. (5.24) có dạng của lời giải 'tiến triển' theo bước thời gian (từ Mục 4.3.2 thấy rằng lời giải tiến triển như vậy là một đặc trưng của phương trình parabolic). Giả

thiết rằng chúng ta biết biến phụ thuộc tại mọi x ở thời điểm nào đó, ví dụ từ điều kiện ban đầu. Khảo sát Pt. (5.24), chúng ta thấy rằng nó chứa duy nhất một ẩn số, tức là unj1. Theo cách này, biến phụ thuộc tại thời gian (t + t) có thể nhận được hiện từ những kết quả được biết tại thời gian t, tức là unj1 trực tiếp nhận được từ những giá trị được biết

n

uj1, unj, và unj1. Đây là một ví dụ của lời giải sai phân hữu hạn hiện.

Lấy một ví dụ máy đếm, chúng ta hãy táo bạo và trở lại phương trình đạo hàm riêng gốc cho bởi Pt. (5.23). Thời gian này, chúng ta viết sai phân không gian bên vế phải dưới dạng những thuộc tính trung bình giữa n và (n+1), như vậy,

1 1 1 1

1 1 1 1

2

2 2

1

2 ( )

n n n n n n n n

i i i i i i i i

u u u u u u u u

t x

   

   

     

   (5.26)

Sai phân cho trong Pt. (5.26) được gọi là sơ đồ Crank-Nicolson. Khảo sát Pt. (5.26) một cách chặt chẽ. ẩn số unj1không chỉ biểu thị đối với những đại lượng được biết tại chỉ số thời gian n, tức là unj1, unj, và unj1, mà còn dưới dạng những đại lượng chưa biết tại chỉ số thời gian n + 1, tức là unj11 và unj11. Do đó, Pt. (5.26) áp dụng tại một điểm lưới đã cho không thể bởi kết quả chính nó trong lời giải cho unj1. Thay vì đó, Pt. (5.26) phải viết cho mọi điểm lưới, tạo ra một hệ phương trình đại số từ đó unj1 không biết cho mọi i có thể giải đồng thời. Đây là ví dụ của lời giải sai phân hữu hạn ẩn. Vì chúng đề cập đến việc giải những hệ thống lớn các phương trình đại số tuyến tính đồng thời, những phương pháp ẩn thường xét đến thao tác ma trận lớn.

Những lợi thế và bất lợi chính tương đối của hai cách tiếp cận này được tổng kết như

sau:

1. Tiếp cận hiện.

(a) Lợi thế: tương đối đơn giản để thiết lập và lập trình.

(b) Bất lợi: đối với ví dụ của chúng ta ở trên, với x đã cho, t phải nhỏ hơn giới hạn nào đó bởi những ràng buộc ổn định. Trong nhiều trường hợp, t phải rất nhỏ để duy trì

sự ổn định; điều này có thể tạo ra thời gian tính lâu trên máy tính với một khoảng đã cho của t.

2. TiÕp cËn Èn.

(a) Lợi thế: sự ổn định có thể được duy trì với nhiều giá trị lớn của t, do đó sử dụng lượng thời gian ít hơn đáng kể để tính toán qua một khoảng đã cho của t. Điều này làm cho máy tính tốn ít hơn thời gian.

(b) Bất lợi: phức tạp hơn để thiết lập và lập trình.

(c) Bất lợi: những thao tác ma trận mảng thường được yêu cầu tại mỗi bước, thời gian máy tính trên bước thời gian là nhiều hơn trong tiếp cận hiện.

(d) Bất lợi: vì có thể lấy t lớn, sai số cắt cụt sẽ lớn hơn, và việc sử dụng những phương pháp ẩn để tuân thủ những thời điểm chính xác nhất (biến thiên theo thời gian của biến phụ thuộc) có thể không chính xác như cách tiếp cận hiện. Tuy nhiên, với lời giải phụ thuộc vào thời gian mà trong đó trạng thái ổn định là kết quả mong muốn, độ chính xác theo thời gian tương đối này không quan trọng lắm.

Trong thời gian từ năm 1969 tới khoảng năm 1979, phần lớn mở rộng những lời giải CFD thực hành xét đến lời giải 'tiến triển' (như trong ví dụ trên) sử dụng những phương pháp hiện. Ngày nay, chúng vẫn là những phương pháp trực tiếp nhất đối với những lời giải trường dòng. Tuy nhiên, nhiều ứng dụng CFD phức tạp hơn - những yêu cầu rất chặt

chẽ về khoảng cách điểm lưới trong một vài vùng của dòng sẽ yêu cầu máy tính lớn chạy nhiều hơn vì yêu cầu bước thời gian nhỏ. Điều này tạo lợi thế liệt kê ở trên với những phương pháp ẩn rất lôi cuốn, tức là khả năng sử dụng bước tiến triển lớn thậm chí cho một lưới rất mịn. Với lý do này, những phương pháp ẩn ngày nay là tiêu điểm chính của những ứng dụng CFD.

B×nh luËn chung

Rõ ràng là những lời giải sai phân hữu hạn về lý luận có vẻ là trực tiếp; chỉ cần thay những đạo hàm riêng trong những phương trình chủ đạo với những thương số sai phân

đại số, và nghiền ngẫm để nhận được lời giải những phương trình đại số này tại mỗi điểm lưới. Tuy nhiên, ấn tượng này rất lạc lõng. Với bất kỳ ứng dụng đã cho nào, không bảo

đảm rằng những tính toán như vậy sẽ chính xác, hoặc thậm chí ổn định dưới tất cả các

điều kiện. Hơn nữa, điều kiện biên đối với một bài toán đã cho quyết định lời giải, và bởi vậy những xử lý thích hợp điều kiện biên trong khuôn khổ kỹ thuật sai phân hữu hạn là cực kỳ quan trọng. Với những lý do này, những lời giải sai phân hữu hạn của nhiều trường dòng khí động lực không theo thông lệ nào. Đương nhiên, ngày nay đa số động lực học chất lỏng tính toán vẫn là một nghệ thuật hơn là một khoa học; mỗi bài toán khác nhau thường yêu cầu tư duy và sự độc đáo trong lời giải của nó. Tuy vậy, nhiều nghiên cứu toán học ứng dụng bây giờ đang cống hiến cho CFD, và thập niên tiếp theo cần một sự mở rộng chủ yếu trong kiến thức ngành của chúng ta, cũng như phát triển những thuật giải cải tiến, hiệu quả hơn.

Tác giả muốn lưu ý để chứng minh rằng bài giảng này được viết vào năm 1985 để sử dụng trong lần trình bày đầu tiên của khoá ngắn hạn VKI về giới thiệu CFD. Do đó, một vài phát biểu ở đây là hơi cũ. Ví dụ, sáu năm kể từ năm 1985 trên thực tế đã thấy tiến bộ về sự phát triển thuật giải tiên tiến và phức tạp; xem tài liệu tham khảo CFD hiện đại với nh÷ng chi tiÕt nh­ vËy.