Những phần tử hữu hạn với liên tục C a hai chiều

Chuơng 10. Giới thiệu kỹ thuật phần tử hữu hạn trong động lực học chất lỏng tính toán

10.3 Những hàm hình dạng xác định từng đoạn

10.3.2 Những phần tử hữu hạn với liên tục C a hai chiều

Hình 10.7 cho thấy một miền được chia nhỏ ra những phần tử không gối lên nhau có dạng tam giác thẳng. Trong mỗi phần tử, một nội suy địa phương được xác định. Bây giờ ta xét những công thức nội suy bảo đảm tính liên tục của hàm nội suy. Hình 10.8 cho thấy một phần tử tam giác với những nút tại các góc của tam giác.

Hình 10.8 Tam giác tuyến tính.

Một hàm có thể nội suy trong hình tam giác theo cách tuyến tính dựa vào những giá

trị nút của hàm. Trong hệ tọa độ địa phương (, ), hàm nội suy có thể viết như sau

3 1

( , )

e

j j

j

u    u



 (10.32) trong đó ej là những hàm nội suy địa phương.

Trong trường hợp này, ej phải thỏa mãn

1 2

e

j a b b

     tức là ej là một hàm tuyến tính của  và , với

     

  

( , ) 1 víi

0 víi

e

j i i j i

j i

Thật dễ xác minh rằng đối với phần tử trong Hình 10.8 hàm nội suy địa phương là

    

   

   

  





1 2 3

( , ) 1

( , ) ( , )

e

i i

e

i i

e

i i

Chúng được mô tả trong Hình 10.9.

Tất nhiên, hàm nội suy địa phương cũng có thể biểu thị như một hàm của tọa độ toàn cầu để sử dụng biến đổi tọa độ giữa những hệ thống (, ) và (x, y):

3 3

1 1

( , ) ; ( , )

 

 ej j   ej j

j j

x    x y    y (10.33) Rõ ràng, trong những công thức biến đổi tọa độ (10.33), hàm nội suy địa phương giống nhau xuất hiện như trong nội suy giá trị hàm (10.32).

Rõ ràng là với cấu trúc nội suy trên, nếu ứng dụng trong mỗi phần tử, tính liên tục C0 (tức là tính liên tục của giá trị hàm) đạt được trong toàn bộ miền.

Hình 10.9. Những hàm hình dạng phần tử tuyến tính hình tam giác.

Hình 10.10. Những hàm hình dạng tuyến tính với những phần tử tam giác.

Nội suy chính nó là tuyến tính từng bước. Bằng việc cộng nội suy trên tất cả các phần tử, chúng ta nhận được

,

( , )

e

j j

e j e

u    u (10.34) trong đó e biểu thị tổng trên tất cả các phần tử của miền e và trong đó j,e biểu thị tổng trên tất cả các nút của phần tử e.

Tất nhiên, trong Pt. (10.34), các tổng có thể đảo để viết

, e

j k k k

k e k k

u  u  u (10.35) trong đó k biểu thị tổng trên tất cả các nút của miền  và e,k biểu thị tổng trên tất cả

các phần tử kề với nút k.

Trong Pt. (10.35) k biểu thị hàm nội suy toàn cầu hoặc hàm hình dạng. Hình 10.10 cho thấy một vài ví dụ. Bậc nội suy trong mỗi tam giác có thể tăng bằng việc thêm nút.

Để thể hiện những hàm bậc hai, rõ ràng cần sáu nút. Với những hàm lập phương cần mười nút.

Hình 10.11. Tam giác bậc hai.

Hình 10. 12. Họ phần tử tam giác Lagrange.

Hình 10.11 cho thấy một phần tử bậc hai với sáu nút: ba nút tại các góc và ba nút tại chính giữa cạnh. Những hàm nội suy địa phương phải thỏa mãn

2 2

1 2 11 12 22

e

j a b b c c c

          víi

     

  

( , ) 1 víi

0 víi

e

j i i j i

j i VÝ dô:

1e (1 )(1 2 2 )

       

Rõ ràng là, mặc dầu nội suy bậc cao hơn được sử dụng trong những phần tử, tính liên tục giữa các phần tử vẫn là C0 như trong trường hợp tuyến tính. Đồng thời, sự biến đổi tọa độ vẫn có thể cho với những hàm cơ sở bậc nhất (10.33). Tuy nhiên, tồn tại một khả

năng khác được xử lý trong mục trên về những phần tử đẳng tham số.

Hình 10.12 cho thấy cho tam giác Pascal và những phần tử tam giác C0 liên quan.

Những phần tử này tạo nên cái gọi là họ những phần tử tam giác Lagrange.

Hình 10.13. Phần tử tứ giác song tuyến.

Sự giới hạn những phần tử này tới một chiều và mở rộng tới ba chiều (trên tứ diện) là rõ ràng. Lợi thế của việc sử dụng những phần tử bậc cao hơn rõ ràng nằm trong khả năng của chúng để thể hiện những hàm biến đổi tuỳ ý chính xác hơn, với một kích thước phần tử đã cho. Tất nhiên, cũng có thể đạt được một trình bày hàm tốt hơn bằng những phần tử bậc thấp với kích thước phần tử nhỏ hơn. Trong thực hành, kích thước và bậc của những phần tử sẽ được chọn để tối ưu hóa độ chính xác đối với công việc tính toán. Thông thường thấy rằng những phần tử bậc hai được ưa chuộng.

10.3.2.2 Phần tử tứ giác Lagrange

Hình 10.13 cho thấy một phần tử tứ giác thẳng với một hệ toạ độ afin địa phương sử dụng bốn nút. Những hàm nội suy địa phương có thể xác định là song tuyến:

1 2 12 1

2 3 4

(1 )(1 ) (1 ) (1 )

e j e e e e

a b b c

   

  

  

 

  

   

  

 



 

Bằng việc thêm nút, trùng phương, bicubic vv, có thể xây dựng những phần tử. Ví dụ, một phần tử trùng phương chứa chín nút. Hình 10.14 cho thấy tam giác Pascal và phần tử tứ giác liên hệ. Những hình bốn cạnh này cũng hình thành cái gọi là họ Lagrange.

10.3.2.3 Phần tử tứ giác cầu may

Việc kiểm tra tam giác Pascal với những phần tử Lagrange tứ giác như vậy lộ ra rằng, ví dụ phần tử bậc hai có những số hạng bậc ba và bốn trong biểu thức của những hàm hình dạng địa phương. Những số hạng bậc cao này không hình thành một đa thức

đầy đủ và hệ quả là không đóng góp cho sự tăng bậc nội suy.

Hình 10.14. Họ những phần tử tứ giác Lagrange.

Hình 10.15. Họ những phần tử tứ giác cầu may.

Mặt khác, những số hạng bậc cao hơn trong các hàm cơ sở địa phương có thể phát sinh những nhiễu động không mong muốn trong dữ liệu nội suy. Bởi vậy, ưu tiên nói chung là loại trừ những số hạng bậc cao nhất bằng việc bỏ những nút nội nằm bên trong các phần tử. Điều này phát sinh cái gọi là họ cầu may mà với nó tam giác Pascal và một vài ví dụ được cho trên Hình 10.15. Đặc biệt, phần tử cầu may bậc hai là một phần tử hấp dẫn và được sử dụng rộng rãi.

10.3.2.4 Phần tử đẳng tham số

Tất nhiên, nó thể hiện chính xác hơn những vật thể với biên cong nhờ sử dụng những phần tử với những cạnh cong. Những phần tử uốn cong có thể tạo ra bằng việc áp dụng một ánh xạ giữa hệ tọa độ afin thẳng sử dụng trong những mục trước đây và một hệ tọa

độ cong. Để không làm phức tạp ánh xạ này quá nhiều, thông thường những công thức biến đổi tọa độ tương tự với Pt. (10.33), được chọn dựa vào những hàm hình dạng địa phương:

( , ) ; ( , )

 ej j   ej j

j j

x    x y    y (10.36)

Hình 10.16. ánh xạ một phần tử đẳng tham số

Hình 10.16 cho thấy làm sao một biến đổi tọa độ kiểu (10.36) có thể làm biến dạng một phần tử cầu may bậc hai, so với một phần tử tuyến tính. Rõ ràng là với những phần tử bậc hai, có thể thể hiện những biên hoàn toàn phức tạp. Những phần tử trong đó công thức biến đổi tọa độ đồng nhất với công thức nội suy được gọi là những phần tử đẳng tham số. Như trong Hình 10.16, phần tử này có thể coi như ánh xạ từ một phần tử vuông trong hệ toạ độ chữ nhật , . Những phần tử cơ bản trong tọa độ địa phương không nhiễu động được gọi là phần tử cha mẹ.