Về môđun gần nửa đơn luận văn thạc sỹ toán học

Bản luận văn của chúng tôi dựa trên tài liệu [1] để trình bày một số đặc trng của môđun gần nửa đơn, chỉ ra sự liên hệ giữa môđun gần nửa đơn với vành tự đồng cấu của nó và đặc trng của

đỗ Thị nhung

Về môđun gần nửa đơn

luận văn thạc sĩ toán học

Nghệ an - 2011Lời nói đầu

Lý thuyết môđun đóng vai trò chủ yếu trong việc nghiên cứu lý thuyết vành Môđun nửa đơn là một trong những khái niệm quan trọng của lý thuyết môđun Mục đích của luận văn này là nhằm tìm hiểu về môđun gần nửa đơn Đó là lớp môđun mở rộng thực sự của môđun nửa đơn Bản luận văn của chúng tôi dựa trên tài liệu [1] để trình bày một số đặc trng của môđun gần nửa đơn, chỉ ra

sự liên hệ giữa môđun gần nửa đơn với vành tự đồng cấu của nó và đặc trng của vành các tự đồng cấu của môđun gần nửa đơn thông qua phần tử lũy đẳng của chúng

Luận văn gồm hai chơng

Chơng 1. Kiến thức cơ sở Trong chơng này chúng tôi trình bày một số

kiến thức về: môđun, môđun nửa đơn, vành nửa đơn, vành chính quy

Chơng 2. Môđun gần nửa đơn Đây là nội dung chính của luận văn Trong

chơng này chúng tôi trình bày: sự liên hệ giữa môđun gần nửa đơn với vành tự

đồng cấu của nó, một số ví dụ về môđun gần nửa đơn, đặc trng của vành các tự

đồng cấu của môđun gần nửa đơn thông qua phần tử lũy đẳng của chúng

Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của PGS

TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy đã tận tình chỉ dẫn chúng tôi trong học tập và tập dợt nghiên cứu khoa học Thầy đã

đặt vấn đề và trực tiếp hớng dẫn chúng tôi hoàn thành Luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa toán, khoa sau Đại học, tổ Đại số và PGS.TS Lê Quốc Hán; PGS TS Nguyễn Thành Quang; TS Nguyễn Thị Hồng Loan cùng Quí Thầy, Cô trong khoa toán của Đại học Vinh

đã nhiệt tình chỉ dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập

và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đợc những đóng góp quí báu từ các thầy, cô giáo và các bạn cùng lớp.

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Chơng 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Môđun nửa đơn.

Có hai lớp môđun quan trọng đợc phát triển từ lý thuyết không gian véc tơ

đó là:

1 Môđun tự do và các hạng tử trực tiếp của môđun tự do tức là các môđun

xạ ảnh

2 Môđun M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn mà chúng ta sẽ xét ở

đây (môđun A đợc gọi là đơn nếu A≠0 và chỉ có hai môđun con là 0 và A).

Để đi đến khái niệm và các tính chất cơ bản của môđun nửa đơn ta xét các

bổ đề sau đây:

1.1.1 Bổ đề Giả sử M là một môđun sao cho mỗi môđun con là hạng tử trực

tiếp Khi đó mỗi môđun con khác không đều chứa môđun con đơn.

Chứng minh Giả sử U là một môđun con hữu hạn sinh tùy ý của môđun M

Khi đó U sẽ chứa một môđun con tối đại C.

Theo giả thiết M =C⊕M1

Dùng luật môđula ta có: U =M∩U =C⊕(M1 ∩U)

Từ đó suy ra C U ≅ M 1 ∩ C là môđun đơn vì C tối đại trong U

Do đó M 1 ∩ C là môđun con đơn của U º

1.1.2 Bổ đề Giả sử M =∑

∈I

i i

là môđun con của M Khi đó:

a) Tồn tại tập con J⊆I sao cho

M U

I L

Đối với phần tử i 0∈ I, i 0 tùy ý ta xét N +M i0.Ta có N+M i0 = N⊕M i0 không

xảy ra với i 0∉J (vì tính chất tối đại của J).

Ta lại sử dụng (a) đối với môđun con ⊕J M i (xem nh U) Khi đó tồn tại tập

con K⊆I sao cho: ⊕=∈Ji M ⊕⊕∈i K M i

Từ đó thu đợc i

K i i I i

M M

M U

1.1.3 Định lý Đối với môđun M các điều kiện sau đây là tơng đơng:

(1) Mỗi môđun con của M là tổng các môđun con đơn

(2) M là tổng các môđun con đơn.

(3) M là tổng trực tiếp các môđun con đơn.

(4) Mỗi môđun con của M là hạng tử trực tiếp của M.

Chứng minh.

(1)⇒ (2): Hiển nhiên

(2)⇒ (3): Chính là Bổ đề 1.1.2(a) với U=0.

(3)⇒ (4): Do Bổ đề 1.1.2(a) (4)⇒ (1): Giả sử U là môđun con của M.

Vậy chỉ xảy ra N∩U=0 º

1.1.4 Định nghĩa Môđun M đợc gọi là môđun nửa đơn nếu thỏa mãn một

trong các điều kiện tơng đơng ở Định lý 1.1.3 trên

Ta quy ớc môđun 0 là môđun nửa đơn

(2) Môđun đẳng cấu với môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.

(3) ảnh toàn cấu của môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.

(4) Tổng của những môđun nửa đơn là môđun nửa đơn.

-Nếu ker f =0⇒ M≅N⇒ N là môđun nửa đơn.

-Nếu ker f =A⇒ N=0 cũng là môđun nửa đơn.

4) Bởi vì mỗi môđun nửa đơn là tổng các môđun đơn nên tổng của những môđun nửa đơn theo Định lý1.1.3 lại là môđun nửa đơn º

1.1.7 Định lý Đối với môđun nửa đơn M các điều kiện sau là tơng đơng:

(1) M là tổng của hữu hạn các môđun đơn

(2) M là tổng trực tiếp của hữu hạn các môđun đơn

(3) M có độ dài hữu hạn.

(4) M là Artin.

(5) M là Noether.

(6) M là hữu hạn sinh.

(7) M là đối sinh hữu hạn.

Chứng minh Ta chú ý rằng đối với M=0 thì tất cả các điều kiện trên trở

thành tầm thờng, vì vậy ta giả thiết M≠0

(1)⇒ (2): Do Bổ đề 1.1.2

M M

1

là môđun đơn Vậy M có độ dài hữu hạn là n.

(7)⇒ (2): Giả sử M là tổng trực tiếp của vô hạn các môđun đơn Khi đó

trong M tồn tại môđun con dạng:

1.2.1 Định nghĩa Vành R gọi là vành nửa đơn trái (phải) nếu môđun trái

(phải) R trên vành R là môđun nửa đơn.

1.2.2 Định lý Đối với vành R thì R là vành nửa đơn trái khi và chỉ khi R là

vành nửa đơn phải.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh R là vành nửa đơn trái thì R là vành

nửa đơn phải (Điều ngợc lại hoàn toàn tơng tự)

Theo định lý về sự phân tích của vành có đơn vị, vành nửa đơn trái R R có sự

phân tích:

i n i i n i

là một toàn cấu của R R nên Ψ ứng với một b∈ R (trong đó b=Ψ(1))

Nh vậy e=Ψ(a)=ab ⇒ e∈ aR ⇒ eR ⊆ ⊕aR.

1.2.3 Hệ quả.

(1) Vành R là vành nửa đơn khi và chỉ khi mỗi môđun trái, mỗi môđun phải là môđun nửa đơn.

R-(2) Vành R là vành nửa đơn khi và chỉ khi R R và R R có độ dài hữu hạn.

≅ , trong đó D k k

i

) , (

- Với x = 0∈ R thì với a bất kỳ thuộc R ta luôn có

Vậy mọi x ∈ R thì luôn tồn tại a∈ R để xax =x Do đó thể R là vành chính

quy º

1.3.3 Mệnh đề R là vành chính quy thì vành End R(F) các tự đồng cấu của một môđun tự do hữu hạn sinh F trên vành R cũng là vành chính quy.

Chứng minh Thật vậy với R là vành chính quy, đối với mỗi f ∈End R(F) thì

(xem [5]) Tơng tự kerf là hạng tử trực tiếp của F, ta có dãy:

0 Im Im

ker → → là chẻ ra

Do đó tồn tại β : Im f →F với f.β.f(x)=f(x) Theo trên f = α f nên

f(βα)f(x)=fβf(x)=f(x), ∀x ∈F hay f.β.f(x)=f với βα : F →F.

Vậy f là phần tử chính quy của End(F).

Hay End R(F) là vành chính quy º

1.3.4 Định lý Đối với vành R, các điều kiện sau là tơng đơng:

(1) R là chính quy.

(2) Mỗi iđêan phải xiclic của R là hạng tử trực tiếp của R R

(3) Mỗi iđêan trái xiclic của R là hạng tử trực tiếp của R R.

(4) Mỗi iđêan phải hữu hạn sinh của R là hạng tử trực tiếp của R R

(5) Mỗi iđêan trái hữu hạn sinh của R là hạng tử trực tiếp của R R.

Chứng minh Ta chứng minh theo sơ đồ:

(1) ⇔ (2)

(1) ⇔ (3)

(2) ⇔ (4)

(3) ⇔ (5)

(1) ⇒ (2): Giả sử x ∈ R Khi đó ∃ a ∈ R để xax = x (vì R chính quy)

Ta sẽ chứng minh xaR = xR là hạng tử trực tiếp của R R (trong đó I =xR).

Mà x =xax ∈xaR ⇒ xR ⊂ xaR (**)

Từ (*) và (**) ta có: xaR =xR là hạng tử trực tiếp của R R

(2) ⇒ (1): Giả sử I=xR là hạng tử trực tiếp của R R , ta sẽ chứng minh R

chính quy

Ta thấy nếu I=xR là hạng tử trực tiếp của R R khi đó tồn tại phần tử lũy

đẳng e =e2∈ R sao cho xR = eR và tồn tại a, b ∈ R mà

x eb e eb xa eb xax

xa e

r  rax.

Ta có: e2(r)=e(rax)=raxax=rax=e(r); ∀ r∈R

⇒e=e2⇒ e(R)=Rax là hạng tử trực tiếp của R R Ta sẽ chứng minh R chính

quy

Do x ∈R ⇒ Rx là hạng tử trực tiếp của R nên ∃e= e2∈R để Rx =Re.

be x

⇒∀e = e2∈ R mà Rx1 =Re khi đó x2(1-e) ∈R

⇒ Rx2(1-e) là hạng tử trực tiếp của R và ∃ f = f 2∈R mà Rf =Rx2(1-e).

Do f=ax2(1-e) ⇒ fe=ax2(1-e)e=ax 2 e- ax2e2= ax2e- ax 2 e=0

⇒ (f+e-ef)2=f +e-ef

⇒ R(f +e-ef) là hạng tử trực tiếp của R R

Mà Re+Rf=R (e+f-ef) (do fe = 0).

Vậy I=Rx1+Rx2=Re+Rx2=Re+Rf=R(e+f-ef) là hạng tử trực tiếp của R R.

Tức mọi iđêan trái hữu hạn sinh của R là hạng tử trực tiếp của R R.

⇒∃e=e2 ∈ R mà x1R=eR Khi đó x2(1-e) ∈ R ⇒x2(1-e)R là hạng tử trực

tiếp của R và tồn tại f = f 2∈R mà fR =x2(1-e)R.

Do f = x2(1-e)a ⇒ ef = x2(1-e)ea = x2ea-x2e2a = x 2 ea-x 2 ea = 0.

⇒ (f+e-fe)2=(f+e-fe).

Vậy (f+ e- fe)R là hạng tử trực tiếp của R R mà eR +f R = (f+e-fe)R (do ef

=0) nên:

I = x1R +x2R = Re +x2R = eR +fR

= (e +f-fe)R là hạng tử trực tiếp của R R

Tức là mọi iđêan phải hữu hạn sinh của R là hạng tử trực tiếp của R R º

1.3.5 Định lý a) ảnh toàn cấu của một vành chính quy là chính quy.

b) Nếu R là vành chính quy và e lũy đẳng khác 0 trong R thì eRe là vành chính quy.

Chứng minh a) Giả sử f: R → R ’ là toàn cấu vành, R là vành chính quy

nghĩa là ∃ f(a) ∈ R’ sao cho yf(a)y = y với ∀y ∈ R ’ Do đó R’ là vành chính quy.

b) Giả sử R là vành chính quy và e2=e, e≠0.

Ta chứng minh eRe cũng chính quy.

Với mọi x = eae ∈ eRe ⊂R ⇒∃ b ∈ R sao cho xbx = x (do R chính quy).

⇔ (eae)b(eae) = eae ⇔ eaebeae = eae ⇔ eae2be2ae = eae ⇔ (eae)(eae)(eae) = eae

⇒∃y = ebe ∈eRe để xyx = x với ∀x ∈ eRe.

1.3.6 Định lý Vành thơng của vành chính quy là vành chính quy.

chính quy

Lấy bất kỳ a + L ∈ L ∈ a ∈ R Do R chính quy nên ∃x ∈ R sao cho

+) Ngợc lại mọi iđêan của R mà I = I2 Ta sẽ chứng minh R là chính quy.

Lấy x ∈ R ⇒ I = Rx là iđêan của R mà I = I2⇒ Rx =Rx.Rx

⇒ x = ax.bx với a, b nào đó thuộc R.

Mà R giao hoán nên ax.bx = xabx.

Vậy ∀x ∈ R , ∃ y =ab ∈ R mà xyx=x ⇒R chính quy º

1.3.8 Định lý Đối với vành chính quy R, các khẳng định sau là tơng đơng:

(2) ⇒ (1): Giả sử R R là Noether, I là iđêan của R ⇒ I là hữu hạn sinh.

Do R là vành chính quy ⇒ mỗi iđêan phải hữu hạn sinh là hạng tử trực tiếp của R, do đó I là hạng tử trực tiếp của R ⇒ R là nửa đơn.

(3) ⇒ (1): Tơng tự

(4) ⇒ (1): Giả sử R là Artin phải, khi đó R có iđêan phải đơn I1, I1 đơn nên lấy 0 ≠ a ∈ I thì I1=aR.

Do R là vành chính quy nên I1 là hạng tử trực tiếp của R Giả sử R R =I1⊕X1

với X1 là iđêan phải nào đó của R Ta lại có X1 là Artin

Quá trình này tiếp tục và ta có iđêan phải đơn I2 sao cho X1 = I2 ⊕ X2

Quá trình này phải dừng lại sau hữu hạn bớc do R là Artin.

Suy ra R = I1⊕ I 2 ⊕ ……⊕ I n

Với I i đơn ⇒R là nửa đơn.

(5) ⇒ (1): Tơng tự

Vậy định lý đã chứng minh xong º

Chơng 2MÔ ĐUN Gần nửa đơn 2.1 Sự liên hệ giữa môđun gần nửa đơn với vành tự đồng cấu của nó.

Trong mục này ta nghiên cứu các tính chất của vành các tự đồng cấu của môđun gần nửa đơn

2.1.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun.

End R(M)= {đồng cấu R-môđun M → M }

Khi đó End R(M) lập thành một vành với phép toán:

• Phộp cộng: ( f g)(x) f (x) g(x)+ = +

• Phộp nhõn ( fg)(x) f (g(x))=

với ∀ f, g ∈End M( ), ∀ x∈M.

2.1.2 Định nghĩa Cho R là một vành Ta gọi môđun M trên R là gần nửa đơn

nếu Imf và Kerf đều là hạng tử trực tiếp của M với mọi f ∈ End R (M).

ở phần 2.2 chúng ta sẽ chỉ ra một số ví dụ về môđun gần nửa đơn

2.1.3 Mệnh đề Với giả thiết M là R-môđun gần nửa đơn, với vành các tự

đồng cấu E và f, g ∈ E Khi đó tồn tại s ∈ E sao cho:

f=sg ⇔ kerg ⊂ kerf.

Nói cách khác Ef ⊂ Eg ⇔ kerg ⊂ kerf.

Trong trờng hợp đó, nếu g lũy đẳng có thể lấy s=f.

Chứng minh +) Nếu f=sg thì rõ ràng kerg ⊂ kerf.

+Ngợc lại với giả thiết kerg ⊂ kerf Khi đó ta lập ánh xạ s : ’ Img → M

xác định nh sau:

Với mỗi y ∈ Img, tồn tại x ∈ M sao cho g(x)=y.

Do kerg là hạng tử trực tiếp của M (do M nửa đơn) nên có thể viết:

x = x kerg + x B

trong đó: x kerg∈ kerg, x B∈ B là bù trực tiếp của ker g trong M.

Ta đặt s’(y)=f(x B).

Chú ý rằng có thể có nhiều x ∈ M sao cho g(x)=y, tuy nhiên x B là duy

nhất Vì giả sử ∃x’∈ M mà g(x’)=y, x =x’ ’kerg +x’ B mà x B ≠x’ B ⇒ x B -x’ B≠0

Mà x B ∈ B; x’ B ∈B ⇒ x B - x’ B ∈ B ⇒ B∩kerg ≠φ Trái với B là bù trực tiếp của kerg trong M Vậy có thể có nhiều x ∈ M sao cho g(x) = y, tuy nhiên

x B là duy nhất

Rõ ràng s’ ∈ Hom (Img, M).

Im s

s g = ta có:

∀x ∈ M: sg(x)=s(y)=s’(y)=f(x B )=f(x).

Vì kerg ⊂ kergf Nghĩa là f=sg.

Trong trờng hợp đó nếu g lũy đẳng thì fg=sg2=sg=f º

2.1.4 Hệ quả M là R-môđun gần nửa đơn, với vành các tự đồng cấu E, ta có:

(1) Nếu f, g ∈ E thì Ef = Eg ⇔ kerf = kerg.

(2) Các lũy đẳng sinh cùng một iđêan trái chính tạo thành nửa nhóm con của nửa nhóm nhân của vành E, bất kỳ hai phần tử nào của nửa nhóm con đó cũng ngợc nhau.

(3) Mỗi iđêan trái chính của E đều sinh bởi một lũy đẳng do đó E là vành chính quy.

Chứng minh 1) Hiển nhiên.

2) Nếu f, g là các lũy đẳng sinh cùng một iđêan trái chính nghĩa là Ef=Eg,

khi đó bởi Mệnh đề 2.1.3 ta có: f = fg, g = gf.

Nghĩa là tích hai lũy đẳng là một lũy đẳng sinh cùng một iđêan trái chính.Vậy các lũy đẳng sinh cùng một iđêan trái chính tạo thành nửa nhóm con của nửa nhóm nhân của vành E.

Lấy hai lũy đẳng tuỳ ý thuộc nửa nhóm con các lũy đẳng sinh cùng một iđêan trái chính là f và g.

Với ∀f ∈ E ta chứng minh ∃g ∈ E để fgf = f.

Vì Ef = Ee với e 2 = e nên theo Mệnh đề 2.1.3 ta có f = fe.

Mặt khác, vì Ef = Ee nên ∃g ∈ E để gf = e ⇒ fgf = fe =f với ∀f ∈ E.

Vậy E là vành chính quy.º

2.1.5 Mệnh đề Giả thiết M là một R-môđun gần nửa đơn với vành tự đồng

cấu E và f, g ∈ E Khi đó ∃s ∈ E thoả mãn:

f = gs ⇔ Imf ⊂ Img.

Nói cách khác fE ⊂ gE ⇔ Imf ⊂ Img.

Trong trờng hợp đó nếu g là lũy đẳng có thể lấy s = f.

Chứng minh: +) Nếu f = gs thì rõ ràng Img ⊂ Img.

+) Ngợc lại Imf ⊂ Img ta chứng minh fE ⊂ gE.

Ta xác định ánh xạ u’: Imf → M nh sau: với mỗi y ∈ Imf, ∃x ∈M sao

cho f(x) = y.

Do Imf ⊂ Img nên ∃t ∈ M sao cho g(t) = y.

Do M là R-môđun gần nửa đơn nên ker g là hạng tử trực tiếp của M, và nh

vậy t = t kerg + t B , trong đó: t kerg ∈ kerg, t B∈ B là bù của kerg trong M.

Tơng tự nh chứng minh ở Mệnh đề 2.1.3, rõ ràng có nhiều t ∈ M sao cho

Khi đó nếu g là lũy đẳng thì gf=g 2 s=gs=f.

Nghĩa là nếu g lũy đẳng thì gf =f Hay ta có thể lấy s=f º

2.1.6 Hệ quả M là R-môđun gần nửa đơn, E là vành các tự đồng cấu của

môđun M.

1) Nếu f, g ∈ E thì fE =gE ⇔ Imf = Img.

2) Các lũy đẳng sinh cùng một iđêan phải chính tạo nên nửa nhóm con của nửa nhóm nhân vành E Hai phần tử bất kỳ của nửa nhóm con đó bao giờ cũng ngợc nhau.

Chứng minh Tơng tự Hệ quả 2.1.4.

2.1.7 Bổ đề Giả sử E là vành các tự đồng cấu của môđun M, nếu f là lũy

đẳng của E thì M = Imf ⊕ kerf.

Chứng minh +)Với ∀x ∈ M thì ta có x = x-f(x)+f(x) mà f(x) ∈ Imf.

Còn x-f(x) ∈ kerf vì f(x-f(x))=f(x)-f2(x)=f(x)-f(x)=0 (do f lũy đẳng).

Kerf f

x f x x f x

∈

∈

− +

Hay mỗi phần tử của M đều biểu diễn đợc thành tổng của một phần tử

thuộc Imf và một phần tử thuộc kerf.

+) Bây giờ ta chứng minh Imf ∩ kerf = 0.

Bất kỳ x ∈ Imf ∩ kerf ⇒

⇒ x= 0 Vậy Imf ∩ kerf = 0.

Suy ra M = Imf ⊕ kerf với f ∈ E; f lũy đẳng.

2.1.8 Định lý Một R-môđun M là môđun gần nửa đơn khi và chỉ khi

E=End R(M) là vành chính quy.

Chứng minh +) M là R-môđun gần nửa đơn ⇒E chính quy (Theo (3) của

Hệ quả 2.1.4)

+) Ngợc lại, E là chính quy ⇒R-môđun M gần nửa đơn.

Để chứng minh M là môđun gần nửa đơn ta chứng minh Imf và kerf đều là

hạng tử trực tiếp của M với mọi f ∈ E.

Thật vậy, vì E là vành chính quy, nên với mọi f ∈ E tồn tạ i g ∈ E sao cho

fgf=f.

Khi đó: (gf)2 =(gf)(gf) = g(fgf) = gf

(fg)2 =(fg)(fg) = (fgf)f = fg

do đó gf và fg là những lũy đẳng của E Theo Bổ đề 2.1.7 ta có:

M= Imfg ⊕ kerfg = Img ⊕ kerfg.

Do fgf = f nên Egf = Ef và fgE = fE Theo (1) của Hệ quả 2.1.4 và (1) của

Hệ quả 2.1.6 suy ra

kergf = kerf và Imfg = Imf.

Mà kergf và Imfg là hạng tử trực tiếp của M Do đó kerf và Imf cũng là hạng

tử trực tiếp của M hay M là R-môđun gần nửa đơn º

2.1.9 Bổ đề Giả sử R là một vành, khi đó nếu R là vành chính quy (Von –

Neumann) thì R là vành không suy biến.

Chứng minh Bất kỳ x ∈ Z(R) thì x ∈ R và Ix = 0 với I ⊆e R.

Vì R chính quy nên tồn tại x ’ ∈ R sao cho xx’x=x Lấy y ∈ Rxx’∩I thì y=axx’ và y ∈I (a ∈ R) Suy ra yx=axx x=ax, ’ mà yx=0, do y ∈I nên suy ra ax=0 suy ra y=axx =’ 0. Từ đó ta có Rxx’∩I = 0 mà I ⊆e R.

Suy ra Rxx’=0 do đó xx ’= 0 (vì 1 ∈ R) ⇒ x = xx’x = 0.

2.1.10 Định lý Vành các tự đồng cấu của một môđun gần nửa đơn là vành

không suy biến.