BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THU HẰNG NỬA NHÓM ORTHODOX ĐƠN DIỄN SONG ĐƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN, 2011 1 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC .……………………………………………………… …….1 LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………… .….2 Chương 1. Kiến thức cơ sở……………………………… ……… .… .4 1.1. Biểu diễn nửa nhóm. Biểu diễn vị nhóm 4 1.2. Biểu diễn nửa nhóm bicyclic .7 Chương 2. Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn………………… .14 2.1. Nửa nhóm orthodox và nửa nhóm orthodox đơn diễn………… 14 2.2. Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn với các phần tử sinh phi nhóm 20 2.3. Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn với các phần tử sinh nhóm .34 KẾT LUẬN……………………………………………………… …….…38 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………… ………… .39 2 LỜI NÓI ĐẦU Lớp các nửa nhóm ngược đơn diễn song đơn gồm và chỉ gồm hai loại: các nhóm và các nửa nhóm bicyclic. Mặt khác, các nửa nhóm orthodox song đơn được sinh bởi hai phần tử ngược nhau có cấu trúc rất khác nhau. Luận văn chúng tôi dựa trên bài báo * Bisimple monogenic orthodox semigroups của tác giả Simon M. Goberstein đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 2009 để tìm hiểu cấu trúc của nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn. Ngoài ra chúng tôi có tham khảo thêm bài báo Elementary orthodox semigroups của hai tác giả C. Eberhart và W. Williams đăng trên tạp chí đó vào năm 1984 để tìm hiểu cấu trúc dàn các tương đẳng trên nửa nhóm orthodox tự do được sinh bởi hai phần tử ngược nhau. Luận văn gồm hai chương. Chương 1. Kiến thức cơ sở. Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày khái niệm và các tính chất của biểu diễn nửa nhóm và biểu diễn vị nhóm bởi cấu trúc tự do tương ứng. Sau đó ứng dụng vào biểu diễn nửa nhóm bicyclic và một số tính chất của lớp nửa nhóm này. Chương 2. Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn. Đây là nội dung chính của luận văn. Trước hết chúng tôi trình bày các khái niệm nửa nhóm orthodox và nửa nhóm orthodox đơn diễn cùng với cấu trúc của chúng. Sau đó chúng tôi trình bày cấu trúc của các nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn S = ,a b trong hai trường hợp: khi a (và do đó b) không thuộc nhóm con nào của S và khi a,b là các phần tử nhóm của S. Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tác giả bày tỏ lòng biết ơn Thầy đã tận tình chỉ dẫn 3 chúng tôi trong học tập và tập dượt nghiên cứu khoa học. Thầy đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn chúng tôi hoàn thành Luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Tổ Đại số cùng Quý Thầy, Quý Cô trong chuyên nghành Đại số và lý thuyết số đã nhiệt tình hướng dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã rất cố gắng, song Luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những đóng góp quý báu từ quý thầy, quý cô giáo và các bạn cùng lớp. Nghệ An, tháng 11 năm 2011 Tác giả 4 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Biểu diễn nửa nhóm. Biểu diễn vị nhóm 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Khi đó tồn tại một toàn cấu Ψ : A S + → với một nửa nhóm các từ A + nào đó. Thế thì S ≅ er( ) A k ψ + . Khi đó Ψ được gọi là một biểu diễn đồng cấu của S, và nếu (u, v) ∈ ker (Ψ) thì u = v được gọi là một hệ thức hay đẳng thức trong S. Để tránh hiểu nhầm, ta viết u ≡ v nếu các từ u, v bằng nhau trong A + . Như vậy, một biểu diễn của S gồm các kí hiệu sinh A = {a 1 , a 2 ,…} và các hệ thức R = { u i = v i | i ∈ I }, và viết S = 1 2 , , .| ( ) i i a a u v i I= ∈ hay S = |A R nếu ker(Ψ) là tương đẳng nhỏ nhất của A + chứa các hệ thức {(u i ,v i )| i ∈ I }. Nói riêng Ψ(u i ) = Ψ(v i ) đối với tất cả các u i = v i trong R. Tập hợp R các hệ thức được giả thiết là có tính đối xứng, nghĩa là nếu u = v trong R thì v = u cũng được thỏa mãn. Cần nhớ rằng các từ w ∈ A + không phải là các phần tử của S nhưng được ánh xạ vào S. Chúng ta nói rằng một từ w ∈ A + biểu diễn phần tử Ψ(w) của S. Cùng một phần tử của S có thể được biểu diễn bằng nhiều cách khác nhau (bởi các từ khác nhau). Nếu Ψ(u) = Ψ(v) thì hai từ u, v biểu diễn cùng một phần tử của S. Giả sử S = |A R là một biểu diễn. Chúng 5 ta chỉ ra rằng S có một hệ thức u = v (nghĩa là Ψ(u) = Ψ(v)) nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy u = u 1 , u 2 ,…, u k +1 = v các từ sao cho u i + 1 nhận được từ u i bằng cách thay thế nhân tử u i bởi v i đối với u i =v i nào đó trong R. Chính xác hơn, chúng ta nói rằng một từ v là dẫn xuất trực tiếp từ u nếu u ≡ 1 ω u’ 2 ω và v ≡ 1 ω u’ 2 ω với u’ = v’ nào đó trong R. Rõ ràng rằng nếu v được dẫn xuất từ u thì u được dẫn xuất từ v (vì R đối xứng) và Ψ(u) = Ψ( 1 ω )Ψ(u’) Ψ( 2 ω ) = Ψ( 1 ω ) Ψ(v’) Ψ( 2 ω ), nên u = v là một hệ thức trong S. Từ v được gọi là dẫn xuất từ u nếu tồn tại một dãy hữu hạn u ≡ u 1 , u 2 ,…, u k ≡ v sao cho với tất cả j = 1,2,…,k – 1, u j + 1 , là dẫn xuất trực tiếp từ u j . Nếu v được dẫn xuất từ u, thì sẽ có Ψ(u) = Ψ(v), vì Ψ(u) = Ψ(u 1 ) = Ψ(u 2 ) = …= Ψ(u k -1 ) = Ψ(u k ) = Ψ(v), và do đó u = v là một hệ thức trong S. Nó có thể viết thành u ≡ u 1, u 2,…, u k ≡ v. Trước khi trình bày một số định lí về biểu diễn nửa nhóm, ta nhắc lại rằng với mỗi quan hệ ρ trên nửa nhóm S luôn luôn tồn tại một tương đẳng C ρ trên S nhỏ nhất chứa ρ (được gọi là tương đẳng sinh bởi quan hệ ρ ). 1.1.2. Định lý. Giả sử S = |A R là một biểu diễn, với R đối xứng. Thế thì R C = { (u, v) | u = v hay v được dẫn xuất từ u }. Do đó u = v trong S nếu và chỉ nếu v được dẫn xuất từ u. Chứng minh. Ký hiệu ρ là quan hệ xác định bởi u ρ v nếu và chỉ nếu u = v hoặc v được dẫn xuất từ u. Rõ ràng i ⊆ ρ nên ρ phản xạ. Vì R đối xứng nên ρ đối xứng. tính bắc cầu của ρ là hiển nhiên. Vậy ρ là quan hệ tương đương. Nếu w ∈ A + và v được dẫn xuất từ u thì rõ ràng wv cũng được dẫn xuất từ wu và vw được dẫn xuất từ uw. Vậy ρ là quan hệ tương đẳng. 6 Giả sử θ là một tương đẳng sao cho R ⊆ θ . Giả thiết rằng v được dẫn xuất trực tiếp bởi u: u = 1 w u’ 2 w , v = 1 w v’ 2 w và u’ = v’ trong R. Vì R ⊆ θ nên (u’,v’) ∈ θ . Vì θ là một tương đẳng nên ( 1 w u’ 2 w , 1 w v’ 2 w ) ∈ θ hay (u,v) ∈ θ . Do đó, nhờ tính bắc cầu của ρ và θ , có ρ ⊆ θ và như vậy ρ là tương đẳng nhỏ nhất chứa R, nghĩa là R C = ρ . W Từ Định lý 1.1.2 trực tiếp suy ra 1.1.3. Định lý. Giả sử A là một bảng chữ cái và R ∈ A + × A + là một quan hệ đối xứng. Thế thì nửa nhóm S = A + / R C có biểu diễn S = | ( )A u v = ∈ víi mäi u, v R . Hơn nữa, tất cả các nửa nhóm có cùng biểu diễn đẳng cấu với nhau. 1.1.4. Ví dụ. 1) Xét biểu diễn nửa nhóm sau: S = , | , ,a b aa ab ba aab bbb aba〈 〉= = = . Trong biểu diễn này có hai phần tử sinh và ba hệ thức xác định. Chẳng hạn, S có một đẳng thức baabbaa = bbaaba, vì u 1 = baabbaa = b.aab.baa = b.ba.baa = u 2 và u 2 = bbabaa = bba.ba.a = bba.aba.a = bbaaab. Cũng như vậy, aaab = aabb = abbb = aaba = baa = bab trong S, và do đó aaab = bab trong S. 2) Một biểu diễn của các nửa nhóm các từ không cần hệ thức xác định: A + = 〈 A| φ 〉 . Tất cả các nửa nhóm (và vị nhóm) đều có biểu diễn. Thực vậy, S = 〈 A|ker(Ψ) 〉 là một biểu diễn như vậy, khi Ψ: A + → S là toàn cấu biểu diễn. Tuy nhiên, nói chung biểu diễn này rất phức tạp. Chúng ta sẽ quan tâm nhiều hơn các nửa nhóm có biểu diễn hữu hạn, nghĩa là một biểu diễn S = 〈 A|R 〉 , trong đó A là một bảng chữ cái hữu hạn và R là tập hữu hạn các hệ thức. (Tiếc rằng không phải nửa nhóm nào cũng có biểu diễn như vậy). 7 Ta biết rằng tất cả các vị nhóm đều có một biểu diễn (với tư cách là một nửa nhóm). Tuy nhiên sẽ tiện lợi hơn nếu sử dụng các biểu diễn vị nhóm mà đối với các biểu diễn ấy có ưu thế của phần tử đơn vị: M = 〈 a 1 , a 2 ,…| u i = v i , (i ∈ I) 〉 là một biểu diễn vị nhóm nếu u i ,v i ∈ A*, trong đó A = {a 1 ,a 2 ,…} là một bảng chữ cái. Trong biểu diễn vị nhóm chúng ta có thể giả thiết có các hệ thức dạng u = 1, nghĩa là từ u có thể bị xóa từ một từ khác hay bổ sung vào một vị trí nào đó giữa hai chữ cái. 1.1.5. Ví dụ. 1) Giả sử M = 〈 a,b | ab = ba 〉 là một biểu diễn của vị nhóm M. Thế thì M ; A*/ R C trong đó A = {a,b} và R = {ab = ba}. Có một toàn cấu Ψ: A* → M và M được sinh bởi phần tử x = Ψ(a) và y = Ψ(b). Vị nhóm M giao hoán, vì hệ thức ab = ba cho phép thay đổi vị trí của a và b. Nếu các phần tử thuộc tập sinh của M giao hoán được với nhau thì M giao hoán (hiển nhiên). Do đó Ψ(a). Ψ(b) = Ψ(ab) = Ψ(ba) = Ψ(b). Ψ(a) hay xy = yx. Hơn nữa mỗi phần tử z ∈ M có một dạng chuẩn: Giả sử z = z 1 . z 2 …z n với z i = Ψ(a i ) (a i = a hoặc a i = b) thì z = Ψ(a 1 ) Ψ(a 2 ) … Ψ(a n ) = Ψ(a 1 a 2 …a n ) = Ψ(a k b m ) = Ψ(a) k Ψ(b) m = x k y m với m, k nào đó ( m ≥ 0, k ≥ 0). Do đó vị nhóm M là một nhóm giao hoán tự do, và có thể chỉ ra được rằng mỗi vị nhóm giao hoán được sinh bởi hai phần tử là ảnh toàn cấu của M. 2) Biểu diễn vị nhóm M = 〈 a,b|aba = 1 〉 xác định một nhóm. Thực ra, nhóm này đẳng cấu với ( ¢ , +). Thật vậy, giả sử M là một vị nhóm với biểu diễn trên thì M ; A*/R C , trong đó A = {a,b} và R = {aba = 1}, và giả sử ψ : A* → M là toàn cấu tương ứng. Thế thì M được sinh bởi các phần tử x = Ψ(a) và y = Ψ(b), hơn nữa ab = ba.aba = aba.ba = ba và do đó xy = yx. Điều đó kéo theo M là một vị nhóm giao hoán. Do đó mỗi phần tử thuộc z ∈ M có dạng z = Ψ(a m b n ) với m ≥ 0, n ≥ 0 nào đó. Hơn 8 nữa, a.ba = 1 và ba.a = 1 nên ba là nghịch đảo của a. Tương tự a 2 là nghịch đảo của b, b = (aa) – 1 . Điều đó có nghĩa là các phần tử của M đều có dạng z = Ψ(a k ) với k ∈ ¢ . Thế thì α : M → ( ¢ ,+) xác định bởi α (a) = - 1 và α (b) = 2 là một đẳng cấu. 1.2. Biểu diễn nửa nhóm bicyclic 1.2.1. Giả sử X là tập hợp khác rỗng. Khi đó tập hợp T X = { f: X → X| f là ánh xạ} cùng với phép nhân ánh xạ là một vị nhóm với đơn vị là ánh xạ đồng nhất X id . Vị nhóm T X được gọi là vị nhóm các phép biến đổi đầy đủ trên tập X. 1.2.2. Giả sử ¥ là tập hợp các số tự nhiên. Xác định hai ánh xạ : α → ¥ ¥ và : β →¥ ¥ bởi 0 0 ( ) 1 1 n n n n α    = = − ≥ nÕu nÕu và ( ) 1 ( 0)n n n β = + ≥ . Thế thì id αβ = ¥ và 1 0 ( ) 1 n n n n βα    = = ≥ nÕu nÕu Nói riêng, id αβ ≠ ¥ . Giả sử B là nửa nhóm con của T ¥ sinh bởi α và β . Ta hãy tìm một biểu diễn của B. Giả sử A={p,q} là một bảng chữ cái. Xác định đồng cấu * : A B ψ → , ( )p ψ α = , ( )q ψ β = ( ψ là mở rộng của 0 : A B ψ → cho bởi 0 ( )p ψ α = , 0 ( )q ψ β = ). Vì A={p,q} là tập sinh của * A và { α , β } tập sinh của B nên ψ là một toàn cấu. Theo trên pq = 1 là một hệ thức trong B. Giả sử γ ∈ B là một phần tử tùy ý của B, 1 1 . n n γ γ γ γ − = trong đó i γ α = hoặc i γ β = . Vì id αβ = ¥ nên chúng ta có thể giả thiết rằng i γ β = đối với chỉ số nào đó, thế thì t γ β ≡ đối với tất cả t thỏa mãn j t n≤ ≤ . Điều đó chứng tỏ rằng 9 k m γ β α = với , 0k m ≥ và từ đó B = { k m β α | , 0k m ≥ }. Theo cách định nghĩa của α và β , ta có ( ) k m k n k n n n k β α    < = ≥ nÕu nÕu Ta hãy chứng minh rằng các phần tử k m γ β α = và r s δ β α = hoàn toàn khác nhau nếu k r≠ hoặc m s≠ . Thật vậy, (0) (0) (0) k m k k γ β α β = = = và δ (0) (0) (0) r s r r β α β = = = với max{ , } n k r≥ có ( ) ( ) k m n n γ β α = = ( ) k n m β − = n -m- k và ( ) ( ) r s n n s δ β α = − ( ) r n s β = − n s r= − − . Do đó γ δ = chỉ trong trường hợp k r= và m s= . Điều này chứng tỏ , | 1p q pq = là một biểu diễn của vị nhóm B = , α β . 1.2.3. Định nghĩa. Vị nhóm B sinh bởi hai phần tử α , β ∈ T ¥ cho bởi 0 0 ( ) 1 1 n n n n α    = = − ≥ nÕu nÕu và ( ) 1( 0)n n n β = + ≥ được gọi là vị nhóm bicyclic. 1.2.4. Mệnh đề. Vị nhóm bicyclic B có một biểu diễn vị nhóm B = , | 1p q pq = . 1.2.5. Mệnh đề. Giả sử e ,a,b là các phần tử thuộc nửa nhóm S sao cho ea=ae=a, eb=be=b, ab=e, ba ≠ e. Khi đó mỗi phần tử thuộc nhóm con ,a b của S sinh bởi các phần tử a, b được biểu diễn duy nhất dưới dạng b m a n , trong đó m và n là các số nguyên không âm (và a 0 = b 0 = e), và do đó ,a b đẳng cấu với vị nhóm bicyclic B. Chứng minh. Rõ ràng e ∈ ,a b và e là một đơn vị của ,a b . Do đẳng thức ab = e, mỗi phần tử thuộc B biểu diễn duy nhất được dưới dạng b m a n . Chỉ còn phải chứng minh tính duy nhất của m và n. Trước hết, ta chứng minh ba mệnh đề chuẩn bị. i) Các phần tử a và b có cấp vô hạn. Giả thiết trái lại rằng a h+k = a h đối 10 . 2. Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn ……………… .14 2.1. Nửa nhóm orthodox và nửa nhóm orthodox đơn diễn ……… 14 2.2. Nửa nhóm orthodox đơn diễn. 2. Nửa nhóm orthodox đơn diễn song đơn. Đây là nội dung chính của luận văn. Trước hết chúng tôi trình bày các khái niệm nửa nhóm orthodox và nửa nhóm orthodox