Cấu trúc của nửa nhóm giao hoán với tính chất mở rộng iđêan luận văn thạc sỹ toán học

MỞ ĐẦUMột nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng iđêan IEP nếu đối với nửa nhóm con T của S và mỗi iđêan I của T, tồn tại một iđêan J của S sao mở rộng tương đẳng được nhà toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGHỆ AN - 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS LÊ QUỐC HÁN

NGHỆ AN - 2011

MỞ

M Ở ĐẦ 6U

KI N TH C CHU N BẾ Ứ Ẩ Ị 8

1.1 B ng v n a d n B ng các n a nhómă à ử à ă ử 8

1.2 Phân tích m t n a nhóm giao hoán th nh n a d n v i các th nh ph n ộ ử à ử à ớ à ầ Archimede 11

1.3 I êan v n a nhóm đ à ử đơ 16n CHƯƠNG 2 C U TRÚC C A N A NHÓM GIAO HOÁNẤ Ủ Ử V I T NH CH T M R NG I ÊANỚ Í Ấ Ở Ộ Đ 21

2.1 N a nhóm Archimede v i IEPử ớ 23

2.2 C u trúc c a n a nhóm giao hoán v i tính ch t m r ng i êanấ ủ ử ớ ấ ở ộ đ 25

2.3 N a nhóm i êan giao hoán có tính ch t m r ng i êanử đ ấ ở ộ đ 31

K T LU NẾ Ậ 36

TÀI LI U THAM KH OỆ Ả 37

MỞ ĐẦU

Một nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng iđêan (IEP) nếu đối

với nửa nhóm con T của S và mỗi iđêan I của T, tồn tại một iđêan J của S sao

mở rộng tương đẳng được nhà toán học D Alan đưa ra vào năm 1971: Một

nửa nhóm S được gọi là có tính chất mở rộng tương đẳng (CEP) nếu với mỗi

nửa nhóm con T của S và mỗi tương đẳng σ trên T, tồn tại một tương đẳng ρ

trên S sao cho ρ ∩(TxT) = σ.

Trong những năm cuối thế kỷ 20 và đầu thế 21, một số lớp nửa nhóm với tính chất mở rộng tương đẳng và mở rộng iđêan đã được nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu

Luận văn dựa trên bài báo ''The structure of commutative semigroups with the ideal extention property '' của tác giả K.D Aucoin đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 1999 để tìm hiểu cấu trúc của nửa nhóm giao hoán với tính chất mở rộng iđêan và mối liên hệ giữa các nửa nhóm này với các nửa nhóm giao hoán với tính chất mở rộng tương đẳng

Luận văn chia làm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về:

1.1 Băng và nửa dàn Băng các nửa nhóm

1.2 Phân tích một nửa nhóm giao hoán ra các thành phần Archimede.1.3 Iđêan và nửa nhóm đơn

Chương 2 Cấu trúc của nửa nhóm giao hoán với tính chất mở rộng iđêan

Đây là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày:

2.1 Nửa nhóm Archimede với tính chất mở rộng iđêan

2.2 Cấu trúc của nửa nhóm giao hoán với tính chất mở rộng iđêan.2.3 Nửa nhóm iđêan giao hoán có tính chất mở rộng iđêan.

Luận văn thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sự biết ơn sâu sắc tới Thầy, đã tận tình chỉ dẫn, giúp đỡ tôi trong học và tập dượt nghiên cứu khoa học Thầy đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa toán, Khoa sau Đại học, Tổ Đại số cùng quý thầy, cô giáo trong Khoa toán của trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình chỉ dẫn, tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dầu đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những đóng góp quý báu từ các thầy, cô giáo cùng với các bạn đồng nghiệp

Cuối cùng, một lần nữa tác giả xin chân thành cảm ơn những sự giúp

đỡ quý báu đã nhận được trong thời gian qua

Nghệ An, năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Băng và nửa dàn Băng các nửa nhóm

1.1.1 Định nghĩa Mỗi quan hệ ≤ trên một tập X được gọi là một thứ tự bộ phận của X nếu nó có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Ta sẽ dùng

ký hiệu a < b để chỉ a ≤ b và a ≠ b.(ký hiệu > (hay ≥) để chỉ quan hệ ngược

với quan hệ < (hay ≤))

1.1.2 Bổ đề Giả sử E là tập hợp tất cả các lũy đẳng của nửa nhóm S Khi đó

quan hệ ≤ xác định trên E bởi: e ≤ f (e, f ∈ E) nếu ef = fe = e là một thứ tự bộ phận trên E.

Chứng minh Giả sử e, f, g ∈ E Thế thì, vì e ∈ E nên e2 =e , do đó e ≤ e nên

≤ phản xạ (1)

Hơn nữa, nếu e ≤ f, f ≤ e thì ef = fe = e và fe = ef = f nên e = f, do đó

≤ phản đối xứng (2)

Ta lại có: nếu e ≤ f và f ≤ g thì ef = fe = e và gf = fg = f nên:

eg = (ef)g = e(fg) = ef = e, ge = g(fe) = (fg)e = fe = e Do đó, e ≤ g nên

i) Phần tử b X được gọi là cận trên của Y nếu ∈ y ≤ b với mọi y Y ;∈

ii) Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y, nếu

nhất);

iii) Phần tử a X được gọi là cận dưới của Y nếu ∈ a y với mọi ≤ y Y ;∈

iv) Cận dưới a của Y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y nếu

≤

d a với mọi cận dưới d của Y (nếu Y có một giao trong X thì rõ ràng giao đó

cũng duy nhất);

v) Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên (hay dưới) nếu

mỗi tập con gồm hai phần tử { }a b của X có hợp (hay giao) trong X; trong ,

trường hợp đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X Hợp

(giao) của { }a b sẽ được ký hiệu là , a∪b (hay a∩b );

vi) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn

trên và nửa dàn dưới;

vii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và

một giao

1.1.5 Ví dụ 1) Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S bổ

sung thêm tập rỗng Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của lý thuyết tập hợp Vì giao của tùy ý các nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc là một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ Giao của một tập con Y của X trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y, trong lúc đó hợp của Y là nửa nhóm cảm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ “nửa nhóm con hay tập rỗng của S” bởi từ “tương đẳng trên S”.

2) Tập tất cả các iđêan trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ sung

thêm tập rỗng, đóng đối với phép hợp cũng như giao, nên là một dàn con đầy

đủ của đại số Boole tất cả các tập con của S.

1.1.6 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử của S

đều là lũy đẳng.

Giả sử S là một băng Khi đó S = E và S được gọi là tập sắp thứ tự bộ

phận tự nhiên (a b a b S nếu và chỉ nếu ab = ba = a).≤ , ( , ∈ )

1.1.7 Mệnh đề Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ phận

chúng Đảo lại, một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao.

Ta chứng tỏ rằng tích ab(=ba) của hai phần tử a b S trùng với cận dưới lớn , ∈

đó ab là cận dưới lớn nhất của { }a b Suy ra S là nửa dàn dưới.,

1.1.8 Chú ý Giả sử S là một băng giao hoán Khi đó nếu đặt a b khi và chỉ ≤

khi ab ba(= )=b thì ( , )S ≤ là nửa dàn trên Tuy nhiên, để cho thống nhất, ta giữ định nghĩa nêu trong 1.1.4 Từ đây về sau, ta sẽ dùng nửa dàn đồng nghĩa với từ băng giao hoán Hơn nữa, từ nửa dàn sẽ được ngầm hiểu là nửa dàn dưới nếu không nói thêm gì

1.1.9 Ví dụ Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý S X Y= × là tích Decartes của

X và Y Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt

( , )( , ) ( , )x y x y = x y với x x1, 2∈X y y; ,1 2∈Y Tính kết hợp và lũy đẳng của phép toán đó là hiển nhiên

Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X Y× Lý do của tên gọi đó như sau: Ta

( , )x y nằm ở dòng x cột y của bảng Thế thì a1 =( , )x y1 1 và a2 =( , )x y2 2 là hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật, mà hai đỉnh kia là a a1 2 =( , )x y1 2 và

2 1 ( , )2 1

a a = x y Các băng chữ nhật trên X Y× và 'X Y× ' đẳng cấu với nhau nếu

và chỉ nếu X = X' và Y = Y'

phần tử không bên phải (hay trái) trên Y (hay X)

1.1.10 Định nghĩa Nếu nửa nhóm S được phân chia thành hợp của các nửa

nhóm con rời nhau Sα,α ∈I (I là tập hợp các chỉ số nào đó) thì ta nói rằng S

Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con Sαthuộc vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S.

Giả sử S= ∪{Sα,α∈I} là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho với

mọi cặp α β, ∈I, tồn tại γ ∈I để cho S Sα β ⊆Sγ Ta định nghĩa một phép toán đại số trong I bằng cách đặt α β γ= nếu S Sα β ⊆ Sγ, khi đó I trở thành một băng đối với phép toán đó Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm Sα Ánh xạ : Sϕ →I xác định bởi ( )ϕ a =α nếu a S là một toàn cấu và các nửa ∈

nhóm con Sα là các lớp tương đẳng hạt nhân Kerϕ Đảo lại, nếu ϕ là một

toàn cấu từ một nửa nhóm S lên một băng I thì ảnh ngược Sα =ϕ α− 1( ) của

nửa nhóm Sα, α ∈ I

1.2 Phân tích một nửa nhóm giao hoán thành nửa dàn với các thành phần Archimede

Phần này chúng tôi sẽ trình bày một cách chi tiết các kết quả của

T.Tamura và N Kimura chứng tỏ rằng mọi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn

được một cách duy nhất dưới dạng một dàn các nửa nhóm Archimede

1.2.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Khi đó S được gọi là

cho a m =bx và n

b =ay với x, y nào đó thuộc S.

1.2.2 Định nghĩa Giả sử ρ là một tương đẳng trên nửa nhóm S Khi đó ρ

được gọi là lũy đẳng nếu S/ρ là một băng.

1.2.3 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tùy ý Ta xây dựng

quan hệ η trên S như sau: a b a b Sη ( , ∈ ) nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên

dương m, n và các phần tử x y S sao cho , ∈ a m =bx b, n =ay

1.2.4 Định lý Quan hệ η trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương đẳng

bắc cầu, giả sử aηb và bηc ( , ,a b c S Khi đó ∈ ) b m =ax và c n =by với m, n

là các số nguyên dương và x y S Vì S giao hoán nên , ∈ c nm =( )by = m

=

m m m

Khi đó từ a chia hết b ta có ac chia hết m b c và rõ ràng m b c chia hết ( ) m bc m

nên ac chia hết ( )bc Tương tự, bc chia hết một lũy thừa nào đó của ac và kết m

luận acηbc, vì S giao hoán nên caηcb Vậy η là tương đẳng trên S.

Rõ ràng a aη 2 với mọi a S∈ nên S/η là lũy đẳng và do S giao hoán nên S/n

giao hoán Vậy S/η là nửa dàn.

một lũy đẳng ρ bất kỳ trên S Giả sử a b a b Sη ( , ∈ ) thế thì tồn tại các số

nguyên m, n và các phần tử x, y thuộc S sao cho ax b by a= m, = n Vì ρ là lũy

Như vậy a bρ và ta kết luận η ρ⊆ 

1.2.5 Định lý Một nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duy nhất

xác định như trong Định nghĩa 1.2.3 Theo Định lý 1.2.4, S/η là một nửa dàn

và S/η là ảnh đồng cấu của S Ta sẽ chứng tỏ S là nửa dàn các nửa nhóm

một nửa nhóm con Archimede của S Rõ ràng A là một nửa nhóm con của S vì S/η là lũy đẳng Giả sử a b A Thế thì a, ∈ ηb và ax = b by a m, = n với x, y nào

đó thuộc S và m, n là các số nguyên dương nào đó Thế thì a bx( )= b m+ 1 và

1

b ay =a + Từ đó bx chia hết b m+ 1 và b chia hết bx Suy ra bxηb nên bx A ∈

Tương tự, ay A Như vậy a chia hết ∈ b m+ 1 và b chia hết a m+ 1 đối với A, nghĩa

là A là Archimede.

Về tính duy nhất, giả sử S là một nửa dàn Y các nửa nhóm con Archimede

∈

,

Sα α Y Chứng minh sẽ kết thúc nếu chứng tỏ được rằng các Sα là các lớp

tương đương của S modul η, vì Y S≅ /η được suy ra một cách trực tiếp

Giả sử a b S Ta chứng tỏ rằng a, ∈ ηb khi và chỉ khi a và b cùng thuộc Sα

Nếu a và b cùng thuộc Sα thì mỗi phần tử chia hết một lũy thừa của phần tử

kia vì Sα là Archimede, và do đó ta có aηb và giả sử a S b S∈ α, ∈ β Vì aηb

nên ta có ax b= m, by a= n với x, y nào đó thuộc S và m, n nguyên dương nào

đó Giả sử x S∈ α, khi đó ax S∈ αγ và b m∈Sβ Thế thì Sαγ ∩ Sβ ≠ ∅ và do đó

thương S/ρ tách được, nghĩa là nếu ab a bρ ρ2 2 kéo theo aρb.

Rõ ràng, giao của một họ các tương đẳng tách được trên S là tách được, suy ra S có một đồng cấu tách được tối đại Ta sẽ chi tiết hóa kết quả này.

1.2.7 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Ta định nghĩa một

quan hệ σ trên S như sau: a b a b Sσ ( , ∈ ) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên

dương n sao cho ab n =b n+ 1 và ba n =a n+ 1

1.2.8 Chú ý Nếu tồn tại các số nguyên dương m và n sao cho ab m =b m+ 1 và

1.2.9 Định lý Quan hệ σ được định nghĩa trong 1.2.7 là một tương đẳng

bắc cầu, giả sử aσ b và bσ c ( , ,a b c∈σ) Khi đó tồn tại các số nguyên

dương m và n sao cho n = n+1, n = n+1, m = m+1, m = m+1

Để chứng minh σ ổn định, giả sử aσ b, nghĩa là ab n =b , n+ 1 ba n =a n+ 1

với số nguyên dương n nào đó, và giả sử c S Thế thì ∈ ( )( )ac bc n = ab c = n n+ 1

+ 1 + 1

n n

b c = ( )bc n+1 và tương tự, ( )(bc ac n n) =( )ac n+ 1 Như vậy, ( ) ( )ac σ bc và vì S

giao hoán nên ( ) ( )ca σ cb Suy ra σ là một tương đẳng

Cuối cùng, ta chứng minh σ tách được Giả sử a và b là các phần tử

thuộc S sao cho ab aσ 2 và ab bσ 2 Thế thì tồn tại các số nguyên dương m và n

sao cho ( )( )ab a2 m =( )a2 m+ 1 và ( )( )ab b2 n =( ) b2 n+ 1 Như vậy ba2m+ 1 =a2(m+ 1) và

2m 1 2n 2

ab + =b + Theo Chú ý 1.2.8 ta có aσ b.

tách được ρ trên S Giả sử aσ b Chẳng hạn, ab n =b n+ 1, ba n =a n+ 1 Ta chứng

tỏ rằng aρb.

Giả sử k là một số nguyên dương nào đó sao cho ab b kρ k+ 1, ba a kρ k+ 1 (1)

Chẳng hạn k = n Giả sử k ≥2 Bằng cách xem ab là a trong biểu thức sau 0

1.2.10 Hệ quả Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tách được Nếu a và b là

các phần tử thuộc S sao cho ab m =b m+ 1, ba n =a n+ 1 với các số nguyên dương nào đó thì a = b.

đồng nhất i trên S là tách được Theo Định lý 1.2.9 có s σ ≤i s nên a = b.

1.2.11 Định lý Một nửa nhóm giao hoán là tách được khi và chỉ khi các

thành phần Archimede của nó là giản ước được.

thành phần Archimede của S Rõ ràng Sα cũng tách được Ta chứng minh Sαgiản ước được Giả sử a, b, c là các phần tử thuộc Sα sao cho ac = bc Vì Sα

là Archimede nên tồn tại các phần tử x y S, ∈ α và các số nguyên dương m, n

b ∈Sβ nên α β= Ta kết luận được a = b do tính giản ước trong Sα 

1.3 Iđêan và nửa nhóm đơn

1.3.1 Định nghĩa Giả sử I là một tập con không rỗng của nửa nhóm S Khi đó

i) I được gọi là một iđêan trái (tương ứng, phải) của nửa nhóm S nếu SI ⊆ I

(tương ứng, IS⊆ I ).

ii) I được gọi là iđêan của S nếu I vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải.

1.3.2 Hệ quả Giả sử I là tập con không rỗng của nửa nhóm S Thế thì

∈

ii) Nếu I là iđêan trái của S thì I là một nửa nhóm con của S.

iđêan trái (phải) của S

1.3.3 Định nghĩa Giả sử I là một iđêan của S ta định nghĩa quan hệ ρ1 xác định bởi ρ1 = × ∪I I i s (nghĩa là x yρ1 nếu và chỉ nếu hoặc x y I hoặc x = y) , ∈

liên kết với I.

(Để chứng tỏ Định nghĩa 1.3.3 hợp lý, ta cần chứng minh rằng ρ1 là một tương đẳng, nhưng điều đó được suy ra trực tiếp từ định nghĩa)

Nửa nhóm thương S/ρ1 sẽ được ký hiệu là S/I và được gọi là thương Rees của

S theo iđêan I

S/I có một phần tử là I và các phần tử khác { }x , với x S I Để đơn giản ∈ \

ký hiệu, chúng ta đồng nhất phần tử { }x =xρ1 với phần tử x S I∈ \ Tích các phần tử trong S/I như sau: x y xy. = với x y I và Ix I xI, ∉ = = với mọi x S∈

Do đó I là phần tử không (zero) của S/I

1.3.4 Định nghĩa Một iđêan I của nửa nhóm S được gọi là iđêan tối tiểu nếu

với mọi iđêan J của S J, ⊆ I kéo theo J = I.

1.3.5 Bổ đề Giả sử I là iđêan tối tiểu và J là iđêan tùy ý của S Thế thì I ⊆ J

nên IJ ⊆ ∩ ≠ ∅I J Hơn nữa, I ≠ ∅, J ≠ ∅ nên IJ ≠ ∅ Do đó I ∩ ≠ ∅J

Mặt khác, I ∩ ⊆J I và I ∩ J là iđêan của S nên từ tính tối tiểu của I suy ra

∩ =

I J I , và do đó I ⊆ J 

Từ Bổ đề 1.3.5 trực tiếp suy ra hệ quả sau

1.3.6 Hệ quả Nếu một nửa nhóm S có iđêan tối tiểu thì iđêan tối tiểu của S là

duy nhất.

Chú ý rằng một nửa nhóm có thể có hoặc không có iđêan tối tiểu Xét nửa nhóm (N, +)

Các iđêan của nhóm (N, +) thực chất là các tập con n N+ ={n k k N+ / ∈ }

tối tiểu Tuy nhiên, mọi nửa nhóm hữu hạn S đều có một iđêan tối tiểu, đó chính là iđêan có số phần tử ít nhất (iđêan như vậy tồn tại vì S là một iđêan của S và S chỉ có hữu hạn phần tử)

1.3.7 Định nghĩa Một nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm đơn nếu nó không

có iđêan khác S

1.3.8 Bổ đề Nửa nhóm S là nửa nhóm đơn nếu và chỉ nếu S = SxS với mọi

∈

x S

đơn thì SxS = S Đảo lại, giả thiết rằng với mọi x có SxS = S Khi đó nếu I là

một iđêan của S và x I nào đó thì ∈ S SxS= ⊆ I nên I = S Vậy S đơn 

1.3.9 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm ta định nghĩa các quan hệ L, R