Ánh xạ gần nhất, siêu phẳng tựa và ứng dụng luận văn thạc sỹ toán học

MỞ ĐẦUNghiên cứu các tập lồi là một nhánh của Hình học, của Giải tích cómối liên hệ với các lĩnh vực khác của toán học bao gồm: Thống kê, Lýthuyết số và Tổ hợp.. Tầm quan trọng của lý th

MỞ ĐẦU

Nghiên cứu các tập lồi là một nhánh của Hình học, của Giải tích cómối liên hệ với các lĩnh vực khác của toán học bao gồm: Thống kê, Lýthuyết số và Tổ hợp Tầm quan trọng của lý thuyết lồi bắt nguồn từ thực tế làcác tập lồi xuất hiện thường xuyên trong toán học và nhiều lĩnh vực khác.Khái niệm tập lồi, hàm lồi đã thống nhất một loạt các hiện tượng toán học.Việc nghiên cứu Hình học lồi dẫn đến hai xu hướng: xu hướng thứ nhất là

mở rộng khái niệm lồi cổ điển để nghiên cứu theo các hướng riêng biệt, xuhướng thứ hai là tìm kiếm các công cụ để nghiên cứu hiệu quả các tập lồi

Có thể kể đến một số công cụ để nghiên cứu tập lồi là ánh xạ '' gần nhất '',siêu phẳng tựa, hàm tựa,

Mục đích của luận văn là nghiên cứu ánh xạ '' gần nhất '', siêu phẳngtựa và các ứng dụng của chúng trong việc nghiên cứu tập lồi trong ℝn

Với lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: ÁNH XẠ GẦN NHẤT, SIÊU PHẲNG TỰA VÀ ỨNG DỤNG.

Luận văn được trình bày thành 2 chương

Chương 1 Một số vấn đề về tập hợp lồi.

Chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của phẳng và tập lồitrong không gian ℝn, khái niệm và một số tính chất cơ bản liên quan đến tậplồi và hai định lý Radon và Caratheodory Chương này được chia làm cácmục sau:

1.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến tập lồi

1.2 Định lý Radon và Định lý Caratheodory

Chương 2 Ánh xạ gần nhất, siêu phẳng tựa và một số ứng dụng của chúng

Trong chương này chúng tôi trình bày các nội dung sau:

2.1 Ánh xạ gần nhất và siêu phẳng tựa

2.2 Cấu trúc tập lồi, nón, nón chuẩn tắc

và động viên tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn Tuy nhiên, do điềukiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏinhững thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý kiến của quý thầy cô

và các bạn học viên

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TẬP HỢP LỒI

1.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến tập lồi

Trong luận văn này chúng tôi xét không gian ℝn với tích vô hướngthông thường  ,  được xác định như sau:

Nếu x = (x1, x2, , xn ), y = (y1, y2, , yn) khi đó:

 x,y  = x1y1 +x2y2 + + xnyn

Bình phương của khoảng cách giữa các điểm x và y cho như trên bằng

|| x – y ||2 = x – y , x – y.

Ta gọi một hình cầu mở có tâm x và bán kính r là tập hợp { y| ||x – y || < r}.

Với K  ℝn ta ký hiệu K y , 0 nếu x y , 0 với mọi x K.

1.1.1 Định nghĩa Một tập hợp C  ℝn được gọi là tập lồi (hay hình lồi) nếu cùng với hai điểm bất kỳ x, y  C, x ≠ y, đoạn thẳng

[ x, y ] = {x + (1 -  )y | 0 ≤  ≤ 1} chứa trong C (hình 1)

Các ví dụ về tập hợp lồi là: một điểm, một đường thẳng, một đĩa hìnhcầu trong ℝ2, tập  và ℝn cũng là các tập hợp lồi

Nếu B là một đĩa tròn mở trong ℝ2 và M là tập con bất kỳ của hình tròn

B biên của B, khi đó B  M cũng là tập lồi Cho nên một tập hợp lồi khôngnhất thiết là mở hoặc đóng

1.1.2 Bổ đề Giao của một họ tuỳ ý các tập lồi là tập lồi.

Chứng minh Giả sử A  I là họ các tập lồi Đặt A = 

I



 A Khi đó ta

cần chứng minh A là tập lồi.Thật vậy,với x, yA ta có x, yA ,với mọi   I.

Do đó, với 0    1 ta có x + (1- )y  A với mọi   I (vì A là tập lồi)

Từ đó suy ra x + (1- )y  A.

Vậy A là tập lồi.

HÌNH 1:

Bên trái: tập lồi, bên phải: không là tập lồi.

1 1.3 Định nghĩa Chúng ta nói x là một tổ hợp lồi của x1, x2,…, xr  ℝn

nếu tồn tại 1, 2, , r  ℝ sao cho

Nếu bỏ điều kiện (1.3), chúng ta nói x là tổ hợp affine của x1, x2, … , xr

và khi đó x, x1, x2, … , xr , được gọi là phụ thuộc affine Nếu x,x1, x2, … , xr không phải là phụ thuộc affine, chúng ta nói rằng chúng độc lập affine

Vậy tổ hợp lồi là tổ hợp affine đặc biệt

Trong hình 2, ta lấy 3 điểm không thẳng hàng x1, x2, x3 trong ℝ2, tổ hợplồi của chúng là phần trong của tam giác có đỉnh là 3 điểm này, tổ hợp affinecủa chúng là ℝ2

1.1.4 Định nghĩa Tập hợp của tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của

một tập hợp M  ℝn được gọi là bao lồi của M, ký hiệu conv M

HÌNH 2Tập hợp của tất cả các tổ hợp afin của các phần tử của một tập hợp

M  ℝn được gọi là bao affine của M, ký hiệu aff M.

Chúng ta ký hiệu lin M là bao tuyến tính của M, đó là không gian tuyến tính nhỏ nhất chứa M.

Nếu M = {x1, … , xr } là một tập hợp hữu hạn, chúng ta nói P = conv M

là một tập lồi đa diện, hoặc gọi đơn giản là một hình đa diện.

Nếu x1, … , xr độc lập affine, chúng ta gọi tập T = conv {x1, … , xr } là một (r – 1)-đơn hình hoặc nói ngắn gọn là một đơn hình và r -1 được gọi là

số chiều của T Các điểm được gọi là đỉnh của T

Giao của một số hữu hạn nửa không gian đóng được gọi là tập lồi

Chứng minh

(a) Trước hết, chúng ta chỉ ra rằng conv M là lồi.

Nếu x,y  conv M, có tồn tại x1, … , xr , y1, … , ys  M và những số thực

tất cả các điểm trên nằm trong M', do đó conv M  M'.

Chứng minh (b) Suy ra từ Nhận xét 1.1.5 và (a)

1.1.7 Định nghĩa

Nếu C là một tập hợp lồi, chúng ta gọi dim C ≔ dim(aff C) là số chiều của

C

Quy ước dim  = -1.

Sau đây ta sử dụng ký hiệu tổng Minkowski như sau: với các tập con

d) aff(A + B) = aff(A) + aff(B).

e) aff(A + B) = aff(A) + aff(B).

Chứng minh

a) Suy từ Định lý 1.1.6 b

b) Trước hết ta chứng minh:

aff(kA)  kaff(A) (1.4) Với x bất kỳ thuộc aff(kA) thì

Suy ra x  kaff(A) Vậy (1.4) được chứng minh.

Tiếp theo ta chứng minh

kaff(A)  aff(kA) (1.5)

Với x bất kỳ thuộc kaff(A) thì x = k

aff(X + Y)  aff(X) + aff(Y), (1.8) Với hai tập lồi bất kỳ X, Y Thật vậy, mọi x  aff(X + Y) theo Định lý 1.2.2

1.1.9 Định lý Cho các điểm x1, x2, , xk  ℝn Khi đó các điều kiện sau

đây là tương đương

i) Hệ x1, x2, , xk độc lập affine.

ii) Với mỗi j = 1, 2, , k hệ véc tơ xi - xji  j độc lập tuyến tính.

iii) Nếu i  ℝ, i = 1, 2, , k sao cho

1x1 + 2x2 + + kxk = 

1 + 2 + + k = 0 thì 1 = 2 = = k = 0.

Chứng minh

i)  ii) Với mỗi j cố định, áp dụng Bổ đề 1.1.8, ta có

aff(x1, x2, , xk) = xj + L, trong đó L = affxi - xj  i = 1, 2, , k L là tập

affine chứa  nên L là không gian vectơ con của V Do hệ  x1, x2, , xk độc

lập affine  dimaff(x1, x2, , xk) = k -1  dim L = k -1.

Mặt khác, hệ sinh của L là xi - xj  i  j, hệ này có (n-1) vectơ Kết hợp với dim L = k -1 ta suy ra hệ vectơ xi - xji j độc lập tuyến tính.

ii)  i) Với j cố định, j  1, 2, , k, sử dụng đẳng thức

aff (x1, x2, , xk) = xj + L, L = aff xi - xj  i = 1, 2, , k

Nếu hệ vectơ xi - xji  j độc lập tuyến tính thì dim L = k -1

Vậy xi - xji  j độc lập tuyến tính 

1.1.10 Định nghĩa Một tập lồi compact được gọi là thể lồi.

Ví dụ: Điểm và đoạn thẳng là các thể lồi trong ℝn , n  1 Thể lồi trong ℝ n không nhất thiết có số chiều là n.

1.1.11 Định nghĩa Chúng ta nói x  M  ℝn là điểm trong tương đối của

M nếu x là điểm trong của M xét trong aff M (nghĩa là tồn tại một hình cầu B

trong aff M sao cho x  B  M) Tập hợp tất cả điểm trong tương đối của M gọi là phần trong tương đối của M , ký hiệu là relin M (relative interior)

Nếu aff M = ℝ n thì relin M = int M

Từ nay về sau chúng tôi dùng ký hiệu 0 cho các trường hợp số 0, vectơ 0 vàđiểm gốc của ℝn

1.1.12 Định nghĩa Nếu M  ℝn, tập hợp của tất cả các tổ hợp tuyến tínhkhông âm x  1 1y   k y k, y1 , ,y kM,  1  0, , k  0, của M được gọi là bao dương của M hoặc nón xác định bởi M, ký hiệu là pos M

Quy ước pos  = {0}.

Đối với u  ℝ n , u ≠ 0 cố định, và   ℝ tập H = { x |  x,u =  } là

một siêu phẳng H+ = { x |  x,u    } và H- = { x |  x,u  ≤  } được gọi là các nửa không gian có biên là H Nếu tồn tại siêu phẳng qua 0 và cắt posM theo tập gồm chỉ điểm 0, chúng ta nói nón pos M có đỉnh là 0

Nếu M = {x1, , xr} là hữu hạn, chúng ta gọi  = pos {x1, , xr} là một

nón đa diện Trừ những trường hợp đặc biệt, ta gọi nón thay cho nón đa diện.

Đôi khi chúng ta viết  ℝ 0x1  ℝ0x r

HÌNH 3

ℝ0 là ký hiệu cho tập hợp các số thực không âm

1.1.13 Ví dụ Một góc có đỉnh 0 trong ℝ2, góc tạo bởi các tia Ox, Oy, Oz

trong ℝ3 là những hình nón với đỉnh là 0; nửa không gian đóng hoặc siêuphẳng trong ℝ3, là những hình nón không có đỉnh nào

Từ định nghĩa của nón, chúng ta có kết quả sau:

Nếu v là phần tử thuộc đoạn thẳng [x, z] thì v = tx + (1 – t) z, 0 ≤ t ≤ 1

Dễ thấy v là tổ hợp lồi dương của y1, … , yk Vậy v  pos M

Hình 3 minh họa một hình nón đa diện ba chiều là bao dương của mộthình đa diện 2 chiều K

Tiếp theo chúng tôi trình bày hai định lý cơ bản của Hình học lồi,chúng rất hữu ích khi nghiên cứu các hình lồi

1.2 Định lý Radon và Định lý Caratheodory

1.2.1 Định lý Radon Giả sử M = {x1, , xr}  ℝn là một tập hữu hạn bất

kỳ và giả sử M1, M2 là một phân hoạch của M, nghĩa là

M = M1  M2, M1  M2 = , M1 ≠ , M2 ≠ 

(a) Nếu r  n+2 thì có thể chọn được phân hoạch sao cho

conv M1  conv M2 ≠ .

b) Nếu r  n+1 và 0 là đỉnh của pos (M), nhưng 0  M hoặc

r  n+2 thì có thể chọn được phân hoạch sao cho pos M1  pos M2 ≠ { 0 }

c) Sự phân hoạch là duy nhất nếu và chỉ nếu:

(1) hoặc là r = n +2 và n + 1 điểm bất kỳ của M độc lập thuộc affine (2) hoặc là r = n +1 và n điểm bất kỳ của M độc lập tuyến tính.

Chúng ta gọi phân hoạch nói trong Định lý 2.1 phân hoạch Radon của M

Chứng minh

a) Từ r  n + 2 kéo theo x1, , xr là phụ thuộc affine

Theo Định lý 1.8 ta có các số i, i = 1, … ,r không đồng thời bằng 0sao cho 1x1 + … + rxr = 0, 1 + … + r = 0

Chúng ta có thể giả sử rằng, đối với một j nào đó: 0 < j < r

song với H và H'  M ≠  Do đó đối với bất kỳ xj  M nào tia pos {xj} cắt

H' tại một điểm x Chúng ta áp dụng (a) vào M'j ' = {x'1, … , x'r } trong không

gian (n – 1) chiều H’ Khi đó có phân hoạch của M’ thành M'1 = {x'1,

… , x'j }, M'2 = { x'j+1, … , x'r } sao cho conv M'1  convM'2 ≠  Rõ ràng

chúng ta có đối với hai tập M1 = { x1, … , xj }, M2 = { xj+1, … , xr } có hệthức:

pos M1  pos M2 ≠ {0}

c) Chúng ta chứng minh sự duy nhất chỉ trong trường hợp (1); trườnghợp (2) được chứng minh tương tự

Trước hết, giả sử rằng r = n + 2 và không có hệ n +1 điểm nào của M

phụ thuộc affine Giả sử rằng  1 { , , },1  2 { 1, , 2}

Giả sử xảy ra trường hợp (i), gọi M0 { , ,x1 x n 1}

M M  M M là các phân hoạch Radon khác

nhau của M Mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy không xảy ra các trường hợp (i), (ii) Khẳng định ngược lại được

(b) Bao dương pos M của một tập M  ℝn là hợp tất cả các bao dương của các tập con của M chứa nhiều nhất n phần tử.

Chứng minh

(a) Giả sử x = 1x1 + … + rxr  conv M, và để r là số nhỏ nhất các

phần tử x1, , xr của M mà x là một tổ hợp lồi của chúng

Để chứng minh r  n+2 bằng phản chứng, ta giả sử r > n+2

Khi đó tồn tại các số i, i = 1, r, không đồng thời bằng 0 sao cho

1x1 + … + rxr = 0, 1 + … + r = 0, (2.1)Đối với j ≠ 0, chúng ta thu được từ (2.1)

(b) Thay thế trong chứng minh của (a) các cụm từ '' tổ hợp lồi '' bởi " tổ

hợp tuyến tính dương '' và '' phụ thuộc affine của n +1 phần tử '' bởi '' phụ thuộc tuyến tính của n phần tử '' ta thu được chứng minh mệnh đề (b).

CHƯƠNG 2 ÁNH XẠ GẦN NHẤT, SIÊU PHẲNG TỰA

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG

2.1 Ánh xạ gần nhất và siêu phẳng tựa

Khá nhiều đặc tính của một tập lồi đóng K có thể được nghiên cứubằng cách sử dụng ánh xạ từ mỗi điểm trong ℝn tới điểm gần nhất của nó trên

K Trước hết, chúng ta chỉ ra quy tắc xác định ánh xạ này

2.1.1 Bổ đề Giả sử K là một tập lồi đóng trong ℝ n

Với mỗi x  ℝ n có x'  K duy nhất, sao cho

Chứng minh Sự tồn tại x’ thỏa mãn (2.1) do K đóng Ta chỉ ra sự duy

nhất của x' Giả sử rằng, đối với x''  K, x'' ≠ x' , x x ''infy K x y .

Xét tam giác cân với các đỉnh x, x', x'' Điểm giữa 1( ' '')

2

m x x của

đoạn thẳng [x', x''] nằm trong K, do K lồi

Dễ thấy || x – m || < || x – x’ || = inf { || x – y || | y  K}, mâu thuẫn

Vậy không thể có quá 1 điểm của K thỏa mãn (2.1)

(a) p x K( ) x nếu và chỉ nếu x  K.

(b) p K là toàn ánh.

2.1.4 Định nghĩa Một siêu phẳng H được gọi là một siêu phẳng tựa của

tập hợp lồi K  ℝn nếu K  H ≠  và K  H hoặc K  H+

Chúng ta gọi H - (hoặc H + lần lượt) một nửa không gian tựa của K (có thể K  H ).

Nếu K  H và u là một vectơ vuông góc với H hướng vào H +, chúng

ta nói rằng u là một vectơ pháp tuyến ngoài của K, (Hình 5), và –u là một vectơ pháp tuyến trong của K Trường hợp K  H+ định nghĩa tương tự Tagọi vectơ pháp tuyến ngoài của K là pháp vectơ của K

2.1.5 Bổ đề Giả sử   K  ℝ n là một tập lồi đóng

Khi đó với mỗi x  ℝ n \ K siêu phẳng H chứa x’ ≔ pK(x) và vuông góc với đoạn thẳng [x, x’] là siêu phẳng tựa của K và H = { y |  y , u  = 1}, trong đó u = '

Chứng minh Từ phương trình của H ta thấy H qua x’ Vì u là pháp

vectơ của H, mà x – x' cộng tuyến với u nên H vuông góc với đoạn thẳng [x, x’]

Ta cần chứng minh H là siêu phẳng tựa của K Do x – x’ là vectơ pháp tuyến của H nên x  H+\H hoặc x  H-\H Giả sử x  H+\H (trường hợp  H-\Hchứng minh tương tự)

Nếu H không phải là siêu phẳng tựa của K thì tồn tại y  K  (H+\H), y 

Chứng minh Trường hợp y  [x,x’] Giả sử y’ ≔ pC(y)  x’

thì || x – x’|| = || y – x’ || + || x – y || > || y – y’|| + || x – y ||  || x – y’||, mâu

thuẫn

Trường hợp x  [ y,x’ ], x' ≠ y',

Đường thẳng qua x song song với [y, y’] cắt [x’, y’] tại a  x'

Sử dụng tam giác đồng dạng và || y – y’|| < || y – x’ ||

ta có || x – a|| < || x – x’||, mâu thuẫn.

2.1.7 Bổ đề Giả sử K là tập lồi đóng và x' K Điều kiện cần và đủ để

x’ = pK(x) là hình chiếu của x trên K là: c  K ta có:

 c – x’, x – x’   0 (2.2)

Chứng minh: Không mất tính tổng quát, giả sử x’ = 0 Hệ thức (2.2) trở thành

 c , x   0 (2.3)Khi đó pK(x) = 0, Theo Bổ đề 2.1.6 ta có pK(x) = 0,  > 0

Vậy || x – c||  || x|| Cho nên || c ||2  2  x, c ,  > 0

Suy ra (2.3)

Ngược lại nếu có (2.3) suy ra || c ||2  2 < x, c > Vậy || x – c||  || x||

Chứng minh Trường hợp x, y  K tầm thường Trường hợp một trong

hai điểm thuộc K còn điểm kia không thuộc K, chẳng hạn y = c  K, x  K.

Hệ quả 2.1.8 cho ta bất đẳng thức cần chứng minh

Ta xét trường hợp x, y  K Gọi x’ = pK(x), y’ = pK(y).

Ta chứng minh rằng x’  y’ Gọi S là giải mở của không gian nằm giữa hai

siêu phẳng H1 và H2 qua x’, y’ và vuông góc với đoạn thẳng [x,y]; H1+ là nửakhông gian đóng, có biên là siêu phẳng H1 không chứa H2; H2+ là nửa khônggian đóng, t có biên là siêu phẳng H2 không chứa H1 Ta thấy x  S vì nếu như vậy hình chiếu vuông góc của x trên đường thẳng qua x', y sẽ là điểm trong của [x,y], khác x’ do đó mâu thuẫn với x’ gần x nhất Tương tự y  S

Ta chỉ ra x, y không cùng thuộc nửa không gian H1+ và không cùngthuộc nửa không gian H2+ Giả sử không phải như vậy, chẳng hạn x, y cùng

thuộc nửa không gian H1+, khi đó đoạn thẳng [x’, x] cắt H1 Vậy tồn tại điểm z của đoạn thẳng [x’, x] nằm trong S Dễ thấy pK(z) = z’ nằm giữa x’ và y’

Theo Bổ đề 2.6 thì pK(z) = pK(x) tức là z’ = x’ mẫu thuẫn Vì vậy x, y

nằm ở hai nửa không gian khác nhau, xác định bởi H1,H2 đối diện với S nên

dễ thấy || x – y ||  || x’ – y’ || = ||pK(x)- pK(y) ||.

Hệ quả sau đây suy trực tiếp từ Bổ đề 2.1.9

2.1.10 Hệ quả Ánh xạ gần nhất liên tục đều.

Trong phần tiếp theo chúng tôi trình bày một số ứng dụng của ánh xạgần nhất và siêu phẳng tựa để nghiên cứu các vấn đề liên quan đến tập lồi

Những kết quả ở đây hoặc là ứng dụng trực tiếp các tính chất của ánh

xạ gần nhất và siêu phẳng tựa, hoặc là ứng dụng các bổ đề khi xây dựng cáckhái niệm này

2.2 Cấu trúc tập lồi, nón, nón chuẩn tắc

Trong phần này chúng tôi trình bày một số ứng dụng của ánh xạ gầnnhất và siêu phẳng tựa để nghiên cứu cấu trúc tập lồi, nón, nón chuẩn tắc

2.2.1 Định lý Nếu K là tập lồi đóng và là tập con thực sự của ℝ n thì K là giao của tất cả các nửa không gian tựa của nó.