Hình học trên nửa phẳng poincaré luận văn thạc sỹ toán học

Luận văn được trình bày trong 2 chương: Chương 1: Hình học Rieman 2- chiều Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các khái niệm cơ bản của đa tạp Riemann 2- chiều, các tí

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán,

khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh đã dành nhiều tâm huyết truyền đạtnhững kiến thức quý báu, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học và luận văn Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS.NguyễnDuy Bình, người đã đặt bài toán và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập, nghiên cứu và hướng dẫn, đóng góp ý kiến quý báu để tôi hoàn thànhkhoá luận này

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn các thầy giáo trong chuyên ngànhHình học -Tôpô đã giảng dạy hướng dẫn, giúp đỡ trong học tập và viết luậnvăn

Xin cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, tổ toán Trường THPT Thanh Chương 3cùng các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện chotôi trong quá trình theo học chương trình cao học tại Trường Đại học Vinhcũng như để hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả luận văn

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 3

Chương 1: Hình học Rieman 2-chiều 5

§1 Đa tạp Rieman 2-chiều…… 5

1.1 Đa tạp Rieman 2-chiều……… 5

1.2 Độ dài cung……… 6

1.3 Dạng liên kết của đa tạp Rieman 2- chiều 7

1.4 Đường trắc địa trên đa tạp Rieman 2-chiều……… 8

1.5 Ánh xạ đẳng cự trên đa tạp Rieman 2-chiều 11

§2 Nửa phẳng Poincaré……… 12

2.1 Xây dựng nửa phẳng Poincaré 12

2.2 Đường trắc địa trên nửa phẳng Poincaré 14

2.3 Độ dài cung đoạn trên H2………… 18

2.4 Biến đổi đẳng cự trên H2……… .20

Chương 2: Hình học trên nửa phẳng Poincaré……… 23

1 Các định nghĩa 23

2 Các mệnh đề của hình học Lobasepki 27

3 Hệ thức lượng giác Lobasepki trên mẫu nửa phẳng Poincaré…… 32

4 Diện tích tam giác Lobasepki 37

5 Hai tam giác Lobasepki bằng nhau ………… 38

KẾT LUẬN……… 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ ĐẦU

Hình học Riemann ra đời từ nửa thế kỉ XIX và đã có nhiều ứng dụng trong

cơ học, vật lý học và các ngành khác của kỹ thuật Nó được xem như một sự

mở rộng tự nhiên của hình học Lobasepki Nửa phẳng Poincaré là một ví dụđáng chú ý của đa tạp Riemann 2- chiều Với mô hình nửa phẳng Poincarékhông những hình học Lobasepki được công nhận mà loài người đã tiến được

từ “ hình học vật lý ’’ lên “hình học toán học’’

Nửa phẳng Poincaré đã được trình bày trong một số tài liệu, giáo trìnhhình học như: “Hình học vi phân’’ của Đoàn Quỳnh(2003), “Mở đầu hình họcRiemann’’ của Nguyễn Hữu Quang và nhiều tài liệu khác về hình họcRiemann và hình học Lobasépki

Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu về các tính chất của đa tạpRiemann, trên cơ sở đó nghiên cứu các tính chất hình học trên nửa phẳngPoincaré, dùng mô hình nửa phẳng Poincaré nghiên cứu các hệ tiên đề củahình học Lobasepski, diện tích tam giác, các điều kiện bằng nhau của hai tamgiác Lobasepski và các công thức lượng giác Lobasepki

Luận văn được trình bày trong 2 chương:

Chương 1: Hình học Rieman 2- chiều

Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa và các khái niệm cơ bản

của đa tạp Riemann 2- chiều, các tính chất của nửa phẳng Poincaré, các kết

quả cơ bản về đường trắc địa trên H2 , các kiến thức đó là kiến thức cơ sởcho chương tiếp theo

Chương 2: Hình học trên nửa phẳng Poincaré

Trong chương này, chúng tôi trình bày các nội dung hình học trên nửaphẳng Poincaré Đây chính là nội dung chính của luận văn, tác giả trình bàychi tiết các định nghĩa, các mệnh đề của hình học Lobsepki, hệ thức lượng

giác, diện tích tam giác và điều kiện bằng nhau của các tam giác Lobasepki,

từ đó đưa ra liên hệ giữa hình học Lobasepki và hình học Ơclit

Luận văn được hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 tại trường Đại họcVinh

Chương I: Hình học Rieman 2- chiều

§ 1 Đa tạp Rieman 2-chiều 1.1 Đa tạp Rieman 2-chiều

1.1.1 Định nghĩa: Cho M là đa tạp khả vi 2-chiều Một cấu trúc Rieman trên

M là ánh xạ g: p g p; pM

Trong đó g p thỏa mãn :

i, g p là tích vô hướng trong T p M

ii, g phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa là g(X,Y)(p)=g pX p,Y p và g là hàmkhả vi theo p)

M cùng với cấu trúc g xác định ở trên được gọi là đa tạp Rieman 2-chiều,

- Nửa phẳng Poincaré (cụ thể ở bài sau)

1.1.3 Liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp

Định nghĩa : Cho M là đa tạp Rieman 2-chiều

Liên thông tuyến tính  được gọi là liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp

dt t t

g  ' ,  '

1.2.2 Định lý: l() không phụ thuộc vào việc chọn tham số 

Chứng minh : Giả sử  ,  1 là các tham số hóa khác nhau của 

l    =     

b

a

dt t t

g  ' ,  ' =  t dt

b a

dt t t

b a

( 1 ( ) )' =  t   t dt

b a

' ) ( '

T/h2:            

d c

c d

d d

l t

Vậy l không phụ thuộc vào việc chọn tham số của 

1.3 Dạng liên kết của đa tạp Rieman 2- chiều

Giả sử (M,g) là đa tạp Riemann 2- chiều, U1,U2 là trường mục tiêu

trực chuẩn trên M, 1, 2 là trường đối mục tiêu củaU1,U2,  là liênthông

Lêvi- Sivita trên M Khi đó tồn tại các 1- dạng vi phân j

1 1

2 1

1 U ,U  U

1 1

1

2 U ,U  U

2 1 2 1 2

1.4 Đường trắc địa trên đa tạp Rieman 2- chiều

Xét cung tham số trên đa tạp Rieman 2- chiều M tức ánh xạ (khả vi)

1.4.1 Định nghĩa: Giả sử X là trường véc tơ dọc cung tham số  :J  M

, t  t , ta xác định trường véc tơ dt X như sau:

Với mỗi t 0 I ta lấy trường trực chuẩn U1,U2 trong một lân cận của

 t0

 , ta viết

X t  1 t U1 t  2 t U2 t 

Đặt:

           



0 1 0 2 0 1 2 0 1

Ví dụ: Đường trắc địa trong R2 là đường thẳng

x

t a t

x

2 2 2

1 1 1

 '' , , ' =0; k  1 , 2

'

i

i i

2 1 2

1 2

1

)]

'

( '.[

'.

'

i

k j k

k i j j i i

' ' ''

k

k k i j i

 k  1 , 2

 j i j

k j i

j i ii k

k k

y y dt

dy

y dt

1.5.1 Định nghĩa: Giả sử f: M  N là ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp Riemann

2-chiều M, N Với mỗi p  M ta có ánh xạ Tp f :T p M  T f p N được xác địnhnhư sau :

Lấy pT p M , p   ' t o , với  :a,b M,t  t là một cung tham số trên

M ta có T p f p f    ' t o Khi đó ánh xạ Tp f được gọi là ánh xạ của f tiếp xúc tại p, kí hiệu là f*p

1.5.2 Nhận xét: Ánh xạ f*p là ánh xạ tuyến tính

1.5.3 Định nghĩa: M, N là đa tạp Riemann 2-chiều, ánh xạ (khả vi ):

f: M  N gọi là ánh xạ đẳng cự nếu với mọi điểm p  M , ánh xạ Tp f :

g:  ,  12 . trong đó px,yH2

Khi đó g là tích vô hướng trên H2 ta có gp là tích vô hướng trên Tp H2

Ta kiểm tra các điều kiện sau :

1

i Y X

1

2 (ở đây X , i Y i là tọa độ của

X,Y) Do X,Y khả vi nên X , i Y i khả vi 

i i

i Y X

y2

1

khả vi => g khả vi

Vậy (H2 ,g) là đa tạp Rieman 2-chiều và được gọi là nửa phẳng Poincaré.

1.1 Định lý: Nếu M , g là đa tạp Riemann 2-chiều thì có một và chỉ một hàm số khả vi K trên M sao cho với trường đối mục tiêu  1 ,  2  của trường mục tiêu trực chuẩn U1,U2 tuỳ ý trên tập mở V của M ta có: d 1 1 2

Gọi E1, E2 là trường mục tiêu song song tương ứng với hệ tọa độ Oxy trên

R2 , khi đó U 1 yE1, U 2 yE2 thì U1,U2 là trường mục tiêu trực chuẩn trên

H2 và  1 ,  2  với 1 dx y ,2 dy y là trường đối với mục tiêu U1,U2

2 2

Suy ra dạng liên kết của H2 ứng với trường mục tiêu trực chuẩn U1,U2 là

2 Đường trắc địa trên nửa phẳng Poincaré

2.1 Mệnh đề: Các đường trắc địa của H2 là các đường thẳng song song với trục Oy và các nửa đường tròn có tâm thuộc trục Ox.

Chứng minh :

t v t U t v

t u



1

' '

t v t

v

t u

t

1 2

'

' '

' '

t u t v

t v

t u t v

t v t

v

t u



1

'

' ' '

t u t v

t u t v

t v



2 ' '

' '

' ' '

0 '

' '

' '

t v t v

t u t u t

v t v

t v t u t v t v t

v t u

t t t t u

Chia cả hai vế (1) ,(2)cho v(t) và nhân 2 vế của (2) với 2 ta được hệ phươngtrình tương đương:

2 t t v t t

' 2

"

' 2 ' ' ' ' ' ' '

".

2

0 ' '.

''

2 2

v E v Ev v u E u E

v v

v v

'

"

' 2 ' ' ' '

".

2

0 ' '.

'.

'

2

v E v Ev v u E u E

v v

2

v E Eu

0 '

2 2 2 1

2 2 1 2

dt c du E

t d c Edv c

c Edu c c

Suy ra : c2Edu2 c2Edv2 E2du2 với c =

1

2

c c

 c2du2 c2dv2 Edu2

 c2dv2 E c2du2

2 1 c2v2

cv c

E

c dv

u   ,  là nửa đường tròn (vì v>0) trực giao với trục

Trường hợp 1: Nếu h1, h2 nằm trên nửa đường

thẳng song song với trục Oy thì đường trắc địa

đi qua h1, h2 chính là đường thẳng 

Hình1

h1h2



ờng hợp 2: Nếu h1, h2 không nằm ở Hình 2

vị trí như trường hợp 1 nghĩa là h1, h2

nằm bất kì ở phía trên Ox

( trên nửa đường tròn có tâm thuộc trục Ox)

Nối h1, h2 , dựng đường thẳng trung trực của h1h2cắt Ox tại I Khi đó đường

trắc địa đi qua h1, h2 chính là nửa đường tròn tâm I, bán kính Ih2

2.3 Mệnh đề: Với một đường trắc địa g trong H2 và một điểm A không

nằm trên g thì sẽ có vô hạn các đường trắc địa đi qua A và song song với g

(hai đường trắc địa trong H2 gọi là song song nếu chúng không cắt nhau).

Chứng minh:

Trường hợp 1: Nếu đường trắc địa g là nửa đường thẳng (Ơclit) song song

với trục Oy thì khi đó qua A có một đường trắc địa (là nửa đường thẳng(Ơclit)

song song với trục Oy) và vô số các đường trắc địa (là nửa đường tròn Ơclit

có tâm thuộc trục Ox) không cắt g

Ih

g

A

xh

Hình 3

Trường hợp 2: Nếu đường trắc địa g là nửa đường tròn (Ơclit) có tâm thuộctrục Ox thì khi đó qua A có một đường trắc địa là nửa đường thẳng (Ơclit)song song với trục Oy và vô số các đường trắc địa là nửa đường tròn(Ơclit)

có tâm thuộc trục Ox không cắt g

Hình 4

3 Độ dài cung đoạn trên H2

Ta đã biết: Trên đa tạp Rieman (M,g) cho cung tham số  : a,b M

t dt t

t R

1

2 2

4.1 Định nghĩa: Ánh xạ khả vi f :H2  H2 được gọi là ánh xạ đẳng cự nếu

Giả sử f :H2  H2,(x,y)  (u(x,y),v(x,y))

Ta có:       E f p 

x

v p f E x

u p f E

u p f E

v x

v y

v y

u x

v x

v y

v y

u x u

.

Vậy : z za là một ánh xạ đẳng cự trên H2(theo Nhận xét 4.2)b) Giả sử z=(x,y)H2 ta có k.z=(u,v)=(ku,kv) Khi đó:

v x

v y

v y

u x

u

Vậy : z  k.z là một ánh xạ đẳng cự trên H2(theo Nhận xét 4.2)c) Giả sử z=(x,y)H2 ta có -

v x

v y

v y

u x

y y x

xy y

xy x

y x

y x y

v x

v y

v y

u x

a) Phép tịnh tiến với phương song song Ox, phép đối xứng qua trục Oy và phép vị tự tâm O tỉ số 

a bảo tồn đường dạng a(ảnh của nửa đường thẳng

mở trực giao với Ox) và đường dạng b(ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox ).

b) Tồn tại phép nghịch đảo tâm thuộc Ox, phương tích dương biến đường dạng b(ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox ) thành đường dạng a (ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox).

Chứng minh:

a)

+) Ánh xạ f: z zaa  R là phép tịnh tiến với phương song song Ox mà f:

0

Do đó: Phép tịnh tiến với phương song song Ox, phép đối xứng qua trục

Oy và phép vị tự tâm O tỉ số aR bảo tồn đường dạng a và đường dạng b

Nếu k=R thì f: _ _ 0





 Rz R z z





R z Rz

Tức là khi đó phép nghịch đảo tâm thuộc Ox, phương tích 1 sẽ biến đườngdạng b thành đường dạng a.

Chương II: Hình học trên nửa phẳng Poincaré

1 Các định nghĩa

1.1 Điểm: Gọi mỗi điểm của H2 là một điểm Lob(viết tắt của Lobasepki)

1.2 Đường thẳng, đoạn thẳng

Các nửa đường thẳng trong H2 trực giao với Ox hay nửa đường tròn trong

H2 trực giao với Ox (nghĩa là có tâm trên Ox ) là các đường thẳng Lob; mỗicung đoạn của nó là một đoạn thẳng Lob

1.3 Góc:

Cho hai đường thẳng Lob cắt nhau tại một điểm Góc giữa hai đường thẳng đó là góc giữa hai tia Ơclit cùng tiếp xúc với các đường thẳng Lob tại điểm đó

t

t q

2

1 1

t t

dt t

ii) p, q  0(hiển nhiên) Hình 7

1

2 1

t

t t

t

t r

t

t r

t t

t

2 1

3 2

t t

t t

 p, r

* Trường hợp 2: Giả sử p, q, r có hai trong ba điểm thuộc nửa đường tròn

Ơclit có tâm trên Ox và hai điểm còn lại thuộc nửa đường thẳng mở trực giaovới Ox

Giả sử rằng: px0 R1cost1,R1sint1

t tg

2 / ln

s

s r

1 1 3 1 1 0

sin sin

cos cos





R t R

R x t R x

1 2 1 3

sin cos

s t R

x t R x

t tg

t tg

=ln

2

cos 2

cos 2

sin 2 sin

2

cos 2

cos 2

sin 2 sin

1 2 1 1

1 1 2 2

t t

1

2

2 1

2 1

2 cos 2 cos 2

sin 2

sin sin sin

sin sin

t

Do t 2 t1 và  2   1 nên 1

2 cos 2 cos 2

sin 2 sin

2

2

1 2

R t

t

, ln

sin

sin ln sin

sin

sin sin

1

2 1

1

2 2 1

2

2 1

* Trường hợp 3: Giả sử p, q, r là ba điểm thuộc nửa đường tròn Ơclit có

tâm trên Ox (cung dạng b)

Do luôn tồn tại phép đẳng cự biến cung dạng b thành cung dạng a nêntheo trường hợp 2 ta có i, ii, iii

Vậy p, q là một mêtric trên H2

1.4.3 Mệnh đề: Trong H2, khoảng cách p, q bằng độ dài của đoạn pq (khi p, q thuộc ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao với Ox) hoặc bằng độ dài cung pq (khi p, q thuộc ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox).

Chứng minh:

+) Khi p,q thuộc cung dạng a (tức là ảnh của nửa đường thẳng mở trực giao

với Ox ), độ dài cung đoạn t1 ,t2 nối p= t1 với q= t2 (t1<t2) đó làcận dưới của độ dài cung đoạn nhẵn trong H2 nối p, q Coi cung này xác định

bởi tham số s (x(s),y(s)) với r s 1 p; r s 2 q s 1 s2 thì độ dài cung đoạn

1 2

1

' '

s y

s y ds s

y

s y

s

x

=t1,t2

+) Khi p, q thuộc ảnh của nửa đường tròn mở trực giao với Ox (cung dạng b),

lúc đó tồn tại phép đẳng cự f biến cung dạng b thành cung dạng a (xem  6 )

f  ( ,  ' lần lượt là cung nối p với q; p’ với q’).

Ta có độ dài cung pq bằng độ dài cung p’q’’  '  (do f đẳng cự và p’q’ là

cung dạng a) (đpcm)

1.4.4 Mệnh đề:

Với một đường thẳng Lobasepki qua p,q bất kỳ trên H2 ta có:

a) Nếu đường thẳng Lobasepki đó là nửa đường thẳng (Ơclit) mút r (r thuộc trục hoành) trong H2 thì p, q= lnq p r r

b) Nếu đường thẳng Lobasepki đó là nửa đường tròn (Ơclit) mút r,s (r,s thuộc trục hoành ) trong H2 thì

p, q=ln(q p r r)q p s s .

Chứng minh: Coi H2 =zC| Imz 0

Với 4 số phức phân biệt p, q, r, s, tỉ số kép của chúng kí hiệu  p,q,r,s là:

2 2

1 1

1 1

sin cos

1

sin 1 cos sin cos

1

sin cos

1 ln

t i t

t i t

t i t

t i t

cos

sin

ln

2 2 1

1

t

t i t

1

sin ln

2 2 1

1

t

t t

t

2 cos 2

2

cos 2 sin 2 2 sin 2

2

cos 2 sin 2 ln

2 2

2 2

1 2

1 1

t

t t t

t t

2 cos

2 sin

t

2 cot

ln t1 t2

=

2 tan 2

tan ln

2.1 Mệnh đề: Qua hai điểm Lobasepki phân biệt

có duy nhất một đường thẳng Lobasepki

Chứng minh:

* Trường hợp 1: Nếu p, q nằm trên đường

thẳng trực giao với Ox thì đường thẳng

duy nhất là đường thẳng dạng a Hình 8

* Trường hợp 2: Nếu p, q không nằm ở vị trí như trường hợp 1, nghĩa

là p, q bất kì nằm phía trên Ox

Nối p, q và dựng đường thẳng trung trực của đoạn

pq cắt Ox ở đâu thì đó chính là tâm của

đường tròn trực giao với Ox hay là nửa

đường thẳng dạng b

Vậy: Qua hai điểm Lobasepki phân biệt có duy nhất Hình 9 một đường thẳng Lobasepki

2.2 Mệnh đề: Qua một điểm Lobasepki ở ngoài đường thẳng Lobasepki có

nhiều hơn một đường thẳng Lobasepki không cắt đường thẳng Lobasepki đã cho 

Nếu cho đường thẳng Lobasepki  có

dạng a (tức là ảnh của nửa đường thẳng mở

trực giao với Ox) và điểm A không thuộc , có vô số Hình 10

đường thẳng dạng b và một đường thẳng dang a không cắt 

* Trường hợp 2: Nếu cho đường thẳng

Lobasepki có dạng b

(tức là ảnh của nửa đường tròn mở

trực giao với Ox và điểm A không thuộc ,

có vô số đường thẳng dạng b và một đường

thẳng dang a không cắt 

Hình 11

2.3 Mệnh đề: Qua một điểm Lobasepki có duy nhất một đường thẳng

Lobasepki vuông góc với đường thẳng cho trước.

Chứng minh :

*Trường hợp 1: Đường thẳng Lobasepki  có dạng a (tức là ảnh của nửađường thẳng mở trực giao với Ox) Khi đó:

+) Nếu A  thì đường thẳng duy nhất qua A

và vuông góc với  là đường thẳng