Về tiêu chuẩn baer đối với tác động trên nửa nhóm luận văn thạc sỹ toán học

Một trong những khái niệm hữu ích trong các chuyên ngành của toánhọc cũng như khoa học tính toán là tác động của một nửa nhóm hay một vịnhóm trên một tập.. Mục đích của luận văn là dựa t

Chương 2 Tiêu chuẩn Baer đối với tác động trên nửa nhóm 18

2.1 Định nghĩa tác động ……… 182.2 Tác động đầy đủ Côsi ……… 23

MỞ ĐẦU

Một S - tác động (phải) hay S - hệ thống là một tập hợp A cùng vớimột hàm : A S  A , được gọi là tác động của A trên S, sao cho đối với

x A và s t S,  (bằng cách ký hiệu ( , )x s bởi xs), có x st( ) ( ) xs t Nếu S

là một vị nhóm với đơn vị là e thì cần thỏa mãn điều kiện xe e

Một hàm f : A B giữa các S tác động A B, được gọi là ánh xạ S tác động (hay đơn giản: một ánh xạ tác động) hoặc một đồng cấu nếu đối với

-mỗi x A , s S có ( )f xs f x s( )

Vì ánh xạ đồng nhất và hợp thành của các ánh xạ tác động là ánh xạ tácđộng, nên chúng ta có phạm trù, Act - S, của tất cả S - tác động (phải) và

ánh xạ tác động giữa chúng

Một trong những khái niệm hữu ích trong các chuyên ngành của toánhọc cũng như khoa học tính toán là tác động của một nửa nhóm hay một vịnhóm trên một tập

Mục đích của luận văn là dựa trên bài báo “On the baer criterion for acts over semigroups” đăng trên tạp chí Communications in Algebra năm

2007 xem tài liệu [8] để tìm hiểu tiêu chuẩn Baer đối với tính nội xạ đối vớicác môđun trên vành giao hoán với đơn vị, nhưng không đúng với các tácđộng trên một vị nhóm tùy ý Sau đó dựa trên khái niệm về tính chất đầy đủđược đưa ra bởi Giuli, chúng tôi tiếp tục tìm hiểu một số lớp các vị nhóm saocho tiêu chuẩn Baer vẫn đúng đối với các tác động trên chúng

Luận văn sẽ được chia thành 2 chương

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Phạm trù và hàm tử

Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm phạm trù và một số phạm trù cụthể như phạm trù các vật, phạm trù các nhóm, phạm trù các vành, phạm trùcác R-môđun và phạm trù các môđun Sau đó chúng tôi trình bày khái niệmhàm tử hiệp biến và hàm tử phản biến cùng một số hàm tử đặc biệt như hàm

tử quên, hàm tử biểu diễn

1.2 Tích và đối tích

Trước hết, chúng tôi trình bày các khái niệm tích và đối tích, nêu một sốphạm trù mà trong chúng tồn tại tích và đối tích Sau đó chúng tôi trình bàykhái niệm vật đẩy kéo phổ dụng và vật kéo phổ dụng trong một một phạm trùcùng các khái niệm liên quan

1.3 Tiêu chuẩn Baer đối với môđun nội xạ

Trình bày khái niệm và các tính chất của modun nội xạ

Chương 2 VỀ TIÊU CHUẨN BAER ĐỐI VỚI TÁC ĐỘNG TRÊN NỬA NHÓM

2.1 Định nghĩa tác động

Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm S- tác động, cái co rút và cái

co rút tuyệt đối, và chứng minh rằng: trong phạm trù S- tác động, tính nội xạ

và tính co rút tuyệt đối trùng nhau Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm I

-nội xạ và -nội xạ yếu trong phạm trù các S- tác động.

2.2 Tác dụng đầy đủ Côsi

Trình bày khái niệm dãy Côsi và dãy Côsi đầy đủ trên các S- tác động

2.4 Tiêu chuẩn Baer đối với các tác động trên nửa nhóm

Trình bày các lớp nhóm sao cho đối với nó, tính nội xạ trùng với tính đầy đủ,

từ đó nhận được một số lớp vị nhóm  S e mà tác động của chúng thoả mãntiêu chuẩn Baer

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Đại học vinh Nhân dịp nàytác giả xin được bày tỏ lòng biêt ơn sâu sắc và kính trọng đến PGS.TS LêQuốc Hán cùng với thầy cô giáo trong tổ Đại số đã tạo điều kiện giúp đỡ tácgiả trong quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.

Mặc dầu đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh những thiếu sót,rất mong nhận được những đóng góp quý báu của các thầy, các cô và các bạn

Xin chân thành cảm ơn!

Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ1.1 Phạm trù và hàm tử

1.1.1 Định nghĩa Một phạm trù A bao gồm trong nó các lớp vật Ob(A ;)đối với hai vật tùy ý ,A BOb(A , tập ) Mor( , )A B gọi là tập các cấu xạ từ

A đến B; đối với ba vật bất kỳ , ,A B COb(A một luật hợp thành (tức là)ánh xạ)

A A và B B ', trong trường hợp đó chúng bằng nhau

PT2 Đối với mỗi vật AOb(A có một cấu xạ ) id AMorA B mà đối, với mọi vật BOb(A , nó tác dụng bên trái và bên phải lên các phần tử)thuộc tập MorB A và ,  Mor A B tương ứng một cách đồng nhất., 

PT3 Luật hợp thành có tính kết hợp (trong trường hợp nó xác định), nghĩa là

nếu f MorA B , ,  gMorB C và ,  hMorC D thì , 

h g  f hg f đối với các vật , , ,  A B C DOb(A )

1.1.2 Chú ý Lớp tất cả các cấu xạ của phạm trù sẽ được ký hiệu là Ar(A )(Từ chữ "arrows of A "-"các mũi tên của A ") Đôi khi, ta sẽ dùng cách viết

" f ArA " để biểu thị  f là một cấu xạ nào đó của A , nghĩa là một phần

tử thuộc một tập hợp MorA B nào đó, trong đó ,,  A BOb(A Ta cũng sẽ)gọi chính lớp các vật là phạm trù, trong trường hợp mà ta đã hiểu rõ ràng cáccấu xạ của phạm trù đó là đối tượng nào rồi

Phần tử f Mor A B cũng được viết dưới dạng ,  f A:  B hoặc

Nếu A B thì ta cũng gọi đẳng cấu là tự đẳng cấu.

Các cấu xạ từ vật A đến chính nó được gọi là tự đồng cấu Tập các tự

đồng cấu của vật A được ký hiệu là End( )A Từ các tiên đề trên suy ra

End( )A là một vị nhóm.

Giả sử AOb(A Ký hiệu ) Aut( )A là tập các tự đẳng cấu của A.

Khi đó Aut( )A cùng với phép hợp thành cấu xạ là một nhóm

c/ Ngoài ra còn có các phạm trù khác như phạm trù các vành được ký

hiệu là Ring, phạm trù các R-môđun, được ký hiệu là R-MOD, phạm trù cácmôđun được ký hiệu là MOD,

1.1.4 Chú ý Giả sử A là một phạm trù Ta có thể lấy các cấu xạ thuộc Alàm vật thuộc phạm trù mới C Nếu f A:  B và g A: ' B' là hai cấu xạ

của A (do đó là các vật thuộc C ), thì ta định nghĩa cấu xạ f  f ' (trong

C ) là cặp cấu xạ  ,  trong A sao cho biểu đồ sau giao hoán:

nghĩa là   f g

Rõ ràng C là một phạm trù Cũng như trong trường hợp ánh xạ củacác tập, nên trang bị cho  ,  bằng các chỉ số của f và f ', nhưng trongthực hành ta bỏ việc chỉ số hóa đó đi

Về đề tài này, có nhiều cách trình bày Chẳng hạn, ta có thể tập trungchú ý vào các cấu xạ của A mà vật xuất phát là cố định, hoặc vào các cấu xạ

nghĩa là h f g.

1.1.5 Định nghĩa Giả sử C là một phạm trù nào đó Vật POb( )C được

gọi là vật khởi đầu hay vật đẩy phổ dụng nếu với mỗi vật X tùy ý thuộc C ,

 

Mor P X có đúng một phần tử Vật , POb( )C được gọi là vật tận cùng

hay vật kéo phổ dụng nếu với mỗi X Ob( )C , tập MorP X có đúng một, phần tử

Vật khởi đầu hay vật cuối cùng của một phạm trù được gọi chung là

g S G là một ánh xạ khác như thế Nếu f S( ) sinh ra F, thì tồn tại nhiều

nhất một đồng cấu  từ nhóm F vào nhóm G sao cho biểu đồ sau giao hoán

Bây giờ ta xét phạm trù C mà các vật là ánh xạ từ tập S vào cácnhóm Nếu f S:  Gvà ':f S  G là các vật thuộc phạm trù ấy thì ta hiểu'

cấu xạ từ f đến f ' là đồng cấu :G G' sao cho  f f ', nghĩa là biểu

đồ sau đây giao hoán

Gọi ( , )F f là nhóm tự do trên tập S Thế thì ( , )F f chính là vật khởiđầu của phạm trù C

Bây giờ ta chuyển sang khái niệm hàm tử

1.1.7 Định nghĩa Giả sử A, B là các phạm trù Hàm tử hiệp biến F từ A

vào B là một quy tắc đặt mỗi vật AOb(A ứng với mỗi vật ) F A( ) nào đó

thuộc B và mỗi cấu xạ f A:  B ứng với một cấu xạ F f :F A   F B sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

HT1 Đối với mọi AOb(A , có ) F id A id A F 

HT2 Đối với :f A B g B, :  C là hai cấu xạ thuộc A thì

       

F g f F g F f Khái niệm hàm tử phản biến cũng được định nghĩa tương tự, chỉ khác

là đối với một cấu xạ f A:  B thuộc A thì F f :F B   F A trong   B

sao cho nếu f A:  B g B, :  C thì F g f   F f F g  

Đôi khi, để ký hiệu hàm tử, ta viết f thay cho * F f( ) trong trường

hợp hàm tử hiệp biến, và *

f trong trường hợp hàm tử phản biến.

Chú ý rằng, mọi hàm tử biến đẳng cấu thành đẳng cấu, vì f g id 

kéo theo F f F g  id *

1.1.8 Ví dụ a/ Đối với mỗi nhóm G ứng với tập của nó (cất cấu trúc nhómkhỏi nó) và mỗi đồng cấu nhóm ứng với chính đồng cấu ấy, chỉ xem về quanđiểm lý thuyết tập, ta được một hàm tử phạm trù các nhóm vào phạm trù các

tập Hàm tử đó được gọi là hàm tử quên.

b/ Xét tương ứng F S:  Grp mỗi tập S ứng với một nhóm tự

do F S( ) sinh bởi S và ánh xạ f S:  T ứng với đồng cấu nhóm duy nhất

 :     

F f F S F T (sự tồn tại và duy nhất của đồng cấu nhóm F f( ) là

bởi F T( ) là nhóm tự do) Dễ kiểm tra đây là một hàm tử hiệp biến.

Tương tự ta có hàm tử từ S  Ab biến mỗi tập hợp thành nhóm Abensinh bởi tập đó và biến ánh xạ tập hợp thành đồng cấu nhóm cảm sinh từ ánh

xạ đó

c/ Giả sử A là một phạm trù nào đó và A là một vật cố địnhtrong A Ta được hàm tử hiệp biến

:

A

M A  Sbằng cách đặt M X A  MorA X với vật ,  X bất kỳ thuộc A Nếu

1.1.9 Chú ý Giả sử G và G' là hai nhóm, khi đó tập các cấu xạ MorG G, 'trong phạm trù các nhóm chẳng qua là tập các đồng cấu từ G vào G'; nó sẽđược ký hiệu là Hom( , ')G G Chú ý rằng Hom( , ')G G nói chung không phải

là một nhóm nếu G' là nhóm không Aben

1.2 Tích và đối tích

1.2.1 Định nghĩa Giả sử A là một phạm trù và A B, là các vật thuộc A .

Ta hiểu tích (trực tiếp) của các vật A B, thuộc A là bộ ba P f g gồm vật, , 

P thuộc A và hai cấu xạ

và thỏa mãn điều kiện sau đây Nếu đã cho hai cấu xạ trong A

thỏa mãn điều kiện sau đây Đối với mỗi họ cấu xạ

: 

g C A

tồn tại một cấu xạ duy nhất h C:  P sao cho f h g với mọi i  i i

1.2.2 Ví dụ Giả sử A là phạm trù các tập Hơn nữa, giả sử  A i i I là một họ

hiệu như trong phạm trù các tập

1.2.4 Khái niệm đối ngẫu Giả sử  A i i I là một họ vật của phạm trù A Tahiểu đối tích của chúng là cặp  ,  



i i I

S f , gồm vật S và họ cấu xạ

 f A i: i  Sthỏa mãn điều kiện sau đây Đối với mỗi họ cấu xạ  g A i: i  C tồn tại cấu

xạ duy nhất h S:  C sao cho h f i g i với mọi i

Trong trường hợp tích cũng như trong trường hợp đối tích, cấu xạ h gọi là

cấu xạ cảm sinh bởi họ  g i

1.2.5 Ví dụ a/ Giả sử S là một phạm trù các tập Trong phạm trù này tồn tại đối tích Chẳng hạn, giả sử S S, ' là các tập và giả sử T là tập có cùng lực

lượng với S' và không giao với S Giả sử f S1:  S là ánh xạ đồng nhất và

2 : '

f S  T là một song ánh nào đó Giả sử U là hợp của S và T Khi đó

U f f là đối tích của , ,1 2 S S, ' Hơn nữa f f xem như các ánh xạ vào U1, 2

b/ Giả sử S0 là phạm trù các vật của nó gồm các cặp S x , trong đó, 

S là một tập và x là một phần tử nào đó thuộc nó Cấu xạ từ S x đến, 

S x của phạm trù đó là ánh xạ ', ' g S:  S' sao cho g x  x' Đối tích của

S x và ,  S x trong phạm trù đó tồn tại và có thể xây dựng bằng cách sau', 'đây Ký hiệu T là hợp của x và tập có cùng lực lượng với phần bù của x'

trong S', sao cho T S  x Giả sử và f1:S x,   U x,  là ánh xạ cảmsinh bởi ánh xạ đồng nhất của tập S Hơn nữa, giả sử f2:S x', '  U x,  làánh xạ biến x' thành x và cảm sinh một song ánh nào đó từ S'  x' lên

1.2.6 Chú ý

Khi ý nghĩa đã rõ ràng trong trường hợp cụ thể, ta sẽ gọi vật P đó là

vật phổ dụng Vì rằng vật phổ dụng có cấu xạ đồng nhất vào chính nó, nên rõ

ràng rằng nếu P P, ' là hai vật phổ dụng thuộc C thì giữa chúng tồn tại một

đẳng cấu xác định duy nhất

Bây giờ ta xét xem điều đó được dùng như thế nào vào đối tích chẳnghạn Giả sử A là một phạm trù và  A là một họ vật của i A Ta xác định

một phạm trù mới C bằng cách lấy các vật thuộc nó là các họ cấu xạ

 f A i : i Bi I



 Nếu đã cho hai họ như thế:

 f A i: i  B và  f ' :i A i  B'thì cấu xạ từ vật thứ nhất đến vật thứ hai theo định nghĩa sẽ là cấu xạ

A B

Từ giả thiết về tính duy nhất suy ra rằng đối tích được xác định duynhất (sai khác một đẳng cấu xác định duy nhất) Nhận xét tương tự cũng đúngđối với tích trực tiếp

1.2.7 Định nghĩa Cho phạm trù A , f A1: 1  B, f A2: 2  B là hai cấu

xạ trong A Biểu đồ

được gọi là níu nếu thoả mãn các điều kiện:

(i) Hình vuông giao hoán, nghĩa là f g1 1  f2  g2

(ii) Với mỗi cặp cấu xạ g1' : ' P  A g1, 2' : ' P  A2 thoả mãn

f '  g '  f '  g ', tồn tại một cấu xạ duy nhất : 'P  P saocho g1'  g 1 , g2'g2 

Khi biểu đồ (1) là níu ta gọi vật P (hay bộ baP g g, 1, 2 ) là tích thớ của hai

cấu xạ f1, f2 hoặc tích thớ của A A1, 2 trên B, ký hiệu A A1B 2 hay 1 2

B

ta cũng gọi g g1, 2 là các phép chiếu chính tắc của các tích thớ.

1.2.8 Định lý Trong níu (1), nếu f1 là đơn cấu xạ thì g2 cũng là đơn cấu

xạ Hai tích thớ của f f tồn tại bao giờ cũng đẳng cấu với nhau.1, 2

Chứng minh Xem [3], trang 24.

1.2.9 Định nghĩa Cho g B1:  A g B1, 2:  A2 là hai cấu xạ trong phạm trù

A Biểu đồ

được gọi là buông nếu thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Hình vuông giao hoán, nghĩa là q g1 1  q2 g2

(ii) Với mỗi cặp cấu xạ q A1: 1  Q q A ', 2 : 2  Q ' thoả mãn

Khi đó vật Q được gọi là tổng thớ của hai cấu xạ g g1, 2 và được ký

hiệu bởi 1 2

B

1.2.10 Định nghĩa Một vật vừa là vật tận cùng vừa là vật khởi đầu của một

phạm trù được gọi là vật không của phạm trù đó.

Rõ ràng vật không nếu tồn tại là duy nhất sai khác đẳng cấu xạ và được

ký hiệu bởi 0

1.2.11 Định lý Trong phạm trù có vật không, cho biểu đồ giao hoán

Nếu hình vuông là níu, uKerf1 vàv u K:  P là các cấu xạ vào níu cảm sinh bởi cặp ( ,u O KA2) thế thì

2

Ker

v  p

1.3 Tiêu chuẩn Baer đối với môđun nội xạ

Các kết quả trong tiết này được trình bày theo cuốn Modul and ringe

của F Kasch (xem [12])

1.3.1 Mệnh đề Đối với mỗi môđun MR các điều kiện sau đây là tương

(ii) Đối với đơn cấu f A: R  B R và mỗi đồng cấu g A: R  M R tồn

tại một đồng cấu h B : R  MR sao cho g h f   .

(iii) Đối với mỗi đơn cấu f A :  B, dãy

Hom f,1M :HomR B M,  HomR A M, là khớp.

1.3.2 Định nghĩa Môđun M thoả mãn các điều kiện của Mệnh đề 1.3.1 được

gọi là môđun nội xạ.

1.3.3 Hệ quả i) Nếu M R là môđun xạ ảnh và MR  NR thì N R cũng là môđun xạ ảnh.

ii) Giả sử M R là tích trực tiếp của các môđun i  

M nội xạ với mỗi i I .

1.3.4 Định lý Đối với mỗi môđun tuỳ ý M R tồn tại một đơn cấu từ MR vào một môđun DR nào đó.

1.3.5 Hệ quả Mỗi môđun là môđun con của một môđun nội xạ nào đó.

1.3.6 Mệnh đề Giả sử  : MR  NR là một đơn cấu Khi đó tìm được môđun N 'R sao cho MR là môđun con của N 'R và đẳng cấu

1.3.7 Định lý (Tiêu chuẩn Baer) Môđun M R là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi iđêan phải U  RR và mỗi đồng cấu  : U  MR tồn tại một đồng cấu

f R:  M sao cho    f i, trong đó i là phép nhúng U vào R

Chứng minh Xem [3], trang 25-26.

Chương 2 VỀ TIÊU CHUẨN BAER

ĐỐI VỚI TÁC ĐỘNG TRÊN NỬA NHÓM

2.1 Định nghĩa tác động

Một S - tác động (phải) hay S - hệ thống là một tập hợp A cùng vớimột hàm : A S  A , được gọi là tác động của A trên S, sao cho đối với

x A và s t S,  (bằng cách ký hiệu x s,  bởi xs), có x st    xs t Nếu

S là một vị nhóm với đơn vị là e, thì cần thỏa mãn điều kiện xe x

Một hàm f A:  B giữa các S- tác động A B, được gọi là ánh xạ S

-tác động (hay đơn giản: một ánh xạ -tác động) hoặc một đồng cấu nếu đối với

đối đầy đủ (có tất cả các đối tích và đối bù) Thực ra, các giới hạn và đối giớihạn trong phạm trù này đã được tính toán như trong các tập hợp Cũng nhưvậy, các đơn cấu xạ của phạm trù này chính là các ánh xạ tác động một – một.

2.1.1 Định nghĩa Một S- tác động B được gọi là một mở rộng (extension)

của tác động A nếu tồn tại một đơn cấu xạ h A:  B Trong trường hợp này,

vì như đã chú ý ở trên, các đơn cấu xạ thực chất là các ánh xạ tác động một –một, nên ta có thể xem A như một tác động - con của B

Một S- tác động A được gọi là cái co rút (retract) của mở rộng B của

nó với đơn cấu xạ h A:  B, nếu tồn tại một đồng cấu f B:  A sao cho

A

f h id  , trong trường hợp này f được gọi là một co rút.

Một S- tác động A được gọi là một cái co rút tuyệt đối (absolute retract) nếu nó là một cái co rút của mỗi mở rộng của nó.

Một phần tử a của một S- tác động A được gọi là phần tử cố định (fixed) hay phần tử không (zero) nếu as a đối với tất cả s S

Một S - tác động A được gọi là nội xạ nếu đối với mỗi S - đơn cấu xạ

:

h B  C và mỗi S - ảnh xạ f B:  A tồn tại một S- ảnh xạ g C:  A

sao cho g h f

Chú ý rằng trong các tác động nội xạ trên các vị nhóm nhất thiết phải

có phần tử không (xem [6]) và điều đó cũng được chứng minh tương tự nhưvới các tác động trên các nhóm

Hơn nữa, các S- tác động nội xạ và co rút tuyệt đối là một Mộtphương pháp để dẫn tới kết quả đó là dựa vào việc chứng minh Bổ đề sau

2.1.2 Bổ đề Đối với mỗi nửa nhóm S , trong phạm trù các S - tác động cái buông (push-out) của một đơn cấu là một đơn cấu.