Về môđun các thương suy rộng luận văn thạc sỹ toán học

Với mỗi số nguyên trò như các tập nhân đóng trong lý thuyết quen biết về vành và môđun các thương.. Lý thuyết môđun các thương suy rộng có nhiều ứng dụng trong Đại số giao hoán.. Mục đíc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN HỌC

ĐỖ THỊ HỒNG PHƯỢNG

MÔĐUN CÁC THƯƠNG SUY RỘNG

luËn v¨n th¹c sü to¸n häc

Nghệ An, 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN HỌC

MỞ ĐẦU

Cho R là vành giao hoán, có đơn vị Trong [6], R.Y.Sharp và H.Zakeri đã xây dựng một R- môđun gọi là môđun các thương suy rộng Với mỗi số nguyên

trò như các tập nhân đóng trong lý thuyết quen biết về vành và môđun các thương

Vì thế lý thuyết môđun các thương suy rộng có thể xem là mở rộng của lý thuyếtđịa phương hoá thông thường Lý thuyết môđun các thương suy rộng có nhiều ứng

dụng trong Đại số giao hoán Chẳng hạn, cho M là một R- môđun với dim R = n,

m

H M có thể được xem như là một môđun các

dùng kết quả này để nghiên cứu Giả thuyết Đơn thức của M Hochster

Mục đích của Luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để trình bày lạikhái niệm môđun các thương suy rộng và tìm hiểu một số ứng dụng của môđun cácthương suy rộng trong việc nghiên cứu một số vấn đề trong Đại số giao hoán

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn được chiathành ba chương

Chương I: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày về

vành và môđun các thương để thấy được khái niệm môđun các thương suy rộng làmột sự mở rộng của khái niệm môđun các thương Ngoài ra, trong chương này,chúng tôi cũng trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán nhằm phục

vụ cho chứng minh ở các chương sau

Chương II: Môđun các thương suy rộng Trong chương này, chúng tôi sẽ

trình bày về cách xây dựng môđun các thương suy rộng và trình bày một số ví dụ

về môđun các thương suy rộng

Chương III: Một số ứng dụng của lý thuyết môđun các thương suy rộng Môđun các thương suy rộng có nhiều ứng dụng trong Đại số giao hoán.

Nhiều nhà toán học trên thế giới đã sử dụng Lý thuyết môđun các thương suy rộng

như là công cụ chính để nghiên cứu nhiều vấn đề trong Đại số giao hoán Vì khuônkhổ có hạn của Luận văn nên trong chương này, chúng tôi chỉ trình bày những vấn

H M có thể được xem như là một môđun các thương suy rộng của môđun M

ứng với một tập tam giác trong R n+1

- Mối quan hệ của môđun các thương suy rộng với Giả thuyết Đơn thức củaHochster

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2011 tại trường Đại học Vinhdưới sự hướng dẫn của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo vànghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Cũng nhân dịp này tác giảxin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán và khoa Sau đại học

đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn Tác giả xin chânthành cảm ơn các anh chị, các bạn trong lớp Cao học 17 - Đại số - Lý thuyết số đãgiúp đỡ động viên tác giả trong suốt quá trình học tập

Luận văn được hoàn thành bằng tất cả sự nỗ lực và cố gắng của bản thân,song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận đượcnhững ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc để luận văn hoànthiện hơn

Vinh, tháng 10 năm 2011 Tác giả

CHƯƠNG I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn, vành luôn được giả thiết là giao hoán và có đơn vị

1.1 Iđêan nguyên tố và iđêan cực đại

xy ∈p thì x ∈p hoặc y ∈p.

iđêan J ≠R sao cho J ⊃ m và J ≠ m

1.2 Vành địa phương

1.2.1 Định nghĩa Vành R được gọi là vành địa phương nếu R chỉ có duy nhất một

iđêan cực đại m

1.2.2 Ví dụ (i) Trường là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất là { }0

phương với iđêan cực đại duy nhất là iđêan x sinh bởi x.

1.2.3 Định lí Giả sử mlà một iđêan thực sự của R Khi đó R là vành địa phương

với iđêan cực đại duy nhất là m khi và chỉ khi mọi phần tử x ∈R\m đều khả

nghịch trong vành R

1.3.1 Tập nhân đóng Cho R là một vành và S ⊆R S được gọi là tập nhân đóng

của vành R nếu 1∈S và ∀a b S thì ab , ∈ ∈S

đóng của vành R Thật vậy, 1 ∈R\ p Vì nếu 1 ∉R\ p hay 1 ∈p thì a.1 = a ∈p, ∀

a ∈R Khi đó p = R Điều này là mâu thuẫn Vậy 1 ∈R\ p Mặt khác, ∀a, b ∈R\

p tức là a, b ∉ p ta có ab ∉ p do p là iđêan nguyên tố Do đó ab ∈R\ p Suy ra

R\p là tập nhân đóng của vành R.

Nếu R là một miền nguyên thì R* = R\{ }0 là một tập nhân đóng của vành R.

1.3.2 Xây dựng vành các thương Cho S là tập nhân đóng của vành R Trên tích

Đề các R x S ta xét quan hệ hai ngôi ∼:

S -1 I = {a/s | a∈ I, s∈ S},

trong đó I là iđêan của R Ta có S -1 I = S -1 R ⇔ ∩ ≠ ∅I S Do đó S -1 I là iđêan thực

S -1p, trong đó p là iđêan nguyên tố của R không giao với S.

Rp, với iđêan cực đại duy nhất p pR = S− 1p={a s a/ ∈p,s∈R p\ } nên được gọi là

vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p.

1.3.3 Xây dựng môđun các thương Cho S là tập nhân đóng của vành R Khi đó

ta có vành các thương S -1 R Trên tích Đề các M x S, xét quan hệ hai ngôi ∼:

(m s, ) : (m s,, ,) ⇔ ∃ ∈t S t ms: ( , −sm,) =0.

của M theo tập nhân đóng S 1

nhân vô hướng như sau: r x s rx s / = / , với mọi r R∈ , x s S M/ ∈ − 1

S M−

1.3.4 Định lí Cho S là tập nhân đóng của vành R Khi đó với mọi dãy khớp ngắn

1.4.1 Phổ của vành Ký hiệu Spec R là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R.

Khi đó Spec R được gọi là phổ của vành R.

Với mỗi iđêan I của R ta ký hiệu V I( )= ∈{p SpecR p⊇I }

1.4.2 Độ cao của iđêan Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R :

0 ⊃ ⊃ ⊃ 1 n

0 =

p p được gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht( )p , nghĩa là:

( )

Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa:

( ) { ( ) }

ht I =inf ht p p∈Spec , R p⊇I

1.4.3 Chiều Krull của môđun Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên

tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R , ký hiệu là dim R

Cho M là một R−môđun Khi đó linh hóa tử của môđun M:

= ∈ =0 = ∈ =0, ∈

R

Krull của môđun M, ký hiệu là dim R M (hoặc dim M)

1.4.4 Giá của môđun Tập con Supp M = ∈{p SpecR Mp≠0} của Spec R được gọi là giá của môđun M.

Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì

= = ∈p p⊇

1.5 Tập các iđêan nguyên tố liên kết của môđun

1.5.1 Định nghĩa Cho M là một R – môđun Ta gọi iđêan nguyên tố p của R là

một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu một trong hai điều kiện tương đương sau

được thỏa mãn:

(i) Tồn tại phần tử x ∈M sao cho Ann R(x) = p trong đó:

{ }

= ∈ = 0

R

Ann x a R ax ;

nếu không để ý đến vành R.

1.5.2 Mệnh đề Ass R M ⊆Supp R M và mọi phần tử tối tiểu của Supp R M đều thuộc

Ass R M.

1.5.3 Mệnh đề Nếu M là R – môđun Noether thì Ass R M là tập hợp hữu hạn.

1.6 Độ dài của môđun

1.6.1 Định nghĩa Một dãy hợp thành của một R – môđun M là một dãy giảm gồm

một số hữu hạn các môđun con

1.6.2 Định lí Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành có độ dài n, thì tất cả các

dãy hợp thành của M cũng có độ dài n Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực

sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của các dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành.

Khi đó độ dài của các dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun

M và kí hiệu là ( ) l M Nếu R-môđun M không có dãy hợp thành thì ta quy ước độ R

dài ( ) l M R = ∞và được gọi là môđun có độ dài vô hạn.

1.6.3 Đặc trưng của môđun có độ dài hữu hạn (i) Một R – môđun M có độ dài

hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là môđun Noether vừa là môđun Artin.

(ii) Cho dãy khớp ngắn các R – môđun

cho lR (M/(x1 ,x 2 , ,x d)M) < +∞ được gọi là một hệ tham số của M

Nếu x =( x x1, , ,2 x d) là một hệ tham số của M thì các phần tử

(x x1, , ,2 x gọi là một phần hệ tham số với mọi i = 1, 2, , d Iđêan i)

q = (x 1 , , x d)R được gọi là iđêan tham số của M

Ta có một số tính chất sau của hệ tham số

i) dim (M/(x1 ,x 2 , ,x i)M) = d – i với mọi i = 1, ,d

ii) xi + 1 ∉p với mọi p ∈AssR(M/(x1,x 2 , ,x d)M) thỏa mãn dim (R/p) = d – i với

iv) Mọi hoán vị của hệ tham số của môđun M cũng là một hệ tham số của M.

1.8 Môđun đối đồng điều địa phương

Giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương Một dãy các

R – môđun và các đồng cấu R – môđun

được gọi là một đối phức nếu Im f i−1 ⊆Ker f i với mọi i Nếu dãy này là một

đối phức thì môđun Ker / Imf i f i−1 được gọi là môđun đối đồng điều thứ i của

đối phức này Dãy trên được gọi là khớp tại mắt thứ i nếu Im f i−1= Ker f i Ta

gọi dãy này là khớp nếu nó khớp tại mọi mắt Một dãy khớp có dạng

0→M 'f→ M g→M"→0

được gọi là một dãy khớp ngắn Chú ý rằng dãy này là khớp khi và chỉ khi f

là đơn cấu, g là toàn cấu và Im f = Ker g.

1.8.1 Định nghĩa Cho I là iđêan của R Với mỗi R – môđun N ta định nghĩa

Γ =U Nếu :f N →N' là đồng cấu các R – môđun thì ta có

đồng cấu f *:ΓI( )N →ΓI( ')N cho bởi f x*( ) = f x( ) Khi đó nếu

cũng khớp Vì hàm tử Γ −I ( ) có tính chất đã nêu ở trên nên ta nói Γ −I ( ) là

hàm tử hiệp biến, khớp trái từ phạm trù các R – môđun đến phạm trù các R –

môđun Hàm tử Γ −I ( ) được gọi là hàm tử I - xoắn

Một R – môđun E được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗi đơn cấu

f : N → M và mỗi đồng cấu g: N → E, tồn tại một đồng cấu h: M → E sao

cho g = hf Cho E là một R – môđun và M là môđun con của E Ta nói E là một mở rộng cốt yếu của M nếu M ∩ L ≠ 0 với mọi môđun con L ≠ 0 của E.

Ta nói E là bao nội xạ của M nếu E là một mở rộng cốt yếu của M và E là một môđun nội xạ Chú ý rằng mỗi R – môđun M đều có bao nội xạ và bao nội xạ của M là xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu Vì thế ta kí hiệu bao nội xạ của M là E R (M) hay E(M).

1.8.2 Định nghĩa Một lời giải nội xạ của một R – môđun N là một dãy khớp

0→ N → E → E → E →L

trong đó mỗi E i là môđun nội xạ Chú ý rằng mỗi môđun đều nhúng được vàomột môđun nội xạ, vì thế, mỗi môđun đều có lời giải nội xạ

1.8.3 Định nghĩa Cho N là R – môđun và I là iđêan của R Môđun dẫn xuất

phải thứ n của hàm tử I – xoắn Γ −I ( ) ứng với N được gọi là môđun đối đồng

điều thứ n của N với giá I, kí hiệu là n( )

giá I chính là môđun đối đồng điều thứ n của đối phức trên Chú ý rằng

1

Keru n / Imu n− không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ của N.

Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địaphương

1.8.4 Mệnh đề Cho N là một R – môđun Các phát biểu sau đây là đúng.

Các đồng cấu δn trong mệnh đề trên được gọi là các đồng cấu nối.

1.8.6 Mệnh đề Đặt M = M /ΓI ( )M Khi đó với mọi số tự nhiên n≥1 ta có

Độ sâu của môđun M trong một iđêan I được đặc trưng thông qua tính

triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau

1.8.7 Mệnh đề Cho I là iđêan của R ta có

CHƯƠNG II

MÔĐUN CÁC THƯƠNG SUY RỘNG

2.1 Tập con tam giác

2.1.1 Định nghĩa Cho n là một số nguyên dương Kí hiệu D n(R) là tập tất cả các

(i) Nếu (u1 , u 2 , , u n) ∈U thì ( 1 2 )

(ở đây kí hiệu [ ]T để chỉ ma trận chuyển vị)

2.1.2 Ví dụ (i) Khi k = 1 thì tập con tam giác U chính là tập nhân đóng của vành

R.

(ii) Cho R là vành giao hoán, địa phương, Noether và M là một R – môđun

là tập con tam giác trong R d + 1

Khi cho trước một tập con tam giác U, trong bài báo [7] Sharp và Zakeri đã

ứng với tập con tam giác U như sau

2.2.1 Quan hệ tương đương trên M x U Trên tích Đề - các M x U ta xét quan hệ

hai ngôi : : với b, c ∈M và u = (u 1 , , u n); v = (v1 , , v n) ∈U:

(b, (u1 , , u n)) : (c, (v1 , , v n)) khi và chỉ khi tồn tại (w1 , , w n) ∈U và H, K ∈

H b K c − Rw M

=

 

− ∈∑ ÷

Khi đó quan hệ : là một quan hệ tương đương trên M x U Thật vậy quan hệ :

thỏa mãn các điều kiện sau

Tính phản xạ: với b ∈M và u = (u 1 , , u n) ∈U ta có w = (w 1 , , w n)∈U sao cho

H b K c − Rw M

=

 

− ∈∑ ÷ Suy ra

1

1

n i i

Khi đó tồn tại (s’1 , , s’ n), (t’1 , , t’ n) ∈U và H, K, P, Q ∈D n(R) sao cho:

1

n i i

1

n i i

=

 

− ∈∑ ÷ Khi đó,

1 2

1

n i i

( , , )

n

n n

với (v1 , ,v n) ∈ U và H, K ∈D n(R) thỏa mãn: Hs = v = Ku;

.( , , )n ( , , )n

r

Hai phép toán trên không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện

2.2.3 Mệnh đề Với hai phép toán trên, U -n M trở thành một R – môđun.

Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng U -n M lập thành một nhóm giao hoán

n n

2.2.4 Định nghĩa Môđun U -n M được gọi là môđun các thương suy rộng của M

theo tập con tam giác U.

2.2.5 Bổ đề Cho U là một tập con tam giác của R n , giả sử m ∈M và (u 1 , ,u n) ∈

U sao cho ( 1 )

0, ,

n n

u m

u u = trong U -n M Khi đó ( 1 )

0, , n

m

u u =

2.3 Một số ví dụ

2.3.1 Ví dụ Khi n = 1 thì U ≡S với S là một tập nhân đóng của vành R Khi đó

các phép toán trên U -1 M trùng với các phép toán trên S -1 M Thật vậy:

rộng theo tập con tam giác U.

CHƯƠNG III

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA

LÝ THUYẾT MÔĐUN CÁC THƯƠNG SUY RỘNG

Lý thuyết môđun các thương suy rộng có nhiều ứng dụng trong Đại số giaohoán Do khuôn khổ có hạn của luận văn, trong chương này chúng tôi chỉ trình bàyứng dụng của Lý thuyết môđun các thương suy rộng trong việc nghiên cứu môđunđối đồng điều địa phương và Giả thuyết Đơn thức Các kết quả trình bày trongchương này là nội dung chính của Sharp và Zakeri [8]

3.1 Môđun các thương suy rộng và môđun đối đồng điều địa phương

qua môđun các thương suy rộng

3.1.1 Bổ đề Giả sử R là vành Noether, I là một iđêan của R, U là tập con tam

giác của R k sao cho u k ∈I với mọi (u 1 , ,u k) ∈U Khi đó j( k ) 0

và do đó từ [8, 7, 3.2] ta có j( k ) 0

I

H U M− = với mọi j ≥0

Ta đã biết với mỗi i tập hợp

U i = {(s 1 , , s i) ∈R i |∃j, 0 ≤ j ≤ i, sao cho (s 1 , , s j) là một phần hệ tham số

của R và sj + 1 = = s i = 1}

là một tập con tam giác trong R i

Lấy ( )V i i∈¥ là họ các tập hợp sao cho:

(i) V i ⊆U và V i i là tập con tam giác của R i với mọi i ∈¥ ;

(ii) Nếu (u1 , , u i) ∈V i với 1 < i ∈¥ thì (u1 , , u i-1) ∈V i – 1;

(iii) Nếu (u1 , , u i) ∈V i với i ∈¥ thì (u1 , , u i ,1) ∈V i + 1;

(iv) Tồn tại một hệ tham số y1 , , y n của R sao cho (y1 , , y n ) ∈V n;

Từ đây chúng ta sẽ kí hiệu phức trong bổ đề trên bởi C(V,M) với V là họ

(Vi)i≥1 Chú ý rằng Vi -i M = 0 với mọi i> d+1.

3.1.3 Bổ đề Giả sử i là một số nguyên sao cho 0≤ ≤i n Khi đó

dim ker /e ime i i− < −n i .

Chứng minh Khi i = 0 dễ thấy có điều cần chứng minh Vì vậy ta giả sử rằng i > 0.

Chúng ta cần chứng minh rằng nếu p∈Ass(ker e i /im e i -1 ) thì dim R/p < n – i Như

vậy p có tính chất là tồn tại

1

ker( , , )

i i

Do đó Rt1+ + Rt i+1⊆ p Vì vậy t1 , , t i , t i + 1 là một hệ tham số của R

3.1.4 Hệ quả (i) Với mọi i = 0, ,n

(ker / −1) =0

m

(ii) Với mọi i = 1, ,n

( − ) =0

m i

n; M là một R-môđun Định lý sau đây cho thấy môđun đối đồng điều địa phương

( )

n

m

H M có thể được xem như một môđun các thương suy rộng của M ứng với một

tập con tam giác của R n+1

3.1.5 Định lí 1

− − +n ≅ n

V M H M Đặc biệt 1

− − +n ≅ n

Đồng cấu tự nhiên

với mọi m ∈M và (v 1 , ,v n+1) ∈V n+1 là một đẳng cấu.

Chứng minh Kí hiệu U là họ ( )U i i≥ 1 và C(U, M) là

( ) :θ ≥

là một phức cấu xạ

Trong những phần sau chúng ta sẽ viết tắt C(V, M) bởi C(V) và C(U, M)

mà ở mỗi dòng là một đẳng cấu, với mỗi i =1, , n.

Tương tự từ (2) và Hệ quả 3.1.4 (i) có một biểu đồ giao hoán

mà ở mỗi dòng là một đẳng cấu, với mỗi i =1, , n – 1.

Từ biểu đồ (3) và (4) chúng ta có biểu đồ giao hoán

V M và của 1

1

− − +n

H M thông qua môđun các thương của tất cả

m

H M chỉ

thông qua một hệ tham số

3.1.6 Hệ quả Giả sử x =(x 1 , ,x n ) là một hệ tham số của vành R Khi đó

1 1