Môđun không suy biến luận văn thạc sỹ toán học

Mở đầuVấn đề nghiên cứu các lớp môđun đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm và đạt đợc nhiều kết quả sâu sắc, đặc biệt có ứng dụng rất tốt cho việc đặc trngvành thông qua tính chất của một

Môc lôc Trang

Mét sè ký hiÖu

N  M: N lµ tËp con cña M

N M: N lµ m«®un con cña M

N M: N lµ m«®un con cèt yÕu cña M

E (M): Bao néi x¹ cña m«®un M

L M : L lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña m«®un M

r(x): linh ho¸ tö ph¶i cña x

l(x): linh ho¸ tö tr¸i cña x

Mở đầu

Vấn đề nghiên cứu các lớp môđun đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm

và đạt đợc nhiều kết quả sâu sắc, đặc biệt có ứng dụng rất tốt cho việc đặc trngvành thông qua tính chất của một lớp xác định các môđun trên chúng

Trong quá trình nghiên cứu môđun để dẫn đến đặc trng của vành, mộtmặt ta nghiên cứu môđun đã cho nhờ sự phân tích nó thành những môđun đơngiản hơn mặt khác ta hớng tới việc nghiên cứu những môđun thoả mãn một sốtính chất nào đó Theo hớng nghiên cứu này, môđun không suy biến là môđunthoả mãn tính chất Z(M) = 0 (xem định nghĩa chơng 1)

Trong các lớp môđun, lớp môđun nội xạ và lớp đối ngẫu của nó là lớpmôđun xạ ảnh đợc xem nh hai trụ cột chính trong nghiên cứu lý thuyết môđun

và lý thuyết vành Năm 1960, Utumi nhận xét rằng lớp vành chính qui liên tục

là mở rộng của lớp vành chính qui tự nội xạ, ông cũng mở rộng khái niệmliên tục cho vành bất kỳ Mohamed và Bouhy đã suy rộng khái niệm liên tụccủa vành cho các môđun Năm 1977, Chartters và Hajanavis đã đa ra kháiniệm extending module (CS - môđun) Từ đó đến nay, nhờ đó mà lý thuyếtvành và lý thuyết môđun phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng quan trọng

Đặc biệt Đinh Văn Huỳnh, Smith, Wisbauer và Nguyễn Việt Dũng là nhữngngời đã nghiên cứu và đạt nhiều kết quả sâu sắc về CS - môđun đã viết thànhquyển sách tham khảo và tra cứu bổ ích cho những ngời chuyên nghiên cứu vềvành, môđun với tên gọi "Extending Modules"

Ta đã biết rằng bản thân vành R có thể đợc xem là một R - môđun(phải) trên chính nó nên một số kết quả trên môđun có thể chuyển cho vành

Từ đó có thể dùng môđun không suy biến để đặc trng cho vành không suybiến Trong lớp iđean (phải) của vành, ta đặc biệt chú ý đến lớp các iđean(phải) cốt yếu trong vành đó và sử dụng lớp iđean này để xây dựng khái niệmmôđun không suy biến

Xuất phát từ ý tởng trên, hớng nghiên cứu của luận văn chủ yếu dựavào môđun con cốt yếu để nghiên cứu các môđun không suy biến

Luận văn đợc chia làm hai chơng:

Chơng 1: Trình bày các khái niệm, ví dụ và một số tính chất cơ bản có liên

quan

Chơng 2: Nghiên cứu một số tính chất của môđun không suy biến, kết quả

Trong suốt quá trình học tập và viết luận văn, tác giả cũng đã nhận đợc sự dạybảo tận tình của các thầy giáo, các nhà khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái;GS.TSKH Ngô Việt Trung; GS.TS Nguyễn Quốc Thi; PGS.TS Nguyễn Quí Dy;

PGS.TS Lê Quốc Hán; PGS.TS Nguyễn Thành Quang; TS Mai Văn T; TS Chu

Trọng Thanh, tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy

Cũng nhân dịp này, tác giả xin đợc cảm ơn các thầy cô giáo trong khoaToán, khoa Đào tạo sau đại học, Trờng Đại học Vinh và tất cả bạn bè đồngnghiệp đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn

Chơng 1 Các khái niệm và tính chất cơ bản

Trong chơng này, chúng tôi sẽ đa ra một số khái niệm, ví dụ và tínhchất cơ sở

1.1 Các khái niệm và ví dụ.

1.1.1 Định nghĩa Cho vành R giao hoán, có đơn vị:

a) Phần tử e của vành R đợc gọi là luỹ đẳng nếu e2 = e

b) Phần tử x  R gọi là luỹ linh nếu tồn tại số tự nhiên n  1 để xn = 0

1.1.2 Định nghĩa Cho một họ những R - môđun (Ai  i  I)

Khi đó tích Đề các 

I i

A = {(ai)  i  I, ai  Ai}

Cùng với phép cộng và phép nhân vô hớng theo thành phần

(ai) + (bi) = (ai + bi)

(ai)r = (air)

là một R - môđun, gọi là tích trực tiếp của họ (Ai  i  I)

- Trờng hợp Ai= A, i  I, ta ký hiệu 

1.1.3 Định nghĩa Môđun AR đợc gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các

môđun con (Ai  i  I) nếu các điều kiện sau đợc thoả mãn:

1.1.4 Định nghĩa: Cho A là R - môđun phải Môđun M đợc gọi là A - nội xạ

nếu với mọi X A, với mọi đồng cấu f: X  M luôn tồn tại đồng cấu f*:

A  M để f*i = f (với f* là mở rộng của f), hay ta có biểu đồ sau giao hoán,trong đó i là phép nhúng đồng cấu

* Nếu M là A - nội xạ, với mọi môđun A thì

ta nói môđun M là nội xạ

* M đợc gọi là môđun tự nội xạ (hay tựa nội

xạ) nếu M là M - nội xạ

* Vành R đợc gọi là tự nội xạ phải (trái) nếu

R là R - nội xạ nh R - môđun phải (trái)

* Cho R - môđun phải M, ta gọi bao nội xạ của M là một môđun nội xạ E và

tồn tại đơn cấu cốt yếu f: M  E tức là f(M) E Bao nội xạ của môđun

M luôn tồn tại và đợc ký hiệu E(M)

Ví dụ: Z - môđun Z không phải là Z - môđun nội xạ

Z - môđun Q là Z - môđun nội xạ 1.1.5 Định nghĩa Cho R - môđun phải M.

R - môđun phải P gọi là M - xạ ảnh nếu mỗi môđun N của M và mỗi đồng

cấu f: P  M/N luôn tồn tại đồng cấu g: P  M để g = f, trong đó  làtoàn cấu chiếu

* R - môđun phải P gọi là xạ ảnh nếu P là

M - xạ ảnh đối với mọi môđun M

* Môđun M đợc gọi là tựa xạ ảnh (tự xạ

* Cho R - môđun phải M, ta gọi bao xạ ảnh

của M là một môđun phải xạ ảnh P và toàn

cấu f: P  M sao cho ker(f) P

Bao xạ ảnh của môđun M không nhất thiết tồn tại

1.1.6 Định nghĩa.Cho M là R - môđun trái.

Gọi S = End(M) = {Các tự đồng cấu môđun M  M} với 2 phép toán:

Phép cộng: (f+g)(x) = f(x) +g(x), với mọi x  M

Phép nhân: (fg)(x)=f(g(x)) hợp thành ánh xạ

Khi đó S là một vành và gọi là vành các tự đồng cấu của M.

1.1.7 Định nghĩa Cho A, B là những môđun trên vành R tuỳ ý cho trớc Tập

tất cả các đồng cấu từ môđun A vào môđun B

Ký hiệu: HomR(A,B)

hay Hom(A,B)

1.1.8 Định nghĩa Cho tập hợp A   của vành R khi đó:

+ l (A)={b  R ba = 0; a  A} đợc gọi là linh hoá tử trái của A

+ r (A)= {b  R ab = 0; a  A} đợc gọi là linh hoá tử phải của A

+ n (A)= l (A)  r (A): gọi là linh hoá tử của A.

1.1.9 Định nghĩa

1) Môđun M gọi là đơn nếu M không chứa môđun con thực sự nào, tức là M

chỉ chứa hai môđun con đó là 0 và M

2) Giả sử (T)I là tập hợp các môđun con đơn của M Nếu M là tổng trực tiếp

của (T)I thì M = 

 T

I



 là sự phân tích nửa đơn của môđun M.

3) Môđun M đợc gọi là nửa đơn nếu M có sự phân tích nửa đơn.

4) Đế của môđun A là tổng của tất cả môđun con đơn của A

Ký hiệu: Soc(A)

Soc(A) = 

A E

E

Soc(A) = 0 khi và chỉ khi A không có môđun con đơn

1.1.10 Định nghĩa.

1) Cho R - môđun M và T là một môđun con của M, T  M Môđun T gọi là

tối đại trong M nếu mọi môđun con X của M thoả mãn T X thì X = M

 

2) Ta gọi giao của tất cả các môđun con tối đại của M là căn Jacobson (hay

đơn giản là căn) của môđun M và ký hiệu: Rad(M)

Vậy: Rad(M) = AM A



- Nếu M không có môđun tối đại thì ta quy ớc Rad(M) = M

1.1.11 Định nghĩa.

1) Iđean P của vành R đợc gọi là một iđean nguyên tố nếu P R và với hai

iđean tuỳ ý A và B của R, AB  P kéo theo A  P, B  P

2) Vành R đợc gọi là vành nguyên tố nếu 0 là iđean nguyên tố của nó

Ví dụ:

Vành các số nguyên Z là vành nguyên tố, mỗi iđean nguyên tố của Z là iđean

sinh bởi một số nguyên tố

3) Giao của tất cả các iđean nguyên tố của vành R đợc gọi là căn nguyên tố

Kí hiệu: N(R)

4) Vành R đợc gọi là vành nửa nguyên tố nếu căn nguyên tố N(R) = 0

5) Phần tử a R đợc gọi là phần tử luỹ linh chặt chẽ nếu đối với mỗi dãy tuỳ ý:

a0, a1, a2,…,a,an,…,a với a = a0, ai + 1  ai Rai, i  N

đều tồn tại một chỉ số n sao cho an +i = 0 với mọi i  N

1.1.12 Định nghĩa Giả sử U = {ai  i  I} là một tập hợp con của R - môđun

A Ta nói rằng U là độc lập tuyến tính nếu mọi tập hợp con hữu hạn J  I,

a = 0, ri R suy ra ri = 0, với mọi i J.

*Giả sử A là R - môđun, U là tập con của A Ta nói U là cơ sở của A nếu U là

hệ sinh độc lập tuyến tính trong A Khi đó A đợc gọi là R - môđun tự do với cơ sở U Ta cũng nói U là tập hợp sinh tự do của A.

nếu nếu 0 1

U gọi là cơ sở chính tắc của R(I)

1.1.13 Định nghĩa Môđun con N của môđun M đợc gọi là môđun con cốt yếu trong M, nếu  K M, K  0 thì K  N  0;

Ký hiệu: N M

 



- Nếu N là môđun con cốt yếu của M ta nói M là mở rộng cốt yếu của N

Quy ớc: Nếu 0 M thì M = 0

Ví dụ: Môđun M M, n Z Z.

1.1.14 Định nghĩa Môđun U đợc gọi là đều (Uniform) nếu bất kỳ các

môđun con A, B  0 của U thì A  B  0, hay mọi môđun con của U làmôđun cốt yếu trong U

1.1.15 Định nghĩa Cho A và M là R- môđun Một đơn cấu f: A  M đợc gọi

là đơn cấu cốt yếu nếu f(A) M Lúc đó ta nói rằng A nhúng cốt yếu

đợc vào M

1.1.16 Định nghĩa Môđun con A của M đợc gọi là đối cốt yếu (hay bé) nếu

với mỗi môđun con E  M ta đều có A + E  M, hay nói cách khác A+ E = M  E = M Khi đó ta ký hiệu A M

Ví dụ:

1) Đối với mỗi môđun M ta đều có 0 M

2) Trong Z - môđun tự do chỉ có môđun tầm thờng 0 là đối cốt yếu

1.1.17 Định nghĩa Cho M là R - môđun, kí hiệu:

+)ZR(M)= {x  M  Ix = 0, với I R R , I nào đó} khi đó ZR(M) là một

môđun con của M và đợc gọi là môđun con suy biến của M.

+) Nếu Z(M) = M ta nói rằng M là môđun suy biến

+)Nếu Z(M) = 0 ta nói rằng M là môđun không suy biến

+)Nếu 0  Z(M)  M ta nói rằng M không phải là môđun suy biến và cũng không phải là môđun không suy biến

+)Vành R gọi là không suy biến phải (trái) nếu R - môđun phải (trái) R

*





*



0

 *

 

Ta thấy mọi môđun khác 0 của Z có dạng nZ (n  0) đều cốt yếu trong

1.1.18 Định nghĩa Môđun con A của M đợc gọi là đóng trong M nếu A

không có mở rộng cốt yếu thực sự trong M, có nghĩa là nếu A B Mthì A = B

1.1.19 Định nghĩa Cho M là R - môđun, X và U là các môđun con của M Môđun X đợc gọi là phần bù giao của U trong M nếu X là môđun tối đại

1.1.20 Định nghĩa Môđun con B của môđun A đợc gọi là hạng tử trực tiếp

trong A nếu có môđun con C của A sao cho A = B  C

Ký hiệu: B A

1.1.21 Định nghĩa Nếu R là một vành không suy biến trái thì bao nội xạ E(

R

R ) có một cấu trúc vành duy nhất tơng thích với cấu trúc R- môđun trái trên

chính nó và nh vậy chúng ta gọi vành này là vành thơng trái tối đại của R

Ký hiệu vành thơng trái tối đại của R là Q







*

 

M , A = i

T

i A



 , A i và M i là các môđun con của M, i T,

trong đó A i M Khi đó tồn tại i

 x = f-1(a)  x  f-1 (A)  X  f-1 (A)  0 Vậy f-1 (A) B

f) Trớc hết ta chứng minh cho trờng hợp T hữu hạn

x , với F hữu hạn thuộc T, theo trờng

hợp trên thì iF Mi tồn tại và sự biểu diễn đó là duy nhất

Tiếp theo ta lấy 0  X iF Mi suy ra tồn tại 0  x  X mà

x  iFMi và iF Ai iF Mi (Với F là tập con hữu hạn của I)

 xR  iF Ai  0  X  iF Ai  0  X  iT Ai  0

Vậy: iT Ai iT Mi 

1.2.2 Mệnh đề Cho R - môđun M

a) Z(M) là môđun con của M

b) Nếu A là môđun con của M thì Z (A) = A  Z (M)

c) Mỗi x  M, gọi r(x) = {  Rx  = 0} là linh hoá tử phải của x, khi đó

Giả sử M có tập sinh S = {ai i  I}

Xét môđun tự do R(I) với cơ sở chính tắc U = {ei i  I} Khi đó ánh xạ f: U  M

e  ai

Đợc mở rộng thành toàn cấu g: R(I)  M

Từ đó suy ra: M  R(I) / kerg 

1.2.4 Mệnh đề a) nếu f: A  B là đồng cấu thì f (Z (A))  Z (B)

b) Xét R R - môđun M Nếu I R R thì xI x R R ,với x thuộc cơ sở của M

Chứng minh

a) Bất kỳ x  Z (A) luôn tồn tại I RR: x I = 0 và f(x)  f(Z(A))

f(xI) = f(x) I = 0, suy ra f(x)  Z (B) Vậy f(Z (A))  Z(B)

b) I RR, lấy x bất kỳ thuộc cơ sở của M

Giả sử xI x RR  tồn tại X xRR sao cho x 0 để x I  X  0 (1)Mặt khác: xI  I, I RR nên I  X  0

Suy ra xI  X  0, điều này mâu thuẫn với (1) Vậy xI x RR 

1.2.5 Mệnh đề Cho K là môđun con của M, L là phần bù giao của K thì

1.2.6 Mệnh đề Nếu M là R - môđun, K M, với mỗi a  M thì tồn tại L

là môđun cốt yếu của R để aL K

b) Nếu A và B là hai iđean của R sao cho AB = 0 thì A  B = 0.

c) 0 là iđean luỹ linh duy nhất của R

c  a) Chỉ cần chứng minh 0 là phần tử luỹ linh chặt chẽ duy nhất Giả sử a

 R là phần tử luỹ linh chặt chẽ nên tồn tại số tự nhiên n sao cho (RaR)n = 0.Theo giả thiết 0 là iđean luỹ linh duy nhất nên RaR = 0

Vậy a = 0 

1.2.8 Mệnh đề Mọi môđun tự do trên R đều xạ ảnh

Chứng minh

Xét biểu đồ

Trong đó F là môđun tự do với cơ sở U = {eii  I }

Do g (A) = B nên có thể chọn đối với mỗi ei một phần tử ai  A sao cho g(ai)

= f(ei), i  I Khi đó đồng cấu duy nhất h: F  A xác định bởi h(ei) = ai, i  Ilàm cho biểu đồ trên giao hoán Vậy F là xạ ảnh 

1.2.9 Mệnh đề Nếu P = I P i thì P là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi P i là môđun xạ ảnh với mọi i  I

Nghĩa là k = i

Bây giờ gọi : Pi  P là phép nhúng chính tắc ta có h = k i là đồng cấu từ Pi

tới A Hơn nữa ta có  h = ki = ii = 

Điều này chứng tỏ Pilà xạ ảnh

* Điều kiện cần: Xét biểu đồ giao hoán

Trong đó  là toàn cấu,  là đồng cấu, i là phép nhúng chính tắc, còn

hi là đồng cấu có đợc do tính xạ ảnh của Pi, hi = i, có thể giả thiết rằng

P = I Pi là tổng trực tiếp ngoài Khi đó ta có thể thiết lập một đồng cấu

h: P = I Pi  A

(xi)  

I hi (xi)với mọi x = (xi)  P ta có  hi (xi) =  (

Chơng 2 Môđun không suy biến

2.1.1 Mệnh đề a) M là môđun suy biến khi và chỉ khi M  A/B, với A là

môđun nào đó và B A

b) Nếu A là môđun không suy biến, A/ B là suy biến thì B A.

Chứng minh

a) Nếu M suy biến ta chứng minh M  A/B Thật vậy:

M  F/K trong đó F là môđun tự do và F = tT xt R ({xt} là cơ sở của F)

Do M suy biến nên F/K suy biến Vì thế mỗi xt + K  F/K, tồn tại iđean

It RR để (xt+ K) It = 0, hay là xt + K K, với mọi t  T

Do It RR suy ra xtIt xt RR

Mặt khác, vì đã có t T x i



 R nên tồn tại tT xtIt tT xtR = F Hơn nữa mọi t  T, xtIt K, cho nên tT xtIt K, do đó K FLấy A = F, B = K ta có B A

- Ngợc lại: Để chứng minh M suy biến ta chứng minh A/ B suy biến:

Lấy bất kỳ a  A, gọi I = {  Ra   B}

Xét đồng cấu f: RR  A

  a

Có f-1 (B) = I và B A nên I RR

Ta có (a + B) I = B = 0 (0 của thơng A/ B)

Suy ra a + B  Z (A/B)  A/B  Z (A/B) mà Z (A/ B)  A/B

Do đó A/ B = Z (A/ B)  A/B suy biến Vậy M suy biến

(Nh vậy, nếu A/ B có B A thì A/B suy biến Nói chung ng ợc lại không

đúng Ví dụ A  A/ 0 suy biến nhng 0 không cốt yếu trong A)

b) Bất kỳ 0  X A, lấy 0  x  X thì x + B  Z (A/ B) Suy ra tồn tại

I RR để (x + B) I = 0 hay là xI  B Do A không suy biến nên xI  0, mà

xI  X cho nên B  X  0 Vậy B A 

2.1.2 Mệnh đề a) Môđun con, môđun thơng, tổng của các môđun suy biến là

môđun suy biến

b) Môđun con, tính trực tiếp, mở rộng cốt yếu của môđun không suy biến là môđun không suy biến

c) Nếu B và A/ B không suy biến thì A không suy biến

(Mở rộng của môđun không suy biến là môđun không suy biến).

a) - Hiển nhiên thấy môđun con của môđun suy biến là suy biến

- Môđun thơng: Cho môđun M suy biến, xét môđun thơng M/K

A là môđun suy biến

b) - Hiển nhiên thấy môđun con của môđun không suy biến là môđun khôngsuy biến

- Tính trực tiếp của các môđun không suy biến:

Cho {Ai}F là họ các môđun không suy biến

A  Aj

Ta có j (Z (

F j

A không suy biến

- Mở rộng cốt yếu của môđun không suy biến:

Cho A là môđun không suy biến và A M

Ta phải chứng minh mở rộng cốt yếu M của A là không suy biến

Xét đồng cấu tự nhiên : A  A/B

Ta có:  (Z(A))  Z (A/ B), mà Z (A/B) = 0 (Do A/ B không suy biến) nên

(Z (A)) = 0

Do đó Z (A)  B Vì B không suy biến nên Z (B) = 0

Vì vậy: Z (A) = 0 Hay A không suy biến 







