Về môđun compắc tuyến tính biểu diễn được luận văn thạc sỹ toán học

Thậm chí một lớp môđun con của môđun compắc tuyến tính đó là môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc cũng chứa thực sự các môđun Artin; hơn thế nữa nó còn chứa các môđun Noether trên vành đị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -

CAO TÚ CƯỜNG

VỀ MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH

BIỂU DIỄN ĐƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2011

MỤC LỤC

MỤC LỤC ……… 1

LỜI NÓI ĐẦU……….2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ……….5

1.1 MÔĐUN ARTIN……… 5

1.2 BIỂU DIỄN THỨ CẤP VÀ MÔĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC……… 6

1.3 GIỚI HẠN THUẬN, GIỚI HẠN NGƯỢC……… 6

1.4 HÀM TỬ DẪN XUẤT TRÁI……….9

1.5 HÀM TỬ DẪN XUẤT PHẢI………10

1.6 MÔĐUN MỞ RỘNG……… 10

1.7 TÍCH TEXƠ CỦA HAI MÔĐUN………11

1.8 MÔĐUN PHẲNG……….12

1.9 MÔĐUN ĐỊA PHƯƠNG HÓA………12

1.10 I ĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT, GIÁ CỦA MÔĐUN…… 13

CHƯƠNG 2 MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH BIỂU DIỄN ĐƯỢC……… 15

2 1 MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH……… .15

2 2 TÍNH BIỂU DIỄN ĐƯỢC CỦA HOM ( ;R F M ………) …19

2 3 ĐỐI ĐỊA PHƯƠNG HÓA……….24

KẾT LUẬN………31

TÀI LIỆU THAO KHẢO……… 32

LỜI NÓI ĐẦU

Năm 1942, S Leschetz đưa ra khái niệm không gian vectơ compắc tuyến tính nhằm nghiên cứu các không gian vectơ vô hạn chiều Năm 1953, D Zelinsky đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compắc tuyến tính

Từ đó đến nay, lớp môđun compắc tuyến tính đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu Chú ý rằng, lớp môđun compắc tuyến tính rất rộng, chứa nhiều lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán Thậm chí một lớp môđun con của môđun compắc tuyến tính đó là môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc cũng chứa thực sự các môđun Artin; hơn thế nữa nó còn chứa các môđun Noether trên vành địa phương đầy đủ

Khái niệm phân tích đối nguyên sơ cho các môđun Artin được nghiên cứu bởi D G Northcott năm 1972, D Kirby năm 1973 Sau đó I G Macdonald [9]

đã trình bày khái niệm này một cách tổng quát cho môđun tùy ý và ông gọi đó là biểu diễn thứ cấp để khỏi nhầm lẫn với khái niệm phân tích nguyên sơ đã được định nghĩa cho các môđun Noether Có thể nói biểu diễn thứ cấp là đối ngẫu với phân tích nguyên sơ Mọi môđun Artin đều có biểu diễn thứ cấp và mọi môđun

M =M +M + +M thành tổng của hữu hạn các môđun con pi- thứ cấp M i Nếu

0

Một trong những vấn đề thú vị xuất hiện khi nghiên cứu các môđun Artin

hóa Hom ( ;R R M S ) của môđun M tương ứng với tập nhân đóng S trong R Khi

địa phương đầy đủ Như vậy, việc mở rộng nhiên cứu ra phạm trù các môđun compắc tuyến tính là thực sự cần thiết vì không những nó giữ được rất nhiều tính chất tốt của môđun Artin mà còn làm cho hàm tử đối địa phương hóa đóng Năm

2001, N T Cường và L T Nhàn [5] đã mở rộng các kết quả của L Melkersson

và P Schenzel tới lớp tất cả các môđun compắc tuyến tính biểu diễn được Lớp môđun này thực sự chứa tất cả các môđun Artin Thêm nữa, thay cho hàm tử đối

định tới câu hỏi của L Melkersson [11] cho các môđun compắc tuyến tính không nhất thiết có chiều Goldie hữu hạn

Mục đích của Luận văn là trình bày lại một cách chi tiết và rõ ràng kết quả nói trên của N T Cường và L T Nhàn trong [5]

Với mục đích đó ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, Luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày

về lý thuyết biểu diễn thứ cấp, môđun biểu diễn được và một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán, Đại số đồng điều nhằm phục vụ cho việc trình bày kết quả

chính của Luận văn ở chương sau

Chương 2 Môđun compắc tuyến tính biểu diễn được Trong chương

này, chúng tôi trình bày lại một cách chi tiết và rõ ràng kết quả của N T Cường

và L T Nhàn trong [5]

Luận văn được hoàn thành vào tháng 11 năm 2011 dưới sự hướng dẫn,

chỉ dạy tận tình của cô giáo, TS Nguyễn Thị Hồng Loan Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô, người đã hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Đồng thời cũng xin được cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết Luận văn, tôi cũng đã cố gắng rất nhiều song chắc chắn vẫn còn những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo chân thành của các thầy, cô và của các bạn để luận văn này được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 11 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày (không chứng minh) các kiến thức cơ sở cần thiết dùng cho chứng minh ở chương sau Trong toàn bộ luận văn

1 1 Môđun Artin

1 1 1 Định nghĩa (i) Một R– môđun M được gọi là môđun Artin nếu mọi

(ii) Vành R được gọi là vành Artin nếu R là một R – môđun Artin

1 1 2 Định lý Giả sử M là một R - môđun Các điều kiện sau là tương đương:

1 2 Biểu diễn thứ cấp và môđun biểu diễn được

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuật

ngữ của I G Macdonald [9] Khái niệm này có thể được xem là khái niệm đối

ngẫu với khái niệm phân tích nguyên sơ

1 2 1 Định nghĩa 1) Một tập con khác rỗng R - môđun M được gọi là thứ

cấp nếu với mọi r R∈ , phép nhân bởi r trên M là toàn cấu hoặc lũy linh Trong

cấp

M =M +M + +M

thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không có hạng tử M i

1 3 Giới hạn thuận, giới hạn ngược

1 3 1 Giới hạn thuận Một tập hợp V với quan hệ thứ tự bộ phận ≤ được gọi là

tập định hướng nếu với bất kỳ t s V r V, ∈ ∃ ∈ , sao cho t r s r≤ ; ≤ Chẳng hạn tập các

số nguyên dương là tập định hướng

f M →M ∀ ≤t r

được gọi là hệ thuận trên V nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây f tt =id M t và

∈

= ⊕

t

các phần tử dạng x t− f x tr( ),t t≤r,x t∈M t Môđun thương T C/ được gọi là giới hạn

thuận của hệ thuận {M f t, tr} và ký hiệu bởi lim t

Cho hai hệ ngược các R-môđun {M f t, rt} và {M f t' , rt'} (trên cùng một tập

: M f t; rt M f t; rt

là một họ gồm các đồng cấu {ϕt:M t →M t'} thỏa mãn f rt' ϕ ϕr = t.f rt với mọi t r≤

1 3 3 Một số tính chất của giới hạn thuận và giới hạn ngược

{ } { } { }

0 → M t → N t → P t → 0

0 lim t lim t lim t 0

→uuur →uuur →uuur →

là dãy khớp

nó không là hàm tử khớp, nghĩa là nếu

{ } { } { }

0 → M t → N t → P t

0 lim t lim t lim t

→suuu →suuu →suuu

là dãy khớp

0 lim t lim t lim t 0

→uuur →uuur →uuur → .

Hom (limR t; ) lim Hom (R t; )

1 4 1 Định nghĩa Cho F R: − mod → −R mod là một hàm tử hiệp biến, cộng

tại lời giải xạ ảnh

1 5 Hàm tử dẫn xuất phải Cho F R: − mod → −R mod là một hàm tử hiệp

nói chung không khớp Khi đó hàm tử dẫn xuất phải, R F• của F là họ các hàm

1 6 1 Lời giải nội xạ Cho M là một R- môđun Ký hiệu hàm tử

Hom ( , ) :R mod mod

1 6 2 Một số tính chất cơ bản của môđun mở rộng

ta có dãy khớp dài các R- môđun

1 7 Tích tenxơ của hai môđun

( ϕ ϕ ⊗ )(x y⊗ ) = ϕ ( )x ⊗ ϕ ( )y , với mọi x M∈ và y N∈ là một đồng cấu

1 8 2 Mệnh đề Một R – môđun M là phẳng nếu và chỉ nếu với mọi dãy khớp ngắn các R – môđun

1 8 3 Mệnh đề Mọi môđun tự do đều là môđun phẳng.

1 9 Môđun địa phương hóa

1 9 1 Vành các thương Cho S là tập nhân đóng của vành R Trên tích Đề các

R S× ta xét quan hệ hai ngôi: ( )r s, : ( )r s', ' ⇔ ∃ ∈t S t rs: ( ' −sr') =0 Khi đó ∼

vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p.

1 9 2 Môđun các thương Cho S là tập nhân đóng của vành R Khi đó ta có vành các thương S R−1 Trên tích Đề các M S× ta xét quan hệ hai ngôi:

(m s, ) : (m s', ') ⇔ ∃ ∈t S t ms: ( '−sm') =0 Khi đó ∼ là quan hệ tương đương

đương chứa ( , )m s là m s/ Như vậy S M−1 ={m s m M s S/ | ∈ , ∈ } .

1 10 Iđêan nguyên tố liên kết, giá của môđun

1 10 1 Định nghĩa (i) Cho M là một R- môđun Một iđêan nguyên tố p của R

1 10 2 Mệnh đề 1) p là iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi tồn tại

một môđun con N của M sao cho N ≅R/ p.

2) Gọi ∑={Ann( ) |x x M x∈ , ≠ 0} Khi đó nếu p là phần tử cực đại của ∑

thì p ∈AssM .

3) Cho S là một tập nhân đóng của R Khi đó

{ }1

Ass (R S M− )=AssR MI P∈ Spec |R PIS = ∅ .

1 10 3 Hệ quả Nếu N là một môđun con của R -môđun M thì AssN ⊂ AssM

1 10 4 Định nghĩa Cho M là R-môđun Khi đó tập hợp

SuppR M = ∈ p Spec |R Mp≠ 0

CHƯƠNG 2 MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH

BIỂU DIỄN ĐƯỢC

Năm 1942, S Leschetz đưa ra khái niệm không gian vectơ compắc tuyến tính nhằm nghiên cứu các không gian vectơ vô hạn chiều Năm 1953, D Zelinsky đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compắc tuyến tính

Từ đó đến nay, lớp môđun compắc tuyến tính đã được nhiều nhà toán học trên

thế giới quan tâm nghiên cứu Chú ý rằng, lớp môđun compắc tuyến tính rất rộng, chứa nhiều lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hoán Thậm chí một lớp môđun con của môđun compắc tuyến tính đó là môđun compắc tuyến tính nửa rời rạc cũng chứa thực sự các môđun Artin; hơn thế nữa nó còn chứa các môđun Noether trên vành địa phương đầy đủ

Mục đích của chương này là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả của

N T Cường và L T Nhàn trong [5] về môđun compắc tuyến tính biểu diễn được Các kết quả trong bài báo này là một mở rộng của các kết quả trong bài báo [12] của L Melkersson and P Schenzel

2 1 Môđun compắc tuyến tính

Sau đây, chúng tôi trình bày khái niệm môđun compắc tuyến tính theo thuật ngữ I G Macdonald [8]

Hausdorff nếu giao của tất cả các lân cận của 0 bằng 0

2 1 1 Định nghĩa Cho R là vành tôpô giao hoán và M là R-môđun tôpô Ta

Sau đây chúng tôi trình bày một số tính chất của các môđun compắc tuyến tính thường sử dụng trong chương này

Bổ đề sau được chứng minh trong [8].

2 1 2 Bổ đề (i) Cho M là một R - môđun compắc tuyến tính và N là một môđun con của M. Khi đó N là đóng nếu và chỉ nếu N là compắc tuyến tính.

(ii) Nếu M N, là các R -môđun tôpô tuyến tính Hausdorff, trong đó M là compắc tuyến tính và f M: →N là đồng cấu liên tục thì f M( )là compắc tuyến tính và do đó f là ánh xạ đóng.

(iii) Nếu M là R -môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và N là môđun con đóng của M thì M là compắc tuyến tính nếu và chỉ nếu N và M N/ là compắc tuyến tính.

(iv) Tích trực tiếp của các môđun compắc tuyến tính là compắc tuyến tính (v) Giới hạn ngược của một hệ ngược các môđun compắc tuyến tính với các đồng cấu liên tục là compắc tuyến tính.

(vi) Nếu M là môđun tôpô tuyến tính Hausdorff và N1 , ,N r là các môđun con compắc tuyến tính của M thì N1 + + N r là compắc tuyến tính.

2 1 3 Bổ đề Cho { }M t là hệ ngược các môđun compắc tuyến tính với các đồng cấu liên tục Khi đó với mọi i> 0 ta có

trong đó lim ( )s uuut ( )i − là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử giới hạn ngược.

Cho F là R -môđun phẳng Khi đó tồn tại hệ thuận {Ft} các R-môđun tự

t

lim Hom ( ;R t )

t

F M

uuu

một tôpô tuyến tính trên Hom ( ;R F M) cảm sinh từ tôpô của giới hạn ngược

nghĩa bởi hệ thuận { }F t

Nhìn chung, tồn tại hệ ngược các môđun tôpô tuyến tính với các đồng cấu liên tục mà giới hạn ngược của chúng là các môđun đẳng cấu (đại số) với nhau, nhưng các tôpô định nghĩa bởi tôpô của giới hạn ngược tương ứng thì lại không

t

F ≅ uuur

2 1 4 Định lý Cho F là một R - môđun phẳng, M là một R - môđun compắc tuyến tính Giả sử { } F t t K∈ là một hệ thuận các R -môđun tự do hữu hạn sinh sao cho lim Ft

(ii) Ext ( ;i ) 0

R F M = , với mọi i> 0 Chứng minh (i) Rõ ràng Hom ( ;R F M) là compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2,

chúng ta nhận được biểu đồ giao hoán

(ii) Ta có dãy phổ

( ) ,

2p q lim p Ext ( ;q ) Ext (i lim ; )

đây của Định lý 2.1.4 mà rất hay được sử dụng trong chương này là mở rộng của kết quả trên.

2 1 5 Hệ quả Cho ' ''

0 →M →M →M → 0là dãy khớp các R - môđun compắc tuyến tính Khi đó, với mỗi R - môđun phẳng F , dãy sau là khớp

0 → Hom ( ;R F M ) → Hom ( ;R F M) → Hom ( ;R F M ) → 0.

2 2 Tính biểu diễn được của Hom ( ;R F M)

thứ cấp của M là một phân tích M =M1 +M2 + + M n thành tổng của hữu hạn

{p p 1 , , , 2 pn} là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của M Vì thế {p p 1 , , , 2 pn}được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M và ký hiệu bởi

Att ( )R M Các hạng tử M i, i= 1, ,n , được gọi là các thành phần thứ cấp của M.

2 2 1 Bổ đề Cho F là R -môđun phẳng và M là R -môđun compắc tuyến tính

Chứng minh Giả sử Hom ( ;R F M) 0 ≠ Lấy x∈ p Thế thì x M n =0 với một số

R

2 2 2 Bổ đề Cho M là R -môđun compắc tuyến tính và N là môđun con của

M Nếu N là p – thứ cấp thì bao đóng N của N cũng là p – thứ cấp.

Chứng minh Lấy x∈ p tùy ý Khi đó n 0

2 2 3 Hệ quả Cho M là R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được Khi đó

M có một biểu diễn thứ cấp tối thiểu sao cho mọi thành phần thứ cấp của nó đều là compắc tuyến tính.

Chứng minh: Gọi M =M1 +M2 + + M n là biểu diễn thứ cấp tối thiểu của M,

trong đó M i là pi-thứ cấp với i= 1, ,n Khi đó AttR M ={p 1 , , pn} Ký hiệu M i là

bao đóng của M i với i= 1, ,n Theo Bổ đề 2.1.2, (i) các môđun con M i là

2 2 4 Hệ quả Cho M là một R -môđun compắc tuyến tính biểu diễn được và p

là một phần tử của AttR M Khi đó tồn tại ảnh đồng cấu B của M sao cho B là compắc tuyến tính p – thứ cấp.

Chứng minh Theo Hệ quả 2.2.3, ta có thể chọn được một biểu diễn thứ cấp tối

[9]) Vì thế theo Hệ quả 2.2.3 Chúng ta có ngay kết quả sau đây

2 2 5 Hệ quả Cho M là R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được Khi đó mọi thành phần thứ cấp cô lập của M đều là compắc tuyến tính.

2 2 6 Định lý Cho F là R - môđun phẳng và M là R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được Khi đóHom ( ;R F M)là R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được.

Chứng minh Theo Hệ quả 2.2.3, chúng ta có thể chọn được một biểu diễn thứ

môđun compắc tuyến tính

Vì thế

trong đó Hom ( ;R F N1 ) và Hom ( ;R F N2 ) được xét như các môđun con của

Hom ( ;R F M) Sử dụng giả thiết quy nạp cho môđun N2 ta có điều cần chứng minh □

2 2 7 Chú ý Tính biểu diễn được của lớp các môđun có chiều Goldie hữu hạn

đã được nghiên cứu bởi L Melkersson [11] (một môđun được gọi là có chiều Goldie hữu hạn nếu nó không chứa tổng trực tiếp của vô hạn các môđun con) Trong lớp các môđun này, ông đã đặc trưng tính biểu diễn được bằng đối đồng

điều địa phương Tuy nhiên, với mỗi R - môđun phẳng F và mỗi R - môđun biểu

được của môđun Hom ( ;R F M) chỉ vì Hom ( ;R F M) không nhất thiết có chiều

phẳng và M là một môđun biểu diễn được có chiều Goldie hữu hạn Hom ( ;R F M)

có là môđun biểu diễn được hay không?

Định lý 2.2.6 là câu trả lời khẳng định đối với câu hỏi trên cho mọi môđun

Chú ý rằng tồn tại các môđun (thậm chí trên vành địa phương đầy đủ) là compắc tuyến tính biểu diễn được nhưng không có chiều Goldie hữu hạn Thật vậy theo

S Lefschetz [7], tồn tại các không gian véc tơ compắc tuyến tính có chiều vô hạn Vì thế các không gian này không có chiều Goldie hữu hạn Rõ ràng rằng mọi không gian véc tơ đều là 0 – thứ cấp nên nó biểu diễn được Tuy nhiên N T Cường and L T Nhàn [5] đã chỉ ra ở ví dụ sau một lớp rất rộng các môđun compắc tuyến tính biểu diễn được nhưng không có chiều Goldie hữu hạn

2 2 8 Ví dụ Gọi ( , )R m là vành địa phương với dimR> 2 Chọn p¹ m≠ là iđêan

/

chiều Goldie hữu hạn

Chứng minh Theo Định lý 2.2.6, Hom ( ;R R Mp )là compắc tuyến tính biểu diễn

Ass Rp(Hom ( ;R R Mp )) ⊇ Ass Rp(Hom ( ; )) Spec( )R R Ep = Rp .

có hữu hạn các iđêan nguyên tố khi và chỉ khi nó có chiều Krull không vượt quá