Về đa tạp xuyến afin luận văn thạc sỹ toán học

Trong mặt phẳng, các hình hình học cơ bản là các đườngcong, thường được xác định bởi đồ thị của một phương trình hai ẩn số f x, y = 0, hàm f x, y thường là một đa thức hai biến.. Khác vớ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HỒ SỸ LONG

VỀ ĐA TẠP XUYẾN AFIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2011

Mục lục 1

1.1 Tập đại số 4

1.2 Tôpô Zariski 9

1.3 Tập đại số bất khả quy 10

1.4 Đa tạp afin 10

1.5 Vành tọa độ 11

1.6 Tập con mở afin và địa phương hóa 12

1.7 Đa tạp afin chuẩn tắc 13

1.8 Điểm trơn của đa tạp afin 14

1.9 Tích của các đa tạp afin 16

1.10 Tham số hóa một đa tạp afin 18

2 đa tạp xuyến afin 21 2.1 Torus 21

2.2 Đa tạp xuyến afin 23

2.3 Dàn 24

2.4 Iđêan xuyến 26

2.5 Nửa nhóm afin 28

2.6 Các định nghĩa tương đương 31

Cho K là một trường Không gian Đềcác n chiều Kn được gọi là khônggian afin nchiều Tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức trong vành

K[x] := K[x1, , xn] được gọi là một đa tạp afin (hay là một tập đại số).Giả sử S là một tập con của K[x1, , xn] Ta gọi V (S) là tập nghiệm của

S trong Kn và hệ phương trình {f = 0 | f ∈ S} là hệ phương trình củaS

Rõ ràng hệ phương trình của S và hệ phương trình của iđêan sinh bởi S

có cùng tập nghiệm Vì vậy mọi đa tạp afin đều có thể xem là tập nghiệmcủa một iđêan nào đó trong K[x1, , xn]

Cho A = {a1, , an} ⊆ Zd Mỗi vectơ ai được đồng nhất với một đơnthức tai trong vành đa thức Laurent

K[t±1] := K[t1, , td, t1−1, , td−1]

Xét đồng cấu nửa nhóm

π : Nn −→Zd,

xác định bởi, với mỗi u = (u1, , un) ∈Nn, π(u) = u1a1 + + unan Khi

đó dễ thấy ảnh của π là nửa nhóm

Imπ = NA = {λ1a1 + + λnan | λ1, , λn ∈ N}

Ánh xạ nâng π∗ : K[x] → K[t±1], xác định bởi π∗(xi) = tai Hạt nhân của

π∗ được kí hiệu bởi IA và được gọi là iđêan xuyến của A IA là một iđêannguyên tố của vành đa thức K[x] Đa tạp V (IA) được gọi là đa tạp xuyếnafin

Cho V là một đa tạp afin trong Kn Khi đó tồn tại iđêan I = (f1, , ft)

trong vành K[x1, , xn] sinh bởi các đa thức f1, , ft sao cho V = V (I)

Miêu tả các điểm của đa tạp afinV là tìm tất cả các nghiệm của hệ phươngtrình đa thức fi = 0, i = 1, , t Nếu hệ này chỉ có hữu hạn nghiệm thì tachỉ cần liệt kê tất cả các nghiệm của hệ đó ra Tuy nhiên nếu hệ này có

vô hạn nghiệm thì ta phải tham số hóa chúng Có những đa tạp afin đượcbiểu diễn bởi tham số đa thức, nhưng cũng có những đa tạp afin khôngthể có biểu diễn tham số đa thức

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu về một đa tạp afin đặc biệt, đó

là đa tạp xuyến afin Luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảochính là quyển sách Toric varieties của D.cox, J.Little và H.Schenck [4].Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình và nghiêm khắc của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giảxin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến cô Nhân dịp này, tác giảxin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệmkhoa Toán Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong Tổ Đại số,khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gianhọc tập Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt làcác bạn trong lớp Cao học 17 - Đại số đã cộng tác, giúp đỡ tác giả trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy giáo, cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 12 năm 2011

Tác giả

ĐA TẠP AFIN

1.1 Tập đại số

Hình học đại số là bộ môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiêncứu hình học Để làm được điều này người ta dùng đồ thị của các phươngtrình để mô tả các hình hình học Để tìm hiểu về khái niệm tập đại sốtrước hết ta xét một số ví dụ sau

Ví dụ 1.1.1 Trong mặt phẳng, các hình hình học cơ bản là các đườngcong, thường được xác định bởi đồ thị của một phương trình hai ẩn số

f (x, y) = 0, hàm f (x, y) thường là một đa thức hai biến Ví dụ phươngtrình tổng quát của một đường thẳng có dạng

ax + by + c = 0,

trong đó các hệ sốa, b không đồng thời bằng không; còn phương trình tổngquát của một đường cong bậc hai có dạng

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0,

trong đó a, b, c không đồng thời bằng không

Ví dụ 1.1.2 Trong không gian, các mặt cong thường được xác định bởi

trong đó a, b, c không đồng thời bằng không Tuy nhiên không phải hìnhhình học nào trong không gian cũng có thể mô tả bởi duy nhất một phươngtrình Khác với đường thẳng trong mặt phẳng, một đường thẳng trongkhông gian được xác định bởi một hệ hai phương trình tuyến tính:

ta có thể dùng các công cụ đại số để nghiên cứu các hình hình học

Ví dụ 1.1.3 Xét mệnh đề hình học nói rằng một đường thẳng cắt mộtđường cong bậc hai ở nhiều nhất là hai điểm Tập các giao điểm của đườngthẳng và đường cong bậc hai cho trước chính là tập nghiệm của một hệhai phương trình có dạng

Thông thường người ta chỉ xét các đa thức có hệ số là hữu tỷ, số thựchay là số phức Tổng quát hơn người ta có thể xét các hệ phương trình

đa thức với hệ số thuộc một trường nào đó với các nghiệm số cũng thuộctrường đó

Định nghĩa 1.1.4 Cho K là một trường có vô hạn phần tử Người ta gọikhông gian Đềcác Kn là không gian afin n-chiều trên K, kí hiệu là AnK.Tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức n ẩn số với các hệ số trong

K được gọi là một tập đại số trong AnK

Sau đây là một số ví dụ về tập đại số

Ví dụ 1.1.5 1 Không gian AnK là một tập đại số trong AnK vì nó là tậpnghiệm của phương trình 0 = 0

2 Tập hợp chỉ gồm một điểm α = (α1, , αn) ∈ AnK là một tập đại sốtrongAnK vì nó là tập nghiệm của hệ phương trình







x1 − a1 = 0

xn− an = 0

3 Tập rỗng ∅ cũng là một tập đại số vì nó là tập nghiệm của phươngtrình 1 = 0

Chú ý 1.1.6 Trong không gian afin 1-chiều A1K các tập đại số chỉ có thể

là A1K, các tập con hữu hạn của A1K hoặc là tập rỗng Điều này có thể dễdàng suy ra từ việc tập nghiệm của một đa thức f một biến chỉ có thể là

A1K (nếu f là đa thức không), một tập hữu hạn trong A1K (nếu f có bậcdương) hoặc là tập rỗng (nếu f là một phần tử khác không trong A1K)

Định nghĩa 1.1.7 Cho S là một tập hợp các đa thức trong K[x1, , xn].Tập hợp

V (S) = {α ∈ AnK | f (α) = 0, ∀f ∈ S}

Nếu S chỉ gồm một đa thức f thì dùng ký hiệu V (f ) và V (f ) được gọi làmột siêu mặt

Ví dụ 1.1.8 (i) V (0) = AnK

(ii) Nếu f = a0 + a1x + + anxn thì V (f ) là một siêu phẳng trong

AnK vì sau một phép biến đổi tọa độ ta có thể giả sử f = xn Khi đó

V (f ) = {(a1, , an) ∈ AnK | an = 0} có thể đồng nhất với không gian

Bổ đề 1.1.9 Cho S1 và S2 là hai tập hợp tùy ý trong AnK Nếu S1 ⊇ S2

Chứng minh Do I ⊇ S nên V (I) ⊆ V (S)

Đảo lại, nếu α ∈ V (S) và f = h1f1 + + hrfr là một tổ hợp tuyến tínhcủa các đa thức f1, , fr ∈ S thì f (α) = h1(α)f1(α) + + hr(α)fr(α) = 0

do f1(α) = = fr(α) = 0 Từ đây ta suy ra α ∈ V (I) Do đó V (S) ⊆

V (I)

Bổ đề 1.1.11 Hợp của một hệ hữu hạn các tập đại số là một tập đại số.Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh hợp của hai tập đại số là một tập đại

số Cho S1 và S2 là hai tập hợp tùy ý trong K[x1, , xn] Gọi T là tập các

đa thức có dạng f g, với f ∈ S1 và g ∈ S2 Ta sẽ chứng minh rằng

V (S1)[V (S2) = V (T )

Do mọi nghiệm củaS1 hoặcS2 cũng là nghiệm của T nênV (S1)S

V (S2) ⊆

V (T )

Đảo lại, giả sử α là nghiệm của T Nếu α không là nghiệm của S1 thì

ta có một đa thức f ∈ S1 sao cho f (α) 6= 0 Do f (α)g(α) = f g(α) = 0

với mọi g ∈ S2 nên g(α) = 0 Vì vậy,

Bổ đề 1.1.13 Giao của một hệ tùy ý các tập đại số là một tập đại số.Chứng minh Cho {Si}i∈I là một hệ các tập đa thức trong K[x1, , xn].Đặt S = S

thức nbiếnK[x] Nếu ta coi S là một tập đa thức trong một vành đa thức

m + n biến K[x, y] thì ta có thể xét tập nghiệm của S trong An+mK Gọitập nghiệm này là U Ta thấy ngay là V × AmK = U Như vậy V × AmK làmột tập đại số trong An+mK Tương tự ta cũng chứng minh được AnK × W

Định nghĩa 1.2.1 Trên AnK tôpô được xác định bởi các tập đóng là cáctập đại số (tập mở của AnK là phần bù của một tập đại số) được gọi làtôpô Zariski

Ví dụ 1.2.2 Ta có thể mô tả tôpô Zariski trên không gian afin 1-chiều

A1K, với K là trường đóng đại số như sau:

Tập Z là đóng trong A1K khi và chỉ khi Z gồm hữu hạn điểm, hoặc

Z = A1K hoặc Z = ∅ Thật vậy, vì Z là tập đại số suy ra tồn tại iđêan

I trong K[x1, , xn] để Z = V (I) Do K[x1, , xn] là vành chính suy ratồn tại f ∈ K[x1, , xn], I = (f ) Suy ra Z = V (f ), giả sử degf = r, ta

1.3 Tập đại số bất khả quy

Khi xét tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức người ta thườngtìm cách quy về việc xét các hệ phương trình đa thức đơn giản hơn Vềmặt hình học, điều này có nghĩa là ta phân tích một tập đại số thành cáctập đại số nhỏ hơn Nếu một tập đại số không thể phân tích thành hợpcủa hai tập đại số nhỏ hơn thì ta gọi tập đại số đó là một tập bất khả quy.Định nghĩa 1.3.1 Cho V là tập đại số trong AnK, V được gọi là bất khảquy nếu V không phân tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn,nghĩa là nếu V = V1∪ V2 với V1, V2 là những tập đại số thì suy ra V1 = V

Chú ý 1.3.3 Phần bù của một tập đại số nhỏ hơn trong một tập đại số

là một tập mở khác rỗng (theo tôpô Zariski) Vì vậy tính bất khả quy củamột tập đại số còn có thể đặc trưng bởi tính chất giao của hữu hạn cáctập mở khác rỗng là một tập mở khác rỗng

Định lý 1.3.4 Mọi tập đại số đều có thể phân tích thành hợp của một sốhữu hạn các tập đại số bất khả quy không giao nhau Các tập bất khả quytrong sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất

1.4 Đa tạp afin

Trong mục 1.2, ta đã thấy rằng trên không gian afin AnK được trang bịmột tôpô gọi là tôpô Zariski Đối với tôpô này mỗi tập đóng trong AnK làmột tập đại số

Định nghĩa 1.4.1 Mỗi tập đại số trong AnK được gọi là một đa tạp afin

Định nghĩa 1.4.2 Cho X là không gian tôpô, ta định nghĩa chiều của

X, kí hiệu dimX, là cận trên của tất cả các số tự nhiên n sao cho tồn tạimột chuỗi V0 ⊃ V1 ⊃ ⊃ Vn các tập con đóng bất khả quy phân biệt.Chiều của đa tạp afin hoặc tập đại số là chiều của nó xét như khônggian tôpô Đây là một khái niệm mở rộng khái niệm của không gia tuyếntính Như vậy chiều của tập đại số V (I) đo độ lớn của tập không điểmnày

Ví dụ 1.4.3 1 Chiều của không gian A1 là 1 Thật vậy, tập con đóngbất khả quy trong A1 là toàn bộ không gian và những điểm đơn lẻ trong

A1

2 Chiều của một tập hữu hạn trong An bằng 0

3 Nếu I là iđêan đơn thức, thì có thể chứng tỏ tập đại số V (I) là hợp một

số hữu hạn không gian con afin và chiều của nó là số lớn nhất trong sốchiều các không gian con afin của nó Như vậy trong trường hợp này kháiniệm chiều (tổ hợp) trùng với chiều trong hình học giải tích

1.5 Vành tọa độ

Từ bây giờ trở đi ta xét K là trường các số phức C, ta đã biết rằng C

là trường đóng đại số

Mỗi iđêan I ⊆ S = C[x1, , xn] xác định một đa tạp afin

V (I) = {p ∈ Cn | f (p) = 0 với mọi f ∈ I}

và mỗi đa tạp afin V ⊆Cn xác định một iđêan

I(V ) = {f ∈ S | f (p) = 0,với mọi p ∈ V }

Theo Định lý cơ sở của Hilbert, mỗi đa tạp afin V xác định bởi hữu hạncác đa thức triệt tiêu trong S; và với mỗi iđêan I, Định lý không điểm

của Hilbert nói rằng I(V (I)) = √

I = {f ∈ S | ∃l ≥ 1 : fl ∈ I} do C làtrường đóng đại số Khi đó vành thương

C[V ] = S/I(V )

được gọi là vành tọa độ của V

Các phần tử của C[V ]có thể được hiểu như C-giá trị hàm đa thức trên

V Lưu ý rằng C[V ] là một C- đại số, nghĩa là nó có cấu trúc không gianvectơ tương thích với cấu trúc vành Sau đây là một số thông tin về vànhtọa độ:

+) C[V ] là một miền nguyên ⇔ I(V ) là iđêan nguyên tố ⇔ V là bất khảquy

+ Ánh xạ đa thức (có khi gọi là cấu xạ) φ : V1 → V2 giữa các đa tạp afintương ứng với đồng cấu C-đại số φ∗ : C[V2] → C[V1], trong đó φ∗(g) =

và tất cả iđêan cực đại của C[V ] đều có dạng này

+) Cho V là một đa tạp afin Khi đó chiều của V bằng chiều của vànhtọa độ C[V ]

1.6 Tập con mở afin và địa phương hóa

Một số tập con mở Zariski của một đa tạp afin V là một đa tạp afin.Cho f ∈ C[V ]\{0}, và

Vf = {p ∈ V | f (p) 6= 0} ⊆ V

Khi đó Vf là một tập mở Zariski trong V và cũng là một đa tạp afin

Thật vậy, giả sử V ⊆Cnvới I(V ) = hf1, , fsivà chọn g ∈ C[x1, , xn]

đại diện cho f Khi đó Vf = V \V (g) là một tập mở Zariski trong V Bâygiờ ta xét một biến mới y và cho W = V (f1, , fs, 1 − gy) ⊆ Cn×C Do

phép chiếu Cn ×C → Cn là song ánh từ W lên Vf, chúng ta có thể đồngnhất Vf với đa tạp afin W ⊆Cn ×C

Khi V là bất khả quy, vành tọa độ của Vf được miêu tả dễ dàng Cho

C(V ) là trường các thương của miền nguyên C[V ] Nhắc lại rằng phần tửcủa C(V ) là các hàm hửu tỷ trên V Khi đó đặt

C[V ]f = {g/fl ∈ C(V ) | g ∈ C[V ], l ≥ 0}

Vành C[V ]f được xác định như trên là một ví dụ về địa phương hóa

Ví dụ 1.6.1 Torus n-chiều là tập con mở afin

(C∗)n = Cn\V (x1 xn) ⊆ Cn,

với vành tọa độ

C[x1, , xn]x1 xn = C[x±11 , , x±1n ]

Các phần tử của vành này được gọi là đa thức Laurent

1.7 Đa tạp afin chuẩn tắc

Cho R là một miền nguyên với trường các thương K, khi đó miềnnguyên R được gọi là chuẩn tắc hay đóng nguyên nếu bao đóng nguyêncủa R trong K chính bằng R; hay nói cách khác nếu mọi phần tử của K

nguyên trên R (nghĩa là nghiệm của đa thức thuộc R[x]với hệ số cao nhấtbằng 1) đều thuộc R

Định nghĩa 1.7.1 Đa tạp afin bất khả quy V là chuẩn tắc nếu vành tọa

độ C[V ] là chuẩn tắc

Chẳng hạn, Cn là chuẩn tắc vì vành tọa độ C[x1, , xn] là một miềnnhân tử hóa và do đó chuẩn tắc Sau đây là một ví dụ về đa tạp afin khôngchuẩn tắc

Ví dụ 1.7.2 Cho C = V (x3− y2) ⊆ C2 Đây là một đường cong bất khảquy với một đỉnh ở gốc Dễ thấy rằng C[C] = C[x, y]/hx3− y2i Cho x và

y tương ứng là tập đối của x và y trong C[C], ở đây cho y/x ∈ C(C) Mộttính toán cho rằng y/x /∈ C[C] và (y/x)2 = x, do đó C là không chuẩntắc.Ta sẽ thấy trong Chương 2 rằng C là một đa tạp xuyến afin

Một đa tạp afin bất khả quy V có một chuẩn tắc hóa được xác địnhnhư sau Cho

Ta gọi V0 là chuẩn tắc hóa của V Phép nhúng tự nhiên C[V ] ⊆ C[V ]0 =

C[V0] tương ứng với ánh xạV0 → V Ánh xạ này là ánh xạ chuẩn tắc hóa

Ví dụ 1.7.3 Ta thấy trong Ví dụ 1.7.2 đường cong C ⊆ C2 được xácđịnh bởi x3 = y2 có các phần tử x, y ∈ C[C] mà y/x /∈ C[C] là nguyêntrên C[C] Ta có C[y/x] ⊆ C(C) là bao đóng nguyên của C[C] và ánh xạchuẩn tắc hóa là ánh xạ C → C được xác định bởi t 7→ (t2, t3)

1.8 Điểm trơn của đa tạp afin

Để định nghĩa điểm trơn của một đa tạp afin V, đầu tiên chúng ta cầnđịnh nghĩa vành địa phương và không gian tiếp xúc Zariski Khi V là bấtkhả quy, vành địa phương của V tại p là

OV,p = {f /g ∈C(V ) | f, g ∈ C[V ]; g(p) 6= 0}

Như vậy OV,p bao gồm tất cả hàm hữu tỷ trên V đều xác định tại p Trong

OV,p có iđêan cực đại

mV,p = {φ ∈ OV,p | φ(p) = 0}

Thực chất, mV,p là iđêan tối đại duy nhất của OV,p, do đó OV,p là vành địaphương.

Trong trường hợp đa tạp afin V là khả quy với vành tọa độ C[V ] Chomột điểm p ∈ V, giả sử S = {g ∈ C[V ] | g(p) 6= 0} Dễ thấy S là tậpnhân đóng, địa phương hóa C[V ]S ký hiệu là OV,p và được gọi là vành địaphương của V tại p Không gian tiếp xúc Zariski của V tại p được địnhnghĩa là

Tp(V ) = HomC(mV,p/m2V,p,C)

Chú ý rằng dimTp(Cn) = n, ∀p ∈ Cn Không gian tiếp xúc Zariski củamột điểm trong đa tạp afin được tính toán nhờ bổ đề sau đây

Bổ đề 1.8.1 Cho V ⊆ Cn là một đa tạp afin và p ∈ V Giả sử rằng

I(V ) = hf1, , fsi ⊆ C[x1, , xn] Với mỗi i cho

được gọi là kỳ dị nếu nó không trơn Đa tạp afin V là trơn nếu mọi điểmcủa V là trơn

Những điểm nằm ở giao điểm của hai hay nhiều thành phần bất khảquy của V là luôn kỳ dị Do dimTp(Cn) = n, ∀p ∈ Cn, nên ta thấy Cn làtrơn Đối với một đa tạp afin bất khả quy V ⊆ Cn có số chiều d, cố định

p ∈ V và viết I(V ) = hf1, , fsi Sử dụng Bổ đề 1.8.1 dễ thấy rằng V làtrơn tại p khi và chỉ khi ma trận Jacôbi

Jp(f1, , fs) = (∂fi

∂xi

(p))1≤i≤s,1≤j≤n

có hạng bằng n − d

Ví dụ 1.8.3 Như đã nói trong Ví dụ 1.7.2 đường cong C được xác địnhbởi x3 = y2 có I(C) = hx3 − y2i ⊆ C[x, y] Một điểm p = (a, b) ∈ C cóJacôbi

Jp = (3a2, −2b),

do đó (0, 0) là điểm kỳ dị duy nhất của C

Do Tp(V ) = HomC(mV,p/m2V,p,C), ta thấy rằng V là trơn tại p khi

dimV bằng số chiều củamV,p/m2V,p như một không gian vectơ trênOV,p/mV,p.Nghĩa là p ∈ V là trơn khi và chỉ khi OV,p là vành địa phương chính quy.Mối quan hệ giữa tính trơn và tính chuẩn tắc thể hiện trong mệnh đềsau

Mệnh đề 1.8.4 Đa tạp afin bất khả quy trơn V là chuẩn tắc

Điều ngược lại của mệnh đề này có thể không đúng Sau này chúng ta

sẽ thấy đa tạp afin V (xy − zw) ⊆ C4 là chuẩn tắc nhưng V (xy − zw) làchính quy tại (0, 0, 0, 0)

1.9 Tích của các đa tạp afin

Cho đa tạp afin V1 và V2, có một số phương pháp cho thấy rằng tíchĐềcácV1×V2 là một đa tạp afin Phương pháp trực tiếp nhất được làm nhưsau Cho V1 ⊆ Cm = Spec(C[x1, , xm]) vàV2 ⊆Cn = Spec(C[y1, , yn]).Lấy I(V1) = hf1, , fsi và I(V2) = hg1, , gti Do fi và gj phụ thuộc vàocác tập riêng biệt của các biến, do đó

sao cho nếu ta có biểu đồ

ta cần Từ C[V1] ⊗C C[V2] là một C-đại số hữu hạn sinh không lũy linh,nên nó là vành tọa độ C[V1 × V2]

Ví dụ 1.9.1 ChoV là đa tạp afin Từ C = Spec(C[y1, , yn])tíchV ×Cn

Cho đa tạp afin V1 và V2, chúng ta lưu ý rằng tôpô Zariski trên V1 × V2

thường không phải là tích của tôpô Zariski trên V1 và V2