Một số vấn đề về thể tích hỗn tạp luận văn thạc sỹ toán học

Nội dung của “Hình học lồi” chứa một vấn đề có ý nghĩa vềphương diện độ đo, đó là thể tích hỗn tạp của các thể lồi.Khi nghiên cứu thể tích của các thể lồi, chúng ta xuất phát từ không gi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐĂNG KHOA

Một số vấn đề về

thể tích hỗn tạp

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN ĐĂNG KHOA

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 2

Chương 1 Tập lồi trong không gian Euclid Ed 5

1.1 Tập lồi và hàm lồi 12

1.2 Siêu phẳng tựa và hàm tựa 13

1.3 Đa diện lồi 14

Chương 2 Thể tích hỗn tạp và Quermassintegrals……… 17

2.1 Tổng Minkowski và tính chất……… 17

2.2 Mêtric Hausdorff……… 19

2.3 Thể tích hỗn tạp và một số tính chất 23

2.4 Quermassintegrals và thể tích trong……… 38

KẾT LUẬN……… 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 47

MỞ ĐẦU

lĩnh vực khác của toán học bao gồm: Giải tích, Đại số tuyến tính, Thống kê, Lýthuyết số và Tổ hợp Nội dung của “Hình học lồi” chứa một vấn đề có ý nghĩa vềphương diện độ đo, đó là thể tích hỗn tạp của các thể lồi.

Khi nghiên cứu thể tích của các thể lồi, chúng ta xuất phát từ không gianEuclid (hữu hạn chiều), sau đó trang bị mêtric Hausdorff cho không gian các thểlồi Trong không gian Euclid, để tính thể tích của một tổ hợp tuyến tính các thể lồi,người ta biểu biễn thể tích này dưới dạng một đa thức thuần nhất mà biến là các hệ

số của tổ hợp tuyến tính đó Các hệ số của đa thức này được gọi là thể tích hỗn tạpcủa các thể lồi Việc xây dựng công thức về thể tích hỗn tạp của một thể lồi bất kỳđược xuất phát từ việc xấp xỉ thể tích hỗn tạp của các đa diện lồi Tiếp theo đó xuấthiện các vấn đề xây dựng công thức diện tích bề mặt, thể tích trong và cácquermassintegrals của các thể lồi

Mục đích của luận văn trình bày một cách có hệ thống về các vấn đề thể tíchhỗn tạp, thể tích trong, diện tích bề mặt, các quermassintegrals Trên cơ sở thamkhảo các tài liệu tham khảo có thể có được trong điều kiện hiện nay, chúng tôi tìmhiểu, hệ thống một số vấn đề về thể tích hỗn tạp

Với mục đích trên luận văn được chia làm hai chương như sau:

Chương 1 Tập lồi trong không gian Euclid Ed

Chương này được trình bày theo các đề mục sau

1.1 Tập lồi và hàm lồi

Trong mục này chúng tôi trình bày khái niệm về tập lồi, thể lồi, bao lồi củacác tập trong không gian Euclid hữu hạn chiều, trình bày và chứng minh một sốtính chất cơ bản của chúng, trình bày khái niệm về hàm lồi, hàm lõm

1.2 Siêu phẳng tựa và hàm tựa

Trong mục này chúng tôi trình bày khái niệm về siêu phẳng tựa, hàm tựa,trình bày và chứng minh một số tính chất cơ bản của siêu phẳng tựa, hàm tựa

1.3 Đa diện lồi

Trong mục này chúng tôi trình bày khái niệm về đa diện lồi, trình bày vàchứng minh một số tính chất cơ bản của chúng.

Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh, dưới

sự hướng dẫn khoa học, tận tình chu đáo của Thầy giáo PGS.TS.Phạm Ngọc Bội.Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy giáo trong tổ Hình học đãgiảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu Tác giả cũngxin chân thành cảm ơn các thầy cô Khoa Toán, Khoa Sau đại học, các bạn bè và giađình đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót.Chúng tôi mong nhận được những góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận vănđược hoàn thiện hơn

Tác giả

CHƯƠNG 1 TẬP LỒI TRONG KHÔNG GIAN EUCLID Ed

Trong luận văn này chúng tôi xét không gian Euclid Edcó số chiều bằng d

trên trường số thực ¡

1.1 Tập lồi và hàm lồi

1.1.1 Định nghĩa

(i) Giả sử ,x y Î E , đoạn thẳng nối d x và y được định nghĩa như sau

(ii) Tập lồi compact C trong Ed được gọi là thể lồi.

(iii) Thể lồi C trong Ed được gọi là thể lồi chân chính nếu intC ¹ Æ.

Ta kí hiệu C = C( )E là tập tất cả các thể lồi trong d Ed và Cp = Cp( )Ed là tập tất cả

các thể lồi chân chính trong Ed

1.1.4 Định nghĩa Tổ hợp lồi của hữu hạn các điểm 1, , d, *

Chứng minh Nếu A chứa mọi tổ hợp lồi của các phần tử thuộc A thì ta xéttrường hợp n =2 , với mọi x x1, 2Î A l l; ,1 2³ 0 và l1+l 2= ta có1

1 1 2 2

x =l x +l x Î A, theo Định nghĩa 1.1.1 suy ra A là tập lồi.

Ngược lại, nếu A là tập lồi, xét

1

n

i i i

l

=

=

å Ta chứng minh x AÎ , bằng phương pháp quy nạp theo n.

 Với n =2 thì theo Định nghĩa 1.1.1 suy ra mệnh đề đúng.

 Giả sử mệnh đề đúng với n = ³k 3, tức là

1

k

i i i

k

i i i

k

i i i

1

k

i i

Từ Định nghĩa 1.1.1 suy ra

1

1 1 1 1

(i) Giao của một họ tùy ý các tập hợp lồi là một tập hợp lồi

(ii) Tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các tập hợp lồi là tập hợp lồi.

(iii) Ảnh và nghịch ảnh toàn phần của tập hợp lồi qua ánh xạ tuyến tính là

(iii) Giả sử V là một không gian vectơ trên ¡ và f :E ® là ánh xạd V

tuyến tính

- Giả sử A Ì E là tập lồi, ta phải chứng minh ( ) d f A là tập lồi trong V

Lấy ,x yÎ f A( ) và l Î ê úé ùë û, khi đó tồn tại 0;1 a b A, Î : x =f a y( ), = f b( ).

Vậy f- 1( )B là tập lồi trong Ed .W

1.1.7 Định nghĩa Cho A Ì E , tập lồi nhỏ nhất trong d Ed chứa A được gọi

là bao lồi của A, kí hiệu là ( )co A

1.1.8 Nhận xét

(i) ( )co A là giao của tất cả các tập lồi chứa A trong Ed

(ii) A Ì E là tập lồi khi và chỉ khi ( ) d co A = A

1.1.9 Định lý Giả sử A Ì E Khi đó ( ) d co A là tập tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử thuộc A

chứng minh ( )co A = , tức là phải chứng tỏ được B B Ì co A( )và ( )co A Ì B.

Vì ( )co A là tập lồi nên theo Mệnh đề 1.1.5 thì ( ) co A chứa mọi tổ hợp lồi của

các phần tử của A, suy ra B Ì co A( ).

Dễ thấy A Ì B nên để chứng minh ( )co A Ì B, ta cần chứng minh B là tập

lồi Thật vậy, lấy ,x y BÎ và l Î ê úé ùë û0;1, ta cần chứng tỏ z =l x+ -(1 l )y BÎ

(1) Lấy ,a b AÎ và l Î ê úé ùë û0;1, ta phải chứng minh z =l a+ -(1 l )b AÎ Vì

A là tập đóng nên tồn tại các dãy số { },{ }x n y n Ì A sao cho

n

x ® và a y n ®b

khi n ® ¥ Đặt z n =l x n + -(1 l )y n, khi đó { }z n Ì A và z n ® khi z n ® ¥ ,

Vậy int A là tập lồi .( ) W

1.1.11 Định lý (Carathéodory) Giả sử A Ì E Khi đó mỗi điểm thuộc d

( )

co A là tổ hợp lồi của không quá d +1 điểm thuộc A

Chứng minh Trước hết chú ý rằng hệ n điểm {x1, ,x độc lập affine thì n}

1

n £ +d , (bởi vì dim x{ 1, ,x n} = - nên n 1 n- 1£ d, hay n£ +d 1)

Giả sử x co AÎ ( ) Theo Định lý 1.1.9 thì x =l1 1x + + l n n x , trong đó

1, , n

x x Î A và l1, ,l n >0,l1+ + l n =1, với n là số nguyên dương.

Ta chứng minh có thể bỏ đi một số một số phần tử x để i x là tổ hợp lồi của các

điểm độc lập affine nằm trong các điểm x1, ,x và số các điểm còn lại không vượt n

quá d +1 Giả sử hệ điểm {x1, ,x phụ thuộc affine Khi đó tồn tại các số thực n}

1, , n

-Không mất tính tổng quát có thể giả sử x là tổ hợp lồi của các điểm x1, ,x n-1 Taxét hai khả năng sau:

 Nếu hệ {x1, ,x n-1} độc lập affine thì theo nhận xét ở trên thì n- 1£ +d 1

, hay n £ +d 2 Khi đó khẳng định trong định lý là đúng

 Nếu hệ {x1, ,x n-1} phụ thuộc affine, lặp lại quá trình chứng minh ở trêncho các điểm x1, ,x n-1 như đã làm cho các điểm x1, ,x , khi đó cũng xảy ra hai n

khả năng tương tự như ở trên Quá trình cứ tiếp tục như vậy nhưng nó sẽ kết thúc ởmột bước nào đó vì số điểm là hữu hạn Sau mỗi bước ta bớt đi một điểm và số cácđiểm đã cho x1, ,x là hữu hạn nên không thể xảy ra vô hạn khả năng thứ hai, có n

nghĩa là đến bước nào đó ta tìm được hệ điểm độc lập affine trong các điểm

1, , n

Tóm lại ta đã chứng tỏ được rằng mỗi x co AÎ ( ) thì x là tổ hợp lồi của

không quá d +1 điểm thuộc A W

1.1.12 Hệ quả Giả sử C Ì E là tập compact Khi đó ( ) d co C là tập compact.

liên tục và theo Định lý Carathéodory thì ( )f B =co C( ) Vì vậy ( )co C cũng là tập

1.2 Siêu phẳng tựa và hàm tựa

1.2.1 Định nghĩa Siêu phẳng H được gọi là siêu phẳng tựa của tập lồi

d

C Ì H- ) thì H+ (tương ứng H- ) được gọi là không gian tựa của C (xem [5]) Vectơ pháp tuyến u của H có hướng vào không gian tựa của C được gọi là

vectơ pháp tuyến trong, và khi đó u- được gọi là vectơ pháp tuyến ngoài.

1.2.2 Định nghĩa Cho C là thể lồi trong Ed, khi đó hàm số : d

C

h E ® ¡ ,xác định bởi ( )h u C =sup uy y C{ : Î } với u Î E được gọi là hàm tựa của thể lồi d

Chứng minh Với , u vÎ Ed,l ³ 0 và sử dụng Định nghĩa 1.2.2 ta có:

(i) ( )h C l u =sup ux x C{ :l Î }=l sup ux x C{ : Î }=l h u C( ).

(ii) (h u v C + )=sup u v x x C{( + ) : Î }

sup ux x C sup vx x C h u h v

1.3 Đa diện lồi

1.3.1 Định nghĩa Bao lồi của hữu hạn điểm được gọi là đa diện lồi Nếu H

là một siêu phẳng tựa của đa diện lồi K , chúng ta gọi tập F =K ÇH là mặt của

K

Ta ký hiệu à là tập hợp tất cả các đa diện lồi trong Ed

1.3.2 Định lý Mỗi đa diện lồi chứa hữu hạn mặt, mỗi mặt cũng là đa diện

lồi.

Chứng minh Lấy 1, , d

k

a a Î E , giả sử đa diện lồi P =co a{ 1, ,a k} và

F =P ÇH , trong đó H ={xÎ Ed xa =a} là siêu phẳng tựa của P Ta thấy

H phải đi qua một số điểm nào đó trong số các điểm a1, ,a Thật vậy, nếu k H

không đi qua điểm nào trong số các điểm a1, ,a thì các điểm này nằm về một k

phía đối của H Không mất tính tổng quát có thể giả sử P Ì H+, khi đó{a1, ,a k} Ì int H+ Như vậy thì ta có a a i = + , trong đó a b i b > i 0,i =1, ,k.

Lấy x FÎ thì

1

k

i i i

l

=

=

å Không mất tính tổng quát, giả sử a1, ,a s Î H và a s 1, ,a k int H+

=

=

å Điều đó có nghĩa

x là tổ hợp lồi của các điểm a1, ,a Vậy s F là đa diện lồi

Vì các tập con của tập {a1, ,a là hữu hạn nên số mặt của k} P là hữu hạn.Vậy Định lý được chứng minh .W

1.3.3 Định lý (Krein – Milman) Mỗi đa diện lồi là bao lồi của các đỉnh của

siêu phẳng tựa của Q.

Gọi Q' là siêu phẳng qua a và song song với 1 H , khi đó Q' là siêu phẳng tựa của

P (vì a1Î Q' và tất cả các điểm của P nằm về một phía của Q') Ta chứng minh

{ }1

'

Thật vậy, theo Định lý 1.3.2 thì 'Q Ç là một diện của P P Nếu 'Q Ç có sốP

chiều lớn hơn 1 thì nó chứa ít nhất một điểm thuộc {a2, ,a khác k} a , điều này1

mâu thuẫn vì các điểm a2, ,a nằm ở nửa không gian xác định bởi k H đối diện với

1

a Vậy a là đỉnh của 1 P Hoàn toàn tương tự các điểm a2, ,a cũng là các đỉnh k

của P W

CHƯƠNG 2 THỂ TÍCH HỖN TẠP VÀ QUERMASSINTEGRALS

Ta nhắc lại C = C( )E là tập tất cả các thể lồi trong d Ed và Cp = Cp( )Ed là tập

tất cả các thể lồi chân chính trong Ed

2.1 Tổng Minkowski và tính chất

2.1.1 Định nghĩa Cho ,C D Î C và l Î ¡ , khi đó ta định nghĩa tổng

Minkowski như sau:

chứng minh C +D Î C, tức là phải chứng minh C +D là tập lồi và C +D là tập

Dễ thấy f là ánh xạ liên tục và qua ánh xạ f thì C D´ biến thành C +D Suy ra

C +D là tập compact Như vậy C +D Î C .W

= - và gọi số này là khoảng

cách từ x tới tập D Khi đó ta có mệnh đề sau.

(i) d H( , )C D là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì lần lượt thuộc C

và D tới tập hợp kia Tức là

( ) ( )( , ) { , , , : , }

d = ³ , trường hợp thứ hai tương tự Vì vậy cho nên nếu

( , )

H

z <d C D thì z<d a D( , ) Khi đó không thể xảy ra hệ thức: C Ì D+zB d, nói

khác đi z Ï D Nghĩa là d H( , )C D £ , với mọi z z Î D Với bất kỳ e d> H( , )C D ,

(iii) d H( , )C E £ d H( , )C D +d H( , )D E ( bất đẳng thức tam giác ).

Định lý trên phát biểu cách khác: d H là một mêtric trên C.

Chứng minh

(i) Dễ thấy từ Mệnh đề 2.2.2 thì d H( , )C D ³ 0 với mọi ,C D Î C Bây giờ ta

chứng tỏ d H( , )C D = khi và chỉ khi 0 C =D Thật vậy nếu d H( , )C D = thì0

0 ,d 0 d

C Ì D + B D Ì C + B hay C Ì D D, Ì C Tức là C =D.

Ngược lại hiển nhiên d H( , )C C = 0

(ii) d H( , )C D =d H( , )D C được suy ra từ Mệnh đề 2.2.2

(iii) Đặt r =d H( , ),C E d H( , )C D =s,d H( , )D E = , ta phải chứng minht

(1) Giả sử B là hình cầu trong Ed và ff B1 2, , : ® ¡ là một dãy các

hàm số thỏa mãn các điều kiện sau

Khi đó dãy ff1 2, , chứa một dãy con hội tụ đều.

Bây giờ ta chứng minh định lý

(2) Giả B là hình cầu và C C1, , 2 là dãy các thể lồi trong B Khi đó dãy

này chứa một dãy con hội tụ

Mệnh đề (5), (4), (1) dẫn đến sự tồn tại của dãy con ( )d hội tụ đều tới hàm số n j

:

d ® ¡ Vì d là giới hạn đều của dãy các hàm số liên tục, lồi và không âm C

trên B nên d cũng liên tục, lồi và không âm trên C B Vì vậy

{ : ( )C 0}

C = x BÎ d x = Î C hoặc C = Æ.Nếu C = Æ thì ( )d C x > với mọi 0 x BÎ Do đó ( ) 0

Giả sử e>0 Vì d liên tục trên tập hợp compact C B nên d liên tục đều và vì C d C

bằng 0 trên C , nên tồn tại d>0 sao cho

Vậy Định lý được chứng minh .W

Từ các kết quả trên ta suy ra:

2.2.5 Định lý Những khẳng định sau đây là đúng

(i) C là không gian compact địa phương

(ii) Cp là không gian compact địa phương.

(iii) C với mêtric d H là không gian mêtric compact đầy đủ.

2.3 Thể tích hỗn tạp và một số tính chất

2.3.1 Thể tích của thể lồi

Hàm thể tích trên C là ánh xạ V : C ® ¡ thỏa mãn các tính chất: không âm,cộng tính, thuần nhất cấp d Thể tích ( )V P của thể lồi P được xây dựng nhờ hàmthể tích trên tập hợp L(B) tất cả các khối lập phương d– chiều (xem [5])

( ) :

V P = sup{ ( ) V A : A Î L(B),A Ì P } = inf{ ( )V B : B Î L(B),P Ì B}.Bây giờ ta xây dựng công thức tính thể tích của một tổ hợp tuyến tính các thểlồi, Định lý Minkowski sau đây sẽ chỉ ra rằng thể tích của một tổ hợp tuyến tínhcác thể lồi biểu diễn được dưới dạng một đa thức thuần nhất d biến

2.3.2 Định lý (Minkowski) Giả sử C1, ,C Î m C Khi đó có các hằng số

minh ta cần Mệnh đề 2.1.4 và một số bổ đề tiếp theo Ở mục 1.3 ta đã biết rằng:

Một đa diện lồi là tổ hợp lồi của tập hữu hạn điểm trong Ed Với P Î Ã, ta gọi

một mặt của P là giao của P với mặt phẳng tựa, vì vậy nó cũng là đa diện lồi Mặtcủa P có số chiều d - 1 được gọi là diện

2.3.3 Bổ đề Giả sử P1, ,P Î Ã Khi đó ta có các khẳng định sau: m

(i) P :=l1 1P + + l m m P Î Ã với l1, ,l ³ m 0.

(ii) Có một tập hữu hạn U Ì S d- 1 sao cho với mọi l1, ,l ³ m 0, với chúng

1 1 m m

ngoài của các mặt của P được chứa trong U

e Î P Khi đó e cũng là điểm cực biên của i P Thật vậy: i

Nếu e không là điểm cực biên của i P thì có một đoạn thẳng i S Ì P i sao cho e là i

điểm trong tương đối của S Khi đó e là điểm trong tương đối của đoạn thẳng

1 1e i 1e i 1 i S i 1e i 1 m m e P

l + +l - - +l +l + + + +l Ì , vì vậy e không là điểm cực

biên của P , điều này mâu thuẫn, suy ra (1) Do Định lý 1.3.3 mỗi P chỉ có hữu i

hạn điểm cực biên, đó là các đỉnh của nó Do (1) ta suy ra P chỉ có hữu hạn điểmcực biên Vì P là bao lồi của các điểm này nên theo Định lý 1.3.3 thì P là đa diệnlồi

(ii) Ta chứng minh khẳng định sau:

(2) Giả sử F là một mặt của i P với i i =1, ,m, và l1, ,l ³ m 0 sao cho

Do đó khẳng định trên được chứng minh Vì mỗi P chỉ có hữu hạn mặt, nên có tập i

U hữu hạn chứa các vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt phẳng H nói trong (2) Vìcác siêu phẳng chứa các diện của P =l1 1P + + l m m P thỏa mãn Mệnh đề 2.1.4nên (ii) được chứng minh

2.3.4 Bổ đề Giả sử , p n = n 1,2, là dãy các đa thức thuần nhất, thực, m

biến số bậc d và giả sử p là hàm số thực m biến số

(2) Cho q n = n, 1,2, là dãy các đa thức thực 1 biến số bậc d và q là