Sự phân tích dàn phân phối của các nửa vành lũy đẳng cộng tính luận văn thạc sỹ toán học

Ý tưởng đó bao gồm sự phân tích một nửa nhóm S cho trước thành các nửa nhóm thành phần có cấu trúc đơn giản quen thuộc hơn, qua một tương đẳng η trên S sao cho Sη là ảnh đồng cấu nửa dàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHẠM THỊ KIM DUNG

SỰ PHÂN TÍCH DÀN PHÂN PHỐI

CỦA CÁC NỬA VÀNH LŨY ĐẲNG CỘNG TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN, 2011

MỤC LỤC Trang

Chương1 Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm giao hoán…… ….…….4

1.1 Tương đẳng……….…… … 4

1.2 Băng và nửa dàn Băng các nhóm……… 9

1.3 Phân tích nửa nhóm giao hoán thành nửa dàn với các thành phần

Archimede Nửa nhóm tách được……… ……….………….13

Chương 2 Sự phân tích dàn phân phối của các nửa

vành luỹ đẳng cộng tính……….………….19

2.1 Nửa vành nửa nguyên tố……… … 19

2.2 Tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên một nửa vành……….… 25

2.3 Dàn phân phối của các nửa vành k-Archimede……….… … 30

Kết luận……… … 36

Tài liệu tham khảo……… …… …37

LỜI NÓI ĐẦU

Năm 1941, A.H Clifford lần đầu tiên định nghĩa sự phân tích nửa dàn của

các nửa nhóm Như vậy ý tưởng nghiên cứu một nửa nhóm qua sự phân tích nửa

dàn lớn nhất của nó đã được đặt ra Ý tưởng đó bao gồm sự phân tích một nửa

nhóm S cho trước thành các nửa nhóm thành phần có cấu trúc đơn giản quen

thuộc hơn, qua một tương đẳng η trên S sao cho Sη là ảnh đồng cấu nửa dàn

lớn nhất của S và mỗi η- lớp là một nửa nhóm thành phần A.H Clifford đã áp

dụng ý tưởng đó vào các nửa nhóm là hợp các nhóm Năm 1954, T Tamura và

N Kimura đã chứng tỏ rằng mỗi nửa nhóm giao hoán là một nửa dàn các nửa

nhóm Archimede Kết quả này được tổng quát hoá bởi M Petrich, M.S Putcha,

F Kemet và nhiều tác giả khác

Gần đây, ý tưởng phân tích nửa nhóm thành nửa dàn các nửa nhóm quen

thuộc hơn đã được chuyển sang cho sự phân tích các nửa vành Luận văn của

chúng tôi dựa trên bài báo Distributive lattice decomposition of semirings with a

semilattice additive reduct đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 2010 để tìm

hiểu đặc trưng tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên các nửa vành (S,+ , ) với

(S, +) là một nửa dàn.

Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Sự phân tích nửa dàn các nửa nhóm giao hoán

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về: tương

đẳng; băng và nửa dàn; băng các nhóm; phân tích một nửa nhóm giao hoán ra

các thành phần Archimede và các nửa nhóm tách được

Chương 2 Sự phân tích dàn phân phối của các nửa vành luỹ đẳng cộng tính

Đây là nội dung chính của Luận văn Trong chương này chúng tôi trình bày

trình bày: nửa vành nửa nguyên tố; tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên một

nửa vành luỹ dẳng cộng tính; dàn phân phối của các nửa vành k- Archimede

Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Quốc Hán

Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy đã tận tình chỉ dẫn chúng

tôi trong học tập và tập dượt nghiên cứu khoa học Thầy đã đặt vấn đề và trực

tiếp hướng dẫn chúng tôi hoàn thành Luận văn

Tác giả xin chân thành cám ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa Sau Đại

học, Tổ Đại số cùng Quý Thầy, Cô trong Khoa toán của Đại học Vinh đã nhiệt

tình chỉ dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành

Luận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng song Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót,

tác giả rất mong được những đóng góp quí báu từ các thầy, cô giáo và các bạn

CHƯƠNG 1

1.1.Tương đẳng

1.1.1 Định nghĩa tương đẳng

Giả sử ρ là một quan hệ tương đương trên nửa nhóm S Khi đó:

a/ ρ được gọi là tương đẳng phải nếu ρ ổn định bên phải, nghĩa là với mọi

Chúng ta nhắc lại rằng một quan hệ tương đương ρ phân hoạch miền xác

định S thành các lớp tương đương x x Sρ ∈( ). Một lớp tương đương của một

tương đẳng được gọi là một lớp tương đẳng

Nếu ρ là một tương đẳng thì nó bảo toàn tích của S, nghĩa là nếu các phần tử

1, 2

x y và x y thuộc cùng những lớp tương đẳng 2, 2 (x1ρ = y x1ρ ρ, 2 = y2ρ) thì tích

1 2

x x và y y thuộc cùng một lớp tương đẳng.1 2

1.1.2 Bổ đề Một quan hệ tương đẳng ρ trên nửa nhóm S là một tương đẳng

nếu và chỉ nếu với mọi x x y y có: 1, , ,2 1 2 x y x1ρ 1, 2ρy2 ⇒x x1 2ρy y1 2

Chứng minh Giả sử ρ là một tương đẳng Nếu x y1ρ 1 và x y2ρ 2 thì theo định

nghĩa x x x y1 2ρ 1 2và x y y y1 2ρ 1 2, do tính chất bắc cầu của ρ suy ra x x y y1 2ρ 1 2

Khẳng định ngược lại là hiển nhiên.W

1.1.3 Định nghĩa Giả sử X là một tập con của nửa nhóm S Xác định quan

hệ Γx như sau: ( , )x y ∈Γ ⇔ ∀x ( u v S uxv X, ∈ : ∈ ⇔uyv X∈ )

Khi đó Γx là một tương đẳng trên S và được gọi là tương đẳng cú pháp của X

trong S

Chúng ta nói rằng một tương đẳng ρ bão hoà một tập con X của nửa nhóm S

nếu X là hợp của các lớp tương đẳng của ρ.

1.1.4 Bổ đề Một tương đẳng ρbão hoà X ⊆S nếu và chỉ nếu

= U Khẳng định ngược lại là hiển nhiên.W

1.1.5 Bổ đề Đối với mọi tập con X⊆S , quan hệ Γx là tương đẳng lớn nhất

bão hoà X

Chứng minh Khẳng định Γx là tương đẳng trên S được suy ra trực tiếp từ

cách xác định Γx.

Rõ ràng, X được chứa trong hợp của tất cả xΓx(x X∈ ).Hơn nữa, nếu y∈xΓx

thì bằng cách chọn u v= =1 trong định nghĩa của Γx , chúng ta nhận được x X∈

kéo theo y X∈ Từ đó xΓ ⊆x X với mọi x X∈ và do đó x

Vậy giả thiết rằng x yρ và u v S, ∈ 1là các phần tử tuỳ ý Thế thì ux uyρ và

uxv uyvρ Từ đó uxv X∈ nếu uyv X∈ , vì ρbão hoà X Như vậy ( , )x y ∈ Γx và do

đó ρ⊆ Γx. Vậy Γx là tương đẳng lớn nhất trên S bão hoà X.W

1.1.6 Định nghĩa Giả sử ρ là một tương đẳng trên S, và giả sử

S ρ = x x Sρ ∈ là tập hợp tất cả các lớp tương đẳng của S Khi đó tương ứng

(xρ ρ,y ) a xyρlà một phép toán hai ngôi trên S ρ, và với phép toán đó,

S ρ trở thành một nửa nhóm được gọi là nửa nhóm thương (của S modulρ).

Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.6 hợp lý, ta chỉ cần chứng tỏ phép toán hai ngôi

xác định trong S ρ như trên có tính chất kết hợp Thật vậy với mọi x y z S, , ∈ ,

{ }, { }

x= e y = a vàz ={ }f b, Bảng nhân của nửa nhóm

thươngS ρ được cho bởi bảng thứ hai bên cạnh

Tương tự, quan hệ đối xứng ρ 1(với i s ⊆ ρ1) sao cho

1

e aρ và f bρ1 là một tương đẳng Nó chỉ có hai lớp tương đẳng là { }e a và ,

{ }f b, , do đó nửa nhóm thương S ρ1 là một nửa nhóm có hai phần tử.

Quan hệ đối xứng ρ 2sao cho a bρ2 không phải là một tương đẳng, vì a.a = e

và a.b = f trong S nhưng ( , )e f ∉ρ2 Trong trường hợp này, ρ 2không tương

thích với tích của S: (a,b)∈ ρ 2 nhưng (aa, ab)∉ ρ 2

b/ Nếu là ρ là một tương đẳng của S = (¢ ,+), thì nρm kéo theo (n + k)ρ(m

+ k), ∀ ∈k ¢ Giả thiết k là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho nρ(n + k) với

n nào đó thuộc ¢ Nói riêng, 0ρk Ký hiệu m là số dư còn lại của m được cho

bởi k: 0≤ ≤m m và m = m (mod k) Khi đó m mρ Điều ngược lại cũng đúng, và

như vậy các tương đẳng của (¢ ,+) thực chất là các tương đẳng xét trong Lý

ii) Giả sử δ ⊆S S là một quan hệ trên S Thế thì:δc = ∩{ρ ρ là một tương

đẳng trên S, ρ δ⊇ } là tương đẳng bé nhất của S chứa δ

x y z

x x y z

y y x z

Chứng minh i) Giả sử x yρ và z S∈ . Khi đó x yρi , với mọi i I∈ và do đó

i

zx zyρ , xz yzρi với mọi i I∈ , vì ρi là tương đẳng, với mọi i I∈ từ đó

,

zx zy xz yzρ ρ Do đó ρ là một tương đẳng trên S.

ii) Khẳng định thứ hai được suy ra trực tiếp từ khẳng định thứ nhất và định

nghĩa giao của các tập hợp.W

1.1.9 Định nghĩa Giả sử ρ là một tương đẳng trên S Khi đó ánh xạ

:S S/ , ( )x x

ρW → ρ ρW = ρ là một toàn cấu và được gọi là đồng cấu tự nhiên.

Vì ρ W là một toàn ánh, nên để chứng tỏ Định nghĩa trên hợp lý, ta chỉ cần

chứng minh ρW là đồng cấu

Thật vậy, ∀x y S, ∈ có ρW( )xy =xyρ =x yρ ρ ρ. = W( ).x ρW( ).y

1.1.10 Định nghĩa Giả sử : Sα →P là một đồng cấu nửa nhóm Khi đó

quan hệ {( , )x y ∈S S α( )x =α( )y } là một tương đẳng trên S, được gọi là hạt

nhân của α và được ký hiệu là ker(α ) Người ta cũng viết ker(α ) =αα− 1, trong

đó α− 1( )y = ∈{x S α( )x = y} và αα− 1 được hình dung như là tích các quan hệ

(thực hiện từ trái qua phải)

Sự kiện: ker(α ) là một tương đẳng được suy ra trực tiếp từ định nghĩa đồng

cấu nửa nhóm và cách xác định ker(α ) Hơn nữa, nếu ρ là một tương đẳng trên

S, thì ρ = ker (ρW) Thật vậy:

x yρ ⇔ xρ = yρ ⇔ ρW( )x = ρW( )y ⇔ ( , )x y ∈ker( ).ρW

Gộp các kết quả trên ta nhận được

1.1.11 Hệ quả Mỗi tương đẳng là một hạt nhân của đồng cấu nào đó

Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh các định lý về đồng cấu và đẳng

cấu nửa nhóm

1.1.12 Định lý Giả sử : Sα →P là một đồng cấu tuỳ ý Tồn tại duy nhất

một phép nhúng : / er( )β S k α →P sao cho biểu đồ sau đây giao hoán.

1.1.13 Định lý (Định lý đồng cấu nửa nhóm) Giả sử α:S →P là đồng cấu

nửa nhóm và ρ ⊆ker( )α là một tương đẳng của S Thế thì tồn tại một đồng cấu

duy nhất β : /S ρ →P sao cho α β = trong đó ρ W:S→S/ρ là đồng cấu tự nhiên.

Chứng minh Chứng minh hoàn toàn tương tự như chứng minh Định lý 1.1.12

Ở đây chúng ta chú ý rằng ánh xạβcho bởi (β ρ αx )= ( )x là hoàn toàn xác định

vì xρ = yρ ⇒ x yρ ⇒( , )x y ∈ ⇒ρ ( , )x y ∈ker( )α ⇒α( )x =α( ),y do đó ρ ⊆ k er( ). α W

Định lý đồng cấu cũng như Định lý đẳng cấu tiếp theo là những kết quả đại số

phổ dụng tiêu biểu, nghĩa là chúng được thoả mãn trong các tất cả các cấu trúc

đại số (nhóm, vành, đại số Boole….)

1.1.14 Định lý (Định lý đẳng cấu nửa nhóm) Giả sử α: S →P là một đồng

cấu Thế thì

( )α S ; S k/ er( ).α

Chứng minh Vì α: S→P là một đồng cấu nên :α S →α( )S là một toàn cấu

Theo Định lý 1.1.12, chúng ta nhận được một phép nhúng duy nhất β:

/ er( ) ( )

S k α →α S Hơn nữa, β là toàn ánh vì α là toàn ánh từ S vào α ( )S và

α βγ= với γW=ker( ).α Do đó β là một đẳng cấu, từ đó / er( )S k α α; ( ).S W

1.2 Băng và nửa dàn Băng các nhóm

1.2.1 Định nghĩa Một quan hệ thứ tự ≤ trên một tập X được gọi là một thứ

tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu Ta dùng ký hiệu a < b để

chỉ a≤b và a≠b

1.2.2 Bổ đề Giả sử E là tập hợp tất cả các luỹ đẳng của nửa nhóm S Khi đó

quan hệ ≤ xác định trên E bởi e≤ f e f( , ∈E)nếu ef = fe e= là một thứ tự

trên bộ phận E.

Chứng minh Vì e ∈ E nên e 2 = e, do đó e ≤ e nên ≤ phản xạ

Hơn nữa, nếu e≤ , ≤f f e thì ef = fe e= và fe ef = = f , do đó ≤ phản

đối xứng

Ta lại có: nếu e≤ f và f ≤ g thì ef = fe e= và gf = fg = f nên:

eg efg efg ef ege gfe gfe fe e= = = = = = = = ( ) ( ) , ( ) ( )

i) Phần tử b X∈ được gọi là cận trên của Y nếu y b≤ với mọi y Y∈

ii) Cận trên b của Y được gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập Y, nếu b c≤

với mọi cận trên c của Y (Nếu Y có một hợp trong X, thì rõ ràng hợp đó là duy

nhất)

iii) Phần tử a X∈ được gọi là cận dưới của Y nếu a y≤ với mọi y Y∈

iv) Cận dưới a của y được gọi là cận dưới lớn nhất hay giao của Y nếu d a≤

với mọi cận dưới d của Y (Nếu Y có một giao trong X, thì rõ ràng giao đó cũng

duy nhất)

v) Tập sắp thứ tự bộ phận X được gọi là nửa dàn trên (hay dưới), nếu mỗi tập

con gồm hai phần tử { }a b của X có hợp (hay giao) trong X; trong trường hợp ,

đó mỗi tập con hữu hạn của X có hợp (hay giao) trong X Hợp (giao) của{ }a b,

sẽ được ký hiệu là a b∪ (hay a b∩ ).

vi) Một dàn là một tập hợp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn trên và

nửa dàn dưới

vii) Dàn X được gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con X có một hợp và một giao.

1.2.5 Ví dụ 1/ Giả sử X là tập tất cả các nửa nhóm con của nửa nhóm S bổ

sung thêm tập rỗng Thế thì X được sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm của

lý thuyết tập hợp Vì giao của tuỳ ý các nhóm con của S hoặc là rỗng, hoặc là

một nửa nhóm con của S nên X là một dàn đầy đủ Giao của một tập con Y của X

trùng với giao theo lý thuyết tập hợp của các nửa nhóm thuộc Y, trong lúc đó

hợp của Y là nửa nhóm cảm sinh bởi hợp theo lý thuyết tập hợp của các nửa

nhóm thuộc Y Tất cả các lý luận trên vẫn có hiệu lực, nếu ta thay thế từ “nửa

nhóm con hay tập rỗng của S” bởi từ “tương đẳng trên S”

2/ Tập tất cả các iđêan trái (phải, hai phía) của nửa nhóm S bổ sung thêm tập

rỗng, đóng đối với phép hợp cũng như giao, nên là một dàn con đầy đủ của đại

số Boole tất cả các tập con của S

1.2.6 Định nghĩa Nửa nhóm S được gọi là một băng nếu mọi phần tử của S

đều là luỹ đẳng

Giả sử S là một băng Khi đó, S = E và S được sắp thứ tự bộ phận tự nhiên

(a b a b S≤ ( , ∈ )) nếu và chỉ nếu ab ba a= =

1.2.7 Mệnh đề Một băng giao hoán là một nửa dàn dưới đối với thứ tự bộ

phận tự nhiên trên S Giao a b∩ của hai phần tử a và b của S trùng với tích ab

của chúng Đảo lại một nửa dàn dưới là một băng giao hoán đối với phép giao.

Chứng minh Theo Bổ đề 1.2.2, quan hệ ≤ là một thứ tự bộ phận trên S(=E)

Ta chứng tỏ rằng tích ab(= ba) của hai phần tử a,b∈S trùng với cận dưới lớn

nhất của { }a b ,

Từ (ab)a = a(ba) = a(ab) = aab = a 2 b = ab và a(ab) = (aa)b = a 2 b =ab

suy ra ab≤a Tương tự ab≤b nên ab là cận dưới của { }a b Giả sử c, ≤a và c≤b

Thế thì (ab)c = a(bc) = ac = c, và tương tự c(ab) = c, từ đó c≤ab Do đó ab là

cận dưới lớn nhất của { }a b Suy ra S là nửa dàn dưới ,

Mệnh đề đảo là hiển nhiên.W

1.2.8 Chú ý Giả sử S là một băng giao hoán Khi đó nếu đặt a b≤ khi và

chỉ khi ab(= ba) = b thì (S,≤) là nửa dàn trên Tuy nhiên để cho thống nhất ta giữ

định nghĩa nêu trong 1.2.4 Từ đây ta dùng nửa dàn như đồng nghĩa với từ băng

giao hoán Hơn nữa từ nửa dàn sẽ được ngầm hiểu là nửa dàn dưới, nếu không

nói gì thêm

1.2.9 Ví dụ Giả sử X và Y là hai tập hợp tuỳ ý S = X ×Y là tích Decartes của

X và Y Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S bằng cách đặt (x 1,y 1 )(x 2,y 2 )=( x 1,

y 2 ) với x 1 , x 2 ∈X ; y 1 , y 2∈Y Tính kết hợp và luỹ đẳng của phép toán đó là hiển

nhiên

Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X ×Y Lý do của tên gọi đó như sau:

Ta hãy tưởng tượng X×Y là một bảng chữ nhật gồm các điểm, trong đó điểm

(x,y) nằm ở dòng x cột y của bảng Thế thì a 1 = (x 1 , y 1) và a2 = (x 2 , y 2) là hai đỉnh

đối diện của hình chữ nhật, mà hai đỉnh kia là a 1 a 2 = (x 1 ,y 2 ) và a 2 a 1 = (x 2 ,y 1) Các

băng chữ nhật trên X ×Y và X′ ×Y′ đẳng cấu với nhau nếu và chỉ nếu X = X′ và

.

Y = Y′

Nếu X = 1,Y = 1 thì băng chữ nhật X Y× đẳng cấu với nửa nhóm các phần tử

không bên phải

1.2.10 Định nghĩa Nếu nửa nhóm S được phân chia thành hợp của các nửa

nhóm con rời nhau Sα,α ∈I (I là tập hợp chỉ số nào đó) thì ta nói rằng S phân

tích được thành các nửa nhóm con Sα,α ∈I

Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con Sα thuộc

vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn S

Giả sử S = ∪{Sα,α∈I} là sự phân tích của nửa nhóm S sao cho mọi cặp

, I

α β ∈ , tồn tại γ ∈I để cho S Sα. β =Sγ Ta định nghĩa một phép toán đại số

trong I bằng cách đặt α β γ = nếu S Sα β ≤Sγ, khi đó I trở thành một băng đối

với phép toán đó Ta nói rằng S là hợp băng I các nửa nhóm Sα.

Ánh xạ ϕ: S →I xác định bởi : ( )ϕ a =α nếu a S∈ là một toàn cấu và các nửa

nhóm con Sαlà các lớp của tương đẳng hạt nhân kerϕ Đảo lại, nếuϕ là một toàn

cấu từ một nửa nhóm S trên một băng I thì ảnh ngược Sα = ϕ α − 1 ( ) của mỗi phần tử

Phần này chúng tôi sẽ trình bày một cách chi tiết các kết quả của T Tamura

và N Kimura chứng tỏ rằng mọi nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách

duy nhất dưới dạng một dàn các nửa nhóm Archimede

1.3.1 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Khi đó S được gọi

là nửa nhóm Archimede nếu ∀a b S, ∈ tồn tại các nguyên số dương m và n sao

cho a m =bx và b n =ay với x, y nào đó thuộc S.

1.3.2 Định nghĩa Giả sử ρlà một tương đẳng trên nhóm S Khi đó ρ được

gọi là luỹ đẳng nếu Sρ là một băng.

1.3.3 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tuỳ ý Ta xây dựng

quan hệ η trên S như sau: a b a bη ( , ∈S)nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên

dương m, n và các phần tử x y S, ∈ sao cho a m =b x b , n =a y

1.3.4 Định lý Quan hệ η trên một nửa nhóm giao hoán S là một tương đẳng

trên S và Sη là ảnh đồng cấu của nửa nhóm tối đại S.

Chứng minh Rõ ràng quan hệ η là phản xạ và đối xứng Để chứng minh η

bắc cầu, giả sử aηb và bηc (a, b,c ∈ S) Khi đó b m = a.x và c n =b.y với m, n là

các số nguyên dương và x, y ∈ S Vì S giao hoán nên c mn =(by) m =b m y m =axy m hay

a chia hết c nm Tương tự, c chia hết một luỹ thừa nào đó của a và do đó aηc Để

chứng minh η ổn định, giả sử a,b,c ∈ S và aηb Khi đó từ a chia hết b m nên ac

chia hết b m c và rõ ràng b m c chia hết (bc) m nên ac chia hết (bc) m Tương tự, bc

chia hết cho một luỹ thừa nào đó của ac và ta kết luận acηbc Vì S giao hoán nên

caηcb Vậy η là một tương đẳng trên S.

Rõ ràng aηa 2 với mọi a∈S nên Sη là luỹ đẳng và do S giao hoán nên Sη

giao hoán Vậy Sη là nửa dàn

Chứng minh sẽ kết thúc nếu ta chứng tỏ được rằng η được chứa trong một

lũy đẳng ρ bất kỳ trên S Giả sử aηb ( a,b ∈S) Thế thì tồn tại các số nguyên m,

n và các phần tử x, y thuộc S sao cho ax = b m , by = a n Vì ρ là luỹ đẳng nên aρ

a 2 , bρb 2 Do đó (ax)ρb và (by)ρa ⇒ aρ(by)ρ(b 2 y)ρ(ba)ρ(a 2 x)ρ(ax)ρb

Như vậy aρb và ta kết luận η ⊆ ρ.W

1.3.5 Định lý Một nửa nhóm giao hoán S biểu diễn được một cách duy nhất

thành nửa dàn Y các nửa nhóm Archimede Sα,α ∈Y Nửa dàn Y đẳng cấu với ảnh

đồng cấu nửa dàn tối đại Sη của S, và các Sα,α ∈Y là các lớp tương đương của

S theo modul η.

Chứng minh Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán và η là quan hệ trên S

được xác định như sau trong Định nghĩa 1.3.3 Theo Định lý 1.3.4, Sη là một

nửa dàn và Sη là ảnh đồng cấu của S Ta sẽ chứng tỏ S là nửa dàn các nửa

nhóm Archimede nếu ta chứng tỏ được rằng mỗi lớp tương đương A của S

modul η là một nửa nhóm con Archimede của S Rõ ràng A là một nửa nhóm

con của S vì Sη là luỹ đẳng Giả sử a,b∈A thế thì aηb và ax = b m , by = a n với x,

y nào đó thuộc S và m, n là các số nguyên dương nào đó Thế thì a bx( )=b m+1 và

1

( ) n

b ay =a + Từ đó bx chia hết b m+1 và b chia hết bx Suy ra bx bη nên bx∈A

Tương tự, ay A∈ Như vậy a chia hết b m+1 và b chia hết a m+1 đối với A, nghĩa

là A là Archimede

Về tính duy nhất, giả sử S là một nửa dàn Y các nửa nhóm con Archimede

,

Sα α ∈Y Chứng minh sẽ kết thúc nếu chứng tỏ được rằng các Sα là các lớp

tương đương của S modunl η, vì Y S

η

; được suy ra một cách trực tiếp

Giả sử ab S∈ Ta chứng tỏ rằng aηb khi và chỉ khi a và b cùng thuộc Sα.

Nếu a và b cùng thuộcSα thì mỗi phần tử chia hết một luỹ thừa của phần tử kia vì

Sαlà Archimede, và do đó ta có aηb và giả sử a S b S∈ α, ∈ β Vì a bη nên ta có

ax = b m , by = a n với x, y nào đó thuộc S và m, n nguyên dương nào đó Giả sử

x S∈ α khi đó ax S∈ aγ và b S∈ β Thế thì S aγ ∩Sβ ≠ ∅ và do đó αγ β= Như

vậy α β≤ trong nửa dàn Y Do đối xứng,β α≤ nên α β≤ W

1.3.6 Định nghĩa i) Nửa nhóm giao hoán S được gọi là tách được, nếu từ hệ

thức ab a= 2 =b a b S2( , ∈ ) kéo theo a = b

ii) Tương đẳng ρ trên nửa nhóm S được gọi là tách được, nếu nửa nhóm

thương Sρ tách được, nghĩa là nếu ab a bρ ρ2 2 kéo theo a bρ .

Rõ ràng giao của một họ các tương đẳng tách được trên S là tách được, suy

ra S có một đồng cấu tách được tối đại Ta sẽ chi tiết hoá kết quả này

1.3.7 Định nghĩa Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán Ta định nghĩa một

quan hệ σ trên S như sau: a b a b Sσ ( , ∈ )khi và chỉ khi tồn tại số nguyên dương

1.3.9 Định lý Quan hệ σ được định nghĩa trong 1.3.7 là một tương đẳng

trên S và Sσ là ảnh đồng cấu tách được tối đại của S.

Chứng minh Quan hệ σ là rõ ràng là phản xạ và đối xứng Để chứng minh σ

bắc cầu, giả sử a bσ và b c a b cσ ( , , ∈σ) Khi đó tồn tại các số nguyên dương

m và n sao cho ab n =b n+1, ba n =a n+1, m m 1

bc =c + , cb m =b m+ 1 Giả sử k = +(n 1)(m+ − =1) 1 n m( + +1) m, thế thì:

( 1) ( ) ( 1) 1 ( 1) ( 1)( 1) 1

và tương tự cak = ak+1

Để chứng minh σ ổn định, giả sử a bσ , nghĩa là ab n =b n+1, ba n =a n+ 1 với số

nguyên dương n nào đó và giả sử c S ∈ thế thì:

( )( ) ac bc n = ab cn n+ = b cn+ n+ = ( ) bc n+ và tương tự ( )(bc ac n n) =( )ac n+1 Như

vậy ( ) ( ) ac σ bc và vì S giao hoán nên ( ) ( )ca σ cb Suy ra σ là một tương đẳng

Cuối cùng, ta chứng minh σ tách được Giả sử a và b là các phần tử thuộc

S sao cho ab aσ 2và ab bσ 2 Thế thì tồn tại các số nguyên dương m và n

sao cho ( )( ) ab a2 m = ( ) a2 m+1 và ( )( ) ab b2 n = ( ) b2 n+1 Như vậy ba2m+1=a2(m+1)và

2m 1 2n 2

ab + = b + Theo Chú ý 1.3.8 có a bσ

Chứng minh sẽ kết thúc nếu ta chứng tỏ rằng σ được chứa trong mỗi tương

đẳng tách được ρ trên S Giả sử a bσ Chẳng hạn ab n =b n+1, ba n =a n+ 1 ta

chứng tỏ rằng a bρ

Giả sử k là một nguyên dương nào đó sao cho ab b kρ k+ 1, ba a kρ k+ 1 (1)

Chẳng hạn k = n Giả sử k ≥2 Bằng cách xem ab là a trong biểu thức sau 0

đây (nếu k = 2), có:

( abk− ) = ( abk− )( abk) ( ρ abk− ) bk+ = ( abk− ) ,( b ab bk k− ) k = ( ab bk) k− ρ b bk+ k− = ( ) bk

Đặt x ab= k−1,y b= k ta có xy x ρ 2và xy y ρ 2, do đó x yρ vì ρ tách được do

đó ab k− 1ρ b k và tương tự ba k−1ρ a k Như vậy (1) đúng với k−1 Bằng quy nạp

trở xuống, từ k = n suy ra (1) đúng với k = 1 Do đó ab bρ 2 và ba aρ 2 nên

a bρ W

1.3.10 Hệ quả Giả sử S là một nửa nhóm giao hoán tách được Nếu a và b

là các phần tử thuộc S sao cho ab m =b m+1, ba n =a n+1 với các số nguyên dương

nào đó thì a = b.

Chứng minh Dựa theo Chú ý 1.3.8 ta có a bσ Vì S tách được nên quan hệ

đồng nhất i trên S tách được Theo Định lý 1.3.9 có s σ ≤i s nên a = b.W

1.3.11 Định lý Một nửa nhóm giao hoán là tách được khi và chỉ khi các

thành phần Archimede của nó là giản ước được.

Chứng minh Giả sử S là nửa nhóm giao hoán tách được và giả sử Sα là một

thành phần Archimede của S Rõ ràng Sαcũng tách được Ta chứng minh Sα

giản ước được Giả sử a, b, c là các phần tử thuộc Sα sao cho ac = bc Vì Sα là

Archimede nên tồn tại các phần tử x y S , ∈ αvà các số nguyên dương

m, n sao cho cx a = mvà cy b= n thế thì:

am+1 = acx bcx ba = = m, bn+1 = bcy acy ab = = n.

Theo Hệ quả 1.3.10, có a = b.

Đảo lại, giả sử S là một nửa nhóm giao hoán sao cho mỗi thành phần

Archimede Sα của S là giản ước được Giả sử a và b là các thành phần thuộc S

sao cho a2 = =b2 ab Nếu chẳng hạn a S b S∈ α, ∈ β(αβ∈Y)thì a2∈Sαvà

Trước hết, ta nhắc lại một số kiến thức cơ sở về nửa vành

2.1.1 Định nghĩa a/ Tập hợp khác rỗng S được gọi là nửa vành nếu trên nó

đã xác định hai phép toán cộng và nhân sao cho các điều kiện sau đây thoả mãn

(i) ( S, +) là một vị nhóm giao hoán với đơn vị là 0;

(ii) ( S, ) là một nửa nhóm;