Một số định lí về sự tồn tại điểm trùng nhau và điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị và đa trị luận văn thạc sỹ t

MỤC LỤC1 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị 41.1 Một số kiến thức chuẩn bị.. 41.2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị.. 9 2 Sự tồn tại điểm trùng nha

MỤC LỤC

1 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị 41.1 Một số kiến thức chuẩn bị 41.2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị 9

2 Sự tồn tại điểm trùng nhau và điểm bất động chung của

2.1 Sự tồn tại điểm trùng nhau của một ánh xạ đơn trị và một ánh

xạ đa trị 262.2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị và các

ánh xạ đa trị trong không gian o-mêtric 31

đã mở rộng nó cho nhiều loại ánh xạ và nhiều loại không gian khác nhau Mộttrong những hướng mở rộng đó là nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động, điểmtrùng nhau của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị, điểm bất động chung củacác ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị

Mục đích của chúng tôi là dựa vào tài liệu tham khảo để nghiên cứu lí thuyếtđiểm bất động, điểm trùng nhau và điểm bất động chung của các ánh xạ đơntrị và ánh xạ đa trị trong các không gian mêtric, không gian mêtric nón Từ

đó xem xét đưa ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động chung củacác ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị trong không gian o-mêtirc

Với mục đích đó luận văn được trình bày thành hai chương

Chương 1 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơntrị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bấtđộng chung của hai, ba, ánh xạ đơn trị trong không gian mêtric, mêtric nón

Chương 2 Sự tồn tại điểm trùng nhau và điểm bất động chungcủa các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểmtrùng nhau của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị, đưa ra một số kết quả về

sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị trongkhông gian o-mêtric

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình củaPGS TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mìnhđến thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủnhiệm khoa Toán, Ban lãnh đạo Trường Đại Học Vinh

Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo tổ Giải tích trong KhoaToán Trường Đại Học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trongsuốt thời gian học tập

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè đã giúp đỡ và độngviên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thờigian nên Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong quý Thầy

Cô và các bạn góp ý để luận văn được hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 12 năm 2011

Tác giả

1.1.1 Định nghĩa Cho tập X và hàm d : X × X → R Hàm d được gọi là

một mêtric trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1) d (x , y) > 0 với mọi x , y ∈ X và d(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y;2) d (x , y) = d (y, x ) với mọi x , y ∈ X;

3) d (x , z ) ≤ d (x , y) + d (y, z ) với mọi x , y, z ∈ X

Tập hợp X cùng với một mêtric d trên nó được gọi là không gian mêtric và

kí hiệu là (X,d) hay đơn giản hơn là X

1.1.2 Một số kí hiệu Cho (X,d) là không gian mêtric

Ta kí hiệu

- K(X) là tập hợp tất cả các tập compact khác rỗng của X;

- CL(X) là tập hợp tất cả các tập đóng khác rỗng của X;

- CB(X) là tập hợp tất cả các tập đóng bị chặn khác rỗng của X;

- I là ánh xạ đồng nhất trên X;

- <(h) = {h(x ) : x ∈ X }, trong đó ánh xạ h : X → X;

- H là mêtric Hausdorff trên CL(X) được xác định bởi

H (A, B ) = max{d (a, B ), d (A, b)}

với A, B ∈ CL(X ), trong đó

d(a, B) = inf{d(a, b) : b ∈ B},d(A, B) = inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B},δ(A, B) = sup{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B};

- Ω : (R+)5 →R+ là hàm đơn điệu tăng theo từng biến, với t1, t2, t3, t4, t5 ∈

R+ = {r ∈ R : r > 0}

Ω(t+1 , t+2, t+3 , t+4, t+5) = inf{Ω(s1, s2, s3, s4, s5) : sj ∈ (tj, +∞)

∀j = 1, 2, 3, 4, 5},Ω(t1, t+2 , t+3, t+4 , t+5) = inf{Ω(t1, s2, s3, s4, s5) : sj ∈ (tj, +∞)

1.1.3 Định nghĩa ([5]) Cho X là không gian mêtric, f và S là các ánh xạ

từ X vào X Ta nói cặp (f,S) thỏa mãn điều kiện A nếu có một dãy {xn}∞n=0

thuộc X sao cho Sxn+1 = f xn := yn với mọi n = 0, 1, 2,

1.1.4 Định nghĩa ([5])Ta nói rằngΩ thỏa mãn điều kiệnAnếuΩ(t, s, t, 0, t+s) < s với mọi s, t ∈ R+, t < s

1.1.5 Định nghĩa ([5]) Ta nói Ω thỏa mãn điều kiện B nếu:

(i) Tồn tại một hàm đơn điệu tăng ϕ :R+ →R+, ϕ(t) < t ∀t ∈ (0, ∞),

(ii) Với mỗi t ∈ R+ tồn tại một tập chỉ số It 6= φ và các số thực không âm

βi, γi(i ∈ It) sao cho sup{γi : i ∈ It} < 1, Ω(t, t, 2t, t, t + s) ≤ sup{(1 + βi)t +

γis : i ∈ It} với mọi s ∈ [t, 2t], Ω(t, t, t, 0, λtt) ≤ ϕ(t), trong đó

1.1.7 Định nghĩa ([5]) Một cặp ánh xạ (f1, f2) từ X vào X được gọi làtương thích yếu nếu f1f2x = f2f1x với x ∈ X sao cho f1x = f2x

* Chú ý Nếu (f, S) tương thích thì tương thích yếu

1.1.8 Định nghĩa ([5]) Một cặp ánh xạ (f1, f2) trên không gian mêtric

(X, d) được gọi là liên tục phụ thuộc tại u ∈ X nếu dãy {f1f2xn} hội tụ tới

f1u và {f2f1xn} hội tụ tới f2u với {xn} là dãy trong X sao cho {f1xn} và

{f2xn} cùng hội tụ tới u, với u ∈ X

1.1.9 Định nghĩa Một tập P của một không gian Banach E được gọi làmột nón nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1) P là một tập đóng khác rỗng và P 6= {0};

2) 0 < a, b ∈R và x, y ∈ P ⇒ ax + by ∈ P;

3) P ∩ (-P) = {0}

Cho một nón P ⊆ E Ta định nghĩa một quan hệ thứ tự bộ phận ≤ trên E

với nón P bởi x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P

Ta viết

x < y nếu x ≤ y và x 6= y;

x  y nếu y − x ∈ intP, trong đó intP là phần trong của P

Nón P được gọi là chuẩn tắc nếu có một số k ≥ 1 sao cho

∀x, y ∈ E, 0 ≤ x ≤ y ⇒k x k≤ k k y k (1)

Số k nhỏ nhất thõa mãn điều kiện (1) được gọi là hằng số chuẩn tắc của

P

1.1.10 Định nghĩa Cho E là một không gian Banach, P là một nón trên

E với intP 6= φ và ≤ là thứ tự bộ phận trên E được xác định bởi P Giả sử

X là một tập khác rỗng, ánh xạ d : X × X → E thỏa mãn

1) 0 ≤ d(x, y) với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y;

2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;

3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X,

thì d được gọi là một mêtric nón trên X và (X, d) được gọi là không gianmêtric nón

Giả sử {xn} là một dãy trong không gian mêtric nón X, x ∈ X

- Nếu với mỗi 0  c tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n > n0, d(xn, x)  c,thì dãy {xn} được gọi là hội tụ (hoặc dãy {xn} hội tụ) tới x và x được gọi làgiới hạn của dãy {xn}.Ta viết

1.1.11 Định nghĩa Giả sử X, Y là hai tập khác rỗng Kí hiệu 2Y là họ tất

cả các tập con của Y Ta gọi mỗi ánh xạ từ X vào Y là một ánh xạ đơn trịhay hàm đơn trị và gọi mỗi ánh xạ từ X vào 2Y là một ánh xạ đa trị hayhàm đa trị

1.1.12 Định nghĩa Giả sử f, g : X → X và G, T : X → U với U ⊂ 2X Taviết f x thay cho f (x) và Sx thay cho S(x), x ∈ X

Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f x = x

Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của T nếu x ∈ T x

Điểmx ∈ X được gọi là điểm bất động chung của f và T nếu x = f x ∈ T x.Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động chung của f và g nếu x = f x = gx.Điểm x ∈ X được gọi là điểm trùng nhau của f và g nếu f x = gx

Điểm x ∈ X được gọi là điểm trùng nhau của f và T nếu f x ∈ T x

Điểmx ∈ X được gọi là điểm bất động chung của T và Gnếu x ∈ T x∩Gx.1.1.13 Định nghĩa Giả sử f : X → X và T : X → 2X Ta nói f và T giaohoán yếu nếu f T x ⊂ T f x với mọi x ∈ X

1.2 Sự tồn tại điểm bất động chung của các ánh xạ đơn trị

Trong mục này ta vẫn dùng các kí hiệu như trong mục 1.1.2

1.2.1 Bổ đề ([5]) Giả sử cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A, dãy

{d(yn, yn+1)}∞n=0 hội tụ tới 0, σ1(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và d(f x, f y) ≤α(x, y) với mọi x, y ∈ X Khi đó {yn} là dãy Cauchy

1.2.2 Bổ đề ([5]) Nếu Cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A, Ω thỏa mãn điềukiệnA và B và d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X, thì dãy {d(yn, yn+1)}∞n=0

(ii) Nếu σ2(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và z ∈ <(S), thì tồn tại w ∈ X saocho f w = Sw = z

(iii) Nếu ζ(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), z ∈ <(S) và (f, S) tương thích yếuthì f z = Sz = z

(iv) Nếu σ1(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), S liên tục tại z và (f, S) tươngthích thì Sz = z

(v) Nếu σ1(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), f liên tục tại z và (f, S) tươngthích thì f z = z

(vi) Nếu σ1(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), (f, S) tương thích và liên tục phụthuộc tại z thì f z = Sz = z

Chứng minh Vì (f, S) thỏa mãn có điều kiên A nên tồn tại {xn} ⊂ X saocho Sxn+1 = f xn = yn.

(i) Giả sử rằng σ1(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và f p = Sp với p ∈ X Khi đó,

có điểm bất động chung hoặc điểm trùng nhau nào khác z

(ii) Giả sử σ2(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và z ∈ <(S) Khi đó, tồn tại w ∈ X

n→∞α(w, xn+1) ≤ Ω(d(z, f w), 0+, 0+, d(f w, z)+, 0+) = σ2(d(f w, z))

Từ giả thiết d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X, suy ra

d(f w, yn+1) ≤ α(w, xn+1) với mọi n ∈ N. (3)Lấy giới hạn trên hai vế của (3) khin → ∞ta đượcd(f w, z) ≤ σ2(d(f w, z)) <d(f w, z) Suy ra d(f w, z) = 0 hay f w = z Vậy f w = Sw = z

(iii) Giả sử ζ(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), z ∈ <(S) và (f, S) tương thích yếu.Khi đó, vì ζ(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) nên σ2(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) Do đó,

từ (ii) suy ra tồn tại w ∈ X sao cho f w = Sw = z ∈ X

Mặt khác cặp (f, S) tương thích yếu nên ta có f Sw = Sf w hay f z = Sz

n→∞α(z, xn+1)

≤ σ1(d(f z, z)), hayd(f z, z) ≤ σ1(d(f z, z)) Doζ(t) < tvới mọi t ∈ (0, ∞)nên

σ1(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) Do đó ta có d(f z, z) ≤ σ1(d(f z, z)) < d(f z, z).Suy ra d(f z, z) = 0 hay f z = z = Sz Vậy z là điểm bất động chung của f và

S

(iv) Giả sử σ1(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), S liên tục tại z và (f, S) tương

thích Vì {yn} hội tụ tới z và S liên tục tại z nên {Syn} hội tụ tới Sz Do đódãy {SSxn} và {Sf xn}cùng hội tụ tới Sz Vì(f, S) tương thích và dãy{f xn}

và {Sxn} cùng hội tụ tới z, suy ra dãy {d(Sf xn, f Sxn)} hội tụ tới 0 Do dãy

{Sf xn} hội tụ tới Sz nên dãy {f Sxn} hội tụ tới Sz

Ta có

α(Sxn, xn+1) = Ω(d(SSxn, f Sxn), d(Sxn+1, f xn+1), d(SSxn, Sxn+1),

d(f Sxn, Sxn+1), d(SSxn, f xn+1))

= Ω(d(SSxn, f Sxn), d(yn, yn+1), d(SSxn, yn),d(f Sxn, yn), d(SSxn, yn+1)) với mọi n ∈ N.

(v) Giả sử σ1(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), f liên tục tại z là (f, S) tươngthích Khi đó, vì dãy {yn} hội tụ tới z và f liên tục tại z, suy ra dãy {f yn}

hội tụ tới f z Do đó các dãy {f f xn} và {f Sxn} cùng hội tụ tới f z Vì cặp

(f, S) tương thích và các dãy {f xn} và {Sxn} cùng có giới hạn là z nên dãy

{d(Sf xn, f Sxn)} hội tụ tới 0 Do dãy {f Sxn} hội tụ tới f z nên dãy {Sf xn}

cũng hội tụ tới f z Ta có

α(f xn, xn+1) = Ω(d(Sf xn, f f xn), d(Sxn+1, f xn+1), d(Sf xn, Sxn+1),

d(f f xn, Sxn+1), d(Sf xn, f xn+1))

= Ω(d(Sf xn, f f xn), d(yn, yn+1), d(Sf xn, yn),

(vi) Giả sử σ1(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), (f, S) tương thích và liên tụcphụ thuộc tại z Vì dãy {yn} hội tụ tới z nên các dãy {f xn} và {Sxn} cùnghội tụ về z Do đó từ giả thiết (f, S) liên tục phụ thuộc tại z suy ra {Sf xn}

hội tụ tới Sz, {f Sxn} hội tụ tới f z Mặt khác cặp (f, S) tương thích suy ra

1.2.4 Định lý ([5]) Giả sử cặp (f, S) thỏa mãn diều kiện A, Ω thỏa mãnđiều kiện A và B, σ1(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và d(f x, f y) ≤ α(x, y) vớimọi x, y ∈ X Khi đó,

(1) {yn} nói trong Định nghĩa 1.1.3 là dãy Cauchy

(2) Nếu dãy {yn} hội tụ tới z ∈ X thì các khẳng định sau đây là đúng.(i) f và S không thể có điểm bất động chung hoặc điểm trùng nhau khác

z

(ii) Nếu S liên tục tại z và (f, S) tương thích thì Sz = z

(iii) Nếu f liên tục tại z và (f, S) tương thích thì f z = z

(iv) Nếu (f, S) tương thích và liên tục phụ thuộc tại z thì f z = Sz = z.(v) Nếu σ2(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) và z ∈ <(S) thì tồn tại w ∈ X saocho f w = Sw = z

(vi) Nếu σ2(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), z ∈ <(S) và (f, S) tương thích yếuthì f z = Sz = z

Chứng minh (1) Theo giả thiết cặp (f, S)thỏa mãn điều kiện A, Ω thỏa mãnđiều kiện A và B và d(f x, f y) ≤ α(x, y) với mọi x, y ∈ X Do đó, theo Bổ đề1.1.2 dãy {d(yn, yn+1)}∞n=0 hội tụ tới 0

Mặt khác do σ1(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞) nên theo Bổ đề 1.2.1, ta suy ra

c[d(f x, Sy) + d(Sx, f y)] : a ≥ 0, b ≥ δ(θ(x, y)),

c ≥ δ(θ(x, y)), a + b + 2c ≤ 1}

với mọi x, y ∈ X, trong đó

θ(x, y) = max{d(Sx, Sy), d(Sx, f x), d(Sy, f y),1

2[d(f x, Sy) + d(Sx, f y)]}.

Khi đó,

(1) {yn} nói trong Định nghĩa 1.1.3 là dãy Cauchy

(2) Nếu dãy yn hội tụ tới z ∈ X thì các khẳng định sau đây đúng

(i) f và S không thể có điểm bất động chung hoặc điểm trùng nhau khác

z

(ii) Nếu z ∈ <(S) thì tồn tại w ∈ X sao cho f w = Sw = z

(iii) Nếu z ∈ <(S) và (f, S) tương thích yếu thì f z = Sz = z

(iv) Nếu S liên tục tại z và (f, S) tương thích thì f z = Sz = z

(v) Nếu f liên tục tại z và (f, S) tương thích thì f z = z

(vi) Nếu (f, S) tương thích và liên tục phụ thuộc tại z thì f z = Sz = z.Chứng minh Ta xác định các ánh xạ

= sup{ad(Sx, Sy) + b max{d(Sx, f x), d(Sy, f y)}+

c[d(f x, Sy) + d(Sx, f y)] : (a, b, c) ∈ I(max{d(Sx, f x),d(Sy, f y), d(Sx, Sy), 12[d(f x, Sy) + d(Sx, f y)]})}

= sup{ad(Sx, Sy) + b max{d(Sx, f x), d(Sy, f y)}+

c[d(f x, Sy) + d(Sx, f y)] : a ≥ 0, b ≥ δ(θ(x, y)),

t + [1 + δ(s)](s − t) < s nếu 0 ≤ t < s < +∞ Do đó Ω thỏa mãn điều kiện A

B với It = I(2t), βi = a, γi = c, trong đó i = (a, b, c) ∈ I(2t) Từ đó áp dụng

Định lí 1.2.4 ta có điều phải chứng minh.

1.2.6 Hệ quả ([5]) Giả sử (f, S)thỏa mãn điều kiện A và N0 là số nguyêndương, a1, , aN0, b1, , bN0, c1, , cN0 > 0 sao cho ai + bi + 2ci ≤ 1 vớimọi i = 1, 2, , N0 và

d(f x, f y) ≤ max{aid(Sx, Sy) + bimax{d(Sx, f x), d(Sy, f y)}

+ci[d(f x, Sy) + d(Sx, f y)] : i ∈ {1, 2, , N0}}

với mọi x, y ∈ X Khi đó {yn} nói trong Định nghĩa 1.1.3 là dãy Cauchy.Nếu {yn} hội tụ tới z ∈ X thì các khẳng định từ (i) đến (vi) của Hệ quả1.2.5 cũng đúng trong trường hợp này

Chứng minh Xác định hàm

δ : R+ → (0, min{1

3, δ1, δ2}],

trong đó δ1 = min{bk : k = 1, 2, , N0} và δ2 = min{ck : k = 1, 2, , N0}

Ta thấy các điều kiện của Hệ quả 1.2.5 được thỏa mãn Từ đó ta có điềucần chứng minh

1.2.7 Hệ quả ([5]) Giả sử ϕ : R+ → R+ là ánh xạ đơn điệu tăng saocho ϕ(t+) < t với mọi t ∈ (0, ∞) cặp (f, S) thỏa mãn điều kiện A và

d(f x, f y) ≤ ϕ(max{d(Sx, Sy), d(Sx, f x), d(Sy, f y),

1

2[d(f x, Sy) + d(Sx, f y)]})

với mọi x, y ∈ X Khi đó {yn} nói trong Định nghĩa 1.1.3 là dãy Cauchy.Nếu {yn} hội tụ tới phần tử z ∈ X thì các khẳng định từ (i) đến (vi) của

Hệ quả 1.2.5 cũng đúng trong trường hợp này

Chứng minh Ta xác định Ω : (R+)5 →R+ bởi công thức

Ω(t1, t2, t3, t4, t5) = ϕ(max{t1, t2, t3,1

2(t4 + t5)})

với mọi t1, t2, t3, t4, t5 ∈ R+ Khi đó, Ω là hàm đơn điệu tăng từng biến,

ζ(t) < t với mọi t ∈ (0, ∞), Ω thỏa mãn điều kiện A và d(f x, f y) ≤ α(x, y)

với mọi x, y ∈ X Rõ ràng rằng Ω(t, t, 2t, t, t + s) = ϕ(2t) ≤ 2t nếu t ∈ R+ và

t ≤ s ≤ 2t; Ω(t, t, t, 0, 2t) = ϕ(t) với mọi t ∈R+ Do đó Ω thỏa mãn điều kiện

B với It là tập một phần tử, βi = 1, γi = 0(i ∈ It) và λt = 2 với mọi t ∈ R+

Áp dụng Định lí 1.2.4 ta có điều phải chứng minh

1.2.8 Bổ đề ([2]) Giả sử X là một tập khác rỗng và các ánh xạ S, T, f :

X → X có duy nhất một điểm trùng nhau u ∈ X Nếu (S, f ) và (T, f )

tương thích yếu, thì S, T và f có duy nhất một điểm bất động chung Chứng minh Vì u là điểm trùng nhau của S, T và f nên f u = Su = T u =

v ∈ X Từ giả thiết các cặp(S, f )và (T, f )tương thích yếu, ta cóSv = Sf u =

với mọi x, y ∈ X, trong đó α, γ ∈ [0, 1) với 2α + γ < 1, T (X) ⊆ f (X) và

f (X) là một không gian con đầy đủ của X Khi đó T và f có duy nhấtmột điểm trùng nhau Hơn nữa, nếu (T, f ) tương thích yếu, thì T và f códuy nhất một điểm bất động chung

1.2.10 Hệ quả ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P làmột nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k, các ánh xạ T, f : X → X thỏa

d(T x, T y) ≤ αd(f x, T y) + βd(f y, T x) + γd(f x, f y) (8)với mọi x, y ∈ X, α, β, γ ∈ [0, 1) với α + β + γ < 1, T (X) ⊆ f (X) và f (X)

là một không gian con đầy đủ của X Khi đó T và f có duy nhất một điểmtrùng nhau Hơn nữa, nếu (T, f ) tương thích yếu, thì T và f có duy nhấtmột điểm bất động chung

Chứng minh Trong (8) thay đổi vai trò của x, y rồi cộng hai vế của bất đẳngthức lại ta được

d(T x, T y) ≤ α + β

2 [d(f x, T y) + d(f y, T x)] + γd(f x, f y).

Bây giờ sử dụng Định lí 1.2.9 ta thu được kết quả cần chứng minh

1.2.11 Hệ quả ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P làmột nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ T, f : X → X

thỏa mãn

d(T x, T y) ≤ γd(f x, f y)

với mọi x, y ∈ X, trong đó 0 ≤ γ < 1, T (X) ⊆ f (X) và f (X) là không giancon đầy đủ của X Khi đó T và f có duy nhất một điểm trùng nhau Hơnnữa, nếu (T, f ) tương thích yếu, thì T và f có duy nhất một điểm bất độngchung

Chứng minh Hệ quả này là trường hợp đặc biệt của Định lí 1.2.9 với α =0

1.2.12 Hệ quả ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P làmột nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ T, f : X → X

thỏa mãn

d(T x, T y) ≤ α[d(f x, T y) + d(f y, T x)]

với mọi x, y ∈ X, trong đó 0 ≤ α < 1

2, T (X) ⊆ f (X) và f (X) là một khônggian con đầy đủ của X Khi đó T và f có duy nhất một điểm trùng nhau Hơn nữa, nếu (T, f ) tương thích yếu, thì T và f có duy nhất một điểmbất động chung

Chứng minh Hệ quả này là trường hợp đặc biệt của Định lí 1.2.9 với γ =0

1.2.13 Định lý ([2]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric nón, P làmột nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc k và các ánh xạ S, T, f : X → X

thỏa mãn

d(Sx, T y) ≤ αd(f x, T y) + βd(f y, Sx) + γd(f x, f y)

với mọi x, y ∈ X, với α, β, γ là các số thực không âm α + β + γ < 1 Nếu

S(X) ∪ T (X) ⊆ f (X) và f (X) là một không gian con đầy đủ của X thì

S, T và f có duy nhất một điểm trùng nhau Hơn nữa, nếu (S, f ) và (T, f )

tương thích yếu thì S, T và f có duy nhất một điểm bất động chung Chứng minh Giả sử x0 là một điểm tùy ý trong X Vì S(X) ⊂ f (X) nênchọn được x1 ∈ X sao cho f x1 = Sx0

Tương tự, chọn x2 ∈ X sao cho f x2 = T x1 Tiếp tục quá trình này ta chọnđược dãy {xn} ⊂ X, sao cho