Chuyên đề số phức

chuyên đề số phức

Gửi chuyên mục: Chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp và ĐH Bạn Download ở www.k2pi.net

Một số dạng toán về số phức

Lê xuân đại (GV THPT Chuyên Vĩnh Phúc)

Số phức là một vấn đề còn mới ở ch-ơng trình toán giải tích lớp 12 Do vậy mà các em học sinh không thể tránh khỏi lúng túng khi gặp các bài toán về số phức Bài viết này giới thiệu một số dạng toán về số phức nhằm giúp các bạn ôn thi ĐH-CĐ tốt hơn Do khuôn khổ của bài viết nên một số lời giải chỉ nêu vắn tắt

I- dạng đại số của số phức

Dạng 1 : Bài toán liên quan đến các phép biến đổi số phức

Thí dụ 1 Tìm các số nguyên x,y sao cho số phức z x yithoả mãn z3 18 26 i

Lời giải Ta có

3

18 26

x xy

x y y





( ) 18 3( x y2 y3)26(x33xy2)

Giải PT bằng cách đặt ytx x ( 0) ta đ-ợc 1

3

t  x=3,y=1 Vậy z 3 i

Thí dụ 2: Cho hai số phức z z1, 2 thoả mãn z1  z2 1;z1z2  3 Tính z1z2

Lời giải Đặt z1 a1 b i z1; 2a2b i2 Từ giả thiết ta có

1 3





Suy ra 2(a b1 1a b2 2) 1 (a1a2)2(b1b2)2  1 z1z2 1

Dạng 2: Bài toán liên quan đến ph-ơng trình nghiệm phức

Thí dụ 3: Giải ph-ơng trình nghiệm phức z28 1( i z) 63 16 i0

Lời giải Ta có  ' 16 1( i)2(63 16 i)  63 16i (1 8i) 2

Từ đó ta tìm ra hai nghiệm z1 5 12i; z2  3 4i

Thí dụ 4: Tìm hai số thực x,y thoả mãn: x(3 5 i)y(1 2 i)3 9 14i

Lời giải Ta có x(3 5 i)y(1 2 i)3x(3 5 i)  y( 11 2i)(3x11y) ( 5x2y i)

Do đó x,y thoả mãn hệ 3 11 9

x y



  

 Giải hệ ta đ-ợc

172 61

x và 3

61

y 

Thí dụ 5: Giải ph-ơng trình nghiệm phức: z2 z

Lời giải Đặt z a bi a b ( ,  ) , ta có: z2  z 2 2 2

2

a bi a bi

ab b



 



0 0 1 0

z ; z ; z   i Trong nhiều tr-ờng hợp, dùng số phức có thể giải đ-ợc các hệ ph-ơng trình khó, ta xét thí dụ sau:

Gửi chuyên mục: Chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp và ĐH Bạn Download ở www.k2pi.net

Thí dụ 6: Giải hệ ph-ơng trình:

2 2

2 2

3

3

3 0

x y x

x y

y





( , )

Lời giải Từ hệ suy ra:

Đặt z x yi ta đ-ợc PT ẩn z :

2

z z

( )   ( ) 

Giải PT bậc hai tìm đ-ợc z  2 i và z  1 i

Từ đó tìm ra 2 nghiệm của hệ là ( , )x y  ( , );( , 2 1 1 1  )

Dạng 3: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho tr-ớc

Thí dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức các số phức z thoả mãn:

z i



Lời giải a) Đặt z x yi x y ( ,  ) , ta có z   z 3 4i

x2 y2 (x3)2 (4 y)2 6x8y25

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là đ-ờng thẳng có ph-ơng trình 6x8y25

b) Đặt z x yi x y ( ,  ) , ta có z i 1 z i z i x y 1i x y 1i

z i



 (  )  (  )   Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục thực Ox

Thí dụ 8: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức số phức   (1 i 3)z2 biết rằng

số phức z thoả mãn: z 1 2

Lời giải Đặt z a bi a b ( ,  ) và   x yi x y ( ,  )

Ta có z  1 2 (a1)2b24 (1)

3

x a b





    



 

Từ đó x3 2 y 3 2 4 a12b216

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn (x3)2(y 3)216, tâm I ( ;3 3) , bán kính R=4

Dạng 4: Số phức và bất đẳng thức

Thí dụ 9: Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra:

1 1 2

z  hoặc z2 1 1

Gửi chuyên mục: Chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp và ĐH Bạn Download ở www.k2pi.net

Lời giải Giả sử ta có đồng thời 1

1 2

z  và z2 1 1 Đặt z a bi a b ( ,  )

Ta có:

2 2 2 2 2

1

2





Cộng từng vế (1) với (2) ta đ-ợc (a2b2 2) (2a1)20 (vô lý) Suy ra đpcm

Thí dụ 10: Cho số phức z0 thoả mãn 3

3

1 2

z z

  Chứng minh rằng: 1

2

z z

 

Lời giải Dễ chứng minh đ-ợc rằng với hai số phức z z1, 2 ta có z1z2  z1  z2

Từ

3

3 3

3

3 3 3

a z

z

  ta đ-ợc a33a  2 0 (a2)(a1)2   0 a 2 (đpcm)

Ii- dạng l-ợng giác của số phức

Dạng 1: Viết dạng l-ợng giác của số phức

Thí dụ 11: Viết dạng l-ợng giác của số phức z biết rằng z  2 và một acgumen của

1

z i

 là

3 4





Lời giải Gọi  là một acgumen của z thì  là một acgumen của z , mà 1 i có một acgumen là

4



nên

1

z

i

 có một acgumen là 4



  Theo giả thiết ta có 3

Vậy dạng l-ợng giác của z là: 2

z cosi 

Dạng 2: Sử dụng công thức Moa-vrơ tính giá trị biểu thức

Thí dụ 12: Tính giá trị

10

A

i



 

Lời giải Biểu diễn l-ợng giác cho các số phức:

i cos  i 

i cos  i 

Sau đó áp dụng công thức Moavrơ biến đổi Acos5 isin5  1

Nếu kết hợp thêm khai triển nhị thức Newtơn ta đ-ợc nhiều kết quả hay và bất ngờ về tổ hợp

Thí dụ 13: Tính giá trị của S C20090 C20092 C20094   C20092006C20092008

Lời giải Xét khai triển:

Gửi chuyên mục: Chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp và ĐH Bạn Download ở www.k2pi.net

2009

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 0

k



So sánh phần thực và phần ảo ta đ-ợc S 21004

Nhận xét Bằng việc xét khai triển 1( i) ta có kết quả tổng quát sau: n

2

4 2

4

n

n

n

n n





*

( )

( ) sin

Cuối cùng là một số bài tập cho các bạn luyện tập

Bài 1: Giải các ph-ơng trình sau trên tập số phức

1 z3z

2 z   z 3 4i

3 (1i z) 2 2 11i0

Bài 2: Tìm số phức z sao cho A (z 2)(zi) là một số thực

Bài 3: Tìm tất cả các số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: |z| = 5 và

1

7





z

i z

là số thực

2

3

n

Bài 5: Giải hệ ph-ơng trình:

1

1

x

x y

x y y

x y





( , )

-Hết -