Chuyên đề số phức dùng trong ôn thi Đại học - Cao đẳng
Trang 1SỐ PHỨC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1/ Tập hợp số phức: C
2/ Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b R∈ , i là đơn vị ảo, i2 = -1); a là phần thực, b là phần ảo củaz
• z là số thực ⇔phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
• z là phần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3/ Hai số phức bằng nhau:
a + bi = a’ + b’i ( ,, ',' )
'
'
R b ab
a b b
a
a
∈
=
=
⇔
4/ Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b∈R) được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi
)
;
(a b
→
trong mp(Oxy) (mp phức) y
M(a+bi)
0 x
5/ Cộng và trừ số phức :
(a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
(a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’∈R)
• Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b ∈R)
• z biểu diễn →
u , z’ biểu diễn →
'
u thì z + z’ biểu diễn bởi → →
+u'
u và z – z’ biểu diễn bởi → →
−u'
u
6/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’∈R)
7/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z− =a−bi
a) z =z; z+z' =z+z' ; z.z' =z.z'
b) z là số thực ⇔z=z ; z là số ảo ⇔z = −z
8/ Môđun của số phức : z = a + bi
a) z = a2 +b2 = z =OM
b) z ≥ 0 ∀z∈C , z = 0 ⇔z= 0
c) z.z' =z z' , z+z' ≤z +z' ∀z,z' ∈C
9/ Chia hai số phức :
a) Số phức nghịch đảo của z (z≠ 0 ): z
z
b) Thương của z’ chia cho z (z≡ 0 ): z z z z z z z z z
z
'
'
2
c) Với z 0 , ' w z' wz.
z
z
=
⇔
=
≠ , z z' =z z', z z' = z z'
Trang 2z là căn bậc hai của số phức ω ⇔ z2 =ω
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi
=
++
=
⇔
=
=−
⇔
x
b y
ba
a x bxy
ay x
2
2 2
2
2 2 2 2
(a, b, x, y∈R)
a) w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
b) w ≠ 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
* Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a
* Hai căn bậc hai của a < 0 là ± −a i
11/ Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A ≠0).
AC
B2 − 4
=
∆
a) ∆≠0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt −B2A±δ, (δ là 1 căn bậc hai của )∆ b) ∆=0: Phương trình có 1 nghiệm kép là −2B A
12/ Dạng lượng giác của số phức :
* z = r(cosϕ+isinϕ)(r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈R,z ≠ 0 )
=
=
+
=
⇔
r b r a
b a r
ϕ
ϕ
sin cos
2 2
+ ϕ là một acgumen của z.
+ ϕ= (Ox,OM)
13/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(cosϕ+isinϕ) , z' =r' (cosϕ' +isinϕ' )thì : a) z.z' =r.r' [cos(ϕ+ϕ' ) +isin(ϕ+ϕ' )]
b) [cos( ' ) sin( ' )]
'
r
r z
z
14/ Công thức Moa-vrơ : n∈N* thì [r(cos ϕ +isin ϕ )]n =r n(cosnϕ +isinnϕ )
15/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Căn bậc hai của số phức z = r(cosϕ +isin ϕ ) (r > 0) là : (cos sin )
r ϕ +i ϕ và
r ϕ i ϕ r ϕ π i ϕ π
Trang 3B BÀI TẬP Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ĐS : 1 và 1
b) (1 + i)2 – (1 – i)2 ĐS: 0 và 4
c) (2 + i)3 – (3 – i)3 ĐS: -16 và 37
d)
i
i i
+
1
3 ĐS :
2
3
3 − và
2
3 1 2
Bài 2: Cho số phức z = x + yi Tìm phần thực và phần ảo của các số phức :
a) z2 – 2z + 4i ĐS: x2 – y2 – 2x và 2(xy – y + 2)
b)
1
−
+
iz
i
z ĐS: 2 ( 1 ) 2
2
+ +
−
y x
xy
1 2 2
) 1 ( + +
y x
x y
Bài 3: Giải các phương trình sau (ẩn z):
a) z i i
i
i
+
+
−
=
−
+
2
3 1 1
2
ĐS: i
25
4 25
22 +
2
1 ](
3 ) 2
i iz i z
i ĐS: -1 + i ; 1/2 c) z+ 2z= 2 − 4i ĐS: 2/3 + 4i
d) z2 −z= 0 ĐS: 0, -1, i i
2
3 2
1 , 2
3 2
1
− +
e) z2 +z = 0 ĐS: 0, i, -i
f) z2 +z2 = 0 ĐS: bi (b∈R)
Bài 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) z+z+ 3 = 4 ĐS: x = 1/2 và x = -7/2
b) z−z+ 1 −i = 2 ĐS: y =
2
3
1 ±
c) 2|z – i| = z−z+ 2i ĐS: y =
4
2
x
Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn : 1
4
=
−
+
i z
i z
ĐS: 0, 1 , -1
Bài 6: Phân tích ra thứa số :
a) a2 + 1 ĐS: (a – i)(a + i) b) 2a2 + 3 ĐS:(a 2 −i 3 )(a 2 +i 3 ) c) 4a4 + 9b2 ĐS: (2a – 3bi)(2a + 3bi) d) 3a2 + 5b2 ĐS: (a 3 −ib 5 )(a 3 +ib 3 )
Bài 7: Thực hiện phép tính :
a)
i
2
1
3
+ ĐS: i
5
6 5
3
− b)
i
i
−
+
1
1 ĐS: i c)
m
i
m
ĐS: -i m d)
a i a
a i a
−
a
a a
a
1
2 1
1
+
+ +
−
e) (1−23i+)(1i +i) ĐS: i
5
3 5
4 + f) 2 2
2 2
) 2 ( ) 2 3 (
) 1 ( ) 2 1 (
i i
i i
+
− +
−
−
17
9 34
21 + g)
a
i
b i
a+ ĐS: i a
a
b
− h) (2 – i)6 ĐS: -117 – 44i
Bài 8: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
Trang 4c) -1 - 2 6i ĐS: ± ( 2 − 3 i) d) -5 + 12.i ĐS:± (2 + 3i)
Bài 9: Giải các phương trình sau trong C.
a) x2 − 3 x+ 1 = 0 ĐS: i
2
1 2
3
± b) 3 2 x2 − 2 3 x+ 2 = 0 ĐS: ( 1 )
6
6
i
±
c) x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 ĐS: 2 + i ; 1 – 2i
6
i
±
e) 3x2 2 2− x 3+ 2 0= ĐS: 6 6
6 ± 6 i f) 3i.x2 – 2x – 4 + i = 0 ĐS:
3
1 2 10 2 2 10 2 3
3
1 2 10 2 2 10 2 3
Bài 10: Giài các hệ phương trình :
a)
−
= +
+
=
+
i z
z
i z
z
2 5
4
2
2
2
1
2
1
ĐS:(3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i)
b)
+
−=
+
−
−=
i z
z
i z
z
.2 5
.5 5
.
2
2
2
1
2
1
ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:
a) − 2 + 2 3i ĐS: 23π b) 4 – 4i ĐS: 34π
c) 1 - 3i ĐS: −π3 d)
4 sin 4
cosπ −i π ĐS:
4
π
−
e) cos 8
8 sinπ −i π
− ĐS: −58π f) ( 1 −i 3 )( 1 +i) ĐS: −12π
Bài 12: Thực hiện phép tính :
a) 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o) ĐS:
2
2 3 2
2 3
i
+
4 sin 4 (cos 3 ).
6 sin 6
(cosπ +i π π +i π ĐS: 15(cos )
12
5 sin 12
5π +i π
c)
) 15 sin 15 (cos
3
) 45 sin 45 (cos
2
0 0
0 0
i
i
+
+
ĐS:
6
6 2
2
i
+
d)
) 2 sin 2 (cos
2
) 3
2 sin 3
2 (cos
2
π π
π π
i
i
+
+
ĐS:
4
2 4
6
i
+
Bài 13: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
a) 1 −i 3 ĐS:
− +
−
3 sin 3 [cos
]
Trang 5b) 1 + i ĐS:
4 sin 4 cos
c) ( 1 −i 3 )( 1 +i) ĐS: )]
12 sin( ) 12 [cos(
2
d)
i
i
+
−
1
3
12
7 sin(
) 12
7 [cos(
e) 2 i.( 3 −i) ĐS: )
3 sin 3 (cos
f)
i
2
2
1
+ ĐS: )]
4 sin(
) 4
[cos(
4
2 −π +i −π
g) z = sin ϕ +i cos ϕ ĐS:
− +
2
sin 2
Bài 14: Tính :
a) (cos12o + isin12o)5 ĐS:
2
3 2
1
i
+
b) [ 2 (cos 30 0 +isin 30 0)]7 ĐS: − 4 6 −i 4 2
c) ( 3 −i) 6 ĐS: -2 6
d) (1 + i)16 ĐS: 2 8
e)
12
2
3 2
1
+i ĐS: 1
f) 12008
+
i
i ĐS: 21004
1
−
g)
21
3 2
1
3 3
5
−
+
i i
ĐS: 221