Gián án Chuyên đề: Số phức

• Các quy tắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức.

Nguyễn Hoàng Minh

Trường THPT Nguyễn Trung Trực

Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan :

1.1 Định nghĩa :

Số phức là một biểu thức có dạng a bi+ ; trong đó a b, ∈ ¡ và i2 = − 1

1.2 Các khái niệm liên quan :

Cho số phức z a bi= + Khi đó :

• a gọi là phần thực và b là phần ảo của số phức z

• Số phức zđược biểu diễn bởi điểm M a b( ); trên mặt phẳng tọa độ Oxy

z = OMuuuur = a +b gọi là modun của số phức z

• Số phức z = −a bi gọi là số phức liên hợp của số phức z

1.3 Hai số phức bằng nhau :

Cho số phức z a bi= + và z′= +a b i′ ′ Khi đó : z z a a

b b

′

=



′

= ⇔  = ′

Các phép toán trên tập hợp số phức :

1.4 Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :

a bi c di a c b d i

a bi c di a c b d i

a bi c di ac bd ad bc i

+ + + = + + + + − + = − + −

Chú ý :

• Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại

số thông thường với chú ý rằng i2 = − 1

• Các quy tắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức

• Cho z a bi= + Khi đó : z z =a2 +b2

1.5 Phép chia hai số phức :

.

0

z z z

z

z z z

Phương trình bậc hai :

1.6 Căn bậc hai của số thực âm :

Cho a là số thực âm Khi đó a có hai căn bậc hai là : i a và −i a

SỐ PHỨC Chuyên đề 5 :

1.7 Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực :

(az2 + + =bz c 0; , ,a b c∈ ¡ ;a≠ 0) Tính ∆ =b2 − 4ac

Kết luận :

• Nếu ∆ >0 thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt 1,2

2

b z

a

− ± ∆

• Nếu ∆ =0 thì phương trình có một nghiệm kép thực 1 2

2

b

z z

a

−

• Nếu ∆ <0 thì ∆ có hai căn bậc hai là i ∆ và − ∆i Khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là 1

2

b i z

a

2

b i z

a

Bài tập :

Bài 1 : Thực hiện các phép tính sau đây :

1

i i

−

1 2 + i + − 3 i ; (4 ) ( 3 2 ) 5

1

i

+ − + +

(29 13) (3 )

i

+

2i 3 2 − i − − + 2 i ; 17 5

1 2i+ 3 4i

5 5

i

− − +

23 14

3 6

3 4

i i

i

+

− −

+ ; (3 2− i) (− + −4 i) 3 2i i( −3); ( ) (2 )2

2 +i − + 3 2i

Bài 2 : Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức sau :

4 2

i

+

7 2 3 2

2

i

i

−

7 3 1 5

z

Bài 3 : Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây :

3 4

z= − i; z= +(4 i) (2 3− i) .

Bài 4 : Cho z= + 2 3 ,i z′ = + 1 i Tìm z z ′2 và z z− ′.

Bài 5 : Cho z= −3 i, z′ = −1 2i Tìm z

z′ và

z z

 

 ÷′

 .

Bài 6 : Cho z= +2 3i Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức 7

5

z i iz

+ + .

Bài 7 : Giải các phương trình sau :

3iz+ − = +3 2i 6 7i; (5 2+ i z) − + = −2 i 7 3i; ( )2

4 2 − − −i 1 i z= 0;

(3−i z) + − = + −2 i 5 (2 3i z) ; ( )2

2 +i z− − = − 6 6i 4 i; 2 3− − +i (1 i z) = − −2 i;

(5 3− i z) = − + −7 i (3 2i z) ; (3 2− i z) (− −3 8i) = + +1 2i 3z;

2 +i z+ − 1 i z= + 11 2i; (2−i) (3 2+ i z) = − +2 16i; 1 i z 4 2i

i

3 i z= − +i

Bài 8 : Tìm số phức z, biết rằng :

2 6 2

z+ z = + i; iz+3z = +7 5i; 3z +2z= +5 2i; i z +2z= −2 5i;

Bài 9 : Cho số phức z m= +(m−1) (i m∈¡ ) và số phức z′ =2n+ −(2 3n i n) ( ∈¡ ) Tìm zvà

z′ biết rằng z z+ = +′ 1 7i

Bài 10 : Cho số phức z m= +(m+1) (i m∈¡ ) Tìm z biết rằng z =5.

Bài 11 : Cho số phức z=(m− +1) (m+1) (i m∈¡ ) Tìm z biết rằng z z =10

Bài 12 : Cho số phức z=2m+(m+2) (i m∈¡ ) Tìm z biết rằng 2

z là một số phức có phần thực bằng −5

Bài 13 : Cho số phức z m= +(2m−1) (i m∈¡ ) Tìm zbiết rằng z2 − 12i là số thực

Bài 14 : Giải các phương trình sau trên tập £

z + = ; 4z2 + 25 0 = ; z2 + 4z+ = 5 0; 5z2 − 6z+ = 5 0; − 2z2 + 6z− 29 0 = ;

2

5z − 2z+ = 1 0; 4 2

5 4 0

z + z + = ; 4 2

5 36 0

z + z − = ; 3 2

2 10 0

z + z + z=

Bài 15 : Tìm số phức zbiết rằng :

z− + z+ = ; 5(z−1) (z+ +1) (2 4z+ =5) 0; ( )2 ( )

2 2z− 1 +z 17z+ = 6 0