Một số dạng toán về số phức

Một số dạng toán về số phức

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC

Biên soạn: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN

I) DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

Dạng 1) Bài toán liên quan đến biến đổi số phức

Phương pháp chung để giải các bài toán dạng này là ta gọi số phức z x yi= +

( ) ( ) (2 )2

Dạng 2) Bài toán liên quan đến nghiệm phức

Ví dụ 1) Giải phương trình sau: 2

Ta có thể phân tích nhanh như trên

Nếu không làm như trên ta có thể tìm ∆' theo cách Gọi w a bi= + là một căn

i

2

52

32

)1)(

4(1

4)

1

(

2

4)

i

2

12

12

)1)(

(1)

1

(

2

4)

−

=+

−

=+ là chưa đúng

Ví dụ 3) Giải phương trình 3 2

z − z + z− = Giải:

Ta có phương trình tương đương với ( ) ( 2 )

Giải:

Giả sử z=a là nghiệm thực của phương trình

2z+1 z − + + =3z 3 i 0 Giải phương trình ta tìm được 1; 2 ; 1

Giải: Giả sử nghiệm thuần ảo của phương trình là z bi= thay vào phương trình

Nếu biết phương trình có nghiệm z=z0 thì ta phân tích được thành dạng:

Phương trình được viết lại: 2 2

(z +6z−7)(z +6z+ =8) 34Đặt 2

z + z− =t ta có phương trình mới 2

15 34 0

t + t− =Phần còn lại dành cho học sinh tự làm

Công việc còn lại là giải các phương trình bậc 2 ẩn phức quen thuộc

Ví dụ 7) Tìm nghiệm của phương trình sau: 2

z =z Giải: Giả sử phương trình có nghiệm: z=a+bi thay vào ta có ( )2

Dạng 3) Các bài toán liên quan đến modun của số phức:

Để giải quyết tốt các dạng toán này học sinh cần nắm chắc các kiến thức về modun số phức và các tính chất liên quan hình học phẳng

Ví dụ 1) Chứng minh rằng:

a) z1+ = +z2 z1 z2 b) z z1 2 =z z1 2 c) 1 1

z z

Giải: Sử dụng điều kiện số phức z là số thực khi và chỉ khi z z=

1 2 1

1

11

Ví dụ 3) Cho ba số phức , ,x y z cùng có modun bằng 1 So sánh modun của các

4

z i− ≤c) Tìm số phức z có modun lớn nhất

Giải:

m m

+

++

Ví dụ 6) Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z− −2 4i = 5 Tìm số phức z

Dễ dàng có được (2M + 5 sin ; 4α + 5 cos )α Modun số phức z chính là độ dài

Về mặt hình học ta cần nhớ bài toán sau:

Cho một đường tròn tâm ( ; )I a b có bán kính R Tìm điểm M thuộc đường tròn

để độ dài OM lớn nhất? Nhỏ nhất

Để giải quyết bài toán này ta cần nhớ đến tính chất: ‘’Đường kính là dây cung lớn nhất trong đường tròn.’’

Như vậy độ dài OM lớn nhất hoặc nhỏ nhất sẽ ứng với các vị trí của điểm M

thuộc đường tròn sao cho , ,O I M thẳng hàng

Ngoài lời giải trên ta có cách giải khác sau:

Xét số phức z x yi= + Từ giả thiết suy ra ( ) (2 )2

( ) :C x−2 + y−4 =5 Suy ra tập hợp điểm ( ; )M x y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm (2;4) I bán kính R= 5

Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm điểm M thuộc đường tròn ( ) C sao

cho độ dài OM





lớn nhất, nhỏ nhất

Ta thấy đường thẳng OI có phương trình là: y=2x

Giao điểm của đường thẳng OI và đường tròn có tọa độ thỏa mãn hệ:

M M

Về mặt hình học : Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm điểm M thuộc

đường thẳng ( )d sao cho OM nhỏ nhất

Ta có ngay kết quả quen thuộc OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của

Đường thẳng ( ')d qua O vuông góc với đường thẳng ( ) d là: x− =y 0

Giao điểm H của ( ),( ') d d là nghiệm của hệ: { 0 { 2

Ví dụ 9) Tìm số phức z sao cho | z− +(3 4 ) |i = 5 (1) và biểu thức

( ) : (T x−3) + −(y 4) =5 có giao điểm chung

Điều kiện cần và đủ để ( ),( )∆ T có điểm chung là d I/∆≤R trong đó (3;4),I R= 5

Ngoài ra ta cũng có thể giải theo phương pháp lượng giác hóa:

Xét điểm M thuộc đường tròn

1cos

Dạng 4) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Phương pháp chung để giải dạng toán này là: Ta đặt z x yi= + ⇒z= −x yi thay vào giả thiết bài toán để tìm mối liên hệ ,x y

Học sinh cần chú ý : Nếu mối liên hệ ,x y là:

+ ax by+ + =c 0 thì tập hợp là đường thẳng

x +y = −x + −y ⇔ x+ y= Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng 6x+8y-25=0

Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và Elip (3) và tung độ các điểm nằm trên (Elip (3) luôn thoả mãn điều kiện (2)

Vậy tập hợp điểm M là Elip có phương trình

2 2

1

16 12

x + y =

Cách 2: Gọi z x yi= + ⇒M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z

(x−2) +y + (x+2) +y =8Gọi F1( 2; 0),− F2(2; 0) ta có MF1+MF2 =8

Theo định nghĩa Elip (SGK H10) suy ra điểm M thuộc Elip có các tiêu điểm là

1( 2; 0), 2(2; 0)

2a=8⇒a=4;c=2⇒b= 4 −2 =2 3

Suy ra phương trình của Elip là: 1

Ví dụ 3) Xác định tập hợp các điểm M(z) trong mặt phẳng phức biểu diễn các

số phức z sao cho số 2

2

z z

−+ có acgumen bằng

x yi z

22

Dạng 5) Chứng minh bất đẳng thức:

Ví dụ 1) Chứng minh rằng nếu z ≤1 thì 2 1 1

2

z iz

− ≤+Giải:

Giả sử z =a+bi (a, b ∈R) thì 2 2 2 2

z z

+ ≤ Chứng

minh rằng: z 1 2

z

+ ≤Giải: Dễ dàng chứng minh được với 2 số phức z z1, 2 bất kỳ ta có z1+z2 ≤ z1 + z2

II) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

Dạng 1: VIẾT DẠNG LƯỢNG GIÁC

Trong phần này các em học sinh cần nắm chắc các công thức:

+ Nhân hai số phức: z z '=r r ' cos([ ϕ ϕ+ ')+isin(ϕ ϕ+ ')]

+ Chia hai số phức: [cos( ') sin( ')]

' '

z r

i

z = r ϕ ϕ− + ϕ ϕ−+ Lũy thừa số phức: z n =r n(cosnϕ+isinnϕ)

Ví dụ 1) Viết dưới dạng lượng giác của các số phức:

a) 1 (cos sin )

i i

- Khi sinϕ=0 thì dạng lượng giác không xác định

- Khi sinϕ>0 thì dạng lượng giác là: 2sin cos sin

Nếu dùng dạng đại số để giải bài này thì ta sẽ gặp bế tắc ở bước giải hệ

Để khắc phục vấn đề này ta sẽ dùng dạng lượng giác:

Giả sử z=r(cosϕ+isin )ϕ với điều kiện r>0

r r

r

ϕ ϕ

z=r ϕ+i ϕ với điều kiện r>0

Ví dụ 1) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết 2

Ví dụ 2) Tìm một acgumen của số phức: z− +(1 i 3) biết một acgumen của z bằng

- Khi z =2 thì z− +(1 i 3)=0 nên acgumen không xác định

Ví dụ 3) Cho số phức z có môđun bằng 1 Biết một acgumen của z là ϕ, tìm một acgumen của:

Nếu cosϕ >0 thì có một acgumen là 0

Nếu cosϕ<0 thì có một acgumen làπ

Nếu cosϕ =0 thì acgumen không xác định

d) 2

cos 2 sin 2 , cos sin

z + =z ϕ+i ϕ z= ϕ−i ϕ

z i

+ là 3

4

π

−Giải:

Theo giả thiết 1

3

cos sin3

+ =

Phương pháp chung là nhân một phương trình của hệ với i sau đó cộng hai

phương trình với nhau Dựa vào các tính chất của số phức để thiết lập phương

z =x − x y +y + i x y−y x , nên từ hệ đã cho suy ra:

x y

x y

x y y

Vì hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực bằng nhau và phần ảo bằng

nhau, nên hệ đã cho tương đương với:

Ví dụ 4) Giải hệ phương trình với nghiệm với

+

=+ là số thực 5) Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện

z

− +

>

− −6) Trong các số phức thoả mãn điều kiện 2 3 3

2

z− + i = Tìm số phức z có modun lớn nhất,nhỏ nhất

7) Tìm số phức z thoả mãn điều kiện (z−1)(z+2i) là số thực và z nhỏ nhất

8) Tìm một acgumen của số phức z khác 0 biết z z i+ = z

2 1

1 0)

1 0

z z c

z

z i d

z z

12) Tìm phần thực phần ảo của 2011

2011

1ww

w+ =13) Tìm n nguyên dương để các số phức sau là số thực, số ảo:

)

3 3

n i

−+ =

23) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện: z+2i = − +z 1 i và 1

2

+ −+ là một số thuần ảo

24) Xét số phức z thỏa mãn điều kiện : z− =3i 1, tìm giá trị nhỏ nhất của z

25) Tìm số phức z thoả mãn z− + =(2 i) 26 và z z =25

26) Biết phương trình: ( ) 2

1−i x +(m i x+ ) + +1 im=0 không có nghiệm thực Tìm các giá trị có thể có của m

26) Cho z là số phức thỏa mãn:

2

z R

200

1 7i

z z

z + = −

−

32) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết z thõa mãn (1 3 ) 2

| |1

iz i z

z i

41) Tìm modun của số phức z biết: 1 (2 3 )2 2

43) Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn |z1| |= z2| 1;|= z1+z2|= 3 Tính |z1−z2|

44) Giải phương trình sau trên tập C :

2

4 3

1 02

z

z + +z + + =z

45) Cho z z1, 2 là nghiệm phức của phương trình 2

2z −4z+ =11 0 Tính giá trị biểu thức:

i

+

=+ Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z2, biết rằng z2− +iz1 z1 =2

z + bz+ c=50) Giải phương trình sau trên tập số phức : 2 2 2

57) Tìm số phức z thỏa mãn: 2 2

z +z z − =58) Giải phương trình sau trên tập số phức: 3 2 ( 2 )

−+ có một acgumen là

61) Giải phương trình sau trên tập số phức: 2 2 2

(9z +11) +16(3z+2) =062) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z+ −1 2i = + +z 3 4i và z 2i

z i

−+ là số thuần

3 2

11

z z w

z

+ +

=+ , biết rằng số phức z thỏa điều kiện

(z+z)( ) (1+ + −i z z)(2 3+ i)= −4 i

71) Cho số phức z thoả mãn | z+2iz | 3.= Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của mô đun số phức z

72) Tìm các số phức z z1; 2 thỏa mãn đồng thời các điều kiện: z1 − =z1 4z2−2 và

74) Trong mặt phẳng phức hãy tìm tập hợp các điểm ( ; )M x y biểu diễn số phức