Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013 Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau.. Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy v[r]
Trang 1Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất định :
1 1
1
n
x
dx
x
n
n
C x dx
1 ln
a
a dx a
x x
ln
sinxdx cosxC cosxdx sinxC
cos
1
sin
1
2
dx u x C x
u
x u
) ( ln )
(
) (
a x a
dx a
1 1
2 2
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn a; b có nguyên hàm là F (x)
Giả sử u (x) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn , và có miền giá trị là a; b
thì ta có :
u x u x dx F x u x C
( ) ' ( ) ( ) ( )
BÀI TẬP Tính các tích phân sau :
0
2
1
1
x
xdx
0 2
1
x x
e
dx e
e
x
dx x I
1 3
ln 1
Bài làm :
a) Đặt
2 2
1
xdx xdx
dt x
Đổi cận :
2 1
1 0
t x
t x
x2 a dx x x2aalnx x2 a C
2 2
Trang 2Vậy : ln 2
2
1 ln 2
1 2
1 1
2
1 2
1
2
1 2
t
dt x
xdx I
b) Đặt te x 1 dte x dx
Đổi cận :
1 2
1 1
2
e t x
e t x
1
1
1 1
1 1
0
2
2 2
t
dt e
dx e I
e
e e
e x
x
x tdt x
Đổi cận :
2
1 1
t e x
t x
Tích phân lượng giác :
nxdx mx
Cách làm: biến đổi tích sang tổng
dx x x
I sinm cosn .
Cách làm :
Nếu m, n chẵn Đặt t tanx
dx I
cos sin
Cách làm :
Đặt :
2 2 2
1
1 cos
1
2 sin
2 tan
t
t x t
t x x
t
dx x d x c
x b x a
cos sin
cos sin
Cách làm :
Đặt :
x d x c
x d x c B A x d x c
x b x a
cos sin
) sin cos ( cos
sin
cos sin
Sau đó dùng đồng nhất thức
) 1 2 2 ( 3
2 3
2 ln
1 2
1
2 3
1
3 t dt t
x
dx x
I
e
Trang 3Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
dx n x d x c
m x b x a
cos sin
cos sin
Cách làm :
Đặt :
n x d x c
C n
x d x c
x d x c B A n x d x c
m x b x a
cos sin cos
sin
) sin cos ( cos
sin
cos sin
Sau đó dùng đồng nhất thức
BÀI TẬP Tính tích phân :
0
4 1
) 1 (sin
cos
x
xdx
0
5
2 cos
xdx
0
6
3 tan
xdx I
Bài làm :
a) Đặt : t sinx 1 dt cosxdx
Đổi cận :
2 2
1 0
t x
t x
Vậy :
24
7 3
1 )
1 (sin
1 3 2
1 4 2
0
4
x xdx t dt t
I
b) Đặt : t sinx dt cosxdx
Đổi cận :
1 2
0 0
t x
t x
Vậy :
15
8 3
2 5
2 1
1 cos
1
0
1
0 3 5
1
0
1
0
2 4 2
2 2
0
5 2
t t t
dt t t dt
t xdx
I
c) Đặt : t tanx dt (tan2x 1 )dx
Đổi cận :
1 4
0 0
t x
t x
Trang 4Vậy :
4 15
13 3
5
1
1 1 1
tan
4
0 1
0
3 5
1
0
1
0
2 2
4 2
6 4
0
6 3
du t
t t
dt t
t t t
dt t xdx I
Tính các tích phân sau :
1
cos sin
.
cos sin
dx x b
x a
x x
0
2
2 cos 2 cos
dx x
x I
Bài làm :
a) Đặt : ta2 sin2xb2 cos2x dt 2 ( b2a2) sinx cosxdx
Đổi cận :
2 2
2
0
b t x
a t x
b a a b
b a t
a b
t
dt a b
dx x b x a
x x I
b
a
b
a
1 1
2
1 cos
sin
cos sin
2 2 2
2
2
0
2 2 2
2 1
2
2
2
2
Vậy :
a
x a
xdx a
a
xdx x
dx x b
x a
x x I
2
1 2
cos 4
1 2
sin 2
1
cos sin cos
sin
.
cos sin
2
0
2
0
2
0 2
0
2 2 2 2 1
b) Đặt : t sinx dt cosxdx
Đổi cận :
2
3 3
0 0
t x
t x
Trang 5Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
3
2 3
3
0
2
2
3 2
1 2
3 2
cos 2
cos
t
dt t
dt dx
x
x I
Đặt : t u dt sinudu
2
3 cos
2
Đổi cận :
4 2
3
2 0
u t
u t
Vậy :
2 4 2
1 2
1
cos 1 2 3
sin 2 3 2
1 2
3 2 1
2
4
4
4
2
4
2
2 3
2
u du
u
udu t
dt I
Tính các tích phân sau :
0
1
5 cos 3 sin
4
1
dx x x
0 2
5 cos 3 sin 4
6 cos 7 sin
dx x x
x x
I
Bài làm :
a) Đặt :
1
2 1
2
tan 2
t
dt dx
dx
x dt
x t
Đổi cận :
1 2
0 0
t x
t x
6
1 2 1
1 5
1
1 3 1
2 4
1 2
1
0
1
0
2 1
0
2 2 2
2 1
t
t
dt dt
t
t t
t
t I
b)Đặt :
5 cos 3 sin 4 5 cos 3 sin 4
sin 3 cos 4 5
cos 3 sin
4
6 cos 7 sin
x x
C x
x
x x
B A x
x
x x
Dùng đồng nhất thức ta được: A 1 , B 1 , C 1
Trang 6Vậy :
6
1 8
9 ln 2 5
cos 3 sin 4 ln
5 cos 3 sin 4
1 5
cos 3 sin 4
sin 3 cos 4 1 5
cos 3 sin 4
6 cos 7 sin
1 2 0
2
0 2
0
2
I x
x x
dx x
x x
x
x x
dx x x
x x
I
Bạn đọc tự làm :
a) 2
6
2
3
1
sin
cos
dx x
x
0
3
2 cos sin
xdx x
0 3
2 sin
x
dx I
0
3 3
1 cos
sin
4
dx x
x
0 5
3 cos 2 sin
1
dx x x
0 6
3 cos 2 sin
1 cos sin
dx x x
x x
I
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
Dạng 1 :
dx
1 1
1
với a,n CN 0 , 1 ta có :
a x
dx
Dạng 2 :
c bx ax
x
2
trong đó :
0 4
, , , ,
2
ac b
R c b a
* Giai đoạn 1 : 0,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức ax2 bxc, sai khác một số :
c bx ax
dx b
a a
dx c bx ax
b ax a
dx c bx ax
b
a b ax a
I
2 2
2
2 2
2 2
2 2
* Giai đoạn 2 :
Tính
b ax t
n n
n
t
dt a
a dx
c bx ax
dx I
2
1 2
4
* Giai đoạn 3 :
1
1
x Q
x P I
n m
0 1
b x b x
b
a x a x
a x
Q
x
P
n n
m m
n
m
Trang 7Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
Nếu : deg P deg Q thì ta thực hiện phép chia
x Q
x R x A x Q
x P
n
r n
m n
m trong đó
x
Q
x
R
n
r có deg R deg Q
Nếu : deg P deg Q ta có các qui tắc sau :
n n
n n
x m
a x
A a
x
A a
x
A a
x
P
1 1
n
i
i i
i n
i
i i
m
a x
A a
x
x P
1 1
2
) )(
)(
D c
x
C b x
B a x
A c
x b x a x
x
P m
n n n
n n
n m
c bx ax
B x A c
bx ax
B x A c
bx ax
B x A c
bx ax
x P
2 1 2
1 1
2 1 1
m
i
n
k
i i
i i n
m t
c bx ax
B x A x
A c
bx ax x
x P
1
C Bx x
A c
bx ax x
x
P t
)
2 2 2
1 1 2
2
c bx ax
C x B c
bx ax
C x B x
A c
bx ax x
x
P t
BÀI TẬP Tính các tích phân sau :
1
0
2
1
2
3x
x
dx
1
0
2 2
2
2
3x
x
dx I
Bài làm :
1
0 1
0 1
0
2
1
2
1 1
1 2
1 2
dx x
x
dx
I
b)
x x x
x
dx x
x
dx
1
0
2 2
1
0
2 2
2
2 1
2 2
1 1
1 2
3
x
1
0
2 ln 1 ln 2 2
1 1 1
3
4 ln 2 ln 1
ln 10
Trang 8Tính các tích phân sau :
0
2 4
1
3
3x
x
dx
0 2 2
2 1
2 4
dx x
x
x I
Bài làm :
a
x a
a x
dx
x x
x x
dx x
x
dx
1
0
1
0
2 2
2 2 1
0
2
4
1
3
1 1
1 2
1 3 1 3
3
9 2 3
2 3
arctan 3
1 arctan
2
0
x
b) Đặt : 2 1
2 2
1 2
1 2
2 4
2 2
2
x x
A C C B x B A x x
C Bx x
A x
x
x
Do đó ta có hệ :
0 2 2
0 2
4 2
0
C B A
A C
C B
B A
1
0
1
0
2 2
2
1
2 2
2 2
1
2 4
dx x
x x
dx x
x
x I
9
4 ln 1 ln 2 ln 2 ln 3 ln 2 1 ln 2 ln
0
Bạn đọc tự làm :
2
2
1
1
1
dx x
x
x
2 2 2
3
2x
x
dx I
x x
x
2
1
3
3
3
4
1
2
3
2 4 3
2
x
x I
HD:
1
2
x
C x
B x
A x
x
x
b)
3 1
3 2
1
2 x
B x
A x
x
1 2 1 2
4 1
4
1
4
1
3
3
x x
x
x x
x
x
d)
2 2
1 1
2
3 2
4 x
D x
C x
B x
A x
x x
Đẳng thức tích phân :
Trang 9Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng
BÀI TẬP
1
0
1
0
1
Bài làm :
0
1 x dx x
Đặt : t 1 x dt dx dx dt
Đổi cận :
0 1
1 0
t x
t x
1
1
0 1
0
1 1
x
Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn a, a thì :
a
a
dx x
f
Bài làm :
)
(
0
0
a
a dx x f dx x f dx
x
f
I
0
a
dx
x
Đổi cận :
0
x
a t a x
a
dt t f dt t f dx x
f
0
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên đoạn
a, a thì
a
a
a dx x f dx x f I
0
2
Cho a 0 và f x là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R
Trang 10Chứng minh rằng :
dx x f dx a
x f x
0
1
Bài làm :
dx
a
x
f
x
0
1
Đổi cận :
0
x
t
0
1 1
t
t x
a
t f a dt a
t f dx a
x
f
0 0
1
x f dx a
x f a dx a
x f
x x
x
Cho hàm số f x liên tục trên 0 , 1 Chứng minh rằng :
sin 2
sin
x
Bài làm :
0
sin
.f x dx
x Đặt t x dt dx dx dt
Đổi cận :
0
0
t x
t x
0
sin sin
sin
x
sin sint dt t f t dt f
f x
dx x f dx x f x
0 0
0 0
sin 2
sin
sin sin
2
Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau
Nếu hàm số f x liên tục trên a, b và fabx f x Thì ta luôn có :
0
0
1 1 1
x f dx a
x f dx
a
x
f
x x
x
Trang 11Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
b
a
dx x f b a dx x f
x
0
2
a
T dx x f dx x f
0
Bài làm :
T a
T T
a
T a
T
T
a
a
T
a
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx
x
f
0 0
T dx x f dx x f
0
Xét a f x dx
0
Đặt txT dtdx
Đổi cận :
T a t a x
T t
Vậy : aT
T
T a
T dt t f dt T t
f
T
a
a
T dx x f dx x f
0
(đpcm)
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
T
T
T dx x f dx x f
0
2
2
Bạn đọc tự làm :
0
6
1 x1 x dx
1
1
2 2
2 sin x cosxlnx x 1dx I
0
2 3
cos 4
9
sin
.
dx x
x x
0
2 4
cos 1
sin
dx x
x x I
2
2
2
5
2 1
sin
dx x x
1
1
2 2 6
1
sin
dx x
x x
I
Trang 12g) 2
0
2
7 ln sinx 1 sin x dx
0
8 1 cos 2
Tích phân từng phần :
b
a
b
a
b
uv udv
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên 2 : Đặt u ?? mà có thể hạ bậc
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a) 1
0
1 x dx e
0
2
2 cos
xdx x
e xdx I
1
3 ln
Bài làm :
a) Đặt :
x x
e v dx
e dv
dx du x
u
0 1
0
1 0 1
0
1 x e dxx e e dxee e e
b) Đặt :
x v
xdx dv
xdx du
x u
sin cos
2
2
4 sin
2 cos
.
2
0 2
0
2 2
1
0
xdx x
xdx x
x x dx e x
Ta đi tính tích phân 2
0
sin
xdx x
Đặt :
x v
xdx dv
dx du x
u
cos sin
2
0 2 2
0
x x xdx x
x xdx x
Trang 13Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
Thế vào (1) ta được :
4
8
2 1
0 1
x e dx
c) Đặt :
x v dx
dv
dx x du x
1 1 1
e e e
x x x dx x
x xdx I
Tính các tích phân sau :
a)
0
1 e sinxdx
0 2 2
cos
dx x
x
e
dx x I
1
3 cos ln
Bài làm :
a) Đặt :
x v
xdx dv
dx e du e
cos sin
0 0 0
1 e sinxdx e cosx e cosxdx e 1 J 1
Đặt :
x v
xdx dv
dx e du e
sin cos
Vậy : J e x xdxe x x e x xdx I
0 0 0
sin sin
cos
.
Thế vào (1) ta được :
2
1 1
I e
I
b) Đặt :
x v
dx x dv
dx du x
u
tan cos
1
2
2
2 ln 4 cos
ln 4 tan
tan cos
4 0 4
0
4 0 4
0
2
x xdx
x x dx x
x I
x v dx
dv
dx x x
du x
e e e
1 1 1
3
x v dx
dv
dx x x
du x
Trang 14Vậy : 3
1 1 1
3 sin lnx dx x sin lnx cos lnx dx 0 I
I
e e e
2
1 1
I e
I
Bạn đọc tự làm :
2
ln
0
1 x.e dx
e
dx x I
1
2
2 1 ln
2
2
3
ln
1 ln
1
e
dx x x
1
0
2
4 ln x 1 x dx I
4
5 sin ln tan
dx x x
1
2
6 cos ln
g) 4
0
2
7 cos 2
x x
0
7
cos 1
sin 1
dx e x
x
Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
b
a dx x f
I ta đi xét dấu f x trên đoạn a, b , khử trị tuyệt đối
b
a
dx x g x f
I max , ta đi xét dấu f x g x trên đoạn a, b
b
a
dx x g x f
I min , ta đi xét dấu f x g x trên đoạn a, b
Tính các tích phân sau :
1
1 x 2 dx
0
2
1 x 2x 3dx I
Bài làm :
a)
I
Trang 15Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
2
5 4 2 8 8 2
1 2 2
b) Lập bảng xét dấu x2 2x 3 , x 0 , 2 tương tự ta được
2
1 2 1
0 2 2
0
2
1 x 2x 3dx x 2x 3dx x 2x 3dx
I
1
0
dx a x x
Bài làm :
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá )
0
1
0
2 3 2
1
1 2
3
a ax
x dx ax x dx a x x
I a
Nếu 0 a 1
a
I
0
1 2 2
1
0
2 2 3
1 3 2 3
2
3 2 1
3 2
0
3 2
a a x
ax x
ax
a
a
0
1
0
2 3 2
1
1 2
3
a ax
x dx ax x dx
a x x
I a
2
0
2
1 min 1 ,x dx
3
0
2
2 max x ,x dx I
Bài làm :
a) Xét hiệu số : 1 x2 x 0 , 2
3
4 3
, 1
2
0
3 2
1 1
0 2 2
0
2
1 x dxx dxdx x x
I
b) Xét hiệu số : xx 1 x 0 , 3 tương tự như trên ta có
4 3
3 3
3
2
1
3 2 1
0
3 2
I
Trang 16
6
55 3
2 ,
max
3
1
3 1
0
2 3
1 2 1
0 3
0
2
2 x x dxxdxx dx x x
I
Bạn đọc tự làm :
3
2
2
1 min x,x 3dx
0
2 max sin , cos
dx x x
3
0
3 sin cos
dx x x
I
3
2
2
4 max x , 4x 3dx
1
4 x 2 x 1 x 2 x 1 dx I
Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1: Rx, ax2 bxcdx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ
1 4 0
a c bx ax
a
R
b ax t
2
2 2
1 ,
Dạng 2:
1 4 0
a c bx ax a
R
b ax t
2
2 2
1 ,
Dạng 3:
1 2
4 0
a c bx ax a
R
b ax t
2
2 2
1 ,
u
t
sin
1
Dạng 4 (dạng đặc biệt) :
x
dt c
bx ax x
dx
2
Một số cách đặt thường gặp :
S
S
2 2
tan
x
S
t
a
2 cos
Trang 17Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
S
0
;
0
;
0
;
2
0 0 0
2 2
a t
x a c
bx ax
c bx ax x
x t c bx ax
c c xt c bx ax
m
d
cx
b
ax
x
S , đặt ; 0
d cx
b ax
Tính :
3 2
7
4x
x
dx I
Bài làm :
3 2 3
2
3 7
dt x
x
dx
Đặt : t 3 tanu dt 3tan2u 1du
u u
udu u
du u I
tan 3 tan
3
3 2
2
cos 3
1 1 tan 3 3
1 tan 3
C x
x
x C
t
t C
7 4
2 3
1 1
3
1 sin
3
1
2 2
1
2
x x
xdx
1 2
2
x x x
dx I
Bài làm :
3 1
2 2
1
1 3 2
1
4
3 2
1
t
dt t
t x
xdx x
x
xdx
C x
x x
x
x
C t
t t
dt t
t I
x
t
1 2
1 ln 2
1 1
1 ln
2
1 1 2
3 1
1 3
2
1
2 2
2 2
3
1
t
dt dx t
t t
dt x
x
x
dx
I
t x
1 arcsin 1
2 1
2
Trang 18x C
2
1 arcsin 2
1 1
arcsin
Tìm các nguyên hàm sau
3
1
dx
1
x
dx I
Bài làm :
6 1
1
6
2
1
2 3 5
1 1 6
6 1
dt t x
x
dx I
C x
x x
x
C t
t t t
1 1 ln 6 1
6 1
3 1
2
1 ln 6 6 3 2
6 6
3
2 3
x
x dx
x dx
x
x x x
x
dx
2
1 1
2
1 2
1 1
1 1
2 1
1 1
2
1 2
1
dx x
x x
x
x
1 Đặt :
dt t
t dx
t
x x
x
2 2
1
2 1
1 1
Vậy :
dt t dx
x
x
x
x t
1
2 2
1 2
1
Tìm các nguyên hàm sau :
Bài làm :
t
t dx t
t x t
x
2 2
2
2
9 2
9
Trang 19Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
Vậy :
x x
x x x
x
C t
t
t dt
t t t
dt t
t dt
t
t t
t t
t I
4 2 2
4 2
4 4
5 3
5
2 4 2
2 2 2
2 2 1
9 4
6561 9
ln 162 4
9 16
1
4
6561 ln
162 4 16
1 6561
162 16
1
81 16
1 4
9 2
9
2 9
t
t dx t
t x t
x
2 2
2
2
4 2
4
x x
x x x
x
C t
t
t dt t t
t
dt t
t dt
t
t t
t t
t
I
4 2 2
4 2
4 4
5 3
5
2 4 2
2 2 2
2 2
4
64 4
ln 36 4
4
64 ln 36 4
256 36
16 4
4
2
4
2
4 16
Tính các tích phân sau :
2
1
2
1 x x dx
8
3
2
1 x dx x
dx I
Bài làm :
2 1
2 1
2
1
2
2
1
dx x
dx x
x
I
Đặt : x t dx costdt
2
1 sin
1
Đổi cận :
2 1
0 2
1
t x
t x
0 2
0 2
0
2
2
1 1 8
1 2
cos 1 8
1 cos
4
1
I
16 0 0 0
2
8