Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNGTÓM TẮT GIÁO KHOA I.. và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản.. Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:... TÍNH TÍCH PHÂN BẰN
Trang 1Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1 Bảng 2
x
1
1
x C
(ax b )
a
1
ax b C
1
1
x
a
ln
x
a
x
a
a
2
1
cos x
tgx + C
2
1
2
1
sin x
-cotgx + C
2
1
a
'( )
( )
u x
u x
ln ( )u x C
2 2
1
a x a
2 2
1
x a
2 2
Phương pháp 1:
Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản
Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản
Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
Trang 21 f x( ) cos 3x x 11 x
2 f(x) 22x 5
Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân
Ví dụ: Tính các tích phân: 1.cos sin5 x xdx 2 costgx dx x 3. 1 ln x dx
x
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1 Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên a b Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) ;
thì:
b ( ) ( )b a ( ) ( )
a
f x dx F x F b F a
2 Các tính chất của tích phân:
Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ( ) 0
b a
f x dx
Tính chất 2 : ( ) ( )
f x dx f x dx
Tính chất 3 : Nếu f(x) = c không đổi trên a b thì: ; b ( )
a
cdx c b a
Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên a b và ( ) 0; f x thì ( ) b 0
a
f x dx
Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên a b và ; f x( )g x( ) x a;b thì ( ) ( )
f x dx g x dx
Tính chất 6 : Nếu f(x) liên tục trên a b và ; m f x ( )M ( m,M là hai hằng số) thì
( ) ( ) ( )
b a
m b a f x dx M b a
Tính chất 7 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên a b thì;
b ( ) ( ) b ( ) b ( )
f x g x dx f x dx g x dx
Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên a b và k là một hằng số thì;
( ) ( )
k f x dx k f x dx
Tính chất 9 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên a b và c là một hằng số thì;
( ) ( ) ( )
f x dx f x dx f x dx
Trang 3 Tính chất 10 : Tích phân của hàm số trên a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , ;
f x dx f t dt f u du
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)
1
3
0
(2x 1)
2)
1 0
x dx 2x 1
3)
1 0
1 2 0
4x 11 dx
5)
1
2
0
2x 5 dx
2 0
x 2x 1
0 (sin x cos x)dx
3 2 0
4sin x dx
1 cosx
0
1 sin2xdx
cos x
2 4 0 cos 2xdx
11)
2
6
1 sin 2x cos2xdx sin x cosx
1 x 0
1 dx
13) 4(cos x sin x ) dx
0
4 4
14)
4
2 cos
dx x
x 15)
2
3 sin
dx x
x 16)
2
cos
dx
x
x 17)
0
2 2 2 3
4
dx x x
1
1 x2 2x 5
dx
Bài 2:
1)
3
2
3
x 1dx
4 2 1
5 3
( x 2 x 2 )dx
2 2 2 1
2
1
x
5)
3
x
0
0
1 cos2xdx
2 0
1 sin xdx
2
0
2
Bài 3:
1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) Asin x B thỏa mãn đồng thời các điều kiện
f (1) 2' và
2 0
f(x)dx 4
2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức :
2
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
1) DẠNG 1:Tính I =
b
' a
f[u(x)].u (x)dx
Công thức đổi biến số dạng 1:
) (
) (
) ( )
( ' )
a u
b a
dt t f dx
x u x u f
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt t u(x) dt u' (x)dx
Bước 2: Đổi cận : x x b a t t u u((a b))
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
Trang 4
) (
) (
) ( )
( ' )
a u
b a
dt t f dx x u x u f
Tính các tích phân sau:
0
cos xsin xdx
2 5 0 cos xdx
3)
4
2 0
sin 4x dx
1 cos x
1
0
0
sin 2x(1 sin x) dx
4 4 0
1 dx cos x
7)
e 1
1 ln xdx x
0
1 dx cosx
9)
1
1 ln xdx
x
1
0
x (1 x ) dx
0
6 5sin x sin x
0
tg x dx cos2x
13) 4
0
3 sin 2
x x dx
x
2
0 cos2 4sin2
2 sin
dx x x
5 ln
3
dx
16)
2
2 sin
dx x x
17)
3
4
2
sin
) ln(
dx x
tgx
18) 4
0
1 (
dx x
tg 19)
2
cos sin
dx x
x x
20)
2
sin
2
sin
dx x
x
2
cos 2 sin
dx x
x
0
(
xdx x
2
x
x
x x
1
ln ln 3
4
0
2
2 sin 1
sin 2 1
dx x x
2) DẠNG 2: Tính I =
b a
f(x)dx
bằng cách đặt x = (t)
Công thức đổi biến số dạng 2:
t t dt f
dx x f
I b
a
) ( ' ) ( )
(
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt x (t) dx ' (t)dt
Bước 2: Đổi cận :
t
t a x
b x
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
t t dt f
dx x f
I b
a
) ( ' ) ( )
Tính các tích phân sau:
Trang 51)
1
2
0
1 x dx
1 2 0
1 dx
1 x
1
2 0
4 x
1 2 0
x x 1
5)
1
0
0
1
2 2 2
2 0
1 x
2
1
9)
2
3
2
2
2 1
9 3x dx x
1
5 0
1
x
2 2 2 3
1
1dx
x x
13) 2
0
cos
7 cos2
x dx
x
6 0
1
x
0
cos
1 cos
x dx x
0
1x2 2x 2
dx
17)
1
dx
18)
2
1
dx x
x
II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
Tính các tích phân sau:
1)
8
2
3
1
1dx
x x
x dx x
3)
3
0 1
x x dx
ln2 x 0
5)
7
3
3
0
1
x dx
x
6)
2
0
1
x x dx
3 2
5 x x2 4
dx
III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:
b a
b a
b
a v x u x dx x
v x u dx x v x
u ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( )
Hay:
b a
b a
b
a vdu v
u udv
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt u dv u v('x()x)dx v duv(u x')(x)dx
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần :
b a
b a
b
a vdu v
u udv
Bước 3 : Tính b
a v
u. và
b a
vdu
Tính các tích phân sau:
Trang 61)
2
5
1
ln xdx
x
0
x cos xdx
1 x 0
e sin xdx
4)
2
0
sin xdx
5)
e 2 1
x ln xdx
6) 3 2
0
x sin xdx cos x
0
xsin x cos xdx
0 x(2 cos x 1)dx
2 2 1
ln(1 x)dx x
10)
1
2 2x 0
(x 1) e dx
e
2 1
(x ln x) dx
12) 2
0 cosx.ln(1 cosx)dx
1
ln
e
e
x dx
x
14)
1 2 0
xtg xdx
15)
1
0
2
) 2 ( x e xdx
1
0
1 ln( x dx
e
dx x
x
1
ln
18) 2
0
cos (
xdx x
x
2
0
) 1 ln(
) 7 2
3 2
2 ) ln( x x dx
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
a a
f(x)dx 0
2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :
f(x)dx 2 f(x)dx
Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì:
b)
2
ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau:
0
cos x sin x
4 2
0
cos x sin x
6 2
0
sin x cos x
0
xsin xdx
5)
2
2 2
4 sinx cosx dx
x
6)
1 4 2 1
sin 1
x x dx x
0
xsin x dx
4 cos x
0 cos sin
Trang 7C y
2
C y
2
C x
1
C x
0
1
x
f x dx f x dx a
ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau:
1)
12 1x
x dx
2)
1
1
1 2x dx x
3)
2 sin
3 1x x dx
IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG :
Công thức:
b a
dx x g x f
b a
dy y g y f
S ( ) ( )
Tính diện tích của các hình phẳng sau:
1) (H1):
2
2
x
4 x y
4 2
2) (H2) :
2
y x 3
3x 1 y
x 1
y 0
x 0
4) (H4):
2 2
y x
y 2 x
2
x y 3 0
7) (H7):
ln x y
2 x
y 0
x e
x 1
8) (H8) :
2 2
y x
b x
a x
x g y
C
x f y
C H
:
) ( :
) (
) ( :
) (
:
)
(
2 2
b y
a y
y g x
C
y f
x C
H
:
) ( :
) (
) ( :
) (
: ) (
2 2
x
y
)
(H
) ( :
) (C1 y f x
) ( : ) (C2 yg x
a
x x b
y
)
(H
a b
) ( : ) (C1 xf y
) ( : ) (C2 xg y
a
y
b
y
O
Trang 810) (H10):
2
x y 0
)
(
2 :
) (
: ) (
Ox
x y
d
x y
C
12)
1 :
)
(
2 :
)
(
:
)
(
x d
e y
V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.
Công thức:
V b f x dx
a
2
) (
V b f y dy
a
2
) (
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2) 2 và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Ox b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y 4 x y x2; 22
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 21 ; 2
x
x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
a y 0 b
) ( :
)
b
a
x
b
x
x
y
O
b
a
x
y
0
x
O
) ( : )
b
y a
y
