Chuyên đề tich phân

Phương pháp giải toán Giả sử cần tính tích phân b a fxgxdx Cách 1.. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp giải toán 1.. Lập bảng xét dấu chung của hàm số fx và gx trên đoạn [a; b]

Chuyên đề

TÍCH PHÂN

CÔNG THỨC

Bảng nguyên hàm

Nguyên hàm của những

hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số

thường gặp

Nguyên hàm của những

hàm số hợp

C

x

dx= +

∫

( 1) 1

1

≠ +

+

α

α

αdx x C

x

( 0)

=

x

dx

C e

dx

∫

(0 1)

ln + < ≠

=

a

a

dx

a

x x

C x xdx= +

∫cos sin

C x

∫sin cos

C x dx

cos

1

2

C x dx

sin

1

2

( ) (ax b) C

a b ax

1

≠ +

+

+

=

α

α

a dx b ax

( 0) ln

1

≠ +

+

= +

a b ax dx

C e

a dx

e ax+b = ax+b +

a dx b

a dx b

(ax b)dx=a (ax+b)+C +

cos

1

2

(ax b)dx= −a (ax+b)+C +

sin

1

2

C u

du= +

∫

( 1) 1

1

≠ +

+

α

α

αdu u C u

( 0)

=

u du

C e du

∫

(0 1)

ln + < ≠

=

a

a dx a

u u

C u

∫cos sin

C u

∫sin cos

C u du

cos

1 2

C u du

sin

1 2

I ĐỔI BIẾN SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

1 Đổi biến số dạng 2

Để tính tích phân

b

/ a

f[u(x)]u (x)dx

Bước 1 Đặt t = u(x) và tính dt =u (x)dx/

Bước 2 Đổi cận: x= Þa t =u(a)= a, x= bÞ t =u(b)= b

Bước 3

b

/ a

b

a

=

Ví dụ 7 Tính tích phân

2

e

e

dx I

x ln x

Giải

x

2

2

2 1 1

dt

t

Vậy I =ln2

Ví dụ 8 Tính tích phân 4

3 0

cosx

p

=

+

1

Hướng dẫn:

I

8

=

Ví dụ 9 Tính tích phân

3

1 2

dx I

=

Hướng dẫn:

2

Ví dụ 10 Tính tích phân

1

0

3 x

-=

+

Hướng dẫn:

Đặt

3 2

1

3

p

Chú ý:

Phân tích

1

0

3 x

-=

+

2 Đổi biến số dạng 1

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b], để tính ( )

b

a

f x dx

Bước 1 Đặt x = u(t) và tính dx =u t dt/( )

Bước 2 Đổi cận: x = ⇒ =a t α, x = ⇒ =b t β

Bước 3 ( ) [ ( )] ( )/ ( )

b

a

f x dx f u t u t dt g t dt

Ví dụ 1 Tính tích phân

1 2

2 0

1

1 x

=

Giải

2 2

p p

1

p

2

cost

1 sin t

0

p

p

=

Ví dụ 2 Tính tích phân

2

2

Hướng dẫn:

Đặt x=2sin t

ĐS: I = p

Ví dụ 3 Tính tích phân

1

2 0

dx I

=

+

Giải

2 2

ç

4

p

2

4

+

p

=

Ví dụ 4 Tính tích phân

3 1 2 0

dx I

-=

Hướng dẫn:

I

Đặt x+ =1 tan t

p

Ví dụ 5 Tính tích phân

2

2 0

dx I

=

p

=

Ví dụ 6 Tính tích phân

3 1 2 0

dx I

-=

p

3 Các dạng đặc biệt

3.1 Dạng lượng giác

Ví dụ 11 (bậc sin lẻ) Tính tích phân 2 2 3

0

p

Hướng dẫn:

Đặt t= cosx

15

Ví dụ 12 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân 2 5

0

p

Hướng dẫn:

Đặt t= sin x

15

3

Ví dụ 13 (bậc sin và cosin chẵn) Tính tích phân 2 4 2

0

p

Giải

1

4

2

p

ç

p

Ví dụ 14 Tính tích phân 2

0

dx I

p

=

Hướng dẫn:

2

ĐS: I =ln2

Biểu diễn các hàm số LG theo tan

2

a

−

3.2 Dạng liên kết

Ví dụ 15 Tính tích phân

0

xdx I

p

=

+

Giải

Đặt x = p - tÞ dx= - dt

x= Þ0 t= p, x= p Þ t =0

0

0

p

p

p

2

t

-+

0

t d

tan

cos

p÷

Vậy I = p

Tổng quát:

2

p

=

Ví dụ 16 Tính tích phân 2 2007

2007 2007 0

p

=

+

Giải

2 p

-x 0 t , x t 0

2007 0

2

2

p

p

0

p

+

0

2

p

p

p

=

Tổng quát:

+

p

Ví dụ 17 Tính tích phân 6 2

0

sin x

p

=

+

0

cos x

p

=

+

Giải

I - 3J = -1 3 (1).

2

3

3

p

4

Ví dụ 18 Tính tích phân

1

2 0

+

=

+

Giải

Đặt x=tan t Þ dx=(1+tan t)dt2

4

p

2 2

+

+

4

p

0 4

0

4

4

p

p

5

( )

4

p

8

p

Ví dụ 19 Tính tích phân

4

x 4

cosx

p

p

-=

+

Hướng dẫn:

Đặt x = - t

2

Tổng quát:

Với a > 0, a > , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn 0 [- a a thì; ]

x

0

f(x)

- a

= +

Ví dụ 20 Cho hàm số f(x) liên tục trên ¡ và thỏa f( x)- +2f(x)=cosx

Tính tích phân

2

2

p

p

Giải

Đặt

2

2

p

p

0 2

p

3

=

3.3 Các kết quả cần nhớ

i/ Với a > 0, hàm số f(x) lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

a

a

-=

ii/ Với a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì

-=

iii/ Công thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)

2 2

(n 1)!!, n!!

,

-ïïï

ïï ïïî

neáu n chaün. Trong đó

n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn Chẳng hạn:

0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = = 6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = =

Ví dụ 21 2 11

0

cos xdx

p

Ví dụ 22 2 10

0

p

II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1 Công thức

Cho hai hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b] Ta có

(uv)/ =u v/ +uv/ Þ (uv dx)/ = u vdx/ +uv dx/

( )

Công thức:

b a

Công thức (1) còn được viết dưới dạng:

b

a

2 Phương pháp giải toán

Giả sử cần tính tích phân

b

a

f(x)g(x)dx

Cách 1.

Bước 1 Đặt u=f(x), dv= g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

/

du= u (x)dx không quá phức tạp Hơn nữa, tích phân

b

a

vdu

Bước 2 Thay vào công thức (1) để tính kết quả.

Đặc biệt:

i/ Nếu gặp

ax

P(x) sinaxdx, P(x) cosaxdx, e P(x)dx

ii/ Nếu gặp

b

a

P(x) ln xdx

Cách 2.

7

Viết lại tích phân

/

Ví dụ 1 Tính tích phân

1 x 0

I = òxe dx

Giải

1 1

Ví dụ 2 Tính tích phân

e

1

I = òx ln xdx

Giải

dx du

v 2

ï

=

1

+

Ví dụ 3 Tính tích phân 2 x

0

p

Giải

0

p

2

2

p

Chú ý:

Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần

Ví dụ 7 Tính tích phân

2

4

0

p

Hướng dẫn:

0

p

Ví dụ 8 Tính tích phân

e

1

I = òsin(ln x)dx

2

III TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

Giả sử cần tính tích phân

b

a

I =ò f(x) dx, ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

x a x 1 x b2

f(x) + 0 - 0 +

Bước 2 Tính

Ví dụ 9 Tính tích phân

2 2 3

Giải

Bảng xét dấu

x - 1 2 3

2

x - 3x+2 + 0 - 0

59

2

2

Ví dụ 10 Tính tích phân 2 2

0

p

6

p

2 Dạng 2

b

a

I =ò f(x) ± g(x) dx, ta thực hiện

Cách 1.

I = ò f(x) ± g(x) dx=ò f(x) dx±ò g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên

Cách 2.

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

Ví dụ 11 Tính tích phân ( )

2

1

Giải Cách 1.

9

( )

Cách 2.

Bảng xét dấu

x –1 0 1 2

x – 0 +  +

x – 1 – – 0 +

Vậy I = 0

3 Dạng 3

b

a

b

a

J = òmin f(x), g(x) dx, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x)= f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2

+ Nếu h(x)> thì 0 max f(x), g(x){ } = f(x) và min f(x), g(x){ } =g(x).

+ Nếu h(x)< thì 0 max f(x), g(x){ } = g(x) và min f(x), g(x){ } =f(x).

4

2 0

Giải

Đặt h(x)=(x2 +1) - (4x- 2) = x2- 4x+ 3 Bảng xét dấu

x 0 1 3 4 h(x) + 0 – 0 +

80

3

3

Ví dụ 13 Tính tích phân { }

2

x 0

Giải

Đặt h(x)= 3x - (4- x) =3x + -x 4. Bảng xét dấu

x 0 1 2 h(x) – 0 +

x

ç

Vậy 2 5 I

IV BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1

Để chứng minh

b

a

f(x)dx³ 0

b

a

f(x)dx£ 0

Ví dụ 14 Chứng minh

1

0

Giải

1

0

2 Dạng 2

Để chứng minh

Ví dụ 15 Chứng minh 2 2

£

Giải

2

p

£

3 Dạng 3

Để chứng minh

b

a

A £ òf(x)dx£ B ta thực hiện các bước sau

Bước 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [a; b] ta được m£ f(x)£ M.

Bước 2 Lấy tích phân

b

a

Ví dụ 16 Chứng minh

1

2 0

Giải

Với " Îx [0; 1 : 4] £ 4+x2 £ 5Þ 2£ 4+x2 £ 5

Vậy

1

2 0

Ví dụ 17 Chứng minh

3 4

2 4

dx

p

p

Giải

11

Với 3 2 1 2

2

2

3 4

2 4

p

p

Vậy

3 4

2 4

dx

p

p

Ví dụ 18 Chứng minh

3

4

dx

p

p

Giải

2 /

2

x cotx sin x

4 3 x

3

4

p

p

Vậy

3

4

p

p

4 Dạng 4 (tham khảo)

Để chứng minh

b

a

A £ òf(x)dx£ B (mà dạng 3 không làm được) ta thực hiện

Bước 1 Tìm hàm số g(x) sao cho

b b

a a

ïï

ïï ïî

ò

Bước 2 Tìm hàm số h(x) sao cho

b b

a a

ïï

ïï ïî

ò

Ví dụ 19 Chứng minh

2 2

p

2 2007

dx

Đặt x =sin t Þ dx= costdt

2

p

2

2

1 x

p

p

Vậy

2 2

2007 0

p

Ví dụ 20 Chứng minh

1 2 0

+

Giải

Với " Îx [0; 1 : 2 1] - £ x2+ -2 1£ 3 1

-2

2

Vậy

1 2 0

+

V ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

A TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1 Diện tích hình thang cong

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường

y=f(x), x=a, x = và trục hoành là b

b

a

S= ò f(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x) dx

Ví dụ 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=ln x, x=1, x = và Ox.e

Giải

Do ln x³ 0 x" Î [1; e] nên

e 1

Vậy S= (đvdt).1

13

Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= - x2 +4x- 3, x=0, x= và Ox.3

Giải

Bảng xét dấu

x 0 1 3

y – 0 + 0

3

= (đvdt)

2 Diện tích hình phẳng

2.1 Trường hợp 1.

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y=f(x), y=g(x), x =a, x = là b

b

a

S= ò f(x)- g(x) dx

Phương pháp giải toán

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân

b

a

f(x)- g(x) dx

2.2 Trường hợp 2.

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

b

a

phương trình f(x)=g(x) (a£ a < b £ b).

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình f(x)=g(x).

Bước 2 Lập bảng xét dấu hàm số f(x)- g(x) trên đoạn [a b ; ]

Bước 3 Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx

b

a

Ví dụ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x3 +11x- 6, y=6x2,

x= 0, x= 2

Giải

Đặt h(x)=(x3 +11x- 6)- 6x2 = x3- 6x2 +11x- 6

h(x)= Û0 x= Ú = Ú = (loại).1 x 2 x 3 Bảng xét dấu

x 0 1 2 h(x) – 0 + 0

Vậy 5 S 2

= (đvdt)

Ví dụ 4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x3 +11x- 6, y=6x2

Giải

Đặt h(x)=(x3 +11x- 6)- 6x2 = x3- 6x2 +11x- 6

h(x)= Û0 x= Ú = Ú = 1 x 2 x 3 Bảng xét dấu

x 1 2 3 h(x) 0 + 0 – 0

S 2

= (đvdt)

Chú ý:

Nếu trong đoạn [a b phương trình f(x); ] =g(x) không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể dùng công

Ví dụ 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x , y3 =4x

Giải

Ta có x3 = 4x Û x= - 2 xÚ = Ú =0 x 2

Vậy S= (đvdt).8

Ví dụ 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2- 4 x + và trục hoành.3

Giải

Ta có x2- 4 x + = Û3 0 t2- 4t+ =3 0, t = x ³ 0

S 3

Ví dụ 7 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2- 4x+3 và y= + x 3

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm

2

15

2 2

+ ³

ê

ïî ë

Bảng xét dấu

x 0 1 3 5

2

x - 4x+3 + 0 – 0 +

S 6

Ví dụ 8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x2- 1 , y = x + 5

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm

2 2

=

-ïî ë

Bảng xét dấu

x 0 1 3

2

x - 1 – 0 +

3

Chú ý:

Nếu hình phẳng được giới hạn từ 3 đường trở lên thì vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH thì không có)

B TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

1 Trường hợp 1.

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x)³ 0 x" Î [a;b], y= ,0

x= và xa =b (a<b) quay quanh trục Ox là

b 2 a

V = pòf (x)dx

Ví dụ 9 Tính thể tích hình cầu do hình tròn (C) : x2 +y2 =R2 quay quanh Ox

Giải

Hoành độ giao điểm của (C) và Ox là x2 =R2 Û x= ± R Phương trình (C) : x2 +y2 =R2 Û y2 =R2- x2

( ) ( )

-R

2

0

2 R x

ç

Vậy

3

4 R V

3

p

2 Trường hợp 2.

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x= g(y)³ 0 y" Î [c;d], x = ,0

y= và yc =d (c<d) quay quanh trục Oy là

d 2 c

V = pòg (y)dy

Ví dụ 10 Tính thể tích hình khối do ellipse

Giải

R

2

2 0

2 a y

3 3b

ç

3

p

3 Trường hợp 3.

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f(x), y=g(x), x = vàa

x =b (a<b, f(x)³ 0,g(x) ³ 0 x" Î a; b ) quay quanh trục Ox là

b

a

V = pò f (x)- g (x) dx

Ví dụ 11 Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x2, y2 = quay quanhx Ox

Giải

Hoành độ giao điểm 4

0

p

V 10

p

4 Trường hợp 4.

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường x =f(y), x=g(y), y= vàc

y =d (c<d, f(y)³ 0,g(y) ³ 0 y" Î c; d ) quay quanh trục Oy là

d

c

17

Ví dụ 12 Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x= - y2 + , x5 = -3 y quay quanh Oy

Giải

= -é ê

2

2 1

2

1

2

2

1

ç

5

p

VI TÍCH PHÂN CHỨA TỔ HỢP

1. Tính I=1( )10

0

1 −

0

1

I=∫x −x dx Áp dụng kết quả đó hãy tính tổng sau:

n n

BÀI TẬP TỰ GIẢI

1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sinsinx x+coscosx x

− , biết rằng F π4 ln 2

2. Tính các tích phân sau:

A=

2

1

2 5- 7

x

+

2 2 -2

-1

2 0

2 ln 2x

dx

∫

3. Tính các tích phân sau:

A=3 3 cos

0

sin

x

π

4 1

ln

e x dx x

2 3 2

dx

x x +

2

11 -1

x

+

∫

4. Tính các tích phân sau:

I=

1

sin(ln )

dx x

4 2 6

sin cot

dx

π π

10

1

lg xdx

∫

L=

ln 5

ln 3 x 2 x 3

dx

e + e− −

0

sin 2

xdx

π

+

2 2

1 - 9

dx x

∫

C=2

2 2 0

sin 2 (1 cos )

x

π

+

∫

5. Tính các tích phân sau:

A=

1 dx

3 dx

4

2

16 -x dx

∫

ln 2

0

1-1

x x

e dx

e

+

2

2

1dx

x −

∫

6. Tính các tích phân sau:

A=

2

1

ln

x

0

sin

1 cos

x x dx x

π

+

2 2 1

ln x

dx x

∫

D*=

1

cos(ln )

e

x dx

π

2 4 3 1

3x 2x

dx x

−

4 1

1 1

x

x

−

−

= +

∫

7. Tính:

0

cos xdx

π

0

cos xdx

π

1 0

x

xe dx

4

1

x

e dx x

2 1

ln

x xdx

∫

F=

1

ln 1

dx x

+

2

2 0

1 2

x + x dx

4 0

1 2

x + xdx

2

1 1

x dx

x+

1 2

0 1

x dx x

+

∫

8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a x=1; x=e; y=0 và y= 1 ln x

x

c y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=π3

9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x3 −2x2+4x−3 (C) và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

10. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=π/3, y=0.

a Tính diện tích hình phẳng D.

b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.

11. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1 khi

nó quay quanh:

a) Trục Ox.

b) Trục Oy.

−Hết−

19