Tìm tích phân mới theo biến số mới.. BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 1.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN A./ CƠ SỞ LÝ THUYẾT :
Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp sau:
0dx C=
ln
x
a
= + < ≠
∫
dx x C= +
1
1
x
x dxα α C α
α
+
+
dx
x C x
dx tgx C
c x = +
∫
e dx e= +C
sin
dx
gx C
x = − +
∫
1/ ĐỊNH NGHĨA :
Nếu F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b] thì tích phân của f(x) trên đoạn [a ; b]
được xác định bởi: ∫b
a
dx x
f( ). = F(x) b a = F(b) - F(a) (1)
Chú ý : Tích phân ∫b
a
dx x
f ( ). chỉ phụ thuộc vào f , a , b mà không phụ thuộc vào các kí hiệu biến số tích
phân, vì vậy mà ta có thể viết : ∫b
a
dx x
f( ). =∫b
a
dt t
f( ). = ∫b
a
du u
f( ). =
2/ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH :
a
dx
x
f( ) 0 ; ∫b
a
dx x
f( ) = - ∫a
b
dx x
f( ) ; ∫b
a
dx x f
k ( ) = k.∫b
a
dx x
f( ) ( k là hằng số )
a
dx x g
x
a
dx x
a
dx x
g( ) ; ∫b
a
dx x
f( ) = ∫c
a
dx x
f( ) + ∫b
c
dx x
f( ) ( Với a ≤ c
≤ b )
Nếu f(x) ≥ 0 ∀x∈[a ; b] thì ∫b
a
dx x
f( ) ≥ 0
Nếu f(x) ≥ g(x) ∀x∈[a ; b] thì ∫b
a
dx x
f( ) ≥ ∫b
a
dx x
g( )
Ta luôn có : ∫b
a
dx x
f( ) ≤ ∫b
a
dx x
f( )
Nếu m ≤ f(x) ≤ M , ∀x∈[a ; b] thì m(b - a) ≤ ∫b
a
dx x
f( ) ≤ M( b - a)
B/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN :
VẤN ĐỀ 1 : CÁCH TÌM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
I./Cơng thức tính tích phân: ∫b
a
dx x
f( ). = F(x) b a = F(b) - F(a)
VẤN ĐỀ 2 : CÁCH VIẾT VI PHÂN HOÁ TRONG TÍCH PHÂN
Trang 2I./ Phương pháp :
Ta đã biết cơng thức tính vi phân: df(x) = f’(x).dx
Do đó muốn tìm tích phân : I = ∫f[g(x) , h(x)].dx, ta có thể làm theo các bước sau:
+/ Tìm hàm u(x) nào đó mà đạo hàm của u(x) sè có mặt trong các hàm f[g(x) , h(x)]
+/ Sau đó xem u(x) là biến số tích phân (khi đó x không còn là biến số nửa )
Tìm tích phân mới theo biến số mới
II/ Bài tập áp dụng:
Câu 1 : Tìm các tích phân sau: a/ ∫cos 5 x sinx.dx
b/ ∫6 −
2
2
ĐSỐ : a/ - (1/6).cosx + C b/ 16/3 c/ (1/2).ln2x + C
Câu 2 : Tìm các tích phân sau : a/ dx
x
x
ln 1
∫ + b/ ∫tgx. cox dx c/ ∫e x x.dx
ĐSỐ : a/ (1/2).ln2 x + ln x + C b/ (1/cosx) + C c/ 2.e x + C
BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
1
1
3
0
(x + +x 1)dx
2 1
e
x x
+ + +
3 1
2
x− dx
2 1
1
x+ dx
∫
4
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
π
π
1 0
(e x+x dx)
1 3 0
(x +x x dx)
2 1
( x+1)(x− x+1)dx
8
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
π
π
1
2 0
(e x+ +x 1)dx
2
1
(x +x x+ x dx)
2
1
( x−1)(x+ x+1)dx
12
3
3
1
−
+
2
2 2 -1
x.dx
∫ 14
2
e
1
x
x 2
5
2
dx
∫
16
2
2
1
x 1 dx
ln
+
+
2 3
3 6
x dx x
cos sin
π
π
2 0
tgx dx x
cos
π
1 x x
0
−
−
− +
∫
20
0
e dx
.
−
+
2
2 1
dx 4x + 8x
3
0
dx
ln
.
−
+
0
dx
1 sin x
π
+
∫
VẤN ĐỀ 3 : TÌM TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ( DẠNG ĐƠN GIẢN )
I./ Phương pháp :
Trang 3Cho tích phân : I = f[ x ] x dx
b
a
).
( ' )
ϕ
Để tính tích phân (1) theo cách đổi biến, ta có thể thực hiện theo các bước:
Bước 1 : Đặt t = ϕ(x) ⇒ dt = ϕ’(x).dx
Bước 2 : Đổi cận tương ứng
+/ x = a thì t = ϕ(a)
+/ x = b thì t = ϕ(b)
Bước 3 : Khi đó tích phân I được viết lại I = ∫( )
) (
)
(
b
a
dt t f
ϕ
ϕ là tích phân cần tìm.
II/ Bài tập áp dụng :
Câu 1 : Tìm các tích phân sau :
a/ ∫
−
4 4
π
π
dx
x
x
e
1 ln 2
1
2
Câu 2 : Tìm các tích phân sau :
a/ ∫cos 4 x sinx.dx
b/ ∫
0 1
2 1
x
xdx
c/ x x 3.dx
0 1
2
∫
−
+
C./ BÀI TẬP
Câu 1 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫e dx x
1
x x
x x
cos sin
2
cos 2 sin
c/ ∫ ++ dx
x
x
1
1 4
ĐSỐ : a/ 1 b/ ln 2 sinx − cosx + C c/
Câu 2 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ ++ dx
x
x x
3
3
2
2
b/ ∫(tgx +tg3x).dx
c/ ∫ ( + )
2 ln 0
2 1
dx
e
dx e
x x
ĐSỐ : a/ x2 + 3 + C b/ (1/2).tg2x + C c/ 1/6
Câu 3 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫4
0 4
cos
π
x
dx b/ ∫sindx x c/ ∫ ( + )2008
1
.
x
dx x
HD : a/ 4/3 b/ ln tg 2x + C c/ Phân tích tử
Câu 4 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫ 3x +42−dx 3x +2 b/ ∫ 25dx+3x c/
x
x
x
1
3
2
HD : a/ 2 (3x+ 4)3 + b/ (2/3) 25 + 3x + C c/ (1/2).x2 – 2x + ln x+ 1 + C
Câu 5 : Tìm các tích phân sau :
a/ ∫ (ax +b)m dx
, ( m 1≠ , a≠0) b/ ∫1 −
0
3 2 2
.
x
dx x
c/ ∫1 ( + )
0
6
2 1 dx
x
Câu 6 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫3
0
cos sin
π
dx e
x x b/ ∫e + x x dx
1
)
ln 2 (
c/ ∫4
0
2 cos
π
dx x
e tgx
Trang 4Câu 7 : Tìm các tích phân sau : a/ ∫3
0 3
cos
sin
x
dx
x b/ ∫2 +
0
sin cos
0
2 cos
2
sin
π
dx x x
HD : a/ 3/2 b/ (2/3).(2 2 - 1) c/ (1/4)( 3 + 1)
Câu 8 : Tìm các tích phân sau :
0
3
3 ln 9
x
x
2
ln 1
e
dx
c/ ∫1( − ) 0
5 2
3x dx
ĐSỐ : a/ 2( 3 − 2) b/ (1/2).(ln2)2 c/ - 7/2
Câu 9 : Tìm các tích phân sau :
a/ ∫
−
−
1
1
2 3
.e dx
2 1
2
x
dx x
c/ ∫
2
ln
e
e x x dx
ĐSỐ : a/ (1/3e).(e2 - 1) b/ (4/3).( 2 - 1) c/ ln2
ĐSỐ : a/ 2( 3 − 2) b/ (1/2).(ln2)2 c/ - 7/2
Câu 10 : Tìm các tích phân sau :
a/ ∫(a.e x +b)m e x.dx ,(a ≠ 0 ,m ≠ 1) b/ −∫2 −
2
1dx
x
x x
cos
cos sin 3 4
4 4
2
2
∫
−
−
π
π
HD : a/ Đặt t = b/ 5 c/ d/ Đặt f/ 8
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Cơng thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
x d =u x v x − v x u x dx
a
b
a
b
a vdu
Tích phân từng phần các hàm sớ dễ phát hiê ̣n u và dv
@ Da ̣ng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
β
α
cos
dv ax dx v cosax dx
∫
@ Da ̣ng 2: f x( ) ln( )ax dx
β
α
( )
( )
dx du
dv f x dx
v f x dx
=
=
@ Da ̣ng 3: sin
cosax
β
α
Ví du ̣ 1: tính các tích phân sau
Trang 5a/
1 2
2
0( 1)
x
x e
dx
x+
2
2
x
u x e
dx dv
x
=
=
b/
3 8
4 3
2( 1)
x dx
x −
5 3
4 3
u x
x dx dv
x
=
=
c/
1 2
1
+ −
Tính I1
1
2
01
dx
x
=
+
∫ bằng phương pháp đụ̉i biờ́n sụ́
Tính I2 =
1 2
2 2
0(1 )
x dx
x
+
∫ bằng phương pháp từng phõ̀n : đă ̣t
2 2
u x
x
x
=
=
VAÁN ẹEÀ 5 : TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ: ∫b
a
dx x f x
R( , ( )) Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
x a
x a
+
− ) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0
∈ ; +) R(x, a2 −x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t
+) R(x, n
d cx
b ax
+
+ ) Đặt t = n
d cx
b ax
+
+ ; +) R(x, f(x)) =
γ β
α + +
(
1
Với (αx2 + βx+ γ)’ = k(ax+b) Khi đó đặt t = αx2 + βx+ γ , hoặc đặt t =
b
ax+
1
+) R(x, a2 +x2 ) Đặt x = a tgt, t ]
2
; 2 [−π π
∈ ; +) R(x, x2 −a2 ) Đặt x =
x
a
2 {
\]
;0
∈
+) R(n 1 n 2 n i )
x ; x ; ; x Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni) Đặt x = tk
VAÁN ẹEÀ 6: MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: ∫ =∫ + −
−
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)]
( ) ( [ )
(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên
[-2
3
; 2
3π π
] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2 − 2 cos 2x,
Tính: ∫
−
2 3
2 3
) (
π
π
dx x
f ; Tính −∫11 ++ 2
4
1
sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: ∫
−
a
a
dx x
f( ) = 0
Ví dụ: Tính: ∫
−
+ +
1 1
2) 1 ln(x x dx ∫
−
+ +
2 2
2) 1 ln(
cos
π
π
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫
−
a
a
dx x
f( ) = 2∫a f x dx
0 ) (
Trang 6Ví dụ: Tính ∫
1 1
2
4 x 1
x
dx
2
2
cos
4 sin
−
+
−
dx x
π
π
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: ∫ =∫
+
−
a a
a
x dx f x dx b
x f
0 ) ( 1
) (
(1≠ b>0, ∀a)
Ví dụ: Tính: ∫
− +
+
3
3
2 2 1
1dx
x
2 2
1
5 cos 3 sin sin
π
π
dx e
x x x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2
π], thì
∫
0
2 0
) (cos )
(sin
π π
dx x f x f
Ví dụ: Tính ∫2 +
0
2009 2009
2009
cos sin
sin
π
dx x x
x
0 sin cos
sin
π
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: ∫π =ππ∫
0 0
) (sin 2
) (sinx dx f x dx xf
Ví dụ: Tính ∫π +
0 1 sinx dx
x
∫ +
π
0 2 cos
sin dx
x
x x
Bài toán 6: ∫ + − =∫b
a
b
a
dx x f dx x b a
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính ∫π +
0
2 cos 1
sin
dx x
x x
0
) 1 ln(
4 sin
π
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
∫
a
a
dx x f dx
x
f
0 ) ( )
( ⇒ nT∫f x dx=n∫T f x dx
0 0
) ( )
0
2 cos
Các bài tập áp dụng:
1 −∫11 11+−2x x2 dx 2 ∫
−
+
− +
−
4 4
4
3 5 7
cos
1
π
π
dx x
x x x x
3 ∫
1 1
2) 1 )(
1
dx
− −
+
2 2
2
sin 4 cos
π
π
dx x
x x
5 ∫
−
2
1
2
1
) 1
1 ln(
2
x
x
2
0
2
2
5
cos 1 sin
π π
dx x
x
cot
1 2
= +
+
e
tga
e
x x
dx x
xdx
(tga>0)
Tính các tích phân sau:
Trang 71.(A2004): T1 = 2
1
x
∫ + − 2.(B2004): T2 = 1 3ln ln
1
x
+
ln
2 ∫ x − x dx
4.(A2005): T4 = 2 sin 2 sin
1 3cos 0
x
π
+
1 cos 0
x
π
0
x
π
π
0
x
π
∫
9 T9 = 2 4 1
2 4 0
x
− +
∫
+ 10 T10 =
0
x dx x
+
∫ + 11 T11 =
0
x
π
+
∫
12 T12 = 2 ln
1
e
∫ 13 T13 = 3 2 2
a TÝnh T13 víi m = 1
b TÝnh T13 theo m víi m < -3
14.(C§SPA04) T14 = 3 5 2 3
2
x
+
∫
+ 15.(C§SP B¾c Ninh 2004) T15 =
2
4
π
16 (C§SP B×nh Phíc 2004) T16 = 2 sin
2
1 cos 0
x
π
∫ +
17 (C§SP Kon Tum 2004) T17 = 1
1 0
dx x e
∫ +
18 (C§SP Hµ Nam A2004) T18 = 1 x dx
x
+
tan
π
20 (C§ GTVT 2004) T20 = 5
3 x + − − x dx
∫
4 2 5
x
∫
+
22 (C§ A2004) T22 = 1
2
0
dx
∫ + +
23 (C§ KTKH §µ N½ng 2004) T23 = 3 2 2
1
0 ∫ x x + dx
25 (C§ XD sè 3- 2005)
T25 = 3 3
1
−
∫
+ + +
0 ∫ x − x dx
27 (C§ KTKT I - 2005) T27 = 2 3 sin 5
0
x
π
1.
0 ∫ x + x dx
Trang 829 (CĐ Truyền hình A2005) T29 = 4 1 2sin 2
1 sin 2
x
π
−
2 2 4 1
dx
∫ + +
−
31 (CĐ KTKT Cần Thơ A2005) T31 = ln
2 1
x
∫ 32 (CĐ Sp Vĩnh Long 2005)T32 =
7
3 3 1 0
x
+
∫ +
33 (CĐ SP Bến Tre 2005) T33 = 2 cos3
x
π
34 (CĐ SP Sóc Trăng A2005)T34 = 2 sin
2
xdx
x
π
∫
+
35 (CĐ SP Sóc Trăng 2005) T35 = 3 .sin 2
2 sin 2 cos 0
π
∫
36.(CĐ Cộng đồng Vĩnh Long A05) T36 = ln
1
e
x xdx
∫
37 (CĐ Công Nghiệp Hà Nội 2005)T37 =
2 4 cos
π
∫
38 (CĐ SP Hà Nam 2005)T38 = 2 3 2 2 4 9
2 4 0
x
∫
+ 39 (CĐ KT TC 2005)T39 =
1
3
0
xdx x
∫ +
40 (CĐ SP Vĩnh Phúc 2005) T40 =
2
∫
−
41 (CĐ SP Hà Nội 2005) T41 = 4 sin 2004
0
π
∫
+
42 (CĐ SP Kon Tum 2005) T42 = 2 4sin 3
1 cos 0
x dx x
π
∫ +
43 (CĐ KTKH Đà Nẵng 2005) T43 = 4
(sin cos )cos 0
dx
π
44 (CĐ SP Quảng Nam 2005) T44 =
1
2 3
0
∫
45 (CĐ Y tế Thanh Hoá 2005) T45 = ln2 5 2
0
x
x e dx
∫
Trang 946 (C§ SP Qu¶ng B×nh 2005)
T46 =
2 1
2 3
dx x
+
∫
+
47 (C§ SP Qu¶ng Ng·i 2005)
T47 = 4
0
(1 tan tan )sin
2
x
π
+
∫
48 T48 = 3
3 1
dx
x x
∫ +
49 T49 = ln8 2
1.
ln3
∫
50 T50 =
2 sin
π
∫
51 T51 = 1
1
0 ∫ x − xdx
52 T52 =
3 ln 2
1
dx
53 T53 = 2 2
π
−
∫
54 (2002) T54 =
3 1 2
x dx x
∫ +
55 (2002) T55 =
ln3
3
x
e dx x e
∫
+
56.(2002)T56 = 0 2 3
1
x
∫
−
57.T57 =2 6 1 cos 3 .sin cos 5
π
−
∫
58 (2002) T58 = 2 3
2
dx
x x
∫
+
59 T59 = 4
1 cos 2 0
x dx x
π
∫ +
Trang 1060 T60 = 1 3 1 2
0 ∫ x − x dx
61 (B2003) T61 = 4 1 2sin 2
1 sin 2 0
x dx x
π
−
∫ +
62 T62 =
2 ln5
1 ln2
x
e dx x e
∫
−
cos
1
Dục hành viễn, tất tự nhĩ
64 T64 = 1 3 2
0
x
x e dx
∫
65 (D2003) T65 = 2 2
0 ∫ x − x dx
66 T66 =
2 1
0
x
dx
67 (CĐ SP Vĩnh Phúc A2002)
T67 = 2
sin sin 2 sin3
π
∫
68 (CĐ SP Hà Tĩnh A, B2002)
π
+
∫
69 (CĐ SP Hà Tĩnh AB2002)
T69 = 2 5
cos
π
∫
70 (CĐ SP KT I 2002)
Cho In = 1 2 (1 2 )
0
n
Jn = 1 2
0
n
∫
Với n nguyên dơng
a Tính Jn và chứng minh bất đẳng
thức In
1
2( n 1)
≤
+
Trang 11b Tính In+1 theo In và tìm lim In 1
71 (CĐ SP Quảng Ngãi 2002)
T71 = 2 3 ( cos 3 sin )
π
−
∫
72 (CĐ SP Nha Trang 2002)
T72 =
7 3
x
dx
∫
73 (CĐ KTKT Hải Dơng A2002)
T73 = 2 2 ln
1
e
∫
74 (CĐ KT Hà Tây 2002)
T74 = ln
3 1
x
∫
75 (CĐ KTKT Thái Bình 2002)
T75 = 2 3 3
2 2 1 0
∫
+ +
76 (CĐ SP KT Vinh 2002)
T76 = 2 4cos 3sin 1
0
π
77.(CĐ A, D2003) T77 =9 3 1
1 ∫ x − xdx
78 (CĐ M, T 2003)
T78 = 2 1
3 3 2 0
x
+
∫ +
79 (CĐ GTVT 2003)
T79 = 1 2 ( 2 )
0
x
∫
80.(CĐ GTVT2003)T80 = sin 6
2
π
∫
81 (CĐ GTVT II 2003)
Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định, liên tục và cùng nhận giá trị trên đoạn [0 ; 1] Chứng minh:
2
f x g x dx f x dx g x dx
≤
82 (CĐ GTVT II 2003, tham khảo)
T82 =
2
dx
+
∫
Trang 1283 (CĐ TCKT IV 2003) Cho 2 số nguyên dơng m, n với m là số lẻ Tính theo m, n tích phân:
T83 = 2
0
sin cosnx mxdx
π
∫
84 (CĐ TCKT IV tham khảo 2003)
a Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0 ; 1] Chứng minh rằng:
=
b Bằng cách đặt
2
x = − π t, hãy tính các tích phân:
2003 2003 0
sin
xdx I
π
=
+
∫
2003 2003 0
cos
xdx J
π
=
+
∫
85 (CĐ Khí tợng thuỷ văn A2003)
T85 =
3
0
1
∫
86 (CĐ Nông - Lâm 2003)
T86 =
2
x
dx
∫
87 (CĐ SP Phú Thọ A2003)
T87 =
1
2 0
ln(1 ) 1
x dx x
+ +
∫
88 (CĐ SP KonTum A2003) Bằng cách đặt
2
x = − π t, hãy tích tích phân:
T88 = 2
0
sin
x dx
π
+
∫
89 (CĐ SP Tây Ninh 2003)
a Tính tích phân: T89=
1
cos(ln )
e
x dx
π
∫
b Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(t) định bởi:
F(t) = 2
0
cos
t
∫
90 (CĐ SP Trà Vinh D2003)
Trang 13a 90
0
sin
π
= ∫
90
0
π
= ∫
