Giáo án lớp 4 - Tuần 8 năm 2007

Chứng minh tính chất đường phân giác trong tam giác Trong một tam giác, đường phân giác trong của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn[r]

CHUYÊN ĐỀ 9 PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH

§1 CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ DIỆN TÍCH

1 Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác

a) Mỗi đa giác có một số đo diện tích xác định Diện tích đa giác là một số dương b) Ha đa giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau

c) Nếu một đa giác được phân chia thành một số hữu hạn đa giác thành phần rời nhau (không có điểm trong chung) thì diện tích của đa giác bị chi bằng tổng diện tích các

đa giác thành phần

d) Hai đa giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau Hai đa giác có diện tích bằng nhau được gọi là hai đa giác tương đương

e) Diện tích hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị được gọi là một đơn vị diện tích

2 Các công thức diện tích một số đa giác thường gặp

a) Diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có

- Độ dài các cạnh là BC = a, CA = b, AB = c ;

- Độ dài đường cao tương ứng với các cạnh a,

b, c là ha, hb, hc;

- Nửa chu vi của tam giác là: p = 1

2(a + b + c) ;

- Bán kính đường tròn nội tiếp Δ ABC là r

Ta có các công thức tính diện tích tam giác:

S = 1

2 a.ha =

1

2 b.hb=

1

2c.hc (1)

S = p(pa)(pb)(pc) (2) (công thức Hê- rông)

Đặc biệt :

- Diện tích tam giác đều có cạnh bằng a : S =

2

a 3

4 .

- Diện tích tam giác vuông : S = 1

2ab (a, b là độ dài các cạnh góc vuông)

a

A

B

b

C

O a

c

hahb

hc

Hình thang Hình bình hành Hình chữ nhật

S = (a b)h

2



chéo vuông góc

c) Diện tích của đa giác n-cạnh

Cách tính diện tích của đa giác n-cạnh : Ta chia đa giác đó

thành các tam giác không có điểm trong chung Tính diện tích

từng tam giác rồi cộng tất cả các diện tích tam giác lại

Chẳng hạn, ở hình vẽ bên, ta có :

SABCDE= SABC+ SACD + SADE

3 Các bài toán cơ bản về diện tích

Bài toán 1 (Hai tam giác có chung chiều cao hoặc có chiều cao bằng nhau)

Cho đường thẳng a và điểm A không thuộc a Lấy trên a các điểm B, C, D, E sao cho

BC = kDE (k > 0) Chứng minh rằng : SABC= kSADE

Chứng minh

Không giảm tổng quát, có thể giả sử D nằm

giữa B và C, C nằm giữa D và E (hình vẽ)

Kẻ AH  a, thì AH là đường cao chung

củaABC và ΔADE Ta có :

SABC = 1

2 AH.BC =

1

2 AH.kDE

= k(1

2 AH.DE) = kSADEđpcm

Từ bài toán trên, ta có các hệ quả sau :

Hệ quả 1: Hai tam giác có chung chiều cao thì tỉ số diện tích sẽ bằng tỉ số cạnh tương ứng với hai chiều cao ấy.

d 1

d 2

d 1

d2

b

a

a

a

b

h

a h

A

E B

A

C

Thật vậy, theo hình vẽ trên thì ABC

ADE

S  DE(= k)

Hệ quả 2: Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác

thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.

Thật vậy, xét ΔABC có đường trung tuyến AM Ta có :

BM = MC (k = 1)SABM= SAMC

Hệ quả 3: Hai tam giác có chiều cao bằng nhau thì tỉ số

diện tích của hai tam giác bằng tỉ số hai cạnh tương ứng với hai chiều cao đó.

Bài toán 2 (Hai tam giác có chung đáy hoặc có hai đáy bằng nhau)

Cho đường thẳng a Lấy hai điểm B, C thuộc a và hai điểm A, A’ không thuộc a (A ≠ A’) Kẻ AH và A’H’ cùng vuông góc với a (AH > A’H’) Gọi E là giao điểm của AA’ với a Chứng minh rằng :

a) ABC

A 'BC

S  A'H';

b) ABC

A ' BC

S EA'

Chứng minh

Ta xét ba trường hợp hình vẽ như sau :

Ở cả ba trường hợp hình vẽ, ta đều có :

a) ABC

A ' BC

1 AH.BC

1

S A 'H '.BC A 'H '

2

b) AH // A’H’ (vì cùngBC) nên theo hệ quả của định lí Ta – let, ta có :

A 'H ' EA ' (2)

Từ (1) và (2) suy ra : ABC

A ' BC

S  EA'(đpcm)

B

H’

A’

A

Bài toán 3 Cho hai đường thẳng BD và CD cắt nhau tại A Chứng minh rằng :

ADE

ABC

Chứng minh

Xét ba trường hợp :

- Điểm A không thuộc cả hai đoạn thẳng BD và CE :

Nối B với E Vì hai tam giác ADE và ABE có chung đường cao kẻ

từ đỉnh E tới AB nên :

ADE

ABE

Mặt khác, hai tam giác ABE và ABC có chung đường cao kẻ từ

đỉnh B tới AC nên :

ABE

ABC

Do đó : ADE ABE

ABE ABC

S S  AC AB hay ADE

ABC

S  AB.AC (đpcm)

- Điểm A thuộc cả hai đoạn thẳng BD và CE :

Chứng minh tương tự như trên

- Điểm A thuộc một trong hai đoạn thẳng BD và CE

(chẳng hạn BD) :

Chứng minh tương tự như trên

4 Áp dụng phương pháp diện tích để giải toán

Phương pháp diện tích là một phương pháp sử dụng diện tích như một công cụ, phương tiện để giải các bài toán ở nhiều phương diện khác nhau :

- Chứng minh một số định lí, tính chất

- Tính giá trị của một hệ thức hình học

- Tính diện tích, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc

- Chứng minh sự đồng quy của 3 đường thẳng

a) Chứng minh một số định lí, tính chất.

Ví dụ 1 (Chứng minh định lí Pi - ta - go trong tam

giác vuông)

Chứng minh rằng, trong tam giác vuông, bình

phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc

vuông

B

b

B’

c

1 2 3

D

E A

C

D A B

E

C

D

E B

A

Giả sử ΔABC vuông tại A, có AB = C, BC = a, CA = b Ta phải chứng minh :

b2+ c2= a2 Trên tia đối của tia CA lấy điểm A’ sao cho CA’ = c Dựng tia A’x  AA’ (tia Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AA’ có chứa điểm B) Lấy điểm B’ trên A’x sao cho A’B’ = b

Xét hai tam giác vuông ABC và A’CB’ có :

AA90 , AC = A’B’ = b, AB = A’C = c

ΔABC = ΔA’CB’ (c - g - c) BC = B’C = a,  

3

C CBA Tam giác ABC vuông tại A nên   0

1 CBAC 90 hay   0

3 1

C C 90  BCB' = 90 0

Suy ra ΔBCB’ vuông cân tại C

Tứ giác ABB’A’ có AB // A’B’ (vì cùngAA’) và A= 900nên là hình thang vuông

Ta có : SABB’A’= SABC+ SBCB’+ SCA’B’ hay :

2 (b c) 2



=

2

bc a bc

2  2  2 ↔ b2+ c2= a2(đpcm)

Ví dụ 2 (Chứng minh định lí Ta – let trong tam giác)

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh và cắt hai cạnh còn lại thì nó sẽ định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

Giải

Giả sử đường thẳng a // BC và cắt hai cạnh AB, AC

của ΔABC lần lượt tại B’ và C’ Ta phải chứng minh :

AB' AC'

AB  AC

Vì a // BC nên khoảng cách từ hai điểm B và C đến a

bằng nhau Do đó, ΔBB’C và ΔCB’C’ có hai chiều cao hạ từ B và C xuống cạnh B’C’ bằng nhau Suy ra :

SBB’C’= SCB’C’ SBB’C’ + SAB’C’ = SCB’C’+ SAB’C’ hay SABC’ = SACB’ (1)

Hai tam giác BAC’ và BAC có cùng chiều cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC nên :

BAC '

BAC

S AC '

S  AC (2) Chứng minh tương tự, ta có : CAB '

CAB

S  AB (3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra : AB' AC'

AB  AC (đpcm)

A

C

C’ a

B B’

Ví dụ 2 (Chứng minh định lí Xê - va trong tam giác)

Trên các cạnh BC, CA, AB của ΔABC lấy lần lượt các

điểm A’, B’, C’ Chứng minh rằng :

AA’, BB’, CC’ đồng quy ↔ A 'B B'C C'A 1

A 'C B'A C'B  

Giải

Ta phải chứng minh hai trường hợp :

Điều kiện cần : AA’, BB’, CC’ đồng quy A 'B B'C C 'A 1

A 'C B'A C 'B  

Thật vậy, nếu AA’, BB’, CC’ đồng quy tại P thì theo bài toán cơ bản 2, ta có :

ABP

ACP

S A 'B

S A 'C; BAP

BCP

S  B'A; CBP

CAP

S  C'B

ACP BCP CAP

S

A 'B B'C C 'A S S

A 'C B'A C 'B  S S S = 1

Điều kiện đủ : A 'B B'C C 'A 1

A 'C B'A C 'B   AA’, BB’, CC’ đồng quy

Gọi P là giao điểm của AA’ và BB’, C1là giao điểm của CP với AB

Khi đó, AA’, BB’ và CC1đồng quy nên theo chứng minh trên, ta có :

1

1

A 'B B'C C A

1

A 'C B'A C B   , mà A 'B B'C C 'A 1

A 'C B'A C 'B   nên suy ra : 1

1

C A C 'A

C B  C 'B

 1 1

1

C A C B C 'A C 'B

hay

1

C B  C 'B Do đó : C1B = C’B

Vì C1và C’ đều thuộc AB nên C1≡ C’

Vậy AA’, BB’, CC’ đồng quy tại P

Ví dụ 3 (Chứng minh tính chất đường phân giác trong tam giác)

Trong một tam giác, đường phân giác trong của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy

Giải

Giả sử tam giác ABC có đường phân giác AD Ta phải

chứng minh : DB AB

DC  AC

Kẻ DEAB, DF AC, AHBC Ta có :

2S = AH.BD = DE.AB  AH  AB (1)

C D

F A

B

E H

C C’

A

B’

P

2SADC= AH.CD = DF.AC  AH AC

DF  CD (2) Mặt khác, D thuộc đường phân giác góc A nên DE = DF (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra : AB AC

BD  CD hay DB AB

DC  AC (đpcm)

Ví dụ 4 (Chứng minh tính chất đường cao trong tam giác)

Chứng minh rằng trong tam giác, đường cao ứng với cạnh lớn nhất thì nhỏ nhất

Giải

Giả sử ΔABC có AB ≤ BC ≤ CA Ta phải chứng minh :

CE ≥ AH ≥ BF

Thật vậy, ta có : 2SABC= AB.CE = BC.AH = CA.BF

Do đó : AB AH

BC  CE và BC BF

CA  AH

Vì AB ≤ BC ≤ CA nên AB

BC≤ 1 và

BC

CA≤ 1 Từ đó suy ra : AH ≤ CE và BF ≤ AH Hay CE ≥ AH ≥ BF (đpcm)

b) Tính giá trị của một hệ thức hình học

Ví dụ 5 Cho ΔABC Lấy một điểm O nằm trong tam giác Gọi P, Q, R lần lượt là

giao điểm của AO với BC, BO với CA, CO với AB Tính :

AP  BQ  CR ;

AP  BQ AR

Giải

a) Kẻ OK BC, AHBC thì OK // AH Theo định lí Ta – let, ta có : OK OP

AH AP (1) Mặt khác, ΔOBC và ΔABC có cùng chung cạnh BC nên : OBC

ABC

S  AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra : OBC

ABC

S  AP Chứng minh tương tự, ta có : OCA

ABC

S  BQ, OAB

ABC

S  CR

C

F A

B

E

H

C Q

A

B

O

H K P R

Suy ra : OBC OCA OAB OAB OBC OCA

ABC ABC ABC ABC

OP OQ OR

1

Vậy OP OQ OR 2

AP BQ  CR 

c) Tính diện tích, tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc.

Ví dụ 6 Cho ΔABC, trung tuyến AM Điểm O thuộc đoạn AM sao cho AO = 3OM.

Gọi N là giao điểm của BO với AC Biết diện tích ΔABC bằng 120cm2 Tính :

a) Diện tích ΔAOB ;

b) Diện tích tứ giác CMON

Giải

a) Vì AM là trung tuyến ứng với cạnh BC nên :

AMB AMC ABC

1

2

  = 60 (cm2)

Hai tam giác AOB và AMB có cung đường cao hạ

từ đỉnh B đến cạnh AM nên : AOB

AMB

S  AM  AO OM  3OM OM  4

 SAOB 3SAMB 45

4

  (cm2)

b) Ta có : AOB

AOC

1

S  MC  (xem bài toán 2) hay SAOC SAOB  45(cm2)

 SBOC SABC (SAOB SAOC) 120 90  30(cm2)

Lại có : AOB

BOC

S  NC hay NA 30 2

NC  45 3  NA NC 5

AC  5

Vì ΔCON và ΔAOC có chung chiều cao hạ từ O xuống cạnh AC nên :

CON

AOC

S  AC  5  SCON 3SAOC 3 45 27

Mặt khác, ΔOMC và ΔOBC có chung chiều cao hạ từ O đến BC nên :

COM

BOC

S  BC  2  SCOM 1SBOC 1 30 15

Vậy SCMON SCOM SCON 152742(cm2)\

A

B

O

N

Ví dụ 7 Cho ΔABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm.

a) Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho AD = AB Tính độ dài BD

b) Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho BE = 4 cm Tính độ dài AE

Giải

a) Kẻ AH BC Vì ΔABC vuông tại A, nên :

BC2= AB2+ AC2= 152+ 202= 252(định lí Pitago)

BC = 25 (cm)

Ta lại có : 2SABC= AB.AC = AH.BC

 AH AB.AC 15.20 12

ΔAHB vuông tại H nên : BH2= AB2– AH2(định lí Pitago) hay BH2= 152– 122 = 92

BH = 9 (cm)

Tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD (gt)) nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến Do đó : BD = 2BH = 18 (cm)

b) Kẻ AH BC Tương tự câu a, ta tính được :

AH = 12 (cm) và BH = 9 (cm)

EH = BH – BE = 9 – 4 = 5 (cm)

Áp dụng định lí Pitago cho ΔAHE (vuông tại H), ta có:

AE2= AH2+ EH2= 52+ 122= 132 AE = 13 (cm)

C

A

C A