Chương II. §3. Hàm số bậc hai

Quan sát hình ảnh và chỉ ra dạng đồ thị; xác định dấu của hệ số a, tọa độ đỉnh, trục đối xứng của các đồ thị các hàm số sau:.. Không thể đo trực tiếp được vì cổng quá cao, nguy hiểm khi[r]

Bài 3: HÀM SỐ BẬC HAI

A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Bài toán 1: Hãy nêu cách đo chiều cao của cổng

Cổng trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Bài toán 2: Hãy nêu cách đo chiều cao cổng parabol của trụ đỡ cầu vượt

Công trình cầu vượt 3 tầng tại ngã ba Huế - TP Đà Nẵng

Được khởi công xây dựng vào ngày 28/9/2013 và được khánh thành vào sáng 29/3/2015 nhân kỷ niệm 40 năm giải phóng Đà Nẵng Đây được xem là công trình cầu vượt

3 tầng đầu tiên ở Việt Nam, được lấy cảm hứng từ hình tượng Linga và Yoni vốn là biểu tượng của người Chăm để các kiến trúc sư thiết kế xây dựng

B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

I ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

I.1 Khởi động

Quan sát hình ảnh và xác định dấu của hệ số a, chỉ ra trục đối xứng và đỉnh của parabol của các đồ thị hàm số sau:

x y

O

x

y

O

I.2 Hình thành kiến thức

Quan sát hình ảnh và chỉ ra dạng đồ thị; xác định dấu của hệ số a, tọa độ đỉnh, trục đối xứng của các đồ thị các hàm số sau:

Không thể đo trực tiếp được vì cổng quá cao, nguy hiểm khi đo…

Hình 1: y x2 Hình 2: y x2 2 Hình 3:

Chú ý 1: Ta đã biết:

2

2

4 2

Do đó, nếu đặt 2

b

a a thì

2 2

y ax bx c a x p q

+ Đồ thị là một parabol,

có bề lõm hướng lên trên

+ a > 0

+ Đỉnh là gốc O(0; 0)

+ Trục đối xứng: x = 0

+ Đồ thị là một parabol,

có bề lõm hướng lên trên

+ a > 0

+ Đỉnh là I(0; 2)

+ Trục đối xứng: x = 0

+ Đồ thị là một parabol, có

bề lõm hướng lên trên

+ a > 0

+ Đỉnh là I(1; 2)

+ Trục đối xứng: x = 1

KẾT LUẬN

CÁCH VẼ

Chú ý 2: Trong một số bài toán, nếu không tìm được giao điểm của parabol với trục hoành,

ta tìm thêm hai điểm đặc biệt khác đối xứng với nhau qua đường thẳng

2

b x

a.

Đồ thị hàm số y ax 2 bx c a   0 là một đường parabol có đỉnh ;

2 4

b I

a a ,

có trục đối xứng là đường thẳng

2

b x

a Parabol này có bề lõm quay lên trên nếu 0

a , xuống dưới nếu a 0

Để vẽ đường parabol 2

0

y ax bx c a , ta thực hiện các bước:

1 Xác định tọa độ của đỉnh ;

2 4

b I

a a

2 Vẽ trục đối xứng

2

b x

a

3 Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm 0; c ) và trục hoành

(nếu có)

Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm 0; c

qua trục đối xứng của parabol

4 Vẽ parabol

Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a, a 0 bề lõm quay lên trên,

0

a bề lõm quay xuống dưới

I.3 Hoạt động luyện tập

BT1 Cho Parabol (P): y x24x3

a Xác định tọa độ đỉnh, trục đối xứng của (P)

b Tìm giao điểm của (P) với hai trục tọa độ

c Tìm M thuộc (P) biết M có hoành độ là x M  4

d Vẽ (P)

Giải:

Ta có: 2

yx  x  a ;b ;c

a Tọa độ đỉnh I của (P):  

2

2

2; 1 2

( 2) 4( 2) 3 1

I

I

b x

I a

y

    



       



Trục đối xứng: x 2

b Giao điểm của (P) với trục tung là  0 3; ; Giao điểm của (P) với trục hoành là 1;0 , 3;0

c Ta có  2

4 4 4( 4) 3 3

x    y       Vậy M4;3

d Đồ thị:

BT2 Cho parabol (P): y x2 2x 3

a Tọa độ đỉnh của (P) là

A. I 1; 5 B. I 1; 2 C. I 1; 2 D. I 1; 6

b Trục đối xứng của (P) là đường thẳng

c Trong các điểm sau, điểm nào không thuộc đồ thị (P) của hàm số?

A. A 0; 3 B. A 2; 3 C. A 3; 6 D. D 1; 4

d Trong các đồ thị dưới đây, hình nào là đồ thị của hàm số y  x2 2x3?

A Hình 4 B. Hình 3 C. Hình 2 D. Hình 1

BT3 Hãy nối đồ thị hàm số ở bảng (I) với hàm số tương ứng ở bảng (II)

(I)

(II)

2

A y x B y. x2 2x 1. C y. x2 2x 3 2

II CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ BẬC HAI

II.1 Khởi động

Đồ thị của các hàm số y x2 4x 3; y x2 2x lần lượt được cho như sau:

2

Kết quả: 1B; 2D; 3A; 4C

Nếu a 0 thì hàm số y ax2 bx c

Nghịch biến trên khoảng ;

2

b a

Đồng biến trên khoảng ;

2

b a

Nếu a 0 thì hàm số y ax2 bx c

Đồng biến trên khoảng ;

2

b a

Nghịch biến trên khoảng ;

2

b a

II.2 Hình thành kiến thức

Dựa vào đồ thị, hãy lập bảng biến thiên của các hàm số đó

x  2 

y

 

-1

x  1 

y

1

 

KẾT LUẬN

1 Chiều biến thiên của hàm số y ax2 bx c a 0

2

0

0

y ax bx c a

x  b

a



2 

y

 

a



4

x  b

a



2 

a



4

 

2 Định lý

II.3 Hoạt động luyện tập

a Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; D. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1

b Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 0 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 3 D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; 2

BT2 Bảng biến thiên sau của hàm số nào dưới đây?

A. y x2 2 x B. y 2x2 4x 1.

C. y x2 2x 3. D y x2 2x 3.

C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

I BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho parabol (P) có phương trình y x2 2x 4 Tìm điểm mà parabol đi qua

Câu 2: Cho parabol (P) có phương trình y 3x2 2x 4 Tìm trục đối xứng của parabol

3

3

3

3

Câu 3: Cho parabol (P) có phương trình y x2 2x 4 Tìm tọa độ đỉnh I của parabol

y



 2



y



2



A I( 1; 5) B I(1;1) C I( 1;1) D I( 2; 4)

Câu 4: Tìm hàm số bậc hai có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Câu 5: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y x2 2019x 2018 với trục tung

Câu 6: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số y x2 2018x 2017 với trục hoành

A M(1; 0) và N(2017; 0) B P(0;1)và Q(0;2017)

C O(0; 0)và M(1;2017) D N(2017; 0)và O(0; 0)

Câu 7: Cho parabol (P) có phương trình y 3x2 6x 2017 Mệnh đề nào sau đây sai?

A Parabol (P) có đỉnh I(0;2017) B Parabol (P) không cắt trục hoành

C Parabol (P) luôn cắt trục tung D Parabol (P) có trục đối xứng x 1

Câu 8: Xác định parabol 1 2

4 2

y x bx , biết rằng parabol đi qua điểm M( 2;1)

4

4

4

4

Câu 9: Cho đồ thị hàm số y ax2 bx c có đồ thị như hình vẽ bên dưới Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 10: Trong các hàm số bậc hai sau, hàm số nào có đồ thị qua M 1;3 và có trục đối xứng

2

Câu 11: Hàm số bậc hai nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ:

A y x2 4x 1 B y x2 4x 1

II BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a y x2 2x 3. b y x2 x 1. c y 4x2 4x 1.

Bài 2: Xác định tọa độ giao điểm của parabol (P): y ax2 bx c với trục tung Tìm điều kiện để (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và viết tọa độ các giao điểm trong trường hợp

đó

Bài 3: Xác định hệ số a , b của (P): y ax2 bx 3 biết (P) đi qua A 2; 5 và có trục đối xứng x 3

Bài 4: Xác định các hệ số a , b , c của (P): y ax2 bx c biết (P) có đỉnh I 2; 5 và đi qua điểmA 3; 1

D HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Bài 1: Phương án để đo chiều cao của cầu vượt 3 tầng tại ngã ba Huế - TP Đà Nẵng

Xem cổng parabol của trụ cầu có dạng là đồ thị của một hàm số bậc hai 2  

0

yax bx c a 

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Ta tìm được phương trình parabol dựa vào 3 điểm thuộc đồ thị:

+ Gốc tọa độ O

+ Điểm A (tọa độ có được bằng cách đo khoảng cách giữa hai chân cổng)

+ Điểm B: là điểm bất kỳ trên thân cổng mà ta có thể đo được:

 Khoảng cách từ B đến mặt đất: tung độ B

 Khoảng cách từ vị trí hình chiếu vuông góc của B trên mặt đất đến O : hoành độ B

Bài 2: Hãy đo chiều cao của cổng Ac-xơ

Cổng Acxơ - Gateway Arch (Cổng vào miền tây)

Tọa lạc tại St Louis, Missouri, Hoa Kỳ

Đây là công trình kiến trúc vòm cao nhất thế giới và là tượng đài nhân tạo cao nhất

ở Tây Bán Cầu, được xây dựng để kỷ niệm việc mở rộng Hoa Kỳ về phía tây

Bài toán: Cổng Ac-xơ có khoảng cách giữa hai chân cổng là 162m . Từ 1 điểm trên

thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là 43m và khoảng cách tới điểm

chân cổng gần nhất là 44,15m Tính chiều cao của cổng

Bài 3: Trò chơi Angry Birds

Games Angry Birds

Angry Birds được mở đầu bằng đoạn kể về việc những con heo màu lục độc ác đã

ăn cắp những quả trứng của các con chim nhiều màu, và vì vậy những con chim quyết

định tấn công để lấy lại trứng Trong từng màn chơi, người chơi sẽ được cung cấp và sử

dụng một số con chim nhất định Người chơi sẽ dùng súng cao su để bắn từng con chim

vào những con heo hoặc bắn vào công trình được xây bằng gỗ, băng hoặc đá - nơi mà

những con heo màu xanh đang trú ngụ trong đó Mục tiêu là tiêu diệt các con heo bằng

cách bắn trực tiếp hay phá vỡ các công trình, gây ra các va chạm cho chúng Nếu người

chơi tiêu diệt tất cả các con heo trước khi số chim bị hết thì sẽ thắng màn chơi đó

Bài toán: Một chú chim Angry Bird được bắn lên từ độ cao 5m so với mặt đất ở bờ bên

trái để đến các vị trí phía bờ đối diện Người chơi chỉ có thể ghi được điểm và tiếp tục

chơi khi chú chim đáp ngay đúng hoặc vượt qua khỏi vị trí mỏm đá đầu tiên cách mặt

đất 24m Biết rằng chú chim bay được cao nhất là 21m ở vị trí cách bờ xuất phát 4m

Hai bờ cách nhau 6m . Hỏi người chơi có ghi được điểm trong màn này hay không?

Hướng dẫn giải trò chơi Angry Birds

Đường bay của chú chim có dạng Parabol 2  

0

yax bx c a 

Ta chọn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ O là vị trí chú chim xuất phát

Ta viết phương trình Parabol dựa theo tọa độ 1 điểm thuộc Parabol và đỉnh Parabol:

+ Điểm O

+ Đỉnh Parabol có tọa độ (4; 16)

Suy ra phương trình (P): y  x2 8x

Với x = 6 ta có y = 12 nhỏ hơn 19

Vậy người chơi không giành được điểm trong phần chơi này

Bài 4: Bài toán đá bóng

Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt tới độ cao nào đó rồi rơi xuống Biết rằng quỹ

đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth , trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên, h là độ cao (tính bằng mét ( m )) của quả bóng Giả sử rằng quả bóng được đá lên với độ cao 1, 2m Sau khoảng thời gian 1 giây và

2 giây từ lúc quả bóng được đá lên thì nó đạt độ cao lần lượt là 8,5m và 6m

a Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t

b Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng

c Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên?

(Kết quả được tính chính xác đến hàng phần trăm)

E HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG

Em có biết?

1 Ứng dụng parabol trong xây dựng

Người ta làm cầu có hình dạng parapol với bề lõm quay xuống dưới để lực mà cây cần gánh chịu

được chia đều sang hai bên chân cầu, để giảm lực lên cả cây cầu và giúp cầu khó bị sập hơn Vì

trên mặt cầu hình dạng parabol thì xe luôn có khuynh hướng đi theo phương tiếp tuyến của mặt

cầu làm lực tác dụng lên mặt cầu càng nhỏ

Tại các công viên vui chơi giải trí, đường ray tàu lượng siêu tốc được thiết kế theo các cung

đường parabol để tăng cảm giác mạnh cho người chơi đồng thời tạo động lực cho tàu di chuyển

2 Ứng dụng parabol trong chế tạo các loại mặt kính

Ứng dụng parabol trong chế tạo kính thiên văn phản xạ vì bộ phận quan trọng nhất của kính thiên

văn phản xạ là gương cầu và gương cầu đó phải được chế tạo theo dạng parabol là tốt nhất Khi

đó thì kinh thiên văn mới phản chiếu chính xác nhất vật về tiêu điểm gương (tia tới song song với trục chính)

Đèn pin, đèn chiếu sáng là dạng mặt cầu parabol giúp ánh sáng lan tỏa xa và mạnh hơn so với

mặt cầu phẳng bình thường

3 Anten Parabol – Ứng dụng parabol với gương hình parabol

Gương parabol là một tấm gương hoặc các mảnh kim loại có khả năng phản chiếu và hội tụ ánh

sáng hay các loại sóng điện từ khác tại một điểm Tính chất này của gương parabol đã được phát

hiện ra vào thế kỉ thứ ba trước công nguyên bởi nhà khoa học Archimedes và được áp dụng để

tạo ra kính viễn vọng vào thế kỉ 17 Ngày nay, gương mang hình parabol được sử dụng rất rông

rãi như ăng ten vi sóng và chảo vệ tinh

Anten parabol hay lòng chảo parabol là một trong những ứng dụng phổ biến nhất của parabol

trong đời sống thực tế Dựa vào gương parabol người ta có thể chiếu sóng đi theo một hướng

nhất định nhằm mục đích tăng cường mật độ năng lượng để nó có khả năng phát đi thật xa Có khi phát thì từ một điểm, các tia sóng sẽ được phản xạ rồi đi song song với nhau không bị tản

xạ mọi phía như trường hợp phát sóng tự do trong không gian không dùng gương parabol.

Lịch sử của Parabol

Một parabol Parabol như một giao tuyến

giữa một mặt nón và mặt phẳng song song với đường sinh của nó

Một hình miêu tả tính chất đối xứng, đường chuẩn (xanh lá cây), và các đường thẳng nối tiêu điểm và đường chuẩn với parabol (xanh nước biển)

Trong toán học, parabol (Tiếng Anh là parabola, bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp παραβολή) là một đường conic được tạo bởi giao của một hình nón và một mặt phẳng song song với đường sinh của hình đó Một parabol cũng có thế được định nghĩa như một tập hợp các điểm trên mặt phẳng cách đều một điểm cho trước (tiêu điểm) và một đường thẳng cho trước (đường chuẩn)

Trường hợp đặc biệt xảy ra khi mặt phẳng cắt tiếp xúc với mặt conic Trong trường hợp này, giao tuyến sẽ suy biến thành một đường thẳng

Parabol là một khái niệm quan trọng trong toán học trừu tượng Tuy nhiên, nó cũng được bắt gặp với tần suất cao trong thế giới vật lý, có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật, vật lý và các lĩnh vực khác

Bài toán tàu vũ trụ

HẾT.