Chương III. §1. Phương trình đường thẳng

Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O.[r]

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

A LÝ THUY T Ế

 Vectơ chỉ phương (vtcp) và vectơ pháp tuyến (vtpt) của đường thẳng

 Vectơ u  0 được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng  d nếu giá của u song song hoặc trùng với  d

 Các dạng phương trình của đường thẳng

Phương trình tham số (PTTS) của đường thẳng

PH ƯƠ NG TRÌNH Đ ƯỜ NG TH NG TRONG Ẳ

M T PH NG Oxy Ặ Ẳ

Tóm t t n i dung: ắ ộ

A.Lý thuy t ế B.Các d ng bài t p và ví d minh h a ạ ậ ụ ọ C.Bài t p t luy n ậ ự ệ

D.Bài t p dành cho h c sinh khá, gi i ậ ọ ỏ

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtcp u →=(u

1;u2) là

¿

x=x0+tu1

y= y0+tu2(u12+u22≠0)

¿{

¿

Phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng

Đi qua điểm M0(x0 ; y0), có vtpt → n=(a; b) là: a x x – 0b y y – 0 0

Chú ý:

 Phương trình ax + by + c = 0 (d) có vtpt là: → n=(a; b) và vtcp là:

a  ( b; -a )

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Muốn tìm một điểm thuộc  d thì chỉ cần cho x một giá trị cụ thể vàthế vào pt của  d sẽ tìm được y và ngược lại (cho y tìm x)

 Đường thẳng (d) cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b)

Và có phương trình theo đoạn chắn là: x a+y

 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng Δ1:a1x +b1y+c1=0

Δ2:a2x +b2y+c2=0

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Δ1và Δ2 ta xét số

nghiệm của hệ phương trình

¿

(I)

 Nếu (I) có một nghiệm thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm

 Nếu (I) vô nghiệm thì hai đường thẳng song song với nhau

 Nếu (I) vô số nghiệm thì hai đường thẳng nằm trên nhau (trùng nhau)

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Góc giữa hai đường thẳng Δ1và Δ2 :

¿

√a2+b2

¿

 Điểm thuộc đường thẳng

0

0

M ( ; )x y  :ax by c   0 a x b y  c 0

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

B.CÁC D NG BÀI T P Ạ Ậ

D ạ ng toán 1: Viết phương trình đương thẳng đi qua một điểm và có

vectơ chỉ phương

Đường thẳng (d) đi qua một điểm M x y( ; )0 0 và có vectơ chỉ phương

( ; )

u a b có dạng :

 Tham số:

0 0

 Phương trình tổng quát của   là: 1.(x1) 2( y3) 0  x2y 5 0

 D ạ ng toán 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có

:

( )

x x Bt d

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

7;3

qua N vtcp u

7;3

qua N vtcp u

3;7

qua N vtpt n

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Nhận xét: Ta có thể viết phương trình đường thẳng này dưới dạng PTTS hoặc PTTQ

H

ướ ng d ấ n: Vì  có hệ số góc k 3 nên   có vtcp là u  1; 3



rồi viết PTTS hoặc PTTQ

 D ạ ng toán 4: Viết PTĐT (d) đi qua hai điểm phân biệt A(x y1; 1 ) và B(

0;1

qua M vtcp MN

 D ạ ng toán 5: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm

M 0 (x 0 ;y 0 ) và song song với một đường thẳng (d’) cho trước có dạng là:

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Hoặc viết PTTQ của (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có vectơ pháp tuyến

n 

Cách 2:

 Vì (d) // (d’) nên (d) có dạng: Ax By m    0(*)

 Vì M0(x0;y0) (d) thay toạ độ điểm M vào (*) và tính được m

 Thay giá trị của m vừa tìm vào (*) ta được phương trình đường thẳng (d) cần tìm

 Chú ý: Hai đường thẳng song song với nhau thì

 VTCP của đường thẳng này cũng chính là VTCP của đường thẳng kia

 VTPT của đường thẳng này cũng chính là VTPT của đường thẳng kia

 Ví d ụ : Viết PTĐT ( ∆) đi qua một điểm Q (2;1) và song song với đường

1; 2

qua Q vtcp u

 D ạ ng toán 6: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm

M0(x0;y0) và vuông với một đường thẳng ∆ cho trước có dạng là:

0

Ax By C   

Cách 1:

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Dựa vào giả thuyết để tìm vtpt n   ( ; ) A B (hoặc vtcp u    ( B A ; ) ) của đường thẳng (d)

 Viết PTTS của (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có vectơ chỉ phương u 

 Hoặc viết PTTQ của (d) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có vectơ pháp tuyến

 Vì M0(x0;y0) (d) thay toạ độ điểm M vào (*) và tính được m

 Thay giá trị của m vừa tìm vào (*) ta được phương trình đường thẳng (d) cần tìm

 Ví d ụ : Viết PTĐT( d) đi qua một điểm P (-1;1) vuông góc với đường thẳng

2; 3

qua P d

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Mặt khác P (-1;1)  (d) nên 3.(-1) + 2.1+m = 0 m= 1

 Vậy PTĐT (∆) cần tìm có dạng là: 3 x  2 y   1 0

 D ạ ng toán 7: Viết phương trình đường thẳng ( d) đi qua một điểm

M0(x0;y0) và tạo với đường thẳng ∆ một góc  cho trước (Bài toán liên quan đến góc)

 Gọi phương trình đường thẳng (d) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k có dạng là:

 Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta được PTĐT (d)

 Ví d ụ : Cho đường thẳng (∆) : 3x-2y+1=0 Viết PTĐT (d) đi qua điểm M

cos 45

2 1 32 ( 2)2

k k

155

k k

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

hay  5 x  y    2 ( 5) 0   5 x  y   7 0

 D ạ ng toán 8: Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M0(x0;y0)

và cách điểm (N( ; ) x y1 1 một khoảng bằng a (Bài toán liên quan đến

 Áp dụng công thức: d(N,∆)=a Từ đó suy ra giá trị k cần tìm

 Thay giá trị k vừa tìm vào (2) ta được PTĐT (∆)

 Ví d ụ 1 : Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(2;7) và cách N(1;2)

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Ví d ụ 2: Cho đường thẳng d có ptts:

2 2

;3

 Lấy một điểm A thuộc  d ; gọi A’ là điểm đối xứng của A qua I (tức I là

trung điểm của AA’)

 Viết pt của đường thẳng  d1 đi qua điểm A’ và song song với  d

 Ví d ụ : Cho điểm I1;1 và đường thẳng  d :x 2y 2 0 Viết phương

trình tổng quát của đường thẳng  d1 đối xứng với đường thẳng  d qua

điểm I.

H

ướ ng d ẫ n

 Lấy điểmA0;1   d ; gọi A là điểm đối xứng với A qua I suy ra A2;1

(với I là trung điểm của AA’)



Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Vậy PTTQ của  d1 là x 2y0

 D ạ ng toán 10: Tìm hình chiếu của điểm A xuống đường thẳng ∆ (Tìm tọa

độ điểm H    sao cho MH ngắn nhất); tìm điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆

Cách 1:

 Viết pt đường thẳng d đi qua A và vuông góc với ∆

 Gọi H là hình chiếu của A trên ∆ Khi đóH  d

 A là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng ∆ khi và chỉ khi H là trung điểm của AA

Cách 2: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tham số:

-Cách 3: Nếu pt ∆ cho dưới dạng tổng quát: ax by c  0

 Gọi H x y H; H là hình chiếu của điểm A trên ∆

 Khi đó

H AH

 Do đó: b x H  x A a y H  y A 0 (2)Giải (1) và (2) ta được tọa độ điểm H

Ví d ụ : Cho đường thẳng   :x 2y 4 0 và điểm A4;1

a) Tìm tọa độ hình chiếu của A trên  

b) Tìm điểm A là điểm đối xứng của A qua  

H

ướ ng d ẫ n

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

a) Tọa độ hình chiếu của A trên  

 Gọi H là hình chiếu của A trên  

b) Tọa độ điểm A đối xứng của A qua  

 A là điểm đối xứng của A qua    H là trung điểm của AA

852

295

A A

A H

x x

x x

y y

y y

 Lấy A(d) Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua ()

 Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ và song song với (d)  Nếu (d) cắt () tại điểm I

 Lấy A(d) (A≠I) Xác định điểm A’ đối xứng với điểm A qua ()

 Viết phương trình đường thẳng (d’) qua A’ và I.

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Ví d ụ : Cho hai đường thẳng (d1) : x y  1 0 và ( ) : d2 x  3 y   3 0 Lậpphương trình đường thẳng   d3 đối xứng với (d

1) qua (d2)

 H ướ ng d ẫ n

 Xét (d1) và (d2) , Ta có:

1   3 Vậy (d1) cắt (d2 ) tại điểm I

 Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Chú ý 1: Vị trí tương đối của hai điểm đối với đường thẳng:

Cho đường thẳng d: ax by c  0 và 2 điểm A x y( ;A A), ( ;B x y B B)

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Ví d ụ 1: Cho 2 đường thẳng (d1):3x+4y - 1=0 và (d2): 4x+3y+5 = 0 Viết

phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi (d1) và (d2)

 D ạ ng toán 13: Viết phương trình đường trung tuyến, đường cao, trung

trực, phân giác và cạnh của tam giác

Dựa vào bảng sau để hinh thành nên cách viết PTĐT cần tìm

A

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Ví d ụ 1 : Cho tam giác ABC với A4;5 ; B6; 1 ;  C1;1 Viết phương trình

tổng quát của cạnh AB, đường trung tuyến AM, đường cao AH của tam

giác ABC; đường trung trực của cạnh AB

Phương trình đường trung tuyến AM:

 M là trung điểm của BC nên

5

;02

M 

 Vì AM đi qua  

54;5 ; ;0

 Đường cao AH đi qua A4;5 và có vtpt BC 7; 2



Δ

I C B

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

 Phương trình tổng quát của đường cao AH là:

7 x 4 2 y 5  0 7x2y 38 0

Phương trình đường trung trực của AB:

 Gọi K là trung điểm của AB nên K  1; 2

 Gọi   là đường trung trực của AB

    đi qua điểm K  1;2 và có vtpt AB   10; 6 

 Xét đường phân giác  d :x3y 2 0

 Thế tọa độ điểm B vào vế trái của d:t  1 4 3.1 2 5 0  

 Thế tạo độ điểm C vào vế trái củad:t  2 1 3.2 2 5 0  

 Vìt t 1 2 0 nên B và C nằm cùng phía đối vớid dlà đường phân giác ngoài

 Vậy đường phân giác trong của góc A là: d: 3x y  6 0

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

e) Qua M2;5 và song song với đường thẳng d: 3x4y 7 0

f) Qua M2;5 và vuông góc với đường thẳng d: 3x4y 7 0

g) Qua A5;0 ; B0; 2

Bài t ậ p 2: Cho tam giác ABC có A(-2; 1), B(2; 3) và C(1; -5).

a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác

b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác

c) Lâp phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM

d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực của cạnh BC

e) Lập phương trình đường thẳng chứa đường phân giác trong góc A của ABC

Bài t ậ p 3: Viết PTĐT d1 đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng Δbiết:

a, (d) : x 2y 1  0;( ) : 2x y 3   0 b, (d) : 2x 3y 5  0;( ) : 5x y   4 0

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Bài t ậ p 4: Cho A(1;1), B(3;6) Viết PTĐT (d) đi qua A và cách B một đoạn bằng 3

Bài t ậ p 5: Viết phương trình đường phân giác của góc giữa hai đường thẳng 1: 4x10y 1 0; 2:x y  2 0

Bài t ậ p 6: Cho I(1;2) và đường thẳng ( ) :3x 5   y   1 0

a) Tìm phương trình đường thẳng (d) qua A và song song với ( )

b) Tìm phương trình đường thẳng (’ ) đối xứng với ( ) qua A

Bài t ậ p 7: Cho đường thẳng :x2y 6 0 Lập phương trình đường thẳng d đi qua M  6;1 và tạo với   một góc 450

Bài t ậ p 1*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích

 

 



 C(–2; –10) hoặc C(1;–1)

Bài t ậ p 2*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–

1; 1) là trung điểm của cạnh BC, hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng

d 1: x y 2 0   và d 2: 2x6y 3 0 Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C

H

ướ ng d ẫ n

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:

12

3 22

1494

Bài t ậ p 4*: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;–3), B(3;–2), tam

giác ABC có diện tích bằng

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Gọi C(a; b), (AB): x –y –5 =0  d(C, AB) =

ABC

AB

5 22

d1: x y    1 0 Phương trình đường cao vẽ từ B là

d2: x  2 y  2 0  Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC

AB  CM  phương trình đường thẳng AB: x  2 y   2 0

AC  BN  phương trình đường thẳng AC: 6 x  3 y   1 0

Bài t ậ p 6* :Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 và điểm

M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt sao cho

MA = 3MB

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với  1 , 2

KL: x3y 3 0 và 3 x y    1 0

Bài t ậ p 9*:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho DABC cân có đáy là BC Đỉnh A có tọa độ là các số dương, hai điểm B và C nằm trên trục Ox, phương trình cạnh AB : y = 3 7(x 1) - Biết chu vi củaDABCbằng 18, tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

H

ướ ng d ẫ n

Giả sử AB: 5x – 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0  A(0;3)

Phương trình đường cao BO: 7x – 4y = 0  B(–4; –7)

A nằm trên Oy, vậy đường cao AO nằm trên trục Oy  BC: y + 7 = 0

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Bài t ậ p 12*:Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng

1: 2    5 0

2: 3x + 6y – 7 = 0 Lập phương trình đường thẳng

đi qua điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường

thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường

a a nên d1d2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P Gọi

d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình:

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d x :  3 y  5 0 

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d : 3 x y   5 0  ;

:  3  5 0 

Bài t ậ p 13*:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, choABC có đỉnh A(1;2), phương trình đường trung tuyến BM: 2x y  1 0 và phân giác trong CD: x y 1 0 Viết phương trình đường thẳng BC

H

ướ ng d ẫ n

Điểm C CD x y  :   1 0   C t  ;1  t 

Suy ra trung điểm M của AC là

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình:

Gia sư V.A.K Phương pháp học thông minh

Vậy, phương trình cạnh AC: x + 2y + 7 = 0